estática para arquitectura

5/26/2018 Esttica Para Arquitectura

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E S T A T I C A D E L A S E S T R U C T U R A S

I N G . R O D R I G O S U R E Z

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I. OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.

Introducir al alumno en el estudio y conocimiento del comportamiento fsico de las estructuras. Dotar al alumno de los conceptos bsicos de la esttica Capacitar al alumno en el diseo de estructuras isostticas.

II. PROGRAMA ANALTICO DE LA ASIGNATURA.

UNIDAD 1: INTRODUCCIN

1.1. Qu es la mecnica?1.2. Conceptos y principios fundamentales1.3. Sistemas de unidades

UNIDAD 2: ESTTICA DE PARTCULAS

2.1. Introduccin2.2. Fuerza sobre una partcula. Resultante de dos fuerzas2.3. Vectores

2.4. Adicin de vectores2.5. Resultante de varias fuerzas concurrentes2.6. Descomposicin de una fuerza en sus componentes2.7. Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios2.8. Adicin de fuerzas sumando sus componentes x e y2.9. Equilibrio de una partcula2.10. Primera ley de Newton del movimiento2.11. Diagrama de cuerpo libre (DCL)

UNIDAD 3: CUERPOS RGIDOS: SISTEMAS DE FUERZAS EQUIVALENTES

3.1. Introduccin3.2. Fuerzas externas e internas

3.3. Producto vectorial de dos vectores3.4. Momento de una fuerza alrededor de un punto3.5. Componentes rectangulares del momento de una fuerza3.6. Producto escalar de dos vectores3.7. Momento de una fuerza con respecto a un eje3.8. Momento de un par de fuerzas3.9. Pares equivalentes3.10. Descomposicin de una fuerza dada en una fuerza en O y un par3.11. Reduccin de un sistema de fuerzas

UNIDAD 4: EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS

4.1. Introduccin

4.2. Diagrama de cuerpo libre4.3. Reacciones en los apoyos y conexiones de una estructura bidimensional4.4. Equilibrio de un cuerpo rgido en dos dimensiones4.5. Reacciones estticamente indeterminadas4.6. Equilibrio de un cuerpo sujeto a dos fuerzas

UNIDAD 5: FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES Y CENTROS DE GRAVEDAD

5.1. Introduccin5.2. Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional


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5.3. Centroides de reas y lneas5.4. Primeros momentos de reas y lneas5.5 Centroides de figuras compuestas

UNIDAD 6: ANALISIS DE ESTRUCTURAS

6.1. Introduccin6.2. Definicin de las armaduras6.3. Armaduras simples6.4. Anlisis de armaduras por el mtodo de los nodos6.5. Anlisis de armaduras por el mtodo de las secciones

UNIDAD 7: FUERZAS EN VIGAS, CABLES Y PRTICOS

7.1. Introduccin7.2. Fuerzas internas en elementos7.3. Diversos tipos de cargas y apoyos7.4. Fuerza cortante y momento flexionante en una viga7.5. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en una viga

7.6. Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes en un prtico

UNIDAD 8: FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA

8.1. Introduccin8.2. Segundo Momento momento de inercia de un rea8.3. Momento de inercia polar8.4. Radio de giro de un rea8.5. Momentos de inercia de reas compuestas

V. BIBLIOGRAFA BSICA.

Mc Cormac, Jack. Anlisis de Estructuras, 2002. Sig. Top. 690.21 M46. Stungo, Naoni. arquitectura en madera,1999. Sig. Top. 691.1 st95. Prenzlow, C. Calculo de estructuras por el mtodo de Cross, 1960. Sig. Top. 692.5 p91.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

BEER, Ferdinand y Russell, Johnston. 1999. Mecnica Vectorial paraIngenieros. Esttica EditorialMc Graw Hill

HIBBELER, R. C. 1992. Mecnica para Ingenieros. Esttica. Editorial Mc GrawHill. PARKER Harry, 1991. Texto simplificado de Mecnica y Resistencia de Materiales. Editorial Limusa

S.A. de C.V, Mxico, DF.

SINGER Ferdinand. 1991. Mecnica para Ingenieros. Esttica. Editorial Harla. Mxico.


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UNIDAD O TEMA: INTRODUCCIN A LA ESTATICA

TITULO: CONCEPTOS Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

INTRODUCCION

La mecnica se puede definir como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento dcuerpos bajo la accin de fuerzas. Se divide en tres partes: la mecnica de cuerpos rgidos, la mecnica de cuedeformables y la mecnica de fluidos.

La mecnica de cuerpos rgidos se subdivide en esttica y dinmica; la primera estudia los cuerpos en repososegunda los cuerpos en movimiento. En esta parte del estudio de la mecnica se supone que los cuerposperfectamente rgidos. Sin embargo, las estructuras y las mquinas reales nunca lo son y se deforman bajo carglas que estn sometidas. Estas deformaciones son casi siempre pequeas y no afectan apreciablemente condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideracin.

SISTEMAS DE UNIDADES

Antes de entrar a la solucin de problemas, es importante que tus conocimientos de los sistemas de unidadencuentren actualizados y claros; recuerda que en nuestro pas; al igual que casi todo el mundo, el sistemunidades oficiales el Sistema Internacional, si bien actualmente continuamos utilizando el Sistema Mtrico Dey en algunos casos tambin el Sistema Ingls, los problemas que resolveremos en este curso sern todos Sistema Internacional.

CANTIDADES FSICAS FUNDAMENTALES

Son aquellas que se definen por si solas y no se pueden medir o expresar en funcin de otras. Son ejemplocantidades fsicas fundamentales: el tiempo, la temperatura, el espacio y la masa.

Tiempo:medida del intervalo entre dos sucesos, ordenamiento de los acontecimientos.

Espacio o Longitud: nos define la distancia entre dos puntos. Esta distancia es medida con respectopatrn.

Masa: medida de la cantidad de materia de un cuerpo. La masa caracteriza a un cuerpo en dos accionede su atraccin gravitatoria y la de su respuesta ante una perturbacin mecnica como una fuerza. La mde un cuerpo se puede determinar a partir de una balanza, es invariable con el lugar donde se mida as sluna o la tierra. La masa se mide por medio de balanzas y no por sistemas de resortes (dinammetroscuales slo miden fuerza.

Aunque la fuerza no es una cantidad bsica hace parte fundamental del curso. La fuerza nos da una descricualitativa de la interaccin entre dos cuerpos. Cuando existe contacto directo, la fuerza ejercida entre dos cuerpel tirn o empujn de uno sobre el otro.

