fractales para la construccion del concepto de l imite en ... · casos en los que la auto-semejanza...

UNIVERSIDAD DE VALENCIA

Master en Profesor de Educacion Secundaria

FRACTALES PARA LA

CONSTRUCCION DEL CONCEPTO

DE LIMITE EN 4◦ DE ESO

Memoria de Trabajo de Fin de Master presentada por:

Begona Soler de Dios

Tutorizada por:

Dr. Mauricio Contreras del Rincon

Departamento de Didactica de las matematicas

Valencia, 3 de julio de 2014

Ficha tecnica

Master: Master en Profesor/a de Educacion Secundaria por la Universitad de Valencia

Especialidad: Matematicas

Autor:

Apellidos: SOLER DE DIOS

Nombre: BEGONA

Tıtulo de la memoria: Fractales para la construccion del concepto de lımite en 4◦ de

ESO.

Tutor:

Apellidos: CONTRERAS DEL RINCON

Nombre: MAURICIO

Departamento: Didactica de las matematicas

Calificacion:

Palabras clave: fractales, sucesiones, lımite, aproximar, infinito, iteracion,

recursividad y convergencia.

Keywords: fractals, successions, limit, approach, infinity, iteration, recur-

sion and convergence.

Codigos Unesco:

5803.02 (Formacion de profesores), 12 (Matematicas) y 1299 (Didactica de las Matematicas)

iv

Resumen:

El objetivo principal de este estudio es averiguar, mediante un cuestionario realizado por

alumnos de 4◦ ESO, si es posible introducir a los estudiantes la idea de “acercarse” o “apro-

ximarse” cada vez mas a un cierto numero, y por tanto la idea intuitiva de lımite mediante

el uso estructuras fractales.

Abstract:

The aim of this study is to find out, by means of a 4◦ ESO questionnaire, whether it is pos-

sible to get the students into the idea of “getting closer to” or “approaching” increasingly

to a certain number, and therefore the intuitive idea of limit using fractal structures.

Dime y lo olvido, ensename y lo recuerdo,

involucrame y lo aprendo.

Benjamin Franklin

Contenido

1. Introduccion 1

1.1. Contextualizacion curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Objetivos 11

3. Marco teorico 12

3.1. Analisis de estudios previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Analisis de libros de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Educacion Secundaria Obligatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2. Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Metodologıa 24

4.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Analisis de las respuestas de los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.1. Calculo de iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.2. Calculo de iteraciones predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.3. Iteracion n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.4. Termino general de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Conclusiones 44

A. Anexo: Tipos de respuesta por alumno 46

viii Contenido

Bibliografıa 58

1. Introduccion

La geometrıa fractal es un campo de investigacion muy reciente. Fue descubierta alrededor

del ano 1970 por el matematico polaco Benoit Mandelblot mientras hacıa un analisis del

ruido y de las perturbaciones electricas en los laboratorios de IBM.

Los fractales no forman parte del currıculo de Secundaria explıcitamente, pero algunas de

las caracterısticas de los mismos son tratadas a lo largo de la Educacion Secundaria Obli-

gatoria y cursos posteriores. Entre otros temas, al utilizar fractales se trabaja la induccion

geometrica, la idea intuitiva de infinito y la semejanza de figuras.

En este trabajo se pretende introducir a los estudiantes la idea de “acercarse” o “apro-

ximarse” cada vez mas a un cierto numero y, por tanto, la idea intuitiva de lımite, es decir,

vamos a utilizar algunas estructuras fractales para construir la idea del concepto de lımite

de una sucesion. Con este fin, se buscaran actividades en las que los estudiantes hagan ite-

raciones utilizando la recursividad y tambien para que generalicen a partir de la tendencia

observada en casos particulares que se les pedira que obtengan.

El objetivo de este estudio no es propiamente que escriban el termino general de la su-

cesion. Se pretende que los alumnos tengan una idea de la tendencia y que calculen casos en

concreto. Al mismo tiempo tambien se pretende analizar las diferentes expresiones utilizadas

por los estudiantes al generalizar y al tratar el concepto de infinito.

Para ello, en esta investigacion se hace en primer lugar un estudio de como aparecen los

conceptos de infinito, lımite y estructura fractal en el currıculo de Secundaria. Y a continua-

2 1 Introduccion

cion se recopila un conjunto mınimo de caracterısticas de los fractales que sean utiles a esta

investigacion.

1.1. Contextualizacion curricular

A continuacion se hace un analisis de los decretos 112-2007 de 20 de julio (currıculo de la

Educacion Secundaria Obligatoria) y 102-2008 de 11 de julio (currıculo de Bachillerato) del

“Diari Oficial de la Comunitat Valenciana” en busqueda de aquello que dice el currıculum

de la Comunidad Valenciana en relacion a los fractales y lo relacionado con los lımites.

La primera parte de la busqueda esta relacionada con el concepto de fractal, para ello se han

utilizado las palabras clave: fractal y reiterativas. En ambos casos (currıculo de la Educacion

Secundaria Obligatoria y Bachillerato) no ha aparecido ninguna coincidencia.

La segunda parte de la busqueda (siempre dentro del contexto matematico) esta relacionada

con el concepto de lımite, por lo que se han utilizado las palabras clave: lımite, tendencia y

convergencia.

En este caso en el currıculo de la Educacion Secundaria Obligatoria no ha salido ningu-

na coincidencia, es decir, no se estudia hasta cursos posteriores, pero sı en el de Bachillerato,

concretamente las siguientes:

Decreto 102-2008 de 11 de julio (BACHILLERATO):

Pagina 176. Palabra: lımite

Asignatura: MATEMATICAS I

Bloque: Nucleos de contenidos (4. Analisis)

Aproximacion al concepto de lımite. Estudio de discontinuidades.

1.1 Contextualizacion curricular 3


Asignatura: MATEMATICAS II


Lımite de una sucesion. Lımite de una funcion. Calculo de lımites.


Asignatura: MATEMATICAS II

Bloque: criterios de evaluacion.

5. Utilizar el concepto y calculo de lımites y derivadas para analizar, cualitativa y

cuantitativamente, las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad,

simetrıas, periodicidad, puntos de corte, asıntotas, intervalos de crecimiento) de una

funcion expresada en forma explıcita, representarla graficamente y extraer informacion

practica en una situacion de resolucion de problemas relacionados con fenomenos na-

turales.

