MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA

TRANSFORMASI CAYLEY PADA P-Matriks

OLEH :

RAHMI

0705045139

Reguler Sore B

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MULAWARMAN

2011

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN

Judul : Transformasi Cayley Pada P-Matriks

Diajukan pada mata kuliah : Seminar Pendidikan Matematika

Telah dikoreksi dan disetujui oleh :

Dra. Suriaty, M.PdNIP.

Syafrudiannur M.PdNIP.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, dengan mengucapkan rasa syukur kehadirat Allah SWT,

karena berkat rahmat dan hidayah-Nya proposal ini dapat disusun. Makalah ini

disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika

dengan judul “Transformasi Cayley Pada P-Matriks”.

Dalam penyusunan makalah ini, penulis tidak lepas dari bantuan berbagai

pihak, baik moral maupun material. Pada kesempatan ini penulis ingin

menyatakan terima kasih kepada ibu Dra. Suriaty, M.Pd dan bapak Syafrudiannur,

M.Pd. selaku dosen mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika yang telah

memberikan bimbingan dan arahan selama proses penyusunan makalah ini.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada keluarga dan teman-teman yang

memberikan semangat dan bantuan kepada penulis.

Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan,

karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu

kritik sebagai perbaikan sangat penulis harapkan.

Akhir kata, semoga amal dan kebaikkan yang diberikan oleh semua pihak

kepada penulis, mendapat imbalan dari Allah SWT, Amin.

Samarinda, Desember 2010

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN ................................................ i

KATA PENGANTAR .................................................................................. ii

DAFTAR ISI ................................................................................................ iii

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang ......................................................................... 1

B. Tujuan Penulisan ...................................................................... 2

BAB II. PEMBAHASAN

A. Matriks .................................................................................... 3

B. Perkalian Matriks ..................................................................... 3

C. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan ............................ 4

D. Determinan .............................................................................. 5

E. Invers ...................................................................................... 9

F. Matriks Uniter ......................................................................... 11

G. Matriks Similar atau Serupa ..................................................... 13

H. Spektrum dan Radius Spektral ................................................. 15

I. Kelas-kelas Matriks yang Bersifat Positif ................................. 17

J. Matriks Definit Positif ............................................................. 19

K. Transformasi Cayley ................................................................ 21

BAB III. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan .............................................................................. 24

B. Saran ........................................................................................ 25

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kelas matriks yang bersifat positip adalah beberapa matriks yang dilihat dari

sifat kepositipan matriks tersebut. Salah satu bentuk matriks yang dikenal adalah

matriks positip yaitu matriks bujur sangkar yang setiapentrinya positip, tetapi

matriks ini tidak menjamin semua eigenvalue dan semua minor utamanya positip.

Setiap matriks A berukuran n x n dengan ketentuan semua minor utamanya

Positip didenfisikan sebagai P matriks, berakibat matriks A non-singular dan

Dapat dibentuk (I+A) nonsingular, tetapi I +A tidak selalu nonsingular untuk A

sebarang matriks dan I matriksi dentitas yang masing-masing berukuran n x n.

Jika I + A nonsingular, perkalian matriks (I + A)-1 (I - A)= (A) disebut Sebagai

transformasi Cayley(Meyer2000).

Studi tentang transformasi Cayley pertama kali dilakukan oleh Cayley pada

tahun1846. Cayley memperlihatkan hubungan antara transformasi Cayley ter-

hadap suatu matriks A yaitu transformasi Cayley (A) unitary jika dan hanya jika

A skew-hermite. Dalam teori matriks dikenal suatu matriks yang disebut sebagai

matriks stabil yaitu jika semua λ eigenvalue riil bernilai negative (Re(λ)< 0 dan

suatu matriks A non negative konvergen jika spectral radius dari A lebih kecil

Dari 1( (A) < 1) (Plemmons1979). Hubungan antara matriks stabil dengan

Matriks konvergen diperlihatkan oleh (Stein1965) dan (Taussky1964) melalui

Transformas Cayley. Tetapi bukti yang diberikan relatife abstrak. Bukti yang

2

lebih transparan tentang hubungan antara matrikss tabil dan matriks konvergen

melalui transformasi Cayley diperlihatkan oleh( Haynes1991), Haynes

membuktikan B konvergen jika dan hanya jika ada suatu matriks stabil A

sehingga B = C( - A). Untuk suatu matriks hermitian A berukuran n x n dan

vektor x ≠ 0 sehingga dapat dibentuk x* Ax bernilai positip maka A disebut

matriks definit positip. Matriks definit positipmempunyai sifat yang sama dengan

P- matriks, yaitu semua minor utama dan setiap eigenvaluenya positip. Matriks

definit positip termasuk dalam kelas P- matriks (Plemmons1979).

B. Tujuan Penulisan

1. Untuk C(A) = F transformasi Cayleyd dari A akan diperlihatkan (I +

F) dan (I - F) mempunyai kelas yang sama dengan A sehingga A dapat

di faktorisasikan menjadi A = (I + F)-1 (I - F).

2. Memperlihatkan karakterisasi P matriks melalui transformasi Cayley.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Matriks

Matriks adalah susunan elemen-elemen yang disusun menurut baris dan

kolom sehingga berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar

menunjukkan banyak baris dan banyak kolom. Matriks yang memiliki m baris dan

n kolom disebut matriks berukuran m x n. Matriks yang memiliki banyak baris

dan banyak kolom sama disebut matriks bujur sangkar. Bentuk umum dari matriks

bujur sangkar adalah sebagai berikut:

jkekolom

ikebaris

aaa

aaa

aaa

nnnn

n

n

21

22221

11211

Element yang menempati baris ke i dan kolom ke j disebut entri ( i, j) dan ditulis

sebagai A = . Matriks yang terdiri dari 1 baris dan n kolom ditulis 1 x n

disebut dengan matriks baris atau vector baris dan yang terdiri atas n baris dan 1

kolom disebut matriks kolom atau vector kolom.

B. PerkalianMatriks

Definisi 1:

4

Diberikan matriks A =[ ] berukuran n x p dan matriks B =[ ] berukuran p x n,

maka perkalian matriks A dan B yaitu AB adalah matriks yang berukuran n x n.

Anggap perkalian matriks AB sebagai matriks C =[ ] didefinisikan sebagai :

Perkalian A dan B terdefinisi hanya jika banyak kolom matriks A sama dengan

banyak baris matriks B.

C. Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan

Pada dasarnya eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan digunakan

dalam mencari solusi persamaan linier. Tetapi dalam tulisan ini eliminasi Gauss

dan eliminasi Gauss-Jordan digunakan dalam aturan perkalian determinan.

Definisi1:

Operasi berikut disebut dengan operasi baris elementer, antara lain

(1) Pertukaran dua baris.

(2) Perkalian suatu baris dengan scalar tak nol.

(3) Penjumlahan baris yang dikalikan dengan scalar tak nol dengan baris yanglain.

Definisi 2:

Suatu matriks dikatakan dalam bentuk echelon baris (dan akan disebut row-

echelon form atau ref) bila memenuhi hal-hal berikut:

(1) Jika suatu baris tidak terdapat entri nol, maka entri tak nol pertama

baris tersebut adalah 1 (entri 1 ini disebut sebagai leading entry atau

pivot).

5

(2) Jika terdapat baris yang semua entrinya nol maka baris tersebut

diletakkan dibagian bawah matriks.

(3) Setiap leading entri 1 terletak disebelah kanan leading entri 1 yang

terletak di bagian atas.

Definisi 3:

Row-echelon form dikatakan reduce drow-echelon form atau ref jika memenuhi

kondisi row-echelon form dengan setiap kolom terdiri atas leading entri 1 dan nol

untuk entri yang lain.

D. Determinaan

Diberikan suatu matriks A berukuran 2 x 2 sebagai berkut:

Skalar ab – bc disebut determinan dari A yang dinotasikan dengan det (A) atau

. Determinan matriks adalah berupa scalar yang hanya terdefinisi untuk matriks

bujur sangkar.

Berikut diberikan definisi determinan secara umum

Definisi 1: Diberikan matriks A =[ ] berukuran n x n dan determinan dari A

dinyatakan dengan scalar yaitu sebagai berikut

Penjumlahan sampai dengan n! permutasi p = ( p1, p2,…, pn) dari ( 1, 2, …, n ).

Setiap memuat tepat satu entri dari setiap baris dan setiap kolom

6

dari A. Jika = +1 dikatakan permutasi genap yaitu jumlah inverse seluruh

nya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan = - 1 dikatakan permutasi

ganjil yaitu jumlah inverse seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil.