LAS TRES LEYES FUNDAMENTALES DE NEWTON

Fueron formuladas por Isaac Newton en la segunda mitad del siglo diecisiete y pueden enunciarse como sigue.

PRIMERA LEY. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula es cero, la partcula permanecer en reposooriginalmente estaba en reposo) o se mover con velocidad constante en una lnea recta (si originalmente estabamovimiento).


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SEGUNDA LEY. Si la fuerza resultante que acta sobre una partcula no es cero, la partcula tendr una aceleracproporcional a la magnitud de la resultante y en la direccin de sta.

amF =

Donde F, m y a representan, respectivamente, la fuerza resultante que acta sobre la partcula, la masa de staaceleracin de la misma, expresadas en un sistema congruente de unidades.

TERCERA LEY. Las fuerzas de accin y reaccin de cuerpos en contacto tiene la misma magnitud, la misma lnaccin y sentidos opuestos.

CUESTIONARIO #1

1. Qu es la mecnica de cuerpos rgidos?

2. Qu diferencia existe entre esttica y dinmica?

3. Investigar la influencia de la aceleracin de la gravedad de la tierra sobre los cuerpos rgidos.

4. Cul es la diferencia entre masa y peso?


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UNIDAD O TEMA: ESTTICA DE PARTCULASTITULO: Fuerzas en un plano

VECTORES

Temas a tratar: Resultante de fuerzas, descomposicin de un vector, procedimientos grficos, independencia d

operaciones con fuerzas del sistema de unidades

Definicin

Un vector es una cantidad fsica que se expresa por su magnitud, su direccin y su sentido, y sigue la leparalelogramo para su suma y resta.

Vectores de Posicin y de Vectores de Fuerza

Son los dos tipos de vectores con los que trabajamos en la esttica. El vector de posicin define la ubicacin dpunto con respecto a otro, su magnitud es en longitud (m) y corresponde a la distancia neta entre dos puntodireccin se puede dar por medio de un ngulo con respecto a una lnea y su sentido es del punto de referencpunto ubicado.

Vector Fuerza: empuje ejercido sobre un cuerpo o interaccin entre dos cuerpos. Se mide la direccin, el sentidempuje y la cantidad de empuje. Sus unidades son N,Kg-fo Lb .

En el siguiente esquema se muestra el vector de empuje que ejerce el cable sobre la torre, la interaccin entre el y la torre. Los cables siempre ejercen fuerzas de tiro o jaln sobre el cuerpo que actan, por lo tanto la direccin fuerza que ejerce el cable sobre la torre es de A a B.

Vector o tambinBAr

ABrr

Magnitud rAB = 6m

Direccin conrespecto a la lnea horizontal.

4

31 = tan

Sentido de A a B

A

B

6m

3

4


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: vector de fuerza

: magnitud del vector

: direccin del vector con respecto a la lnea vertical.

Sentido: de A a B.

Al extremo de en A se le llama cola y el extremo de la flecha se llama cabeza o punta. La recta a lo largo

cual se encuentra la flecha que representa al vector se llama lnea de accin de .

Note que el vector de fuerza est sobre la lnea AB pero su magnitud no es la distancia de A a B, de esta diferenciamos un vector de posicin, cuya medida es en unidades de longitud, de un vector de fuerza, cuya direes igual a la de un vector de posicin pero su medida es en unidades de fuerza.

La magnitud de un vector se mide desde la cola hasta la cabeza. Para el vector note que su magnitud no seigual a la lnea AB sino desde su cabeza a cola en una escala que represente Newton.

El punto de aplicacin de una fuerza se considera la cola del vector y representa el punto donde acta la fuerza ecuerpo determinado, sin embargo para cuerpos rgidos, es indiferente si se considera la cola o la cabeza ya q

jaln o empujn producir el mismo efecto de traslacin en el sentido de la fuerza.En algunos casos no es necesario tener en cuenta el punto de aplicacin, pero en la mayora de cuerpos este punmuy importante ya que de l dependen los efectos de rotacin que pueda producir una fuerza.Cuando dos o ms fuerzas tienen el mismo punto de aplicacin se les conoce como fuerzas concurrentes.

Fr

NF 800=

=

45tan1

Fr

Fr

Fr

F

r

A

B

Fr

5m

4m

Fr

800 NMagnitud

Cola

Cabeza

Lnea de accin


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Para especificar un vector le colocamos una flecha () encima y lo nombramos en mayscula . Cuando se

referencia a la magnitud se representa por la letra mayscula o la letra entre barras R, o .

Operaciones con vectores:

Vamos a aprender a jugar con vectores, sumar, restar, expresar un vector en funcin de otro, multipdescomponer, son algunas de las operaciones que aprenderemos.

Suma de Vectores

El efecto de varias fuerzas que actan en un punto comn es igual al efecto de su resultante. Para sumar vecconcurrentes se utiliza la ley del paralelogramo o el mtodo de cabeza y cola. La suma se resuelve cuencontramos un vector resultante con su direccin magnitud y sentido. En el tringulo que resulta al aplicar la leparalelogramo conocemos un ngulo y dos magnitudes, podemos conocer la otra magnitud por medio de la lecosenos y los otros ngulos por la ley de senos.

Ley del paralelogramo

Sumemos los vectores y el vector , de los cuales se conoce su magnitud y su direccin:

Se construye el paralelogramo trazando paralelas a los vectores y su diagonal es la resultante.

Las incgnitas a resolver son la magnitud y la direccin con respecto a una lnea determinada de , en estepuede ser con respecto a uno de los vectores iniciales.

Rr

R

Ur

Vr

Rv

U

A V

A

C

B

A

V

U+V= R

U

UV

Las fuerzas ejercidas por el cable sobre el gancho sonconcurrentes porque tienen igual punto de aplicacin.


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Por ley del seno y ley del coseno tenemos dos ecuaciones para solucionar dos incgnitas:

(Siempre el ngulo involucrado est entre dos magnitudes conocidas

.

El proceso de combinar dos vectores concurrentes en uno solo se llama composicin de un vector. El procontrario se llama descomposicin de un vector en componentes.En la suma de vectores se pueden hallar datos de los sumandos si se conoce el resultado.Note que la adicin de vectores cumple la ley conmutativa.

Cabe resaltar que en la suma de vectores solo se dispone de dos ecuaciones para hallar dos incgnitas, por lo ten la construccin del tringulo siempre se deben conocer dos lados y un ngulo o dos ngulos y un lado.

Mtodo cabeza y cola

En este mtodo se colocan los vectores a sumar coincidiendo la cabeza del primero con la cola del segundo

sucesivamente con los dems vectores a sumar hasta que el vector resultante va de la cola del primero a la cadel ltimo. De esta forma se construye un polgono de vectores.

Note que en el orden de construccin del polgono la resultante siempre da igual, con lo cual confirmamos lconmutativa para la adicin de vectores.

Ley Asociativa de la Adicin

Por medio de construccin de tringulos aplicando la ley del paralelogramo podemos llegar a sumar todos los vecque queramos. Recuerde que se van sumando de a dos y al resultado de estos se suma al nuevo vector a adici

Se quieren sumar los vectores , y

, luego

cos2222

VUVUR +=

URV

sensensen==

RSVUrrr

rr

=++

Ur

Vr

Sr

2RSVUrrrr

=++

1RVUrrr

=+ 21 RSRrrr

=+

U

SV

U

V

SR

VU S

R


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Descomposicin de vectores

Dos vectores se pueden convertir en uno solo por medio de la suma, ahora un vector se puede convertir en dos p

descomposicin.

Los vectores y son componentes del vector ya que . De acuerdo con esta definicin podrdecir que existen infinitas parejas componentes de un vector. Unas componentes muy tiles son aquellas que foun ngulo recto entre s.

Si conozco el vector se pueden determinar infinitas parejas de componentes vectoriales por medio de la lesenos y de cosenos; para determinar las componentes rectangulares se utiliza trigonometra ya que el trinformado tiene un ngulo recto.

Ya sea que determine componentes o resultante siempre tendr posibilidad de determinar slo dos incgnitasmagnitudes, una direccin y una magnitud, dos direcciones.

Caso 1. Se conoce la magnitud y direccin de los vectores y , se pide determinar magnitud y direccin

otra componente de , el vector .

Se completa el tringulo y se aplica ley de cosenos para determinar la magnitud de y una vez se conozca esaplica ley de senos para los otros ngulos del tringulo. Note que la ley de cosenos se puede aplicar directamcuando se conocen dos magnitudes y el ngulo entre ellas.

Ur

Vr

Rv

RVUrrr

=+

Rv

Ur

Rv

Rv

Vr

V

r

V

UR

V

U

V

V

UU R

conocido

U U

V

V

R


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Caso 2. Se conocen las direcciones de cada componente o sus lneas de accin y la magnitud y direccin resultante.

Se trazan lneas paralelas a las lneas de accin hasta cerrar el tringulo con las magnitudes desconocidas. tringulo formado se conocen los ngulos y se desconocen dos magnitudes, se puede aplicar la ley de senos.

En el caso de que los vectores y sean paralelos a unos ejes de referencia, y se convierten e

componentes vectoriales de en la direccin de esos ejes. Si los ejes son perpendiculares entre s, componentes se llaman las componentes vectoriales rectangulares.Cuando las componentes son perpendiculares y a la vez paralelas a un sistema cartesiano ellas se conocen comcomponentes rectangulares cartesianas de un vector.

Se puede decir que es la componente de paralela a x, por lo tanto se le da el nombre de y de igual fo

se le conoce como .

Por trigonometra podemos expresar las componentes rectangulares as:

y

Ur

Vr

Ur

Vr

Fr

VUFrrr

+=

Ur

Fr

xFr

Vr

yFr

F

FCosSen

y==

F

FCos

x=

Lneas de accin de Ur

Vr

V = ?

R

U = ? ?

X

Y

U

V

RV

U

yFr

Fr


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donde la magnitud es y su direccin es 0 con respecto a X positivo.

y donde la magnitud de y su direccin es 90 con respecto a X

Se conoce a los ngulos a y q como los ngulos directores de con respecto a los ejes X y Y.

Los cosenos de a y q son los cosenos directores de y representan al multiplicarlos por las proyecciones den los ejes X y Y.

Multiplicacin de un vector por un escalar

Esta operacin se usa para encontrar un vector igual a otro pero con una magnitud mayor o menor. Al multiplica

un escalar ( ) lo que se hace es aumentar la magnitud del vector en a veces.

, donde la magnitud de es igual a veces la magnitud de sta operacin tambin sirveencontrar vectores de sentido contrario, al multiplicar por 1.La multiplicacin por un escalar cumple la ley distributiva de la adicin.

Resta de vectores

Cuando queremos restar vectores lo que hacemos es sumar el negativo del vector a restar.

Vector unitario

Este es un vector que tiene una magnitud igual a la unidad. Resulta prctico trabajar con vectores unitarios yanosotros podemos expresar cualquier otro vector que tenga la misma direccin de l como el valor de la magnituese vector. Su utilidad es muy prctica cuando sabemos que un vector fuerza tiene direccin o lnea de aparalela a una lnea conocida, como por ejemplo la fuerza que ejerce un cable o un resorte sobre un cudeterminado.

Se tiene un vector de magnitud , para hallar un vector unitario en la misma direccin de , dividimosvector por su magnitud (multiplicacin de un vector por un escalar).

, donde es un vectorcuya magnitud es 1. Note que el vector unitario no tiene unidades.

Podemos determinar vectores unitarios en la direccin de los ejes coordenados X y Y dividiendo las componente

y de una fuerza por sus magnitudes.

Vector unitario en la direccin de x:

UFxrr

= CosFFx =

VFyrr

= SenFFy =

F

r

Fr F

a

URarr

= Ur

a Rv

RaUaRUa

rrrr

+=+ )(

Ur

U Ur

eU

U rr

=er

yFr

Fr

x

x

F

Fi

r

r

=

U V

U + V = R

R1

U

V

U V = R1


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Vector unitario en la direccin de y:Estos vectores unitarios nos permiten expresar las componentes rectangulares en funcin de la multiplicacin dvector por un escalar:

y

Las magnitudes y se conocen como las componentes escalaresde .

As mismo recordando la definicin de las componentes de un vector en funcin de los cosenos directores, tenem

pasando a dividir la magnitud de a otro lado tenemos:

por lo tanto el Cos a y el Cos q representan las proyecciones en X y Y del vector unitario en la misma lnea a

de

De donde podemos concluir que el vector unitario en la direccin de la lnea de accin esta compuesto por los cos

directores de esta lnea.

Suma de ms de dos vectores por componentes

La descomposicin de vectores es una herramienta muy til cuando se quieren sumar mas de dos vectores. Cuse descompone un vector este se puede expresar en funcin de sus componentes escalares y los vectores unit

y , entonces aplicando la ley distributiva de la multiplicacin por un escalar podemos sumar independientemlas componentes como si fuera una suma algebraica y encontrar las resultantes en X y en Y. El vector resultante

es la suma vectorial de la y la

; ;

asociando y aplicando la ley distributiva de la multiplicacin por un escalar:

y

y

F

Fj

r

r

=

xx FiFrr

= yy FjFrr

=

jFiFF yxrrr

+=

xF yF Fr

( )FjCosiCosFrrr

+= Fr

CosiCosF

Fe

r

r

r

+==

er

Fr

0,1=e

ir

jr

xRr

yRr

JUiUU yxrrr

+= jViVV yxrrr

+= jSiSS yxrrr

+=

jSiSjViVjUiUSVU yxyxyxrrrrrrrrr

+++++=++

( ) ( )jVSUiSVUSVU yyyxxxrrrrr

+++++++

F

r

Cos X

Y

Cos

e


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Usando cabeza y cola en los vectores sobre cada eje, tenemos:

Sera construir un polgono sobre la misma lnea por lo tanto se suman directamente (algebraicamente) las magniy obtenemos la resultante.

Vector de posicin definido entre dos puntos

Cuando se conocen las coordenadas de dos puntos, podemos encontrar el vector de posicin de un puntorespecto a otro aplicando la descomposicin cartesiana y la suma de vectores.

La magnitud de la lnea de A a B se determina por Pitgoras, entendiendo que las coordenadas representdistancia entre el punto en cuestin y un origen.

Para la direccin de AB se utiliza trigonometra:

Siendo a el ngulo medido con respecto a la horizontal. Si a es positivo se lee desde el eje X positivo en el secontrario a las manecillas del reloj y para a negativo se lee en el mismo sentido de las agujas del reloj.

jRiRSVU yxrrrrr

+=++

yx RRRrrr

+=

22yx RRR +=

( ) ( )22abab YYXXAB +=

( )( )ab

ab

XXYY

= 1tan

A(Xa,Ya)

B (X ,Y )

AB

Xa X

Ya

Y

xUr

xVr

xS

r

xRr


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Siempre a


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Como se forma un tringulo rectngulo, se aplica trigonometra para encontrar magnitudes.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Descomponga la fuerza en sus componentes que actan a lo largo de los ejes U y V; determine las magnide dichas componentes. (2,8 de Hibbeler)

2. Determine el ngulo f de diseo (0 f 90) entre las estructuras AB y AC de tal forma que la fuerza horizont400 lb tenga una componente de 600 lb que acte hacia la izquierda en la misma direccin que de B hacia A. Tovalor de =30.(2.30 de Hibbeler).

2F

T1

Rr

35

Posibles direcciones y magnitudes de T2; note que para que seamnimo T2, debe ser una lnea perpendicular a T1.

Lnea de accin

U

V

NF 3001=NF 5002 =

30

45

70

400lb

B

C

A


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3. Se muestran las coordenadas de dos puntos A y B. Determine un vector unitario e que seale del punto A haciaEstrategia: Determine el vector de posicin del punto A al punto B y divdalo entre su magnitud.(2,32 de Bedford)

4. Las siguientes cuatro fuerzas concurrentes tienen una suma vectorial igual a cero.

, Cul es la magnitud de yes el ngulo que hace con respecto a la horizontal? Resuelva por construccin del polgono y por descomposen componentes rectangulares. Nota los ngulos se midieron con respecto al eje X positivo.

5. Para los vectores mostrados determine:

a) El vectorb) Encuentre los escalares a, btales que:

Resuelva grficamente.

128,90085,100065,800 ====== lbFdylbFclbFbaF

r

CBADrrrr

+= 5,0

0=++ CBbAarrr

X

(3 , 2) pie B

(8 , 6) pie A

Y

X

Y

A

90

30

A=300N, 0

B=450N, 90

C=100N, -30


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CUESTIONARIO #2

1. Cules fueron las principales ideas del presente captulo?2. Qu es una fuerza?3. Cules son las caractersticas de un vector?4. Qu son fuerzas concurrentes?

5. Los vectores unitarios son adimensionales?6. La magnitud de un vector puede ser un nmero negativo?7. Cundo la direccin de un vector se da con un ngulo negativo esto que indica?8. Cules son las componentes escalares de un vector?9. Cmo se obtiene un vector si se conocen dos puntos sobre una lnea de accin?10. Para qu sirven los vectores unitarios? Qu informacin contienen?11. Se pueden sumar vectores no concurrentes?12. Qu determina el punto de aplicacin de una fuerza, la cola o la cabeza? Dibuje.13. Cmo se dibuja la fuerza que ejerce un cable sobre un cuerpo dado?14. Todos los vectores se pueden descomponer? Cmo se descompone un vector?


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UNIDAD O TEMA: CUERPOS RGIDOS

TITULO: Sistemas de Fuerzas Equivalentes

PARES DE FUERZAS

El efecto de rotacin que produce una fuerza se expresa por el concepto de momento. Siempre que aplicamosfuerza a un cuerpo estamos imponiendo una traslacin y una rotacin a ese cuerpo. Ser posible imponerotacin a un cuerpo y hacer que el efecto de traslacin sea cero?S, es posible y esto se logra por medio de dos fuerzas que sean iguales en magnitud y direccin pero de secontrario y que estn separadas una distancia diferente de cero:

En ambos casos , pero en el caso a si tomamos momentos de ambas fuerzas con respecto a cuapunto, el momento resultante dara cero (el efecto de rotacin se anula). En el caso b no ocurre lo mismo:

lo que nos da un momento diferente de cero en el sentido de las manecillareloj.

Si tomamos momentos con respecto con respecto a B

nos da el mismo momento (sentido y magnitud) que con respecto a A del caso b

El caso b representa una fuerza nula pero un efecto de rotacin diferente de cero.

A las fuerzas que cumplen la condicin de ejercer efectos de rotacin y no ejercer efectos de traslacin las conoccomo par de fuerzas. Un ejemplo tpico de par de fuerzas es el caso de las fuerzas que ejercemos a una cabriun carro.

Un par de fuerzas es un sistema compuesto por dos fuerzas de igual magnitud, direccin y sentido contrario. Su esobre un cuerpo rgido es una rotacin nica independiente del punto con respecto al cual se tomen los momentosConfirmemos esta afirmacin trabajando en el espacio:

= 0Fr

0*)( == FdFxrM ABAr

r

0* == FdFxrM BABr

r

-F F

A

B

A

d

-F

F

Caso a

Caso b

r

X

Y

Z

-F

A

B

rOA

O

rBA

rOB


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Se determina el efecto de rotacin total del par de fuerza compuesto por y con respecto a O:

, los trminos se anulan quedando solo el momento que hace uncomponentes del par con respecto un punto sobre la lnea de accin de la otra.

Se comprueba que el momento de un par nicamente depende del vector de posicin entre los puntos de aplicde las componentes del par.

El vector resultante es perpendicular al plano que contiene las fuerzas y su direccin lo determina la regla mano derecha.Debido a que el efecto del par es de solo rotacin, entonces se podra representar por medio del vector momento

l produce:

EQUIVALENCIA DE PARES

Dos pares son equivalentes cuando ellos producen el mismo efecto de rotacin sobre un cuerpo. Para comparar de fuerza, no se miran las fuerzas sino el momento que ellas producen como par.

SUMA DE PARES

Para sumar pares, se suman sus efectos, o sea se suman los vectores momento de los pares.Se tienen dos pares aplicados a un cuerpo:

Fr

Fr

+= )( FxrFxroM OBOAv

r

r

r

r

BAOBOA rrr rrr

+=

FxrFxrrMo OBBAOBr

rr

rr

++= )( += FxrFxrFxrMo OBBAOB

r

r

r

r

r

r

FxrOBr

r

FxroM BAr

r

r

=

r

Momento del par,

M

Vector momento

del par,r

F

F

d M=F*d

M1

M2 Par 1

Par 2

X

Y

Z


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Sumando sus efectos, tenemos:

resultante

Se suman los vectores de momento componente a componente.

EJERCICIOS DE PARES:

1. Determinar el momento con respecto a B que ejercen la fuerza FAy el par.

El momento resultante con respecto a B, es la suma del efecto de rotacin de la fuerza en A y el efecto de rotacipar.

2. Determinar la magnitud de las fuerzas F que producen el mismo efecto que el par del problema 1 si se aplicalos extremos de la barra de 3m.

3. Determinar cuales de las siguientes fuerzas forman pares y dibujar el vector del par mostrando su direccsentido.

=+= MMMMrrrr

21 )22()11( FxrFxrresulMr

r

r

r

r

+=

kzMzMjyMyMixMxMresuMr

rrr

).21().21().21(. +++++=

kenmNmNNmMBr

.1000.200200*4 ==

3m

2m

3m

4N

4N

3N

4N

4N

3N

4N4N

4N3N

4N4N

Dibujar momentos de los pares

FB=100NFA=200N

Par=200N-m

A B

4m

3mA B


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TRASLACIN DE FUERZAS

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo rgido se produce en l un efecto de traslacin y un efecto de rotacin.El efecto de rotacin depende del punto de aplicacin de la fuerza, por lo tanto, una fuerza no se puede trasladotro punto o cambiar su punto de aplicacin sin antes considerar que el efecto de rotacin puede variar.

Para trasladar una fuerza a otro punto de aplicacin y continuar ejerciendo sobre el cuerpo afectado el mismo ede rotacin y traslacin se puede hacer lo siguiente:

Si la fuerza aplicada acta en el punto A y se quiere trasladar al punto O conservando el efecto de traslacrotacin, entonces:

en O se suma y se resta un vector igual al vector fuerza aplicado en A. En esta operacin no se cambiacondiciones ni los efectos sobre el cuerpo ya que el efecto de estas dos nuevas fuerzas se anula.

Observando la figura se nota que queda una fuerza aplicada en O mas un par de fuerzas conformadas por

aplicada en O y aplicada en A. El efecto cuyo efecto de rotacin de este par de fuerzas corresponde al momen

con respecto a O, . El hecho de mover la fuerza de A a O implica que tengamos que sumafuerza en O el efecto de rotacin que esta tena cuando estaba aplicada en A.

El sistema resultante se llama sistema fuerza-pary esta compuesto por una fuerza y un par que son perpendicuentre s.

Si se quiere hacer un nuevo traslado a otro punto, por ejemplo al punto B, se sigue la misma metodologa; pero ydebe considerar tanto el traslado de la fuerza como el efecto del par que la acompaa teniendo en cuenta que ees un vector libre y se puede trasladar directamente:

Fr

Fr

Fr

Fr

Fr FxrM OAOA

r

r

r

=

A

X

YO

ZF

rOA

F

-F

X

YO

Z

MA


23/80



23

En el nuevo punto de traslado B se tiene:

Se puede haber hecho el traslado directamente de A a B y obtenemos el mismo resultado:

RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS Y PARES

Cuando se trabaja con partculas se encuentr que el efecto de todo un sistema de fuerzas aplicado a la parestaba dado por el efecto de la fuerza resultante R. Losefectos de todas estas fuerzas se podan expresar solamcomo traslaciones ya que los efectos de rotacin en el punto que ocupa la partcula eran nulos (no hay distancia

tanto no hay momento).Para sumar estas fuerzas solamente se aplicaba la suma por descomposicin:

En un cuerpo rgido es diferente ya que cada fuerza puede tener un punto de aplicacin distinto y sus efectorotacin se deben tener en cuenta. Cmo encontrar los efectos de traslacin y rotacin de un sistema de fuaplicado a un cuerpo rgido?. El problema radica en que las lneas de accin de las fuerzas no coinciden en un pesto es, no se pueden sumar directamente las fuerzas y olvidarnos de su punto de aplicacin.

Para solucionar esto se pueden hacer coincidir todas las fuerzas en un solo punto por medio del traslado y asumar fuerzas y momentos de traslado directamente. El resultado ser un sistema fuerza-par resultantes qunecesariamente son perpendiculares entre s. (por qu?).

ByOenparnuevodelMomentoMototalMB +=

MoxFoxFrMototalM oboB =+=

AOAoBOB FxrFxrtotalMr

r

r

r

+=

FxrrtotalM OABOBr

rr )( +=

FxrtotalM BABr

r

=

= FRrr

FFr

Fr

oMr

B

r

Fr

MB

B

A


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24

Para este sistema de fuerzas compuesto por fuerzas y pares se encontrar la resultante en el punto O.Se trasladan todas las fuerzas a O y se suman fuerzas y momentos de traslado con pares iniciales as:

Donde:

o sea que la suma de momentos se puede realizar escalarmente considerando momentos con respecto a loscoordenados ( fuerzas y distancias perpendiculares entre si) quedando reducido el sistema a una sola fuerza Rpar MR.

