Bab 7

INTEGRAL LIPAT

1. Pengertian Integral Lipat

Tinjau persoalan fiiska menghitung massa total M suatu pelat berhingga (2 D)

dengan distribusi massa tak seragam (non uniform). Misalnya geometrinya berupa

daerah terbatas D dalam bidang Kartesis xy, dengan rapat massa (massa per luas),

pada setiap titik (x,y) adalah ρ = (x, y) seperti gambar.

GAMBAR

Untuk menghitung nilai hampiran bagi massa total (M), daerah pelat D kita

bagi atas n-buah elemen daerah kecil (σ 1, σ 2, σ 3, ... σ n). Selanjutnya pilih sebuah titik

wakil (xi, yi) di dalam daerah ( i = 1, 2, 3, ... n ). Maka massa setiap elemen daerah

dihampiri oleh:

∆ m1 = f (xi, yi) ׀σ1 ׀

Dan M = ∑i=1

n

∆m=∑i=1

n

f ¿¿¿ xi, yi) ׀σ

׀ 1

Keterangan : ׀ σ1׀ = luas daerah σ 1

M = Massa total pelat D

Bila ׀σ1 0 → ׀ dan n → ∞ maka:

M = limn→∞

∑i=1

n

f ( xi , yi ∆׀( xi :∆ yi ,׀ ∆ xi→0 ,∆ yi→0¿¿

Limit pada ruas kanan, jika ada dilambangkan dengan:

∬D

❑

f ( x , y )dxdy

Disebut integral lipat dua (double integral).

2. Sifat Integral Lipat Dua

Sifat-sifat dari integral lipat dua dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Jika f = f (x, y) dan g = (x, y), dua fungsi terdefinisikan pada daerah D, maka:

∬D

❑

( f ± g )dxdy=∬D

❑

f dxdy ±∬D

❑

gdxdy

2. Jika c sebuah tetapan, maka:

∬D

❑

(cf )dxdy=c∬D

❑

f dxdy

3. Jika D merupakan gabungan daerah D1 dan D2, atau D = D1 ∪D = C, sebuah kurva

batas, maka:

∬D

❑

f dxdy=∬D2

❑

f dxdy+∬D2

❑

f dxdy

3. Cara Dasar Integral Lipat

Untuk dapat menghitung Integral ( Integral lipat 2), akan digunakan prosedur yang

mengalihkan perhitungan integral lipat kr integral berulang.

Suatu daerah D disebut normal terhadap:

a. Sumbu-x, jika setiap garis tegak lurus sumbu-x hanya memotong dua kurva batas D

yang fungsi koordinatnya y = y1 (x), dan y = y2 (x) tak berubah bentuk.

GAMBAR

b. Sumbu-y, jika setiap garis tegak lurus sumbu-y hanya memotong dua kurva batas D

yang fungsi koordinatnya x = x1 (y), dan x = x2 (y) tak berubah bentuk.

GAMBAR

Suatu daerah D dapat terjadi tidak normal terhadap sumbu x maupun sumbu y,

dalam kasus itu daerah D di bagi ke dalam beberapa sub-daerah normal.

GAMBAR

Selanjutnya tinjaulah pelat D yang normal terhadap sumbu-x, seperti pada

gambar 7.2a dengan tepi-tepi, tepi bawah dibatasi oleh kurva y = y1 (x) dan tepi atas

oleh y = y2 (x), sedangkan tepi kiri dan kanannya masing-masing oleh garis tegak x =

a, dan x = b ( b > a, bilangan tetap).

Secara ringkas:

D = ( x , y a<x<b׀( ; y 1 (x )< y< y2(x )

Jika rapat massa pelat D adalah f( x, y), maka integral lipat dua:

I = ∬D

❑

f ( x , y )dxdy

Yang menyatakan massa totalnya dihitung secara bertahap, melalui definisi

sebagai berikut:

a. Ambil sembarang titik (xi, 0) pada sumbu-x, dengan a ≤ xi ≤b.

b. Tarik garis x = x1, kemudian tinjau sebuah lempeng tegak dengan

sumbu x = x1, dan tebal ∆ x1, dalam daerah D, yang disebut lempeng ke-i.

c. Hitung hampiran massa tiap petak (i, j), pada koordinat (Xb, yj) dalam

lempeng ke-i,

d. Hitung massa total lempeng ke-i, sebagai limit jumlah seluruh petak di

dalamnya: