fungsi graf ganjil, gnap n priodic
DESCRIPTION
FUNGSI GRAFTRANSCRIPT
Fungsi Periodik
DERET FOURIER
Fungsi PeriodikFungsi dikatakan periodik dengan periode T
Jika , T = konstanta positifContoh :
1
= sin x
-1
Periode = 2(
1
= sin 2x
Periode = (
1
= cos x
Periode = 2(
1
Periode = 4(
= cos x
Periode
Periode
Periode
Fungsi ganjil dan genapJika dipenuhi f(-x)= -f (x) maka f (x) disebut fungsi ganjil
Jika dipenuhi f(-x)= f (x) maka f (x) disebut fungsi genapContoh :Gambar no:1 adalah fungsi ganjil
Gambar no:2 adalah fungsi ganjil
Gambar no:3 adalah fungsi genap
Gambar no:4 adalah fungsi genap
Gambar no:5 adalah fungsi ganjil
Gambar no:6 adalah fungsi genap
Gambar no:7 bukan fungsi ganjil atau genapDeret Fourier
Misalkan f(x) terdefinisi pada interval (-L, L) dan periodik dengan periode 2L ( f(x+2L)=f(x) ) maka f(x) =
(n cos ) .. (1)Dimana :
.(2) .(3) n = 0, 1, 2,
n dan bn disebut koefisien fourier
Secara umum : jika periode f(x) adalah 2 L maka :
.(4) .(5) n = 0, 1, 2,
==> rumus (2) & (3) merupakan kasus khusus untuk C=-L dari rumus (2) :
Syarat Dirichlet :
Misalkan f(x) memenuhi :
f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal kecuali mungkin di sejumlah berhingga titik pada (-L, L) f(x) periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L f(x)dan f1x kontinu bagian demi bagian pada (-L, L)maka deret (1) konvergen ke :
f(x) jika x titik dimana fungsi kontinu jika x titik dimana fungsi diskontinucontoh-contoh soal :
1. Sebuah fungsi periodik f(x) dengan periode 2( didefinisikan sebagai berikut :
f(x) = 0 untuk -( ( x ( 0
xuntuk 0 < x ( (Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier :
Jawab :
f(x)
(
x
-(0(Perode = 2 (= 2L ( L= (Koefisien 2 fourier :
=
=
=
=
=
=
=
integral parsial
=
=
=
=
= 0untuk n genap
cos n(= 1 (n genap)
untuk n ganjil
=-1 (n ganjil)
bn=
=
=
integral parsial
=
=
=
=
= -
untuk n genap
=
untuk n ganjil
Uraian f(x) menjadi deret fourier :f(x)=
(n cos nx + bn sin nx)
= (1 cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x + + (b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x +
=
=
(*)Pada titik-titik diskontinu yaitu
misal pada deret konvergen ke / jumlah deret=
2. Gunakanlah jawabab soal no.1 untuk membuktikan
Ambil
Karena pada kontinu, maka deret konvergen ke jumlah deret =0 untuk
dari * diperoleh
(terbukti)3.Diketahui ( (x) = 0 untuk ( 4 < x < 0
3 untuk 0 < x < 4 a)Tentukan koefisien-koefisien fourier
b)Tulislah deret fourier dari ( (x)
c)Bagaimana mendefinisikan ( (x) di x = -4
x = 0 dan x = 4 agar deret fourier itu konvergen ke ( (x) untuk interval -4 < x < 4 jawab :
a)2L = 8 ( L = 4
=
( (x) dx
=
EMBED Equation.3 0 dx +
EMBED Equation.3 3 dx
=
EMBED Equation.3 = . 12 = =
an=
( (x) cos
=
EMBED Equation.3 ( (x) cos
=
EMBED Equation.3 0 dx +
EMBED Equation.3 3 cos
an=
=
EMBED Equation.3 bn=
EMBED Equation.3 ( (x) sin
=
EMBED Equation.3 0 dx +
EMBED Equation.3 3 sin
=
EMBED Equation.3
=-(cos n( ( 1) = (1 ( cos n()b)Deret fourier dari ( (x)( (x)=
(an cos )
=
EMBED Equation.3
=
=
c)Karena ( (x) memenuhi syarat dirichlet, pada titik-titik kontinu deret konvergen ke ( (x). Titik-titik diskontinu pada interval -4 < x < 4 adalah x = -4, 0 dan 4.
Pada titik-titik diskontinu ini deret konvergen ke
(Agar deret konvergen ke ( (x) untuk semua x pada interval -4 < x < 4 maka didefinisikan kembali ( (x) sebagai berikut :( (x)=3/2 untuk x = -4
0untuk -4 < x < 0
3/2untuk x = 0
3untuk 0 < x < 4
3/2x = 4
Deret fourier untuk fungsi genap dan ganjil
Teorema :
Deret fourier dari sebuah fungsi genap f(x) yang punya periode 2L (-L, L) merupakan deret fourier cosinus.
an =
( (x) cos
bn=0
( ( (x)=
an cos
Sedangkan deret fourier dari sebuah fungsi ganjil ( (x) yang punya periode 2L (-L, L) merupakan deret fourier sinus.an =0 (
bn =
EMBED Equation.3 ( (x) sin
( ( (x)=
bn sin dxBaca soal 10.9 dan 10.10 hal 347!!
Contoh soal :
1.Sebuah fungsi periodik ( (x) dengan periode 2( didefinisikan sebagai berikut :
( (x)=-xuntuk -( < x < 0
x untuk 0 < x < (Uraikan fungsi tersebut menjadi deret fourier
Jawab :
Syarat-syarat dirichlet dipenuhi, maka ( (x) dapat diuraikan menjadi deret fourier.
Lihat gambar ( ( (-x) = ( (x) ( fungsi genap dan ( (x) dapat diuraikan menjadi deret fourier cosinus
2L = 2( ( L = (an =
( (x) cos
=
( (x) dx
bn=0
=
x dx =
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
an =
( (x) cos nx dx
=
x cos nx dx
=
=
= (cos n( ( 1)(an=0 untuk n genap
untuk n ganjil Uraian ( (x) menjadi deret fourier cosinus :
( (x)=
an cos nx
=
+ a1 cos x + + a3 cos 3x +
=
cos 3x (
=
=
2.Sebuah fungsi periodik ( (x) dengan periode 2( didefinisikan sebagai berikut :( (x) = x untuk -( < x < (Uraikan ( (x) dalam deret fourier dan tentukan jumlah deret di titik x = (Jawab :
Syarat dirichlet dipenuhi, maka ( (x) dapat diuraikan menjadi deret fourier.
Lihat gambar ( ( (-x) = -( (x) ( fungsi ganjil sehingga ( (x) dapat diuraikan menjadi deret fourier sinus.
2L = 2( ( L = (an = 0 (
bn=
( (x) sin dx
=
( (x) sin nx dx
=
x sin nx dx
=
=
=
=
cos n((bn =
untuk n genap
untuk n ganjil
( uraian ( (x) menjadi deret fourier sinus :( (x)=
bn sin nx
=b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + ...
=2 sin x ( sin 2x + sin 3x + ...
