estimasi titik dan interval kepercayaan · pdf filetinggi kadar interval estimasi ... misalkan...
TRANSCRIPT
8/28/2012
1
LOGO
ESTIMASI TITIK DAN
INTERVAL KEPERCAYAAN Elty Sarvia, ST.,MT.
Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri
Universitas Kristen Maranatha
Bandung
LT Sarvia/Sesi 2
IE 305 Statistika Industri
Tujuan
Mendefinisikan suatu estimasi titik (point estimate) 1
Mendefinisikan tingkat kepercayaan (level of confidence) 2
Membuat interval kepercayaan untuk rata-rata populasi
apabila diketahui standar deviasi populasinya 3
Membuat interval kepercayaan untuk rata-rata populasi
apabila standar deviasi populasinya tidak diketahui 4
Membuat interval kepercayaan untuk suatu proporsi
populasi. 5
Menentukan ukuran sampel untuk sampling atribut dan
sampling variabel 6
LT Sarvia/2012
8/28/2012
2
Estimasi Titik
Adalah statistik yang dihitung dari informasi sampel yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi.
Contoh : Best Buy Inc. ingin memperkirakan rata-rata umur pembeli televisi. Mereka memilih sampel berisi 50 pembeli terakhir, menentukan umur masing-masing pembeli, dan memperhitungkan rata-rata umur pembeli dalam sampel tersebut. Rata-rata sampel tersebut adalah estimasi titik dari rata-rata populasi.
Rata-rata sampel ( ), adalah estimasi titik dari rata-rata populasi m; p (proporsi sampel) adalah estimasi titik dari p (proporsi populasi); dan s (standar deviasi sampel) adalah estimasi titik dari s (standar deviasi populasi).
Secara umum, parameter populasi akan diberi simbol (baca theta). Jadi bisa merupakan rata-rata m, simpangan baku s dan proporsi p .
LT Sarvia/2012
x
Karakteristik Sampel dan Populasi
Karakteristik Populasi :
m , s 2 , p
Karakteristik Sampel :
LT Sarvia/2012
x S 2 p
Mengestimasi
Penduga / Estimator
8/28/2012
3
Estimasi Titik
Estimasi titik hanya menceritakan sebagian dari kisah keseluruhan. Estimasi titik adalah nilai tunggal yang berasal dari suatu sampel dan digunakan untuk memperkirakan nilai populasi. Kita berharap bahwa estimasi titik nilainya sedekat mungkin dengan parameter populasi, karena itu akan kita ukur berapa dekat nilai tersebut sebenarnya. Interval kepercayaan dapat digunakan untuk melakukan pengukuran tersebut.
Interval Kepercayaan adalah kisaran nilai yang dibuat dari data sampel di mana parameter populasi cenderung terjadi dalam kisaran tersebut dengan probabilitas yang spesifik. Probabilitas spesifik ini disebut tingkat kepercayaan (level of confidence).
Misalkan, kita memilih sampel yang tdd 50 eksekutif muda untuk mengetahui berapa jam yang mereka habiskan untuk bekerja selama 1 minggu lalu. Hitung rata-rata dari sampel 50 orang ini dan gunakan nilai rata-rata sampel sebagai estimasi titik dari rata-rata populasi yang tidak diketahui. Estimasi adalah nilai tunggal. Pendekatan yang lebih informatif adalah dengan memberikan kisaran nilai yang kita harapkan akan terjadi dalam parameter populasi tertentu yaitu yang kita sebut interval kepercayaan
LT Sarvia/2012
Syarat Estimator
3. Konsisten :
2. Efisien :
1. Tidak Bias
Estimator dikatakan Konsisten, jika Estimator tetap konsisten / berkonsentrasi pada penduga
yang dibuat, atau :
Bila s 2 = 0 dan tidak bias, penduga yang secara sempurna nilainya berkonsentrasi di nilai
targetnya bila sampel diperbesar sampai tak terhingga ( ) atau makin besar ukuran sampel,
maka statistik penduga makin mendekati parameter populasi.