Se pretende verificar la capacidad de utilizacion de los conceptos y tecnicas basicas

del calculo diferencial para estudiar e interpretar fenomenos de la naturaleza y de la

tecnica expresables mediante relaciones funcionales.

6. Aplicar el calculo de lımites, derivadas e integrales al estudio de fenomenos geometri-

cos, naturales y tecnologicos, ası como a la resolucion de problemas de optimizacion y

medida de areas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas que sean facilmente

representables.

Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumno para interpretar y aplicar a

situaciones del mundo natural, geometrico y tecnologico, la informacion suministrada

por el estudio analıtico de las funciones.

4 1 Introduccion


Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIA-

LES I


Idea intuitiva de lımite funcional. Aplicacion al estudio de discontinuidades.

Pagina 243. Palabras: lımite y tendencia

Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIA-

LES II


Lımite y continuidad de una funcion en un punto. Estudio de las discontinuidades y

las tendencias asintoticas de una funcion.

Finalmente tambien se ha buscado la palabra infinito, apareciendo solamente en una ocasion

en el currıculo de Educacion Secundaria Obligatoria:

Decreto 112-2007 de 20 de julio (EDUCACION SECUNDARIA OBLIGATORIA):

Pagina 161. Palabra: infinito

Asignatura: MATEMATICAS-A 4◦ ESO

Bloque: Contenidos (2. Numeros)

Decimales infinitos no periodicos: numeros irracionales.

Es decir, tal y como se puede observar en la presente revision, no se tratan los fractales a

lo largo de todo el currıculum en Secundaria y los lımites se introducen directamente en

Bachillerato. Concretamente, en el primer curso aparece la idea intuitiva de lımite (indepen-

dientemente del Bachillerato) y se aplica su uso a las discontinuidades. Tambien es destacable

el hecho de tratar solamente el concepto de infinito en el contexto de los decimales.

1.2 Caracterizacion 5

1.2. Caracterizacion

En un estudio sobre lıneas costeras [Mandelbrot, 1967] realizado por Mandelbrot se ob-

servo que la longitud de estas aumentaba a medida que aumentaba la precision de la medida.

Es decir, Mandelbrot hallo que a medida que la escala de medida se hace mas pequena, la

longitud del litoral costero crece sin lımite.

El procedimiento de medida consistıa en aproximar la curva por medio de un camino po-

ligonal con lados de una determinada longitud. Haciendo que la longitud de los lados se

acercara a cero se esperaba que la longitud se aproximara a un lımite, pero a medida que

se aumentaba la resolucion surgıan mas entrantes y salientes (cabos y bahıas) por lo que la

longitud total a evaluar parecıa aumentar al infinito.

Figura 1-1.: Procedimiento de medida de la costa britanica.

Este fue el comienzo de la geometrıa fractal pese a no mencionar en ningun momento

el termino “fractales” ni en el congreso en el que presento su artıculo ni en su artıculo

[Mandelbrot, 1967].

6 1 Introduccion

Los fractales son objetos matematicos que se caracterizan por poseer, principalmente, la

propiedad de invariancia en presencia de cambios a escala. Es decir, si tomamos una parte

de un fractal y utilizamos un microscopio para observarla, notaremos que dicha parte es

igual al todo exceptuando el tamano.

Esta caracterıstica se denomina auto-semejanza y puede presentarse de diferente forma. Hay

casos en los que la auto-semejanza se encuentra en el mundo que nos rodea, en la naturaleza,

y es aproximada, presentando un numero finito de niveles auto-similares: formacion de nu-

bes, crecimiento de arboles, lıneas costeras, el flujo turbulento de fluidos y en la organizacion

jerarquica de sistemas vivos.

Figura 1-2.: Romanesco broccoli.

Y hay casos en los que la auto-semejanza es precisa, ya que es un modelo que simula un

proceso real:

Figura 1-3.: Triangulo de Sierpinski.


1.2.1. Ejemplos

Los fractales se generan a traves de iteraciones. Una iteracion es la repeticion de “algo” una

cantidad “infinita” de veces. Es por lo que los fractales se generan a traves de iteraciones de

un patron geometrico establecido como fijo.

Vamos a hacer un breve repaso a la construccion de algunos de los primeros conjuntos

fractales conocidos y creados por matematicos que pueden ser generados por los alumnos en

el aula teniendo en cuenta el concepto de iteracion anterior.

Conjunto de Cantor:

Para construirlo partimos del intervalo unidad I0. A este intervalo le quitamos el inter-

valo abierto central de longitud 13, quedandonos los intervalos I11 = [0, 1

3] y I21 = [2

3, 1].

A cada uno de estos intervalos le quitamos a su vez el intervalo abierto central que

ahora tendra longitud 19, obteniendo cuatro intervalos I21 , I22 , I32 y I42 de longitud 1

9.

Ası sucesivamente, en el paso n-esimo tendremos 2n intervalos I1n, I2n, ... I2n

n de longitud

13n

.

Figura 1-4.: Conjunto de Cantor.

Triangulo de Sierpinski:

La construccion geometrica del triangulo de Sierpinski es la siguiente. Partimos de

un triangulo equilatero de lado unidad, tomamos los puntos medios de cada lado y

8 1 Introduccion

construimos a partir de ellos un triangulo equilatero invertido de lado 12. Lo recorta-

mos. Ahora repetimos el proceso con cada uno de los tres triangulos de lado 12

que nos

quedan, recortando esta vez tres triangulos invertidos de lado 14. Si repetimos infinita-

mente el proceso obtendremos la figura fractal que buscamos.

Figura 1-5.: Triangulo de Sierpinski.

El triangulo de Sierpinski tambien surge como proceso lımite del Juego del Caos que

describiremos a continuacion:

• Se toma un punto P arbitrario del plano.

• Se tira un dado, si sale 1 o 2 se dibuja un nuevo punto a mitad de camino entre

el punto inicial y el punto (0,0), si sale 3 o 4 se dibuja un nuevo punto a mitad de

camino entre el punto inicial y el punto (1,0) y si sale 5 o 6 se dibuja un nuevo

punto a mitad de camino entre el punto inicial y el punto (12,√32

).

• Este juego de tirar el dado se repite con el nuevo punto obtenido.

• Iteramos este proceso indefinidamente.


Figura 1-6.: Juego del caos con numero diferente de iteraciones.