=+++= RFnFFFFr

....321

=RFrr

=== RzFzRyFyRxFx ;;

2144332211 MMFxrFxrFxrFxrM OR

rrr

r

r

r

r

r

r

r

r

+++++=.....321 +++= OOOO

R MMMMr

OZR

OYR

XOR

OR

MMMMrrrr

++=

OpuntoelporpasaqueXejealrespectocontotalmomentoelesM XOR

OpuntoelporpasaqueYejealrespectocontotalmomentoelesyM OR

OpuntoelporpasaqueZejealrespectocontotalmomentoeleszM OR

M1

F2

F1

F3

X

Y

Z

F4

M2

Sistema de Fuerza y Paresaplicados a un cuerpo rgido

X

Y

Z R

MR


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REDUCCIN DE UN SISTEMA FUERZA-PAR EN UN PUNTO A UN SISTEMA FUERZA EN OTRO PUNTO

Esta situacin es como devolverse en la operacin anterior. Originalmente tenamos una fuerza y la trasladamotro punto conformando un sistema fuerza-par, ahora queremos es encontrar el punto de aplicacin de esa fuertal manera que produzca el mismo efecto de rotacin que el par y que al trasladarla all la suma de pares, el origel de traslado de cero:

Quiere decir que al trasladar a Fal punto A se reemplaz el efecto de rotacin del par o explicado de otra maneaplicada en A produce el mismo efecto, tanto de traslacin como de rotacin, que el sistema fuerza-par en Otraslado se hace de tal manera que el momento o par en A sea igual a cero:

en 1 el vector de posicin parte del punto A a encontrar y llega al punto original; en 2 el vector parte del punto ory llega al punto A a encontrar y se invierte el signo de Mo. De esta forma el sistema fuerza par original qreducido a una sola fuerza. Notemos que para poder hacer esta reduccin la fuerza y el par original debeperpendiculares entre si, porque sino nunca se encontrar por medio del producto vectorial un par que noperpendicular a la fuerza y al vector de posicin rAO y esta suma no dara cero.

Un sistema fuerza-par es factible de reducir a un sistema de una sola fuerza cuando l proviene de un sistemfuerzas que cumpla una de las siguientes caractersticas:

-Solo cuando el par M se obtuvo de traslacin de una sola fuerza F-Cuando el sistema de fuerzas originales a reducir a R y MResta constituido por fuerzas concurrentes. En esteno habra que hacer reduccin ya que solo existe R-Cuando el sistema de fuerzas original est constituido por fuerzas coplanarias-Cuando el sistema de fuerzas original est constituido por fuerzas paralelasen estos dos ltimos casos el vector momento de estas fuerzas siempre ser perpendicular al plano que contienefuerzas.

0=+= AAOOA FxrMMr

r

rr

OAO MFxrrr

r

=)1

OOA MFxrrr

r

=)2

M1

-

FAFO

X

Y

Z

rAO

O

A

FA

X

Y

Z

rAO

O

A

Sistema de una sola fuerza aplicadaen ASistema de una fuerza y un par aplicadosen A


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Desarrollando las ecuaciones planteadas en 1 y 2 tenemos que la incgnita a encontrar son las coordenadas del p

A, en este caso expresadas en el vector de posicin r:

Este determinante nos da un sistema de tres ecuaciones independientes con tres incgnitas:

El vector rOAest expresado en funcin de las coordenadas del punto O y las coordenadas del punto A. Notemosel punto A de traslado de la fuerza no es nico ya que nosotros podemos mover la fuerza sobre su lnea de acclos efectos son los mismos. Por lo tanto al resolver este sistema de ecuaciones nosotros vamos a encontrar ecuacin de una lnea recta en el espacio y cualquier punto sobre esa lnea es valido para trasladar la fuerza. P

tanto podramos asumir por ejemplo un valor de Z y encontrar las X y Y correspondientes a ese valor o viceverslos valores de X o Y, as nosotros podemos localizar a A sobre un plano especifico. Si hacemos Z=0 estaramos en el plano XY.

En el caso de que trabajemos en dos dimensiones encontraremos una ecuacin con dos incgnitas que seracoordenadas x y del punto a encontrar. Este sistema necesitara asumir un valor ya sea de y o de x para encontrar el otro. Note que la ecuacin que encontramos es la ecuacin de la lnea de accin de la fuerza de la fy=mx+b.

Queremos trasladar la fuerza F al punto A:

1. Sumamos y restamos F en A.2. Encontramos el momento del par generado:

FzFyFx

zryrxr

kji

FxroM OAOAOAOA == r

r

r

FyzrFzxrMox OAOA ** =

FzxrFxzrMoy OAOA ** =

FxyrFyxrMoz OAOA ** =

FxyFyxFxrM AOA ** == r

-

y

Mp

rAO


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27

3. Sumamos pares en A e igualamos a cero.

despejando y en funcin de x:

note que esta ecuacin constituye la ecuacin de una lnea recta con pendiente m=Fy/Fx y con termino independigual a Mp/Fx.

Ejemplo:

Reemplazar la fuerza y el par por una nica fuerza actuando sobre la lnea AB y sobre la lnea AC.

El par compuesto por las fuerzas de 20N constituye un vector libre e igual a M=20N*3m=60N-m en el sentido hoEncontremos la ecuacin de la lnea de accin de F para la cual este sistema fuerza par se convierte en unafuerza:

Para que la fuerza produzca el mismo efecto de rotacin que el par debemos correrla hacia la izquierda del punen ese punto note que ella tendera a hacer rotar el cuerpo en el sentido horario. De entrada no nos debpreocupar para que lado se debe mover la fuerza, podemos asumir un lado y el signo de la coordenada halladadir si ese lado es correcto o no, en este caso la moveremos para el otro lado y confirmaremos esta teora.

Asumiendo el punto E como el punto de aplicacin de la fuerza nica y el origen en B, tenemos:

realizando la multiplicacin vectorial o tambin en forma escalar, obtenemos:

el valor negativo de x indica que es para el otro lado de donde se asumi originalmente. Note que en este caasumimos un valor de y igual a cero, una solucin mas general es colocar el punto E en un sitio donde tcoordenadas x y:

0=+ AMMp)**( FxyFyxMp =

Fx

Fyx

Fx

Mpy

*=

0.60 =+= xFrmNM EBBixrEBr

.=

jsenNiNF rr

.30*35.30cos*35 +=

xsenNmN *30*35.600 =

msenN

mNx 43,3

30*35

60=

=

3m 3m

3m

A

20N

20N

35N

B

C D

30

3m

A

60N-m

Fy35N

B

C D

30

Fx E

x

35N


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en esta ecuacin para y=0 nos dara un valor de x=-3,43m igual al anterior. Note que la pendiente de la recta misma pendiente de la fuerza original ya que la fuerza nica tiene que ser exactamente igual a esta.

Para encontrar el intercepto con la lnea AC entonces el valor de x en esa lnea sera igual a 3m, de acuerdonuestro origen:

medido a partir del punto B.

CUESTIONARIO #3

1. Qu es un sistema resultante fuerza-par?

2. Cundo se dice que dos pares son equivalentes?

3. Cuando Un sistema fuerza-par es factible de reducir a un sistema de una sola fuerza?

+== )30cos.35*30.35*(.600 ysenxmNMBy

senNxmN=

30cos.35

30.35*.60

xmy *30tan98,1 =

mmmy 71,3)3(*30tan98,1 ==

3m

3m

A

60N-m

Fy35N

B

C D

30

Fx

E

x

35N

y

rEB

3m

3m

A

35N

B

C D

30

0 71m


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UNIDAD O TEMA: EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS

TITULO: Diagramas de Cuerpo Libre

EQUILIBRIO DE PARTCULAS

IDENTIFICACIN DE LOS TIPOS DE FUERZAS EJERCIDAS ENTRE LOS CUERPOS, DIAGRAMAS DE CUELIBRE

Para analizar los efectos que ejercen los cuerpos sobre otro trabajamos sobre un modelo que llamamos diagramcuerpo libre (D.C.L). El diagrama de cuerpo libre consiste en aislar el cuerpo estudiado, dibujarlo solo, reemplazcada cuerpo que est en contacto con l por la fuerza correspondiente. Para hacer un buen D.C.L. identificaremoprincipales tipos de fuerzas que se ejercen entre los cuerpos.

Fuerzas externas en un cuerpo: Son aquellas fuerzas ejercidas por otros cuerpos.

Fuerzas internas: fuerzas ejercidas por las mismas partes del cuerpo y que hacen que el funcione como una unida

Como estas fuerzas hacen parte del mismo cuerpo nunca se dibujan en un D.C.LFuerzas puntuales: se ejercen sobre un solo punto del cuerpo. Fuerzas de cables o puntales.

Fuerzas distribuidas o de superficie: Son ejercidas sobre un superficie de contacto o sobre un rea. Caso de nuepies sobre el suelo. Estas fuerzas se expresan por unidad de longitud o de rea.

Fuerzas gravitatorias: Fuerzas de atraccin entre cuerpos. Caso del peso de un cuerpo, W = m.g, para los cuanalizados en este curso esta fuerza siempreestar en el D.C.L.

Tipos de fuerzas de acuerdo con su or igen:

Fuerzas de contacto: Cuando dos cuerpos estn en contacto se pueden dar fuerzas puntuales y fuerzas distribuEn ambos casos la fuerza de contacto se puede expresar en funcin de sus componentes, una normal a la supede contacto, que la llamamos normal, y otra paralela que corresponde a la fuerza de friccin. La normal y la de frison fuerzas que tienen caractersticas diferentes. La normal siempre estar presente, mientras que la fuerzfriccin depende de las caractersticas de los materiales en contacto.

Fuerzas de cables y cuerdas; Un cable siempre ejerce un fuerza en la misma direccin del cable y siempre afuera del cuerpo afectado. Piense en empujar un carrito con una cuerda o tira. Imposible!. por eso se llama ttirante, siempre su efecto es de halar y no de empujar.

F

Ffr

NF

Ffr

N

Fuerza puntual Fuerza distribuida


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Fuerzas de cables sobre poleas: para realizar el diagrama de cuerpo libre de la polea o del cable habra que seambos cuerpos y dibujar las fuerzas que se estn ejerciendo sobre ellos, en este caso como no es un punto niccontacto entonces se ejercen fuerzas distribuidas, normales a la superficie (radiales) y perpendiculares a ellafriccin tangenciales).

Fuerzas ejercidas por resortes: Un resorte puede tanto empujar como tirar. La fuerza de un resorte siempproporcional a la deformacin y se conoce como fuerza elstica. Dependiendo de si se analiza el resorte o el cuecuerpos que estn en contacto con l, el diagrama de cuerpo libre, DCL, ser:

Esquema general

De la pared

Del objeto

Del cable

De la polea

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

Del cable mas la polea, note que desaparecen las fuerzasdistribuidas (son internas entre cable y polea)

T

T

T

T

T

W

T

Fuerzas de

contacto en elperno

D.C.L del poste

T, tensindel cable

W

N

Ffr

Fuerza sobre elanclaje

Poste con contraviento

Resorte comprimidoFuerzas de la paredsobre el resorte

Fuerza del resorte sobrela pared

Resorte estirado


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. donde:k es la constante de rigidez del resorte.

L es el cambio de longitud del resorte.

Las fuerzas ejercidas por cuerpos deformables se pueden modelar por medio de resortes, por ejemplo, la f

ejercida por un suelo blando sobre mi pie constituye una fuerza elstica ( o sea de resorte) sobre m.

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

Estudiaremos primero el efecto de las fuerzas sobre cuerpos que se pueden modelar como una partcula, oaquellos donde todas las fuerzas son concurrentes en un punto o aquellos cuerpos donde no se producen efectorotacin y el movimiento solo puede darse en una direccin (cuerpos sometidos a fuerzas paralelas sin efecrotacin).

La condicin para que una partcula est en equilibrio o reposo es que la fuerza neta aplicada sobre ella sea igcero (primera ley de Newton). Esta condicin implica que la resultante R sea cero y por lo tanto no se produefectos de traslacin sobre el cuerpo en ninguna direccin.

Notemos que cuando se habla de un vector igual a cero se est condicionando a que cada una de sus componesea cero. En ningn caso una componente anula a otra componente, por lo tanto es condicin necesaria que componente sea cero.

esta ecuacin es una ecuacin vectorial. Al descomponer las fuerzas y hacer la sumatoriacomponentes nos resultan tres ecuaciones escalares independientes:

Tanto la resultante de las fuerzas en X como la de Y y la de Z deben ser iguacero.