Estimator dikatakan Efisien, jika Estimator tersebut memiliki Variansi terkecil
Estimator dikatakan Tidak Bias, jika nilai Statistik sampel = nilai Parameter Populasi
LT Sarvia/2012
8/28/2012
4
Gambar 1
1. Penduga Tak Bias
LT Sarvia/2012
Penduga tak bias artinya penduga yang dengan tepat mengenai
sasaran, seperti yang ditunjukkan pada gambar 1. Sedangkan
penduga bias artinya penduga yang tidak tepat mengenai sasaran
atau disebut meleset, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.
ө
Gambar 2
)ˆ(E )ˆ(E
Gambar 3
2. Penduga Yang Efisien
LT Sarvia/2012
Gambar 3 menunjukkan ada tiga penduga yaitu
yang diperoleh dari 3 sampel, dimana distribusi sampel 1
mempunyai variansi σ12 , sampel 2 mempunyai variansi σ2
2 , sampel
3 mempunyai variansi σ32 . Oleh karena sampel 1 mempunyai
variansi paling kecil, maka dikatakan merupakan penduga yang
efisien.
0)ˆ( E
2
1s
2
2s2
3s
2
3
2
2
2
1 sss
321ˆ,ˆ,ˆ dan
1
8/28/2012
5
Sampel 3, n3
Gambar 4
3. Penduga Yang Konsisten
LT Sarvia/2012
Gambar 4 ditunjukkan bahwa ukuran sampel 1, yaitu n1, lebih kecil
daripada ukuran sampel 2, yaitu n2 dan lebih kecil dari ukuran
sampel 3, yaitu n2 . Terlihat bahwa makin besar ukuran sampel,
maka statistik penduga makin mendekati parameter dari populasi,
dimana distribusi sampel konsisten bergerak ke kiri
Sampel 2, n2
Sampel 1, n1
Sifat Estimasi
1
Diketahui statistik sampel
(sebagian) dan berbicara
tentang parameter
(seluruh), estimasi
parameter mengandung
probabilitas keliru
Makin lebar interval
estimasi makin kecil
probabilitas keliru
2
Namun makin lebar
interval estimasi
makin kecil
ketepatannya
sehingga makin
rendah kadar
informasinya
3 Sebaliknya, makin
sempit interval
estimasi makin
besar probabilitas
keliru, namun makin
tinggi kadar
informasinya
Interval estimasi
berusaha mencari
imbangan terbaik di
antara probabilitas
keliru dan kadar
informasi
LT Sarvia/2012
8/28/2012
6
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
NORMAL
Bila n < 30 dan s tidak diketahui
Bila n 30 dan s diketahui =
Bila n < 30 dan s diketahui
Text
Text
Text
LT Sarvia/2012
I. Estimasi Interval Rata-Rata 1 Populasi ( m ) INGAT FAKTOR KOREKSI !
n
Z X n
Z- X /2/2
sm
s
Bila n 30 dan s tidak
diketahui
n
Z X n
Z- X /2/2
SS m
n
t X n
t- X /2/2
SS m ;v = n – 1
Persamaan I.1 Persamaan I.2
Persamaan I.3
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
LT Sarvia/2012
II. Estimasi Interval Rata-Rata 2 Populasi
1. Bila s1 & s2 diketahui untuk : n1 & n2 30 dan n1 & n2 < 30
nn
Z XX - nn
Z- XX2
22
1
21
/221212
22
1
21
/221ss
mmss
2. Bila n1 & n2 30 dan s1 & s2 tidak diketahui
nn
Z XX - nn
Z- XX2
22
1
21
/221212
22
1
21
/221SSSS
mm
3. Bila n1 & n2 < 30 dan s1 & s2 tidak diketahui s1 s2 cek dengan Uji F apakah s1 s2
n
1
n
1 Sp t XX -
n
1
n
1 Sp t- XX
21/22121
21/221 mm
2 - n n v ;
2nn