Puedes pulsar aquı o visitar el link que aparece a continuacion para ver una generacion

animada del juego del caos con 1500 puntos:

http://neumann.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/geomfrac/fractalesclasicos/

sierpinskigasket.html

Alfombra de Sierpinski:

Es una variante de un Conjunto de Cantor plano en la que el cuadrado inicial se trans-

forma suprimiendole el cuadrado central de lado 13. En cada uno de los ocho cuadrados

de lado 13

que forman la figura restante se repite esta operacion. Y ası sucesivamente.

Figura 1-7.: Alfombra de Sierpinski.

http://neumann.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/geomfrac/fractalesclasicos/sierpinskigasket.html

10 1 Introduccion

Curva de Koch:

Para construir esta curva consideramos un segmento de medida uno. Reemplazamos

el intervalo central de longitud 13

por dos segmentos de la misma longitud formando

un angulo de 60◦. En cada uno de los 4 intervalos que se han formado, repetimos la

operacion reemplazando el intervalo central de longitud 13

de la medida del intervalo.

Ası sucesivamente. La curva de Koch es el lımite de este proceso infinito.

Figura 1-8.: Curva de Koch.

Copo de nieve de Koch:

Para construir este fractal partimos de un triangulo equilatero y a cada uno de sus

lados le aplicamos el procedimiento utilizado para generar la curva de Koch.

Figura 1-9.: Copo de nieve de Koch.

2. Objetivos

El objetivo principal de este estudio es contestar a la siguiente cuestion:

¿Se pueden usar imagenes reiteradas de estructuras fractales para introducir

de forma intuitiva el concepto de convergencia de una sucesion?

Es decir, se pretende averiguar si es posible que los estudiantes utilicen una serie de ac-

tividades que involucren la construccion de Fractales geometricos sencillos a partir de un

determinado algoritmo para introducir intuitivamente las nociones de lımite, infinito y con-

vergencia.

Los objetivos particulares de esta investigacion consisten en averiguar si los estudian-

tes que componen la muestra pueden:

1. Identificar patrones de crecimiento a partir de una sucesion de figuras.

2. Analizar la variacion de areas y perımetros en cada etapa de la construccion del fractal.

3. Expresar los patrones de crecimiento, como lo hacen y como usan el patron para generar

las sucesiones de las areas y los perımetros.

4. Inducir, a partir de iteraciones particulares, una iteracion enesima.

5. Proponer conjeturas sobre la evolucion del conjunto fractal a partir de los casos parti-

culares cuando se hace un numero grande de iteraciones.

3. Marco teorico

3.1. Analisis de estudios previos

Son diversos los estudios realizados sobre fractales y su aplicacion en la ensenanza pero muy

escasos los relativos a la aproximacion al concepto de lımite utilizandolos.

De habla espanola podemos destacar a [de Guzman, 1994] que introduce los procesos geometri-

cos infinitos y las estructuras fractales y [Garcıa, 1994] y [Domingo, 1994] que estudian los

fractales y su ensenanza.

En [Camargo, 2013] se proponen cuatro sesiones para alumnos de undecimo grado (siste-

ma educativo de Colombia, equivalente a bachillerato) centradas en el Arbol Pitagorico para

ayudar a comprender el concepto de lımite. En las sesiones se cuestionan ideas sobre el in-

finito que los alumnos tienen por medio de la construccion manual del Arbol Pitagorico,

encuentran el area de una o varias iteraciones utilizando un esquema o tabla donde se evi-

dencia la relacion entre ellas y realizan aproximaciones numericas partiendo de la relacion

obtenida en las iteraciones, permitiendo que se llegue a la nocion de lımite a traves del tra-

tamiento geometrico que se ha dado.

Por otro lado, en [Moreno, 2002] se interesan por el valor matematico de los fractales. El

objetivo de esta experiencia didactica es que los estudiantes de 4◦ ESO conozcan las propie-

dades basicas de los fractales y que los utilicen para el trabajo matematico. En este trabajo

se quiere aprovechar la interpretacion geometrica de las figuras fractales para analizar suce-

siones geometricas y, en algun caso, calcular su lımite.

3.1 Analisis de estudios previos 13

Se propone que los alumnos realicen dos graficas como las que aparecen a continuacion

para representar el perımetro y area con diferente numero de iteraciones para favorecer la

comprension del concepto de lımite de una sucesion.

Figura 3-1.: Evolucion del area de los fractales en [Moreno, 2002].

Figura 3-2.: Evolucion del perımetro de los fractales en [Moreno, 2002].

14 3 Marco teorico

[Figueiras, 2000] utiliza los fractales para sugerir actividades en el aula donde se trabaje

en geometrıa, ademas de lımites, sucesiones y funciones complejas. La serie de actividades

propuesta esta basada en el conjunto de Cantor, el conjunto de Besicovitch, la curva del

copo de nieve y el triangulo y tetraedro de Sierpinski.

Figura 3-3.: Ejercicio ejemplo a completar sobre el triangulo de Sierpinski en

[Figueiras, 2000].

Como principal referencia para este estudio se ha tomado el libro [Peitgen, 1992]. El objetivo

principal de este es ofrecer a los alumnos un set de actividades con fractales para mostrar

sus principios y caracterısticas matematicas ocultas.

Otro de los objetivos es mostrar como conectar los fractales con las diferentes ramas ma-

tematicas. Los diferentes tomos se centran en el largo numero de conexiones que existen

entre los fractales y las matematicas contemporaneas del currıculum que se encuentra en

nuestros centros. Para ello, el libro cuenta con un numero extenso de actividades que guıan

a los estudiantes a descubrir nuevos conceptos, entre ellos el de lımite. Las diferentes activi-

dades involucran al estudiante en la construccion, conteo, visualizacion y medida de fractales.

El tercer objetivo, indicado por los autores, es mostrar la belleza de la estructura y for-

ma fractal a traves de lo que los ojos ven y de lo que la mente visualice.

3.1 Analisis de estudios previos 15

Al principio de cada tema se muestran las conexiones primarias y secundarias que este

tiene con el currıculum. El capıtulo sigue con una breve explicacion y posteriormente el set

de actividades.

De habla inglesa tambien es relevante citar a [Naylor, 1999] que a partir de seis investi-

gaciones plantea actividades que estudian algunas propiedades de los fractales. Tambien

trata la aproximacion al concepto de lımite haciendo preguntas sobre los mismos fractales.

Ver Figura 3-4.

Figura 3-4.: Ejercicio ejemplo en [Naylor, 1999].

16 3 Marco teorico

3.2. Analisis de libros de texto

Tal y como se vio en el apartado de contextualizacion curricular, los fractales no forman

parte del currıculum de matematicas de la Comunidad Valenciana, tanto en Educacion Se-

cundaria Obligatoria como en Bachillerato (mas informacion en la pagina 2). Es previsible

pues que el concepto de fractal no aparezca a lo largo de la Educacion Secundaria o que sus

apariciones sean muy escasas.

En el presente estudio se han revisado diversos libros de texto dentro del rango anterior

en busqueda de figuras iterativas para ver el uso que se les da.

3.2.1. Educacion Secundaria Obligatoria

En primero de Educacion Secundaria Obligatoria de la editorial Edebe [Garrido, 2007a] se ha

encontrado la primera evidencia de uso de figuras iterativas dentro del tema de “Iniciacion

al algebra”, concretamente en el apartado final de “Resolucion de problemas. Estrategia:

Simplificacion y busqueda de regularidades”.

El apartado empieza con una guıa para la resolucion de un problema iterativo basado en un

tablero de ejedrez, posteriormente se plantean dos ejercicios para su resolucion basandose

en el resuelto. Los dos ejercicios utilizan figuras iterativas con cubos y piden a los alumnos

que indiquen el numero de cubos que habra en una figura de un numero de pisos determinado.

En el mismo curso, en la revision del libro de la editorial ECIR [Esteve, 2007] y Oxford

[Contreras, 2011] no se ha encontrado ninguna figura del tipo anterior. Finalmente, en el

libro de recursos didacticos de la editorial ANAYA [Colera, 1996] se ha encontrado una figu-

ra iterativa dentro del tema de triangulos (T10) que a su vez se ubica dentro del bloque de

geometrıa (B3). La actividad en cuestion forma parte del grupo de actividades de ampliacion

aunque es mas propia de un tema de sucesiones.

3.2 Analisis de libros de texto 17

El mismo tipo de figura es utilizado en un curso posterior por la misma editorial, en este

caso se ubica dentro del tema de algebra (T5), concretamente en el apartado de “Y para

terminar” en las ultimas paginas del tema.

Figura 3-5.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 2012].

En ambos casos se pide a los alumnos que calculen, ya sea el numero de triangulos o el

numero de partes en el que se divide el lado, para una iteracion determinada, y en el caso de

segundo de Educacion Secundaria Obligatoria que escriban el termino general de la sucesion.

Es relevante observar que los dos ejercicios no aparecen en la parte gruesa del tema (al

igual que el de la editorial Edebe), son ambos una mera ampliacion de los conceptos expli-

cados.

En el mismo curso tambien se ha revisado el libro de la editorial Santillana [Sanchez, 2011]

y el de la editorial SM [Vizmanos, 2008] y en ninguno de ellos se ha evidenciado el uso de

fractales. Tampoco en los libros de tercero [Garrido, 2008a] y cuarto [Garrido, 2008b] de

ESO de la editorial Edebe.

En cuarto de ESO de matematicas A [Colera, 1998a] podemos encontrar en uno de los

libros de la editorial ANAYA el uso de figuras iterativas dentro de un bloque-resumen de

problemas del curso anterior.

18 3 Marco teorico

Figura 3-6.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998a].

A su vez, en un libro de la misma serie pero de matematicas B [Colera, 1998b], aparece el

mismo ejercicio situado en el mismo apartado.

Posteriormente vuelve a aparecer la figura iterativa que ya habıa aparecido en cursos ante-

riores de la misma editorial, en este caso, pese a ser dos cursos posteriores, hace la misma

pregunta que en el libro de segundo de ESO pero en este caso la hace desde un contexto de

castillos de naipes. Al final del mismo tema vuelve a aparecer el ejercicio pero en este caso

anade una nueva pregunta, la medida del area.

En el mismo libro tambien aparece el triangulo de Sierpinski dentro del tema de progre-

siones (T2) y en forma de ejercicio, como en todos los casos que se han encontrado hasta el

momento. En este caso se busca que intenten encontrar la ley de formacion.


Figura 3-7.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998b].

Finalmente aparece por primera vez el fractal de los cuadrados que forma parte de nuestro

cuestionario. En este caso la dicultad del ejercicio es un poco superior ya que se les pide el

calculo de la suma de las areas.

Figura 3-8.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998b].

Como era de esperar, ya que no forman parte del currıculum de la Comunitat Valenciana,

son muy escasas las apariciones de fractales en los libros de texto de los estudiantes de ESO

y en los casos en los sı que hay aparecen aislados al final del tema y en forma de ejercicios,

en ningun momento se utilizan como recurso para explicar un apartado de un tema.

20 3 Marco teorico

3.2.2. Bachillerato

El concepto de lımite aparece por primera vez, segun el currıculum de Bachillerato y de ESO

de la Comunidad Valenciana, en primero de Bachillerato (consultar pagina 2), independien-

temente del tipo de matematicas que se escoja.

Es relevante hacer un breve analisis a libros de texto para ver como se presenta y si uti-

liza guras reiterativas con el fin de comprender mejor el concepto.

Respecto a la aparicion de fractales y de figuras iterativas fuera del contexto del tema de

lımites, se ha encontrado el del cuadrado en [Garrido, 2008c] de primero de Bachillerato

de Ciencias Sociales de la editorial Edebe, dentro del tema de progresiones y matematica

comercial (T4).

Figura 3-9.: Ejercicio ejemplo en [Garrido, 2008c].

Tambien aparecen en la presentacion del tema de numeros complejos de la editorial Edebe [Garrido, 2008d]

y de la editorial SM [Vizmanos, 2011] imagenes de fractales.

Concretamente en [Garrido, 2008d] define a un fractal de la forma siguiente (siendo esta

denicion la unica encontrada a lo largo de la revision bibliografica):


“Un fractal es un objeto geometrico cuya estructura basica se repite a diferentes escalas. Uno

de los fractales conocido como Conjunto de Mandelbrot se genera mediante un proceso de

iteracion en el que intervienen expresiones matematicas con numeros complejos.”

Figura 3-10.: Fractal de Mandelbrot en [Garrido, 2008d].

Respecto a la introduccion del concepto de lımite, casi todos los libros empiezan con una

imagen que hace intuir o bien la idea de tendencia a infinito o a un cierto valor pero no hacen

preguntas al respecto ni una explicacion de la imagen, solamente se utiliza para atraer el

interes de los estudiantes, sin unirlo con el tema. (Editorial Oxford [Bescos, 2001], editorial

ECIR [Ramırez, 2006] y editorial Edebe [Garrido, 2007b]).

Figura 3-11.: Gran Cometa. J. Dibbets. En [Garrido, 2007b].

22 3 Marco teorico

Figura 3-12.: Imagen lımite. En [Bescos, 2001].

Posteriormente prosiguen con la idea intuitiva de lımite que siempre es creada a partir de

una tabla con valores de una funcion que se acerca a un numero determinado. Este es el

primer contacto que los alumnos tienen con este concepto.

Figura 3-13.: Explicacion ejemplo en [Bescos, 2001].


Son muy pocos los libros que construyen la idea a partir de graficas-ejemplo, sin utilizar

numeros, en estos casos la palabra “lımite” es sustituida muchas veces por la palabra “ten-

dencia”.

Figura 3-14.: Explicacion ejemplo en [Garrido, 2008c].

Es relevante destacar el hecho de que sı que existen diferentes estudios y diferentes sets de

actividades basadas en fractales (tal y como se ha observado en el apartado anterior) para

tratar el tema de lımites y la aproximacion a este concepto, pero en los libros de texto no

hacen uso de ellos y en el caso en el que aparecen fractales no los unen apropiadamente con

el tema, solamente los utilizan para llamar la atencion, quedando completamente desligados.

4. Metodologıa

Para intentar resolver la pregunta-objetivo (¿se pueden usar imagenes reiteradas de estructu-

ras fractales para introducir de forma intuitiva el concepto de convergencia de una sucesion?)

se creo un cuestionario basado en la revision de estudios previos y libros de texto de Educa-

cion Secundaria Obligatoria previa con preguntas estrategicas.

Las actividades fueron aplicadas en un curso de 25 alumnos de Matematicas B de cuar-

to de Educacion Secundaria Obligatoria del IES Llus Vives de Valencia.

4.1. Cuestionario

El cuestionaro que han resuelto los estudiantes constaba de catorce actividades divididas en

tres tipos diferentes de fractales: el triangulo de Sierpinski, los cuadrados y la curva de Koch.

Hay diferentes tipos de actividades a realizar en cada fractal pero, independientemente del

fractal al que pertenezcan, podemos agruparlas en cuatro grupos distintos de acuerdo al tipo

de ejercicio que se pide:

Calculo de iteraciones: (CI)

En este tipo de actividades se pedira al alumno que cuente elementos, calcule areas o

perımetros para un numero de iteraciones determinado.

Calculo de iteracciones predictivo: (CIP)

En este tipo de actividades se pedira que calcule o indique el resultado de un perımetro

o area para una iteracion determinada.

4.1 Cuestionario 25

Iteracion n-esima: (IN)

Mediante induccion indicaran lo que sucede en el caso de una iteracion para un numero

muy grande.

Formacion del termino general de una sucesion. (FTG)

Las catorce actividades se agrupan de la forma siguiente:

CI CIP IN FTG

Triangulo de Sierpinski 1-5 2-6 3-7 4

Cuadrados 8 9

Curva de Koch 12 11-14 13

Las actividades a realizar eran las siguientes:

El triángulo de Sierpinski es un fractal que el matemático Waclav Sierpinski (1882-

1969) construyó en 1019 del modo siguiente:

-Paso 0: Consideramos un triángulo equilátero:

-Paso 1: Unimos los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura,

donde vemos tres triángulos equiláteros sombreados y uno hueco:

-Paso 2: Si repetimos el proceso en los triángulos sombreados obtendremos

la figura que aparece a continuación:





Y así sucesivamente.

1. Cuenta el número de triángulos negros desde el paso 0 al 4:

PASO 0 1 2 3 4

NÚMERO DE TRIÁNGULOS NEGROS

2. Predice el número de triángulos que habrá en un paso 5:

3. Si el número de pasos es muy grande, ¿qué sucede?, ¿cuántos triángulos negros

habrá? (contesta a esta pregunta intuitivamente, no es necesario haber contestado

correctamente a las anteriores).

4. ¿Podrías escribir el término general de la sucesión anterior? si la respuesta es

afirmativa escríbelo.

5. Considerando que el área del triángulo inicial es 1, encuentra el área sombreada

de los pasos 1 al 4:

6. Predice el área sombreada en el paso 5:

7. Si el número de pasos es muy grande, ¿qué sucede con el área? (contesta a esta

pregunta intuitivamente).

PASO 0 1 2 3 4

ÁREA 1

Considera el fractal siguiente:

8. Si l1=1 calcula l2, l3 y l4:

LADO l1 l2 l3 l4

MEDIDA

9. ¿Cuánto crees que medirá más o menos l10000000000?

Para construir este fractal partimos de un triángulo equilátero, tal y como se observa

en la figura que se ve a continuación.

Posteriormente dividimos cada lado en tres partes iguales, y en el segmento central

de cada lado levantamos un nuevo triángulo equilátero y así sucesivamente.

Vamos a centrarnos en el perímetro de esta figura, pero para simplificarlo nos

fijaremos en uno de sus lados:

n=0 l=1

n=1 l=?

n=2 l=?

n=3 l=?

n=4 l=?

10. Repasa la figura anterior con lápiz.

11. ¿Qué observas? ¿Va aumentando la longitud de la curva, disminuyendo o se

mantiene igual? Explícalo.

12. Considerando que la recta inicial mide uno calcula la medida de:

n=0 l=1

n=1 l=

n=2 l=

(Ten en cuenta que dividimos la recta en tres partes y una de ellas la substituimos

por dos del mismo tamaño).

13. ¿Serías capaz de escribir el término general de la sucesión de las longitudes de

las curvas que se van obteniendo? Si es así indícalo:

14. Imagina que nos encontramos en n=100000000, ¿cómo será la longitud?, ¿se

acercará a algún valor en concreto?

32 4 Metodologıa

4.2. Analisis de las respuestas de los alumnos

Los objetivos a conseguir en cada fractal son los siguientes:

1. Triangulo de Sierpinski:

Los objetivos son:

Determinar el numero de triangulos oscuros para una iteracion determinada vi-

sual.

Predecir el numero de triangulos oscuros para una iteracion determinada no que

no aparece de forma visual.

Analizar la variacion de triangulos oscuros y concluir acerca del comportamiento

de dichos valores para un valor de n grande.

Encontrar la expresion general para el calculo del numero de triangulos oscuros.

Determinar el area para un numero determinado de etapas.

Predecir el area para una iteracion indicada.

Analizar la variacion del area y concluir sobre su comportamiento para un valor

de n grande.

Encontrar una expresion para determinar el valor del area en una etapa n-esima.

2. Cuadrados:

Los objetivos son:

Determinar la longitud del lado del cuadrado en un numero de etapas determina-

do.

Concluir acerca del comportamiento de dicho valor para un numero n de etapas

grande.

3. Curva de Koch:

Los objetivos son:

Determinar la longitud de la curva para un numero n de etapas determinado.

4.2 Analisis de las respuestas de los alumnos 33

Concluir acerca de la longitud de la curva para un valor n de etapas grande.

Generar la sucesion de la medida anterior.

Concluir acerca de dicho valor para un numero n de etapas determinado, es decir,

determinar la convergencia o no de la sucesion.

Para analizar las diferentes respuestas proporcionadas por los estudiantes no vamos a exa-

minar las contestaciones por orden logico, vamos a estudiarlas de acuerdo a los diferentes

tipos de actividades indicados anteriormente: calculo de iteraciones, calculo de iteraciones

predictivo, iteracion n-esima y formacion del termino general de una sucesion.

En el anexo se adjunta el tipo de respuesta proporcionada por cada alumno que realizo el

cuestionario para cada ejercicio.

4.2.1. Calculo de iteraciones

TRIANGULO DE SIERPINSKI

Actividad 1

Todos los alumnos han respondido correctamente. Cuatro tienen errores que posterior-

mente corrigen, lo que indica que han recurrido a contar uno a uno los triangulos. Esto

tambien se puede observar en las marcas de bolıgrafo que han hecho algunos de ellos

ya que han marcado los triangulos uno a uno (a) y muy pocos de ellos han recurrido

a una regla de formacion (b).

Tipo de respuesta a b

Numero de alumnos 20 5

34 4 Metodologıa

Figura 4-1.: Ejemplo de contar triangulos oscuros (a).

Figura 4-2.: Ejemplo de contar triangulos oscuros por grupos (b).

Actividad 5

Esta actividad ha tenido tipos de respuestas muy diferentes. La dificultad en este caso

residıa en el hecho de transformar los triangulos blancos en triangulos del mismo ta-

mano que los negros para poder calcular la relacion entre triangulos negros y el total,

y por lo tanto, determinar el area sabiendo que la de partida es uno.

Los diferentes tipos de respuesta dados por los estudiantes han sido los siguientes:

a) En blanco y sin intento.

b) Correctas y que muestran indicios de subdivision de triangulos en la hoja de

ejercicios.

c) Area siempre uno. Los estudiantes entienden que el triangulo es siempre el mismo

por lo que el area siempre es la misma, uno.


d) Entienden el concepto pero no saben subdividir los triangulos para calcular la

relacion.

e) Observan cada vez mas triangulos pero no son capaces de determinar el area

correctamente, por lo que solamente dan como resultado el numero de triangulos

oscuros.

f) Inventadas.

g) Relacion mal escrita. No saben escribir la relacion parte-todo correctamente y la

ponen al reves.

Tipo de respuesta a b c d e f g

Numero de alumnos 10 7 2 1 1 2 2

Figura 4-3.: Hoja de ejercicios de un alumno (b).

Figura 4-4.: Hoja de ejercicios de un alumno (d).

36 4 Metodologıa

CUADRADOS

Actividad 8

Para poder resolver esta actividad los estudiantes tenıan que controlar el teorema de

Pitagoras y hacer los calculos pertinentes. Sorprendentemente hay una parte de ellos

que no lo conocen fuera de su contexto de aplicacion habitual, como podrıa ser la rea-

lizacion de un examen sobre el teorma de Pitagoras.

Los diferentes tipos de respuesta proporcionados por los alumnos son los siguientes:

a) En blanco.

b) Correcta.

c) Medida directa.

d) Consideran que en un triangulo isosceles todos los catetos miden igual, por lo que

solamente dividen entre dos en cada iteracion.

Figura 4-5.: Respuesta de alumno.

e) Saben que la hipotenusa es un poco mas grande que los otros dos catetos del

triangulo isosceles, no realizan el calculo mediante Pitagoras pero se inventan

una medida aproximada ligeramente superior a los otros dos catetos que sı que

calculan.


Tipo de respuesta a b c d e

Numero de alumnos 1 13 1 5 5


CURVA DE KOCH

Actividad 12

En esta actividad los alumnos han respondido de dos formas diferentes: una pequena

cantidad lo ha resuelto correctamente (a) y el resto ha dejado en blanco la pregunta

(b) por la dificultad.

Tipo de respuesta a b

Numero de alumnos 6 19

4.2.2. Calculo de iteraciones predictivo


Actividad 2

En esta actividad se han encontrado cuatro tipos diferentes de respuesta:

a) Respuesta incorrecta.

b) Respuesta correcta, indican solamente el restultado.

c) Respuesta correcta. Toman como referencia para calcular el numero de triangulos

la cantidad de triangulos en una iteracion anterior. En este caso se han dado

cuenta de que el numero de triangulos en una iteracion determinada es tres veces

superior al numero de triangulos de la iteracion anterior.

Figura 4-7.: Respuesta de alumno. El alumno ha hecho un mal uso de la palarla “partimos”

ya que su intencion era multiplicar.

38 4 Metodologıa

d) Respuesta correcta, en este caso utilizan el termino general de la sucesion para

hacer el calculo.

Tipo de respuesta a b c d

Numero de alumnos 1 14 8 2

Actividad 6


a) Respuesta correcta. Escriben el resultado sin nada mas.

b) Respuesta en blanco.

c) El area es 1. Esta respuesta proporcionada por dos alumnos proviene de considerar

en el ejercicio 5 que el area es siempre la misma, uno.

d) El area es el numero de triangulos negros que habra en la iteracion 5. No razonan

si es logica o no la respuesta.




4.2.3. Iteracion n-esima


Actividad 3


a) Habra mas triangulos. Para indicar que la cantidad es infinita utilizan la palabra

“muchos”, tambien utilizan la expresion “cada vez mas”.

b) Los triangulos seran mas pequenos. En este tipo de respuesta los estudiantes han

analizado el tamano y no la cantidad de triangulos existente que serıa lo logico

tras la primera y la segunda cuestion.

c) Habra mas triangulos y seran mas pequenos.

d) El numero de triangulos sera infinito. En este tipo de respuesta no introducen el

sımbolo matematico, simplemente lo indican de forma escrita.

“Es infinito, cada vez hay mas triangulos blancos.”

En este caso el estudiante se ha fijado en los triangulos blancos y no en los negros.

Hay un alumno que no utiliza la palabra “infinito” pero sı la palabra “inmen-

so” para referirse a este:

“Que habran un numero inmeso de triangles sombreats.”

e) Respuesta numerica. En este unico caso el estudiante ha intentado dar una res-

puesta numerica a la pregunta por lo que al ver que era complicado ha respondido

lo siguiente:

“Que se multiplica por tres las veces que hagan falta y ya.”

Es decir, no ha analizado lo que sucede por lo que ha sido incapaz de realizar

40 4 Metodologıa

una conjetura.

f) Respuesta en blanco.

Tipo de respuesta a b c d e f

Numero de alumnos 11 4 4 4 1 1

Actividad 7

Las respuestas de los estudiantes se clasifican de la siguiente forma:

a) El area disminuye. En este caso, para indicar que el tamano es proximo a cero,

utilizan la expresion “muy pequena” y “va disminuyendo”. Dos de los alumnos lo

han descrito de la siguiente forma:

“Que disminuye, casi hasta el cero habiendo un monton de triangulos sombrea-

dos.”

b) El area es la misma. Esta respuesta ha sido proporcionada por los alumnos que

consideraban que el area era la misma en todas las iteraciones, uno.

c) El area aumenta. Esta respuesta es consecuencia de contestar incorrectamente la

pregunta de las iteraciones, por lo que el analisis realizado a partir de ellas es

incorrecto. Es relevante observar que se hay apoyado en la respuesta numerica

anterior, pudiendose deducir solamente mediante un analisis visual.

d) El area es infinita. Relacionan el hecho de tener mas triangulos con tener el area

mas grande.

e) Respuesta en blanco.

Tipo de respuesta a b c d e

Numero de alumnos 9 2 4 1 9


CUADRADOS

Actividad 9

Las respuestas proporcionadas por los alumnos son las siguientes:

a) Se aproxima a cero. En la mitad de los casos utilizan la expresion “mas o menos”

para referirse a que se aproxima a cero.

b) 0.0000000001. Los alumnos ven que el valor se aproxima a cero y utilizan el numero

de iteracion que les pedimos que calculen para indicar la respuesta.

c) 1210−10. En este caso la alumna escribe lo siguiente:

“Perque pense que es com un perıode: arriba un moment en que el resultat es

el mateix, pero amb diferents xifres (partint per dos perque es calcula aixı).”

d) Respuesta en blanco.



CURVA DE KOCH

Actividad 11


a) Aumenta. Para indicar que la longitud cada vez es mas grande los alumnos escri-

ben lo siguiente:

“Que se le anaden triangulos y estas mas rato dibujando.”

“Aumenta conforme al nivel, ya que es sumen mes procions cada volta.”

“Sı, la curva aumenta a medida que aumentamos el nivel porque se va haciendo

mas grande al igual que se aumenta el tamano.”

42 4 Metodologıa

b) Se queda igual. Los alumnos consideran que se modifica la curva pero que la lon-

gitud sigue siendo la misma. Una de las respuestas es la siguiente:

“Aumenta el numero de triangulos pero la curva se mantiene igual.”

c) Respuesta en blanco.

Tipo de respuesta a b c

Numero de alumnos 13 2 10

Actividad 14


a) La longitud es infinita. En este caso seis de los siete alumnos han utilizado este

concepto, el septimo se ha utilizado “muy grande”.

b) 1000001. Los alumnos han considerado que cada vez que se hace una iteracion

(partiendo de la cero) se suma uno ya que la inicial vale uno.




4.2.4. Termino general de una sucesion


Actividad 4


a) Sucesion definida por recursion. Han observado que cada termino es igual a mul-

tiplicar al anterior por tres. Para indicarlo solamente dos utilizan la letra “n”


para designar a la iteracion anterior, el resto utilizan la letra “x”. Dentro de es-

ta respuesta hay alumnos, como el de la respuesta que aparece a continuacion,

que escriben de una forma no matematica el resultado pero la respuesta tiene la

misma intencion.


b) Termino general correcto. Para indicar la iteracion utilizan la letra “x”.




CURVA DE KOCH

Actividad 13

Todos los alumnos han dejado la respuesta en blanco por dificultad y por falta de

tiempo.

5. Conclusiones

Como se puede observar en los resultados y en la tabla posterior, una parte de los alum-

nos identifican correctamente el patron de crecimiento a partir de una sucesion de figuras

y saben calcular a partir de ellas, por induccion, una iteracion que se les pide posteriormente.

Respuestas correctas sobre 25 alumnos T.

de

Sie

rpin

ski

Cuad

rad

os

Curv

ade

Koch

Calculo de iteraciones Act1: 25 Act5: 7 Act8: 13 Act12: 6

Calculo de iteraciones visual Act2: 24 Act6: 7

Los estudiantes saben analizar la variacion de las areas y perımetros en casos sencillos,

proponiendo conjeturas mayoritariamente correctas sobre la evolucion del conjunto fractal a

partir de casos particulares cuando se hace un numero grande de iteraciones.


de

Sie

rpin

ski

Cu

ad

rad

os

Cu

rva

de

Koch

Iteracion n-esima Act3: 19 Act7: 9 Act9: 17 Act11: 13 Act14: 9

45

Finalmente, como se puede observar el la tabla posterior, no han tenido problemas en la

formacion del termino general de la sucesion del ejercicio del triangulo de Sierpinski pero

sı en la de la curva de Koch, ya que era de una dificultad bastante superior.


de

Sie

rpin

ski

Cu

adra

dos

Cu

rva

de

Koch

Formacion del termino general de una sucesion Act4: 20 Act13: 0

Es decir, los estudiantes logran intuir un proceso geometrico infinito en los ejercicios que

se proponen por lo que consideramos que sı que se podrıan utilizar imagenes reiteradas de

estructuras fractales sencillas para introducir de forma intuitiva el concepto de convergencia

de una sucesion y, por lo tanto, el concepto de lımite.

A. Anexo: Tipos de respuesta por

alumno

Actividad 1:

ALUMNO a b

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 20 5

a) Cuentan los triangulos uno a uno.

b) Cuentan los triangulos mediante regla de formacion.

47

Actividad 2:

ALUMNO a b c d

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 1 14 8 2

a) Respuesta incorrecta.

b) Respuesta correcta, indican solamente el restultado.

c) Respuesta correcta. Toman como referencia para calcular el numero de triangulos la

cantidad de triangulos en una iteracion anterior.

d) Respuesta correcta, en este caso utilizan el termino general de la sucesion para hacer el

calculo.