Contoh 1:

Diberikan matriks

Carilah det (A) dengan menggunakan Definisi determinan

Jawab:

Karena n =3 dan 3! = 6, berarti ada 6 permutasi dari (1, 2, 3) dengan ketentuan

ekspansi dari det(A) ditunjukkan sebagai berikut:

P = ( p1, p2, p3)

(1, 2, 3) + 1 x 5 x 9 = 45(1, 3, 2) - 1 x 6 x 8 = 48(2, 1, 3) - 2 x 4 x 9 = 72(2, 3, 1) + 2 x 6 x 7 = 84(3, 1, 2) + 3 x 4 x 8 = 96(3, 2, 1) - 3 x 5 x 7 = 105

Sehinggadiperoleh:

= 45 – 48 – 72 + 84 + 96 + 105 = 0

Untuk matriks A berukuran n x n dengan det (A) = 0 maka matriks A dikatakan

singular, selain itu dikatakan non singular. Berikut diberikan beberapa sifat-sifat

dari determinan:

Teorema 1: Diberikan matriks A dan B berukuran n x n, dan berlaku det (AB) =

det (A) det (B).

7

Bukti

Diasumsikan satu dari matriks A atau B mempunyai det = 0, berakibat det (A) det

(B) = 0, jika det B = 0 maka Bx = 0 untuk x 0. Persamaan ini mempunyai tak

berhingga banyaknya solusi mempunyai tak berhingga banyaknya solusi. Kalikan

Bx = 0 dengan matriks A diruas kiri sehingga ABx = 0 menunjukkan bahwa

perkalian matriks AB tidak invertible.

Oleh karena itu dipenuhi det (AB) = det (A) det (B). Jika det (B) 0 dan det (A)

= 0, maka ada suatu vector y 0 memenuhi persamaan Ay = 0. Ambil x = By

maka ABx = Ay. Karena Ay = 0 berarti perkalian matriks AB tidak invertible.

Asumsikan matriks A dan B berupa matriks invertible berakibat C = AB adalah

invertible. Dengan cara reduced row-echelon form (rref) didapat rref (A) = rref

(B) = I. dengan menggunakan matriks elementer I = rref (A) = E1, E2, , Ek, A-1

dan I = rref (B) = F1, F2, , FlB-1, maka AB = E1, E2, , F1, F2, , Fl. Karena det

(EX) = det (E) det (X) untuk E matriks elementer dan X matriks sebarang bujur

sangkar. Sehingga diperoleh:

det (A) = det (E1 ) det (E2 )... det (E3) dan det (B) = det (F1 ) det (F2 ) ... det (F3 ).

Jadi det (AB) = det (A) det (B).

Teorema 2

Diberikan matriks A berukuran n x n non singular. Untuk matriks c dan d

berukuran n x 1, pernyataan berikut dipenuhi

(1) det (I + cdt ) = 1 + dt c

8

(2) det (A + cdt ) = det (A) (1+dt A-1 c)

Bukti.

(1) Dengan mengaplikasikan perkalian matriks berikut diperoleh

Apabila dideterminan kan matriks ruas kiri dan kanan diperoleh:

Sehingga didapat:

det (I) det (I+cdt ) det (I) = det I ( 1+dt c)

1 x det(I+cdt ) x 1= (1+dt c) det (I)

atau det (I + cdt ) = 1+dt c

(2) Dari bentuk matriks A + cdt = A (I + A-1 cdt ).

Karena untuk sebarang matriks A dan B berukuran n x n berlaku det (AB) = det

(A) det (B), sehingga

det (A + cdt ) = det (A) det (I + A-1 cdt )

= det (A) ( 1 + dt A-1 c)

Contoh 2

Diberikan matriks

9

Untuk λ 0, tentukan det (A)

Anggap bentuk matriks A = D + eet, dengan D = diag (λ1, λ2, …, λn)

dan et = (1, 1, …, 1) sehingga

det ( D + eet ) = (D) (1+et D-1 e) =

Himpunan yang beranggotakan matriks berukuran n x n atas lapangan dino-

tasikan dengan Mn ( ) . Salah satu contoh himpunan matriks atas lapangan adalah

matriks yang entrinya atas himpunan bilangan kompleks ( ) dan matriks yang en-

trinya atas himpunan bilangan riil (ℝ), dengan kata lain

Untuk suatu A matriks berukuran m x n yang entrinya atas himpunan bilangan

kompleks atau A M m x n ( ) dengan dan β dapat

di buat matriks baru dengan indeks α menyatakan baris dan indeks menyatakan

kolom sehingga [α, β] ditentukan dari baris α dan kolom β yang saling bersesuaian

atau saling berpotongan. Matriks baru yang terbentuk ini disebut submatriks dari

A yang dinotasikan dengan A[α, β].

Contoh 3 : Diberikan matriks

n

A

111

111

111

2

1

n

i i

n

ii

11

11

njiFAAAAFM ijijnnn ...,,2,1,,,

m...,,2,1 ,...,,2,1 n

10

jika α =13 dan β =123 maka α =13 menyatakan baris dan β =123 menyatakan

kolom sehingga dari baris α dan kolom β yang saling berpotongan diperoleh sub

matriks berikut:

A[α, β] =

Jika α = β maka A[α, β] = A[α], submatriks A[α] disebut submatriks utama dari A.

Determinan dari submatriks utama A disebut minor utama A. Dari contoh diatas

untuk α = β = 13 diperoleh:

E. Invers Matriks

Suatu matriks A mempunyai invers atau tidak mempunyai invers dapat

dilakukan dengan memperlihatkan determinan dari matriks A tersebut tidak nol.

Dengan kata lain det (A) 0 berarti matriks A invertible.

Definisi 1

Diberikan matriks A dan B berukuran n x n, sehingga berlaku AB = BA = I,maka

A dikatakan invertible atau nonsingular dan B dikatakan inversdari A, karena A

adalah invers dari A maka B = A-1 . Jadi AA-1 = A-1 A = I.

Sifat-sifat dari invers matriks diberikan pada teorema-teorema berikut ini:

Teorema 1

Untuk matriks A dan B berukuran n x n nonsingular maka di

11

peroleh:

(1) (A-1 ) = A-1

(2) Perkalian AB juga nonsingular dan (AB-1) = B -1A-1

(3) (A-1)t = (At)-1

Bukti

1. Dari definisi, A-1 adalah invers dari A sehingga A-1A = AA-1 = I berakibat

(A-1)-1 adalah invers dari A-1 sehingga A-1(A-1)-1 = I, karena A-1(A-1)-1 = A-

1A = In maka (A-1)-1 = I

2. Anggap X = B-1 A-1 dan menunjukkan bahwa (AB) X = In. Diperoleh (AB)

X = (AB) B-1A-1 = A (BB-1) A-1 = A (In ) A-1 = AA-1 = In.

3. Anggap X =(A-1)t dan menunjukkan bahwa AtX = In. Dengan membentuk A

t X = A t (A-1) t =(A-1A) t = I nt = In. Oleh karena itu,(A t) -1 = X =(A-1) t.

Teorema 2

Untuk matriks A yang nonsingular, berlaku det (A-1 ) = 1/det(A).

Bukti

Karena AA-1 = In , jika dideterminankan ruas kiri dan kanan maka det(AA-1 ) = det

(In ). Dari sifat determinan diperoleh det (AA-1 ) = det (A) det (A-1 ). Karena det

(In ) = 1 berakibat det (A) det (A-1 ) = 1. Kemudian bagi kedua sisi dengan det (A),

maka det (A-1 ) = 1/det (A). Perkalian dua matriks yang berukuran sama biasanya

tidak komutatif. Tetapi pernyataan berikut selalu memperlihatkan sifat komutatif

berlaku.

Perkalian dua matriks yang berukuran sama biasanya tidak komutatif. Tetapi

pernyataan berikut selalu memperlihatkan sifat komutatif berlaku.

12

Teorema 3

Jika A adalah matriks berukuran n x n sedemikian hingga matriks (I - A) non-

singular maka A(I - A) -1 = (I - A) -1A.

Bukti.

Untuk matriks A yang berukuran n x n sedemikian hingga matriks (I - A) non-

singular berarti (I - A)-1 ada. Akan ditunjukkan bahwa:

A (I - A) = (I - A) A

A (I - A) = AI – AA = IA - AA = (I - A) A

Karena A (I - A) = (I - A) A maka dengan mengalikan kedua persamaan disebe-

lahkanan dengan (I - A) -1 diperoleh A = (I - A) A (I - A) -1. Kalikan kembali

kedua persamaan disebelah kiri dengan (I - A) -1 dan diperoleh (I - A) -1 A = A (I -

A) -1.

F. Matriks Uniter dan Hermite

Untuk suatu matriks dengan entri berupa bilangan kompleks atau

memiliki sekawan atau konjugat = a - bi maka suatu matriks A memiliki

sekawan dinotasikan dengan dan transpose sekawan yang didefinisikan sebagai

berikut:

Contoh 4 : Diberikan matriks

13

Sehingga transpose sekawan A diperoleh sebagai berikut:

Definisi 1:

Suatu matriks bujur sangkar A dengan entri-entri berupa bilangan kompleks

dikatakan uniter jika A-1 = A* atau berlaku sifat AA*= A* A = I

Definisi 2:

Matriks bujur sangkar A dengan entri-entri berupa bilangan kompleks dikatakan

hermite jika A = A*.

Contoh 5 : Diberikan matriks.

Diperoleh sekawan atau konjugat A sebagai berikut:

Sehingga diperoleh:

yang berarti bahwa A adalah hermite. Untuk mengenali suatu matriks hermite

merupakan suatu hal yang tidak sulit yaitu dengan pemeriksaan entri-entri pada

diagonal utama berupa bilangan riil dan entri-entri diatas dan dibawah diagonal

utama matriks tersebut berupa komplek sekawanannya.

14

G. Matriks Similar atau Serupa

Dalam teori matriks ada yang dikenal dengan matriks similar. Suatu matriks

A dikatakan similar dengan B jika dan hanya jika matriks A dan B similar.

Definisi 1 Diberikan matriks A dan B berupa matriks bujur sangkar, maka disebut

bahwa B similar dengan A jika terdapat suatu matriks R yang dapat diinvertible

sehingga A = R-1 BR.

Dari definisi persamaan A = R-1 BR dapat juga ditulis B = RAR-1 atau B = (R-1 ) -1

AR-1 . Dengan mengasumsikan Q = R-1 maka diperoleh B = Q-1 AQ yang

menyatkan bahwa A similar dengan B.

Contoh 6 : Diberikan matriks

A =

Tentukanlah matriks similar dari A

Jawab:

Anggap λ eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan vector x 0

memenuhi persamaan Ax = λ x atau (A - λ I) x = 0. Karena x 0 maka (A - λI)

= 0 adalah singular yaitu det (A - λI) = 0.

= = + 2 =

atau diperoleh dan

Untuk = 2 maka dari persamaan (A - λ ) x = 0 diperoleh:

15

=

Dari persamaan tersebut diperoleh x1 = x2.

Ambil x1 =1 maka X2 =

Untuk λ = 3 maka dari persamaan(A - λ) x = 0 diperoleh:

=

Dari persamaan tersebut diperoleh x1 = 2x1

Ambil x1 =1 maka X2 =

Sehingga diperoleh suatu matriks R = =

Maka R-1 AR =

Jadi A = similar dengan B = .

Teorema 1

Jika matriks bujur sangkar A dan B adalah similar maka matriks A dan B

mempunyai eigenvalue yang sama.

Bukti:

Dari diketahui matriks A similar dengan matriks B maka ada suatu matriks in-

vertibel R sedemikian hingga B = R-1 AR. Kemudian dicari eigenvalue dari kedua

sisi persamaan dan diperoleh:

16

det(B - λI)=det(R-1AR - λI) dengan memanipulasi persamaan diperoeh:

det (B- λ I) = det (R -1AR - R-1 (λ I)R) = det (R-1 (AR - (λ I)R)) = det (R-1 (A-

λ I)R) = det (R-1 ) det (A - λ I) det (R) = det (A -λ I).

H. Spektrum dan Radius Spektral

Definisi 1: Untuk suatu matriks A berukuran n x n, persamaan matriks

Ax = λ x dengan scalar disebut eigenvalue dari A dan x n x 1 ≠ 0 disebut eigen

vector dari A dapat dibawa kebentuk (A- λI) x = 0. Jika det (A- λI) = 0 maka

matriks (A- λ I) singular. Dari matriks (A - λI) yang singular dapat dicari

eigenvalue-eigenvalue dari A. Himpunan semua eigenvalue-eigenvalue yang

berbeda dari A disebut spectrum dari A dan dinotasikan dengan (A) dan di

peroleh hubungan sebagai berikut:

λ (A) (A- λI) singular det (A-λI) = 0.

Contoh 7 :

Diberikan matriks

maka det (A - λI) = 0

diperoleh: λ1 = 1dan λ2 = 4,

sehingga spectrum dari A atau (A)= =

Melalui konsep spectrum matriks dapat dicari determinan matriks tersebut.

Hal ini dinyatakan melalui teorema berikut.

Teorema 1

17

Untuk matriks A berukuran n x n. Jika eigenvalue-eigenvalue dari A

maka det (A) =

Bukti.

Anggap matriks A similar dengan suatu matriks diagonal D = diag

sehingga A dapat dinyatakan menjadiA = R-1 DR untuk R adalah suatu matriks

invertibel. Kemudian kedua sisi dideterminankan dan diperoleh det (A) = det (R-1

DR). Dari sifat determinan berakibat

det (A) = det (R-1 ) det (D) det (R) = 1/det (R) det (A) det (R)

atau detA =det(D)= =

Teorema 2

Diberikan suatu matriks bujur sangkar A non singular dan suatu eigenvalue

dari A maka 1/ eigenvalue dari A.

Bukti.