=2 (sin x ( )
=2 (-1)n-1
Pada x = ( jumlah deret / deret konvergen ke
3
( (x)
periode 8
4
-4
0
x
//
0
-3(
-2(
-(
(
2(
3(
( (x)
(
x
(
(
(
(
(
(
(
-(
-(
(
0
x
( (x)
(
(
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMBDra. Muchsinah M.Si
KALKULUS LANJUT
_1265955268.unknown
_1265958466.unknown
_1265959432.unknown
_1265960220.unknown
_1265960393.unknown
_1265960407.unknown
_1265965553.unknown
_1265965692.unknown
_1265965712.unknown
_1265960534.unknown
_1265960546.unknown
_1265960549.unknown
_1265960541.unknown
_1265960504.unknown
_1265960400.unknown
_1265960403.unknown
_1265960396.unknown
_1265960271.unknown
_1265960381.unknown
_1265960389.unknown
_1265960378.unknown
_1265960229.unknown
_1265960236.unknown
_1265960224.unknown
_1265960150.unknown
_1265960173.unknown
_1265960182.unknown
_1265960216.unknown
_1265960177.unknown
_1265960165.unknown
_1265960168.unknown
_1265960158.unknown
_1265960161.unknown
_1265960154.unknown
_1265959457.unknown
_1265959585.unknown
_1265960130.unknown
_1265959578.unknown
_1265959581.unknown
_1265959441.unknown
_1265959454.unknown
_1265959438.unknown
_1265958629.unknown
_1265959142.unknown
_1265959385.unknown
_1265959402.unknown
_1265959405.unknown
_1265959390.unknown
_1265959151.unknown
_1265959269.unknown
_1265959146.unknown
_1265958650.unknown
_1265959134.unknown
_1265959138.unknown
_1265959130.unknown
_1265958637.unknown
_1265958641.unknown
_1265958633.unknown
_1265958523.unknown
_1265958578.unknown
_1265958586.unknown
_1265958625.unknown
_1265958582.unknown
_1265958568.unknown
_1265958574.unknown
_1265958563.unknown
_1265958490.unknown
_1265958498.unknown
_1265958502.unknown
_1265958495.unknown
_1265958475.unknown
_1265958484.unknown
_1265958471.unknown
_1265957560.unknown
_1265957852.unknown
_1265958105.unknown
_1265958447.unknown
_1265958459.unknown
_1265958109.unknown
_1265958097.unknown
_1265958101.unknown
_1265957952.unknown
_1265957759.unknown
_1265957834.unknown
_1265957840.unknown
_1265957828.unknown
_1265957815.unknown
_1265957568.unknown
_1265957573.unknown
_1265957563.unknown
_1265957111.unknown
_1265957493.unknown
_1265957551.unknown
_1265957555.unknown
_1265957546.unknown
_1265957480.unknown
_1265957485.unknown
_1265957474.unknown
_1265956936.unknown
_1265957095.unknown
_1265957107.unknown
_1265956937.unknown
_1265956250.unknown
_1265956441.unknown
_1265956067.unknown
_1259649918.unknown
_1260881103.unknown
_1260985830.unknown
_1261456790.unknown
_1261458252.unknown
_1261459458.unknown
_1261459718.unknown
_1261460417.unknown
_1261459612.unknown
_1261458472.unknown
_1261457090.unknown
_1261457146.unknown
_1261457038.unknown
_1261456913.unknown
_1261456329.unknown
_1261456684.unknown
_1260985831.unknown
_1260884518.unknown
_1260893714.unknown
_1260944415.unknown
_1260947169.unknown
_1260947350.unknown
_1260948141.unknown
_1260947042.unknown
_1260942734.unknown
_1260944009.unknown
_1260942522.unknown
_1260888467.unknown
_1260888529.unknown
_1260884536.unknown
_1260881568.unknown
_1260884230.unknown
_1260884479.unknown
_1260881589.unknown
_1260881475.unknown
_1260881527.unknown
_1260881336.unknown
_1259652907.unknown
_1259653461.unknown
_1260880829.unknown
_1260881086.unknown
_1260880591.unknown
_1259653026.unknown
_1259653369.unknown
_1259653336.unknown
_1259653358.unknown
_1259652994.unknown
_1259650958.unknown
_1259651050.unknown
_1259651078.unknown
_1259651028.unknown
_1259650429.unknown
_1259650896.unknown
_1259650341.unknown
_1259626060.unknown
_1259644723.unknown
_1259648555.unknown
_1259649048.unknown
_1259645349.unknown
_1259626325.unknown
_1259626450.unknown
_1259626283.unknown
_1259624758.unknown
_1259626002.unknown
_1259626045.unknown
_1259625946.unknown
_1259622118.unknown
_1259624696.unknown
_1259621762.unknown
_1259622098.unknown
_1259620276.unknown
_1259620257.unknown
_1259619954.unknown
_1259619888.unknown