S1 -nS1 -n Sp 21
21
2
22
2
11
Persamaan II.1
Persamaan II.2
Persamaan II.3
8/28/2012
7
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
LT Sarvia/2012
II. Estimasi Interval Rata-Rata 2 Populasi
4. Bila n1 & n2 < 30 dan s1 & s2 tidak diketahui s1 s2
nn
t XX - nn
t- XX2
22
1
21
/221212
22
1
21
/221SSSS
mm
1n
n
1n
n
nn V
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
SS
SS
Persamaan II.4
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
LT Sarvia/2012
II. Estimasi Interval Rata-Rata 2 Populasi
5. Untuk pengamatan berpasangan :
n
Sd t d
n
Sd t- d /2/2 mD
dimana : v = n – 1 n
d d
i 21 XX ; d i =
) 1 -n (n
di - din Sd
22
Ciri-ciri
pengamatan
berpasangan :
1. Jumlah ukuran sampel-nya sama n1 = n2 = n
2. Dilakukan terhadap individu yang sama / identik mendapat
perlakuan yang sama
Persamaan II.5
8/28/2012
8
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
Estimasi
Interval
Proporsi
Text
Text
LT Sarvia/2012
III. Estimasi Interval Proporsi
Untuk 1 Populasi : n
q p Z p
n
q p Z- p /2/2
p
Untuk 2 Populasi :
n
q p
n
q p Z p - p
n
q p
n
q p Z- p - p
2
22
1
11/22121
2
22
1
11/221
pp
Persamaan III.1
Persamaan III.2
Rumus-rumus Estimasi : NORMAL
Untuk 1 Populasi :
Estimasi Interval Variansi
LT Sarvia/2012
IV. Estimasi Interval Variansi
S ) 1 -n (
S ) 1 -n (
22/1
22
22/
2
s
Untuk 2 Populasi :
),(f S
S
),(f
1
S
S12/22
2
21
22
21
21/22
2
21
vv
vv
s
sLihat Tabel Chi-Square
Lihat Tabel F
Persamaan IV.1
Persamaan IV.2
8/28/2012
9
Uji F :
untuk mengetahui apakah s1 = s2 atau s1 ≠ s2
LT Sarvia/2012
1. Struktur Hipotesis :
H0 : s2 1 = s2
2
H1 : s2 1 > s2
2
2. Taraf nyata : = 0,05 uji 1 arah ( sebelah kanan )
3. Statistik Uji : Uji F
530,366,0
24,1
S
S F
2
2
2
2
2
1
f 0,05 ( 15 , 9 ) = 3,01
4. Wilayah Kritis
3,01
= 0,05 v1 = 16 – 1 = 15
v2 = 10 – 1 = 9
3,530
Keputusan : Tolak H0
Kesimpulan : s1 ≠ s2
Contoh Soal :
1. Sebuah sampel acak tdd 100 mahasiswa telah diambil dari
sebuah universitas mengenai nilai-nilai IQ-nya dan menghasilkan
nilai rata-rata 112 dan simpangan baku 10. Jika dikehendaki
interval taksiran rata-rata dengan tingkat kepercayaan 95%.
Hitunglah interval selang kepercayaan tersebut.
LT Sarvia/2012
Jawab
112x Dist. Z
Diketahui :
n = 100
10S
Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05
/2 = 0,025
Z /2 = ± 1,96
8/28/2012
10
Jawab :
LT Sarvia/2012
Selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah nilai IQ Mahasiswa dari
sebuah Universitas adalah :
n
Z X n
Z- X /2/2
SS m
100
10 ,961 112
100
10 ,961 - 112 m
110,04 ≤ m ≤ 113,96
Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa akan ada
dalam interval dengan batas 110,04 – 113,96
Persamaan I.2
Contoh Soal :
2. Idem soal no. 1. Jika dikehendaki interval taksiran rata-rata dengan
tingkat kepercayaan 99%. Hitunglah interval selang kepercayaan
tersebut.