Karena matriks A nonsingular akibatnya ada A-1 . Untuk A-1 dan vector x ≠ 0

dapat ditulis A-1 x = A-1 (1x)= A-1 (1 x )=1/ A-1 ( x). Untuk eigenvalu

edari A-1 yang bersesuaian dengan vektor x ≠ 0 memenuhi persamaan Ax = x

maka A-1 x =1/ A-1 (A)x =1/ (A -1 A)x =1 / x. Ini menunjukkan adalah

eigenvalue dari matriks A-1.

n

ii

1

18

Teorema 3

Diberikan suatu matriks A berukuran n x n, untuk eigenvalue dari A dan x

vector tak nol. Jika ≠ -1 maka matriks (I+A) invertible untuk I matriks identitas

berukuran n x n.

Bukti. Asumsikan matriks (I + A) tidak invertible berarti det (I + A) = 0.

Untuk x vector tak nol dapat dipenuhi persamaan (I+A) x = 0 atau Ax = - x

yang bersesuaian dengan persamaan Ax = x, skalar eigenvalue dari A. Dari

persamaan tersebut, berarti = - 1. Jadi dipenuhi untuk ≠ -1 maka matriks (I+A)

invertible.

Dari konsep spectrum matriks A yang berukuran n x n diperoleh eigenvalue-

eigenvalue yang berbeda. Jika eigenvalue-eigenvalue ini didefinisikan nilai

modulus nya dan dipilih yang terbesar, maka nilai modulus eigenvalue yang

terbesar disebut sebagai radius spectral dari A dan dinotasikan dengan (A). Atau

ditulis

(A) =

I. Kelas-kelas Matriks yang Bersifat Positip

Berikut ini diberikan kelas dari matriks yang semua eigenvalue dan semua

minor utamanya selalu positip.

P- matriks.

Definisi 1

19

Matriks berukuran n x n dikatakan P-matriks jika semua minor utama matriks A

positip.

Contoh 8 : Diberikan suatu matriks:

Akan ditunjukkan matriks A adalah P-matriks dengan menunjukkan semua minor

utama dari matriks A adalah positif, yakni

Ada 3 minor utama berorde 1dari matriks A:

Ada 3 minor utama berorde 2 dari matriks A :

Ada 1 minor utama berorde 3 dari matriks A :

Untuk matriks A Mn (ℂ) yang berbentuk P-matriks diperoleh karakteristik

berikut:

Teorema 1

20

Sebarang submatriks utama dari P-matriks adalah P-matriks.

Bukti. Ambil β sebarang. Dibentuk A[β]submatriks utama dari A.

Ambil β1 β sebarang dan bentuk A[β1 ]submatrik sutama dari A[β] berarti A[β1 ]

juga submatriks utama dari A. Karena A berupa P-matriks maka det (A[β1]) > 0.

Dari β1 β sebarang dengan det(A[β1 ]) > 0 berarti A[β] atau submatriks utama

dari A adalah P-matriks.

Teorema 2

Untuk matriks A Mn (ℝ) diperoleh pernyataan berikut ekivalen:

(1) A berbentuk P-matriks.

(2) Semua minor utama matriks A positip.

(3) Semua eigenvalue riil dari submatriks utama A positip.

Bukti.

(1) (2) Dari definisi diperoleh bahwa untuk A berbentuk P-matriks berarti

semua minor utama dari matriks A adalah positip.

(2) (3) Karena semua minor utama dari A positip berarti A berupa P matriks.

Ambil A[α] sub matriks utama dari A untuk α sebarang. Karena

A[α] berupa P matriks berarti A[α] > 0. Ambil λ (A[α]) sebarang. Untuk x

vector tak nol, bentuk A[α] x = x atau x A[α] x = x* x. Karena perkalian x*

dan x nilainya merupakan perkalian entri-entri konjugatenya yang selalu bernilai

21

positip yaitu (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 benilai positip sehingga diperoleh = x

A[α] x/ x* x > 0.

(3) (1)Untuk A[α] sebarang submatriks utama dari A dan (B α ]) se-

barang dengan > 0. Berarti untuk setiap eigenvalue dari A bernilai positip, dan

untuk setiap eigenvalue dari A[α] juga positip. Akibatnya det A[α] 0, sehingga A

berupa P matriks.

I. Matriks Definit Positip.

Suatu matriks A berukuran n x n disebut definit positip jika dipenuhi x* Ax

> 0 untuk semua x ≠ 0dan x ℂ dengan x* = .

Contoh 9 : Diberikan suatu vektor dan suatu matriks

Sehingga

x*A x =

Berikut diberikan beberapa karakterisasi dari matriks definit positip:

Teorema 1

Sebarang submatriks utama dari suatu matriks definit positip merupakan matriks

definit positip.

22

Bukti. ambil sebarang. Bentuk A [ ] submatriks utama dari A

dan detA[ ] adalah minor utama dari A. Ambil x C vector tak nol dengan entri

sebarang dan x[ ] menyatakan vector yang diperoleh dari yang bersesuaian

dengan diperoleh:

x[ ]* A[ ]x[ ]= x* Ax > 0

Karena x[ ] ≠ 0 sebarang, berarti A[ ] definit positip.

Contoh10 : Diberikan suatu vector dan suatu matriks.

Ambil = maka diperoleh vector baru dan submatriks dari A sebagai

berikut:

dan x*

Sehingga diperoleh berikut ini:

23

Teorema 2

Setiap eigen value dari suatu matriks definit positip berupa bilangan riil positip.

Bukti.

Untuk A berupa matriks definit positip dan λ (A), anggap x suatu eigen

vector dari A yang bersesuaian dengan λ sehingga diperoleh:

x* Ax = x* λ x = λ x *x

Karena perkalian x* dan x nilainya merupakan perkalian entri-entri konjugate nya

yang selalu bernilai positip yaitu (a+bi) (a - bi) = a2 + b2 benilai positip oleh

karena itu λ = x* Ax / x*x bernilai positip karena merupakan perbandingan dua

bilangan positip.

J. Transformasi Cayley

Suatu fungsi yang didefinisikan atasMn (ℂ) dan bernilai di Mn (ℂ), yaitu:

suatu matriks bujur sangkar A atas himpunan bilangan kompleks sedemikian

hingga dapat dibuat matriks (I + A) invertible sehingga dapat dibentuk matriks

baru C (A) = (I+A)-1 (I - A) juga atas himpunan bilangan kompleks. Matriks (A)

seperti ini disebut sebagai transformasi Cayley pada matriks A.

Contoh 11 : Diberikan matriks

Diperoleh :

24

Maka Transformasi Cayley dari matriks A adalah:

Transformasi Cayley untuk suatu matriks berukuran n x n pertama kali

diperkenalkan oleh Cayley, melalui matriks skew-hermite. Matriks A Mn (ℂ)

dikatakan skew-hermit jika A* = - A , dan matriks A dikatakan uniter jika

terdapat suatu matriks kompleks U berukuran sama sehingga dari Definisi berlaku

U*U = UU* = In. Hubungan matriks skew-hermit dengan transformasi Cayley

diperlihatkan pada pernyataan berikut ini.

Teorema 1

Jika A matriks skew-hermit maka transformasi Cayley (A) uniter.

Bukti.

Untuk A matriks skew-hermit dan dapat dibuat matriks (I + A) invertible

sedemikian hingga dapat dibentuk transformasi Cayley (A) = (I +A)-1 (I - A).

Dari Teorema 2 dengan mengganti matriks A dengan matriks - A, diperoleh A (I

25

+ A)-1 = (I +A)-1A, sehingga (I - A) (I +A)-1 = (I +A)-1 - A (I +A)-1 (I + A)-1 (I -

A). Bentuk matriks U = (I + A)-1 (I - A), berarti U* =(I - A)-1 (I +A)-1*.

Sehingga untuk A matriks skew-hermit, diperoleh perkalian matriks

U* U =(I - A)* (I +A)-1*(I +A) (I - A)

=(I - A)* (I +A)-1*(I +A)-1 (I - A)

=(I +A)(I - A)-1 (I +A)-1 (I - A)

=(I +A)(I - A)-1 (I - A)(I +A)-1

=(I +A)(I +A)-1 = In

Dua pernyataan berikut merupakan pernyataan dasar yang berkenaan dengan

transformasi Cayley.

Lemma 1

Diberikan suatu matriks A Mn (ℂ) sedemikian hingga = - 1 (A). Maka A =

(F) = (I + F)-1 (I - F) untuk F = (A).

Bukti.

Karena -1 (A) maka matriks (I + A) non-singular artinya (I + A) invertible.

Sehingga diperoleh transformasi Cayley (A). Anggap (A)= F se-1 hingga F = (I

+A)-1 (I - A) dan (I +F) bukan matriks nol. Untuk persamaan Fx = λ x,dengan x≠0

danλ=-1maka diperoleh( I +F) x = 0 artinya x = 0, suatu kontradiksi. Jadi,

harusnya 1 (F) akibatnya (I + F) invertible dan diperoleh A = (I - F)(I + F) -1 =

(I + F)-1 (I - F).

