KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong.

Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN

yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di

A dengan tepat satu dan hanya satu elemen di B

Dalam definisi tersebut,

A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH

DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan 𝒟𝑓

B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f

DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE

adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan

elemen di A, dinotasikan dengan ℛ𝑓

• Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL,

yaitu fungsi dengan domain dan kodomain

subhimpunan bilangan real. Dengan demikian

𝐴 ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ

• Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah

asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,

yaitu 𝒟𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ

• Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di

bidang koordinat Cartesius yang memenuhi

𝑦 = 𝑓 𝑥 . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di

bidang koordinat yang TIDAK SALING

MENGATAPI

1. Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x

2. Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x)

3. Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x)

4. Fungsi harga mutlak 𝑓 𝑥 = 𝑥

5. Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot

fungsi f adalah garis di bidang koordinat

yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x).

6. Fungsi bilangan bulat terbesar 𝑦 = 𝑥 =

bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau

sama dengan x.

Operasi Aljabar Fungsi

𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ,𝒟𝑓±𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔

𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ,𝒟𝑓𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔

𝑓

𝑔𝑥 =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), 𝒟𝑓

𝑔

= 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.

Komposisi Fungsi:

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟𝑓∘𝑔 =?

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥

Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan 𝑓−1 𝑥 adalah fungsi yang bersifat:(𝑓 ∘ 𝑓−1) 𝑥 = 𝑓−1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥

Grafik 𝑦 = 𝑓−1 𝑥 simetris dengan grafik y = f(x) terhadap garis y = x.

Operasi Grafis Fungsi: pergeseran dan pencerminan

Operasi grafis terhadap suatu fungsi

Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik

fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan

beberapa operasi secara grafis (geometris)

NO. FUNGSI BARU OPERASI

1. f(x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.

2. f(x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.

3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.

4. f(-x) Cerminkan terhadap sumbu y.

5. | f(x) | Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian

grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

6. f( | x | ) Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y,

bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti

dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap

sumbu y.

.sumbu terhadap

ndicerminka sumbu bawah di yanggrafik bagian aSelanjutny

.satuan 1bawah ke

digeser lalu satuan, 3 kiri kedigeser grafik :langkahLangkah

.1)3(86 sebab

, fungsigrafik dari diperoleh dapat 86 fungsigrafik Sketsa

:Contoh

2

22

22

x

x

xy

xxxy

xyxxy

2xy

1)3( 2 xy

2)3( xy1)3( 2 xy

ALJABAR Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi indentitas melalui operasi-operasi aljabar

+,−,∗, , 1. Fungsi Polinom 2. Fungsi Rasional

TRANSENDEN

1. Fungsi Trigonometri

2. Fungsi Eksponensial

3. Fungsi Logaritma

4. Fungsi Hiperbolik

Limit fungsi di suatu titik

Limit-limit sepihak

Eksistensi Limit

Limit yang nilainya tak berhingga

Limit di ketakhinggaan

10

LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK

Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a

tidak harus termuat di 𝒟𝑓

Notasi

dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”

atau

“f(x) mendekati L bila x mendekati a “

berarti bahwa

nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat

dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.

Lxfax

)(lim

Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu

f(a), tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a.

11

Situasi yang mungkin terjadi:

a x 0

L

y

f(x)

a x 0

L

y

f(x)

a x 0

L

y f(x)

f(a)

12

Contoh: 2 ,4

2)(

2

x

x

xxf ?

4

2lim

22

x

x

x

2 x 0

y

f(x) 0,25 )2(

4

1

)2(

1lim

)2)(2(

2lim

4

2lim

2

2

22

fx

xx

x

x

x

x

x

x

Karena 2x maka

13

2 , 1

2 ,4

2

)( 2

x

xx

x

xfJika didefinisikan

1)2(4

1

4

2lim

22

f

x

x

x

2 x 0

y

f(x) 0,25

1

14

2 , 4

1

2 ,4

2

)(2

x

xx

x

xfJika didefinisikan

2 x 0

y

f(x) 0,25

)2(4

1

4

2lim

22f

x

x

x

15

LIMIT SEPIHAK

Notasi

Dibaca

“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L”

atau

“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“

berarti bahwa

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat

dengan a dan x < a (x > a).

Lxfax

)(lim

Lxf

ax)(lim

Lxfax

)(lim jika dan hanya jika Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar

1

x

0

y

f(x)

2 3 -1 -2 -3

1

2

3

-1

-2

-3

3x2 2,

2x1 ,1)(xf

xxf )( ?)(lim2

xfx

2)(limsedangkan ,1)(lim22

xfxfxx

)(lim)(limsebab ADA,TIDAK )(lim222

xfxfxfxxx

Contoh 2. ?sinlim0

xx

Bila

nxmaka nolbulat tak bilangan ,

1n

nx

sehingga 0sinsin

nx

,22

nx

Namun bila bulatbilangan ,14

2n

nx

122

sinsin

nx

maka

sehingga

Perhatikan bahwa bila 𝑛 → ∞ maka 𝑥 → 0, sehingga nilai 𝑠𝑖𝑛𝜋

𝑥

berubah-ubah semakin cepat di antara -1, 0, dan 1 bila 𝑥 → 0

1 x 0

y

f(x)

1

-1

-1

xxfy

sin)(

Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit

fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh

1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau

2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat

EKSISTENSI NILAI LIMIT

19

1

1lim

1 xx

Contoh :

LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA

DEFINISI

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali

pada x = a sendiri. Maka

berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin,

dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan

a.

)(lim

xfax

)(lim xf

ax

20

1 x 0

y

2

1

1)(

xxf

1

Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif

maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak

21

Situasi yang mungkin terjadi:

)(lim xfax

y

x 0 a

f(x)

)(lim xfax

x 0

y

a

f(x)

)(lim xfax

0

y

a

f(x)

)(lim xfax

x 0

a

f(x)

x 0

y

a

f(x)

)(lim xfax

x 0

y

a

f(x)

x

)(lim xfax

Jika sekurang-kurangnya satu di antara keenam

situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x)

maka garis x = a disebut asimtot tegak dari

grafik y = f(x).

1

1lim

1

1lim sebab ADA,TIDAK

1

1lim

1

1lim

1

1lim

111

1

1

xxx

x

x

xxx

x

x

Contoh :

Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 =1

𝑥−1 .

23

LIMIT DI KETAKHINGGAAN

)(lim xfx

)(lim xf

xNotasi

disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai

f(x) manakala x membesar positif (negatif).

adatidak

)(lim Lxfx

Contoh:

1lim .1 2xx

21

2lim 12

lim .2

xx

x

xx

adatidak coslim .3

xx

Kemungkinan yang dapat terjadi:

24

Situasi yang mungkin terjadi:

x 0

f(x) y

)(lim xfx

y

x 0

f(x) y

)(lim xfx

x 0

f(x)

)(lim xfx

x

0

L f(x)

y

Lxfx

)(lim

x 0

L f(x)

y

Lxfx

)(lim

x 0

f(x)

adatidak )(lim

xfx

25

Contoh:

65

1)(

2

xx

xxf

)2)(3(lim

3

)2)(3(

1lim

65

1lim)(lim.1

22222 xxxx

x

xx

xxf

xxxx

)2)(3(lim

3

)2)(3(

1lim

65

1lim)(lim.2

22222 xxxx

x

xx

xxf

xxxx

Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan

garis x = 3.

0001

00

651

11

lim651

11

lim65

1lim.3

2

2

22

22

2

xx

xx

xxx

xxx

xx

x

xxx

Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).

Jika maka garis y = L disebut asimtot datar

dari grafik y = f(x).

LxfLxfxx

)(limatau )(lim

26

65

1

2

xx

xy

Asimtot datar

Asimtot tegak

27

Teorema-teorema tentang limit

)(lim)(lim d.

0)(limasalkan ,)(lim

)(lim

)(

)(lim c.

)(lim).(lim)()(lim b.

)(lim)(lim)()(lim a.

makaada, )(limdan )(limnilaidan konstantasuatu Jika 1.

xfkxkf

xgxg

xf

xg

xf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

xgxfk

axax

axax

ax

ax

axaxax

axaxax

axax

LxgLxhf(x)

a

axxhxgxf

axaxax

)(limmaka ,)(limlim jika

dan

) dimungkin kecuali(

sekitar di nilaiuntuk )()()( Jika:Apit Prinsip .2

28

Trik menentukan limit di suatu titik

1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)

2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan

nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa

limit-limit sepihak.

)(lim xfax

Contoh 0444lim .1

4

x

x

2

1

)1(

1lim

)1)(1(

1lim

1

21lim

1

2

1

1lim .2

11

2121

xxx

x

x

x

xx

xx

xx

29

?sinlim .3 2

0

xx

x

1sin1

x

Jawab: karena

maka .sin 222 xx

xx

0lim)(lim 2

0

2

0

xx

xx

Diketahui bahwa

maka

0sinlim

0sinlim0

limsinlimlim

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

xx

xx

xx

xx

x

x

xxx

30

4. f(x) = [ x ] + [-x] ?)(lim2

xfx

1 x 0

y

2 3 -1 -2 -3

1

2

3

-1

-2

-3

3x2 1,(-3)2

2 ,0 22

2x1 ,1)2(1

)( xxf)(lim

1

)(lim)(lim

2

22

xf

xfxf

x

xx

31

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

adatidak tanlim ,0coslim ,1sinlim

,0tanlim ,1coslim ,0sinlim

222

000

xxx

xxx

xxx

xxx

y = tan x

32

0sin

lim , 0sin

lim ,1sin

lim0

x

x

x

x

x

x

xxx

2.5 KEKONTINUAN

Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a

dikatakan kontinu di x = a jika

)()(lim afxfax

Dengan perkataan lain:

f(x) kontinu di x = a jika

f(a) terdefinisi

Nilai limitnya di x = a ada

Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu

)()(lim)(lim afxfxfaxax

2 x 0

y

f(x) 0,25

Contoh

2 , 4

1

2 ,4

2

)(2

x

xx

x

xf

)2(4

1

4

2lim

22f

x

x

x

Jadi f(x) kontinu di x = 2.

Akibat: jika f kontinu di x = a maka ada )(lim xfax

Teorema fungsi kontinu:

1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi-

fungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a.

2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di

daerah definisinya.

3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi

kontinu di x = a.

0)( ag

))(( xgf

riil.bilangan setiap dikontinu )(agar dan tentukan

,3 ,2

30 ,

0 ,1

)( Jika 2

xfba

xx

xbax

x

xf

Contoh:

36

Jawab:

karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka

f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup

diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3

Agar f(x) kontinu di x = 0:

• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1

• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0

sama dengan f(0), yaitu

1 0. 1

yaitu ),0()(lim)(lim

2

00

ba

fxfxfxx b = 1

Agar f(x) kontinu di x = 3:

• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5

• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3

sama dengan f(3), yaitu

4951959

5 5 3.

yaitu ),3()(lim)(lim

2

33

aaba

ba

fxfxfxx

9

4a

Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9.

Teorema Nilai Antara (TNA):

misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b).

Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.

a x 0

M

f(x)

c b

f(b)

f(a)

y