LT Sarvia/2012
Jawab
112x Dist. Z
Diketahui :
n = 100
10S
Tkt. kepercayaan = 99 % = 1 – 99% = 0,01
/2 = 0,005
Z /2 = ± 2,58
8/28/2012
11
Jawab :
LT Sarvia/2012
Selang kepercayaan 99 % bagi nilai tengah nilai IQ Mahasiswa dari
sebuah Universitas adalah :
n
Z X n
Z- X /2/2
SS m
100
10 ,582 112
100
10 ,582 - 112 m
109,42 ≤ m ≤ 114,58
Kesimpulan : kita percaya 99 % bahwa IQ rata-rata mahasiswa akan ada
dalam interval dengan batas 109,42 ≤ m ≤ 114,58
Dari contoh diatas, dapat dilihat bahwa makin besar selang kepercayaan
makin lebar jarak interval kepercayaan dan sebaliknya. Jika batas-batas
selang kepercayaan menjadi satu, kita peroleh titik taksiran dengan
derajat kepercayaan paling kecil
Persamaan I.2
Contoh Soal :
3. Isi kaleng asam sulfat adalah 9,8 ; 10,2 ; 10,4 ; 9,8 ; 10,0 ; 10,2 ; &
9,6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% bg nilai tengah isi
semua kaleng, bila isi kaleng itu menyebar normal !
LT Sarvia/2012
Jawab
107
9,9.....10,29,8x
Dist. t
Diketahui :
n = 7
283,0
17
106,9.........102,10108,9S
222
8/28/2012
12
Jawab :
LT Sarvia/2012
Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05
/2 = 0,025
v = n – 1 = 7 – 1 = 6
t /2 = ± 2,447
Selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah isi semua kaleng
n
t X n
t- X /2/2
SS m
7
283,0 ,4472 10,0
7
283,0 ,4472 - 10,0 m
9,74 ≤ m ≤ 10,26
Persamaan I.3
Contoh Soal :
4. Misalkan kita ingin menaksir ada berapa persen anggota
masyarakat berumur 15 tahun ke atas termasuk ke dalam
golongan darah A. Untuk itu sebuah sampel acak berukuran n =
1.200 diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi anggota
masyarakat yang memiliki golongan darah A
LT Sarvia/2012
Diketahui x = 504 (gol darah A)
n = 1.200 %4242,0
1.200
504
n
x p
q = 1-p= 1-0,42 = 0,58
Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05
/2 = 0,025
Z /2 = ± 1,96
8/28/2012
13
Jawab :
LT Sarvia/2012
Selang kepercayaan 95 % bagi bagi proporsi anggota masyarakat yang
memiliki golongan darah A adalah :
Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa persentase anggota masyarakat
yang termasuk golongan darah A akan ada dalam interval
n
q p Z p
n
q p Z- p /2/2
p
1.200
0,58 0,42 ,961 0,42
1.200
0,58 0,42 ,961 - 0,42
p
0,39 ≤ p ≤ 0,45
0,39 ≤ p ≤ 0,45
Persamaan III.1
Contoh Soal :
5. Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban sesuatu
zat. Cara I dilakukan 60 kali yang menghasilkan rata-rata 70, 4 dan
s2= 37,2. Cara II dilakukan 50 kali yang menghasilkan rata-rata
60,2 dan s2= 24,7. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi
perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu.
LT Sarvia/2012
2,60x2 Dist. Z
Cara I Cara II
n 1 = 60 n 2 = 50
4,70x1
s22= 24,7 s1
2= 37,2
Tkt. kepercayaan = 95 % = 1 – 95% = 0,05 /2 = 0,025
Z /2 = ± 1,96
8/28/2012
14
Jawab :
LT Sarvia/2012
Selang kepercayaan 95% bagi perbedaan rata-rata pengukuran dari
kedua cara itu adalah :
Kesimpulan : kita percaya 95 % bahwa selisih rata-rata pengukuran
kedua cara itu akan ada dalam interval
nn
Z XX - nn
Z- XX2
22
1
21
/221212
22
1
21
/221SSSS
mm
50
7,24
60
2,37 ,961 2,604,70 -
50
7,24
60
2,37 ,961 - 2,604,70 21 mm
8,131≤ m 1 – m 2 ≤ 18,331
8,131≤ m 1 – m 2 ≤ 18,331
Persamaan II.2
Contoh Soal : 6. 20 mahasiswa tingkat satu dibagi ke dalam 10 pasang, dimana setiap pasang kira-kira
mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara acak &
dimasukkan ke dalam kelas yang hanya menggunakan bahan terprogramkan. Anggota
pasangan yang lain dimasukkan ke dalam kelas biasa. Pada akhir semester, ke-2 grup itu
diberikan ujian yang sama dan hasilnya adalah sbb :
LT Sarvia/2012
Pasangan Kelas dengan bahan
terprogramkan Kelas Biasa
1 76 81
2 60 52
3 85 87
4 58 70
5 91 86
6 75 77
7 82 90
8 64 63
9 79 85
10 88 83
Tentukan selang kepercayaan 98 % bagi selisih sesungguhnya dalam kedua metode pengajaran
tersebut ! Asumsikan data kedua populasi menyebar menghampiri normal.