Lemma 2

26

Diberikan suatu matriks A Mn ( ) sedemikian (A) dan F = (A). Maka

(I + F) = 2 (I + F)-1 dalam penjumlahan, dan jika A adalah invertible maka I - F =

2 (I + A-1 ) -1 .

Bukti.

Karena -1 (A) maka matriks (I +A) non-singular artinya( I + A) invertible.

sehingga diperoleh transformasi Cayley (A). Anggap (A)= F, sehingga F = (I

+ A)-1 (I - A ). Diperoleh I + F = I + (I + A)-1 (I - A) = 2(I + A)-1 ,dengan cara

yang sama I - F = I + (I + A)-1 (I-A) = 2 ( I + A)-1 A. Jika A invertible diperoleh(I

- F) = 2 (A-1 (I +A)-1) = 2 (I +A-1 )-1.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Diberikan suatu matriks A Mn (ℂ) sedemikian hingga = - 1 (A).

Maka A = (F) = (I + F)-1 (I - F) untuk F = (A).

Bukti.

Karena -1 (A) maka matriks (I + A) non-singular artinya (I + A)

invertible. Sehingga diperoleh transformasi Cayley (A). Anggap

(A)= F se-1 hingga F = (I +A)-1 (I - A) dan (I +F) bukan matriks nol.

Untuk persamaan Fx = λ x,dengan x≠0 danλ=-1maka diperoleh( I +F)

x = 0 artinya x = 0, suatu kontradiksi. Jadi, harusnya 1 (F)

akibatnya (I + F) invertible dan diperoleh A = (I - F)(I + F) -1 = (I +

F)-1 (I - F).

2. Untuk matriks A Mn (ℂ) yang berbentuk P-matriks diperoleh

karakteristik berikut:

Teorema 1

Sebarang submatriks utama dari P-matriks adalah P-matriks.

Bukti. Ambil β sebarang. Dibentuk A[β]submatriks

utama dari A. Ambil β1 β sebarang dan bentuk A[β1 ]submatrik

sutama dari A[β] berarti A[β1 ] juga submatriks utama dari A. Karena

25

A berupa P-matriks maka det (A[β1]) > 0. Dari β1 β sebarang

dengan det(A[β1 ]) > 0 berarti A[β] atau submatriks utama dari A

adalah P-matriks.

Teorema 2

Untuk matriks A Mn (ℝ) diperoleh pernyataan berikut ekivalen:

(1) A berbentuk P-matriks.

(2) Semua minor utama matriks A positip.

(3) Semua eigenvalue riil dari submatriks utama A positip.

Bukti.

(1) (2) Dari definisi diperoleh bahwa untuk A berbentuk P-matriks

berarti semua minor utama dari matriks A adalah positip.

(2) (3) Karena semua minor utama dari A positip berarti A berupa P

matriks. Ambil A[α] sub matriks utama dari A untuk α

sebarang. Karena A[α] berupa P matriks berarti A[α]

> 0. Ambil λ (A[α]) sebarang. Untuk x vector tak nol, bentuk

A[α] x = x atau x A[α] x = x* x. Karena perkalian x* dan x

nilainya merupakan perkalian entri-entri konjugatenya yang selalu

bernilai positip yaitu (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 benilai positip sehingga

diperoleh = x A[α] x/ x* x > 0.

26

(3) (1)Untuk A[α] sebarang submatriks utama dari A dan (B α

]) se- barang dengan > 0. Berarti untuk setiap eigenvalue dari A

bernilai positip, dan untuk setiap eigenvalue dari A[α] juga positip.

Akibatnya det A[α] 0, sehingga A berupa P matriks.

B. Saran

Suatu teorema dalam ilmu matematika perlu memiliki lebih dari satu

pembuktian agar dapat dterima secara luas. Salah satunya adalah teorema

Cayley yang memiliki beberapa metode pembuktian, oleh karena itu agar

metode ini semakin benar dan menguatkan hasil yang sudah ada diharapkan

agar dapat menemukan metode lain dalam pembuktiannya.

DAFTAR PUSTAKA

http://p4tkmatematika.org/downloads/sma/Matriks.pdf. Diakses Desember 2010. 10.00

http://kur2003.if.itb.ac.id/file/Adtmatri.pdf. Diakses Desember 2010. 10.13

http://www.te.ugm.ac.id/~warsun/mtk/tgs/lola,bambina,hendra,arvi,novetra/ELIMINASI%20GAUSS%20&%20METODE%20CRAMER.pdf. Diakses Desember 2010. 10.15