48 A Anexo: Tipos de respuesta por alumno

Actividad 3:

ALUMNO a b c d e f

1 X

2 X X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d e f

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 11 4 4 4 1 1

a) Habra mas triangulos.

b) Los triangulos seran mas pequenos.

c) Habra mas triangulos y seran mas pequenos.

d) El numero de triangulos sera infinito.

e) Respuesta numerica.

f) Respuesta en blanco.

49

Actividad 4:

ALUMNO a b c

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 14 6 5

a) Sucesion definida por recursion.

b) Termino general correcto.



Actividad 5:

ALUMNO a b c d e f g

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d e f g

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 10 7 2 1 1 2 2

a) En blanco y sin intento.

b) Correctas y que muestran indicios de subdivision de triangulos en la hoja de ejercicios.

c) Area siempre uno.

d) Entienden el concepto pero no saben subdividir los triangulos para calcular la relacion.

e) El resultado es el numero de triangulos oscuros.

f) Inventadas.

g) Relacion mal escrita.

51

Actividad 6:

ALUMNO a b c d

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 7 15 2 1

a) Respuesta correcta.


c) El area es 1.

d) El area es el numero de triangulos negros que habra en la iteracion 5.


Actividad 7:

ALUMNO a b c d e

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d e

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 9 2 4 1 9

a) El area disminuye.

b) El area es la misma.

c) El area aumenta.

d) El area es infinita.

e) Respuesta en blanco.

53

Actividad 8:

ALUMNO a b c d e

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d e

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 1 13 1 5 5

a) En blanco.

b) Correcta.

c) Medida directa.

d) Consideran que en un triangulo isosceles todos los catetos miden igual, por lo que sola-

mente dividen entre dos en cada iteracion.

e) Se inventan una medida aproximada ligeramente superior a los otros dos catetos que

sı que calculan.


Actividad 9:

ALUMNO a b c d

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c d

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 11 6 1 7

a) Se aproxima a cero.

b) 0.0000000001.

c) 1210−10.

d) Respuesta en blanco.

55

Actividad 11:

ALUMNO a b c

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 13 2 10

a) Aumenta.

b) Se queda igual.



Actividad 12:

ALUMNO a b

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 6 19

a) Respuesta correcta.


57

Actividad 14:

ALUMNO a b c

1 X

2 X

3 X

4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X

ALUMNO a b c

14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

TOTAL 7 2 16

a) La longitud es infinita.

b) 1000001.


Bibliografıa

[Bescos, 2001] Bescos, E.; Pena, Z. (2001). Matematicas 1 Aplicadas a las Ciencias Sociales.

Ed. Oxford Educacion.

[Camargo, 2013] Camargo, D.; Bustos, L. (2013). Obstaculo geometrico del concepto de

lımite, una experiencia con fractales.

[Colera, 1996] Colera, J.; Gaztelu, I. (1996). 1 ESO Matematicas. Recursos Didacticos. Ed.

ANAYA.

[Colera, 2012] Colera, J.; Gaztelu, I. (2012). 2 ESO Matematicas. Unidades 4 a 7. Ed.

ANAYA.

[Colera, 1998a] Colera, J.; Garcıa, J. (1998a). 4 ESO Matematicas A. Propuesta didactica.

Serie nuestro mundo. Ed. ANAYA.

[Colera, 1998b] Colera, J.; Garcıa, J. (1998b). 4 ESO Matematicas B. Propuesta didactica.

Serie nuestro mundo. Ed. ANAYA.

[Contreras, 2011] Contreras, I.; Fernandez, I. (2011). Matematicas 1 ESO. Ed. Oxford

EDUCACION.

[de Guzman, 1994] de Guzman, M. (1994). Introduccion a los procesos geometricos infinitos

y a las estructuras fractales. Epsilon vol.28 p.18-28.

[Domingo, 1994] Domingo, J.; Hernan, F. (1994). Dos regalos: los numeros y las figuras.

Epsilon vol.9 p.127-148.

[Esteve, 2007] Esteve, R.; Deusa, M. (2007). Matematicas 1 ESO. Ed. ECIR.

Bibliografıa 59

[Figueiras, 2000] Figueiras, L.; Molero, M. (2000). Una propuesta metodologica para la

ensenanza de la geometrıa a traves de los fractales. Suma vol.35 p.45-54.

[Garcıa, 1994] Garcıa, J.; Otalora, F. (1994). El uso de la geometrıa fractal en las ciencias

naturales. Epsilon vol.28 p.109-125.

[Garrido, 2007a] Garrido, A. (2007a). Matematicas 1 ESO. Ed. Edebe.

[Garrido, 2007b] Garrido, A. (2007b). Matematicas II. Bachillerato. Ed. Edebe.

[Garrido, 2008a] Garrido, A. (2008a). Matematicas 3 ESO. Ed. Edebe.

[Garrido, 2008b] Garrido, A. (2008b). Matematicas 4 ESO. Ed. Edebe.

[Garrido, 2008c] Garrido, A. (2008c). Matematicas I aplicadas a las Ciencias Sociales. Ba-

chillerato. Ed. Edebe.

[Garrido, 2008d] Garrido, A. (2008d). Matematicas I. Bachillerato. Ed. Edebe.

[Mandelbrot, 1967] Mandelbrot, B. (1967). How long is the coast of britain? statistical selt-

similarity and fractional dimension. Science vol.156 p.636-638.

[Moreno, 2002] Moreno, J. (2002). Experiencia didactica en matematicas: construir y estu-

diar fractales. Suma vol.40 p.91-104.

[Naylor, 1999] Naylor, M. (1999). Exploring fractals in the classroom. Mathematics Teacher

vol.92 p.360-660.

[Peitgen, 1992] Peitgen, H.; Jurgens, H. (1992). Fractals for the classroom. Strategic activi-

ties. Vol. I, II, III. Ed. NCTM.

[Ramırez, 2006] Ramırez, J. (2006). Matematicas II. Bachillerato. Ed. ECIR.

[Sanchez, 2011] Sanchez, D. (2011). Matematicas 2 ESO. Ed. Santillana.

[Vizmanos, 2011] Vizmanos, JR.; Hernandez, J. (2011). Matematicas 1. Ed. Oxford Educa-

cion.

[Vizmanos, 2008] Vizmanos, J.; Anzola, M. (2008). Matematicas 2 ESO. Ed. SM.

fractales para la construccion del concepto de l imite en ... · casos en los que la auto-semejanza...

Documents