8/28/2012
15
Jawab No. 6
Kelas dengan bahan
terprogramkan
Kelas Biasa
n 1 = 10 n 2 = 10
LT Sarvia/2012
Dist. t - berpasangan
Tkt. kepercayaan = 98 % = 1 – 98% = 0,02
/2 = 0,01
v = n – 1 = 10 – 1 = 9
t /2 = ± 2,821
Jawab No. 6 (2)
LT Sarvia/2012
Pasangan Kelas dengan bahan
terprogramkan Kelas Biasa d d 2
1 76 81 -5 25
2 60 52 8 64
3 85 87 -2 4
4 58 70 -12 144
5 91 86 5 25
6 75 77 -2 4
7 82 90 -8 64
8 64 63 1 1
9 79 85 -6 36
10 88 83 5 25
S = -16 392
8/28/2012
16
Jawab No. 6 (3)
LT Sarvia/2012
6,110
16
n
d d
i
) 1 -n (n
di - din Sd
22
381,6
) 1 - 10 ( 10
16 - ) 392 * 10 (2
Selang kepercayaan 98 % bagi selisih sesungguhnya dalam kedua
metode pengajaran adalah :
n
Sd t d
n
Sd t- d /2/2 mD
10
6,381 ,8212 1,6-
10
6,381 ,8212 - 1,6- Dm
-7,29 ≤ m D ≤ 4,09
Persamaan II.5
Memilih Ukuran Sampel yang Tepat
Tingkat kepercayaan yang diharapkan
Batas Kesalahan yang diterima
Variabilitas populasi yang sedang diteliti
Ukuran
sampel yang
tepat
LT Sarvia/2012
8/28/2012
17
Memilih Ukuran Sampel yang
Tepat (2)
Faktor pertama adalah tingkat kepercayaan (level of confidence). Orang yang akan melakukan penelitian harus memilih tingkat kepercayaannya. Tingkat kepercayaan 95 % dan 99 % adalah yang paling lazim, tetapi nilai berapapun antaa 0 dan 100 dapat dipilih. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang dipilih, harus semakin besar ukuran sampelnya.
LT Sarvia/2012
1. Tingkat kepercayaan yang diharapkan
Faktor yang kedua adalah kesalahan yang diizinkan (allowance error). Maksimal kesalahan yang diizinkan, dilambangkan dengan e, adalah jumlah yang ditambahkan pada dan dikurangkan dari rata-rata sampel (atau bagian sampel) untuk menentukan nilai dari interval kepercayaan. Ini adalah jumlah kesalahan yang dapat ditoleransi oleh pihak yang melakukan penelitiannya. Suatu nilai yang kecil untuk kesalahan yang diizinkan akan membutuhkan sebuah sampel yang besar.
2. Batas kesalahan yang dapat diterima
Memilih Ukuran Sampel yang
Tepat (3)
Faktor ketiga dalam menentukan ukuran sampel adalah standar deviasi populasi (population standard deviation). Jika populasi tersebar secara luas, dibutuhkan sampel yang besar. Disisi lain, jika populasinya terkonsentrasi (homogen), ukuran sampel yang dibutuhkan lebih kecil. Sangat penting untuk menggunakan estimasi dalam standar deviasi populasi.
LT Sarvia/2012
3. Variabilitas populasi yang sedang diteliti
8/28/2012
18
Beberapa rumus yang sering digunakan untuk mencari ukuran sampel
minimum yaitu :
1. Ukuran contoh untuk pendugaan m : 2. Ukuran contoh untuk pendugaan p :
LT Sarvia/2012
2
/2
e
σ . z n
dimana :
e : error / galat
2
2/2
e
q p . z n
2
2/2
e 4
z n
Contoh Soal :
7. Seorang mahasiswa jurusan administrasi negara ingin mengetahui rata-
rata dari jumlah pendapatan setiap bulan anggota dewan kota. Kesalahan
estimasi rata-ratanya adalah kurang dari $100 dengan tingkat
kepercayaan 95 %. Mahasiswa ini menemukan sebuah laporan oleh
Departemen Tenaga Kerja yang telah memperkirakan standar deviasinya
sebesar $1.000. Berapakah ukuran sampel yang diperlukan?
LT Sarvia/2012
Jawab :
Tingkat kepercayaan = 95% = 1 – 95% = 0,05 /2 = 0,025
Z /2 = ± 1,96
e = $ 100
s = $1.000
8/28/2012
19
Sebuah sampel sebanyak 385 dibutuhkan untuk mendapatkan spesifikasinya.
Jika mahasiswa ini ingin meningkatkan tingkat kepercayaannya, sebagai
contoh 99 %, akan dibutuhkan sampel yang besar, maka :
LT Sarvia/2012
38516,3846,19100
1.000 . ,961
e
σ . z n
2
22
/2
Jawab :
Ukuran Sampel :
6640625,66375,25100
1.000 . ,5752
e
σ . z n
2
22
/2
Tingkat kepercayaan = 99% = 1 – 99% = 0,01 /2 = 0,005
Z /2 = ± 2,575
Contoh Soal :
8. Sebuah penelitian memperkirakan proporsi kota-kota yang ada kolektor
sampah swastanya. Mahasiswa ini ingin batas kesalahannya berada
berada dalam 0,10 dari proporsi populasi, tingkat kepercayaan yang
diharapkan adaah 90 %, dan estimasi yang tersedia untuk proporsi
populasi. Berapakah ukuran sampel yang diperlukan?
LT Sarvia/2012
Jawab :
Tingkat kepercayaan = 90% = 1 – 90% = 0,1 /2 = 0,05
Z /2 = ± 1,645
e = 0,10
Karena tidak ada estimasi proporsi populasi yang tersedia, kita gunakan
0,5
5,0ˆ p
8/28/2012
20
Jawab no 8
Mahasiswa ini memerlukan sebuah sampel acak sebanyak 68 kota
LT Sarvia/2012
Jawab :
Ukuran Sampel :
6865,671,0
5,05,0645,1
e
q p . z n
2
2
2
2
/2 xx
Soal Latihan
1. Sebuah sampel random terdiri dari 6 orang dan 5 orang dipilih dari
2 buah populasi normal untuk diukur tinggi badannya. Dari hasil
observasi diperoleh data sbb :
Buat interval keyakinan sebesar 95 % guna menduga selisih rata-
rata ke-2 populasi tsb !
Jawab : Cek dulu apakah s1 = s2 dengan Uji F
LT Sarvia/2012
Sampel 1 157,8 156,2 162,9 154,4 153,6 156,5
Sampel 2 164,2 158,5 159,1 159,8 163,0
8/28/2012
21
Soal Latihan
2. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil
(dalam gram) : 142, 157, 138, 175, 152, 149,
148, 200, 182, 164.
Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan
interval kepercayaan 95 % untuk rata-rata berat
tomat.
LT Sarvia/2012
Soal Latihan
3. Metode latihan pertama telah digunakan
terhadap 250 orang dan 160 orang dinyatakan
berhasil. Metode latihan kedua dilakukan
terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan
interval kepercayaan 95 % untuk selisih
persentase sebenarnya bagi yang berhasil.
LT Sarvia/2012
8/28/2012
22
LOGO
QUIZ????