En el caso de estudiar cuerpos modelados en un plano XY, la componente en Z de las fuerzas, de hecho es igcero, por lo tanto las condiciones o ecuaciones de equilibrio independientes son dos, en vez de tres.

Ejemplos

1.

Una barra de 200 lb es suspendida de tres resortes de igual longitud, con constantes de rigidez kc=kA=400 lp/kB=300 lb/pie. Determine las tensiones en los resortes si la barra permanece horizontal.

LkFr = .

LinicialLfinalL +=

= 0Fr

= 0Fx = 0Fy = 0Fz

kFzjFyiFxFr

rrrr

...0 ++==

A B C


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Siempre que resolvemos un problema debemos plantear desde el principio la ecuacin o ecuaciones que necesitpara resolver las incgnitas. Aqu la ecuacin principal es la ecuacin de equilibrio de la barra. Por que se paplicar esta ecuacin si las fuerzas no son concurrentes?.

2.

Se suspende un objeto del sistema de resortes mostrado en la figura. El objeto alcanza el equilibrio en la poindicada. Sabiendo que la longitud del resorte AB sin estirar es de 2m determinar la masa del objeto suspendido

3.Determinar la cadena mas corta ACB que puede usarse para levantar el cajn si la tensin en la cadena no exceder de 1250 lb. El peso del cajn es de 3,12kN.

Notas de inters:

Cuando se cuelga un objeto de un alambre o cuerda horizontal, esta no permanece horizontal. Compruebe.

3m

3m 4m

A

BC

D

A

FAC

D

FAB

W

121,9cm

28

A

C

B


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Mientras mas inclinado el cable, menor la magnitud de la tensin en la cuerda necesaria para levantar el mismo oPor qu?

Para sostener un cuerpo por medio de dos cables, estos deben estar en el mismo plano en que se encuentra el oa colgar. Compruebe.

Si se cuelga un objeto de un solo cable, este siempre asumir la posicin vertical.

Si un objeto de cuelga de tres cables, las componentes horizontales de las tensiones ejercidas por los cables sobobjeto, se debe compensar. Esto implica que se deben colocar los cables saliendo para diferentes lados del objetconcentrarlos todos en el mismo lado, pues el objeto no se mantendra en esa posicin.

Si se sostiene un objeto por medio de tres cables, la forma mas efectiva de que ellos trabajen al mximcolocndolos verticalmente. Para dar estabilidad horizontal se pueden colocar de tal manera que formen un triaen sus soportes, mientras mas largos los cables que sostienen un objeto, menor ser la tensin en ellos.

Si se tienen cables del mismo material y seccin transversal (igual resistencia), la forma ms eficiente de hactrabajar para sostener un objeto colgado, es que todos soporten la misma carga. Cmo debe ser el trangulo qforma con el anclaje de los cables en sus soportes para lograr que todos tengan la misma tensin?

Si se desea levantar un objeto por medio de un cable que pasa a travs de una polea en el techo, el peso mxilevantar es igual al peso de la persona que hala del cable en el otro extremo. Dibuje los DCL y explique.

Cmo, con un cable y una polea, logra reducir la fuerza necesaria para levantar un objeto del piso?

Determine el peso mximo de la placa que puede sostenerse por medio de tres alambres de igual material, tensin mxima que ellos soportan es T.

Coloque los alambres de tal manera que ellos trabajen de la manera mas eficientemente posible, sabiendo que socuenta con una longitud de alambre dada de L.


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Qu datos necesita para este problema:

Radio de la placa

Longitud de los alambres

Posicin de los alambres en la placa

Peso de la placa

Recuerde que en esttica de partculas no se cuenta sino con 3 ecuaciones de equilibrio, por lo tanto no puede hmas de tres incgnitas por resolver.

Una torre de una antena repetidora se sostiene en forma vertical con la ayuda de tres cables contravieDeterminar la posicin en que se deben anclar los alambres al piso cuando se somete la torre a una fuerza horizde viento de 100N. Se cuenta con cables que soportan una tensin mxima de 600N.

Para anclar los alambres se cuenta con un rea cuadrada de 5mx5m alrededor de la torre. Uno de los cables puede anclar directamente al terreno sino que se ancla por medio de un muerto en concreto consistente eparaleleppedo de 0,40x0,40x0,30m (concreto=24kN/m3).

Se sabe que entre el suelo y el concreto se desarrolla un coeficiente de friccin esttico de 0,50.

La torre mide 4m de altura.

Son suficientes los datos para resolver este problema?

Fuerza del viento


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Una lmpara descolgable se sostiene por medio de 2 cables anclados al techo y por un tercero, que pasa a travun a polea anclada al techo soportando en el otro extremo una masa de 100kg. El tercer cable se usa para regualtura de la lmpara con respecto al piso.

Determinar la posicin de la polea en el techo de tal manera que la lmpara se mantenga en la posicin y aindicadas y el peso de la lmpara.

Se sabe que las magnitudes de las tensiones en los dos cables anclados al techo son: TAB=300N y TAC=200N.

Para que el tercer cable cumpla con la funcin de regular la altura de lmpara es necesario que la posicin de la en el techo se encuentre a mas de 3m de distancia horizontal de la lmpara (un radio en planta de 3m medidrespecto al centro de la lmpara). Esta condicin simplemente es de funcionalidad y se verificar despuencontrar, por equilibrio, la posicin de la polea.

Si no cumple esta condicin usted que hara para poder localizar la polea en este radio:

Disminuir la masa que cuelga del cable regulador?Aumentar la masa?Mover la posicin de los otros cables?

CUESTIONARIO #4

1. Con cuantas ecuaciones contamos para verificar el equilibrio de partculas o cuerpos rgidos?

2. Qu es el diagrama de cuerpo libre y para que se utiliza?

3. Cmo se clasifican las fuerzas de acuerdo a su origen?

1m 4m

2m

3m

B

C

A

2m


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UNIDAD O TEMA: FUERZAS DISTRIBUIDAS

TITULO: Centroides y centros de gravedad

FUERZAS DISTRIBUIDAS

Entre los tipos de fuerzas ejercidas entre dos cuerpos tenemos las puntualeso concentradas y las distribuidas esuperficie. En este captulo estudiaremos el efecto de las fuerzas distribuidas.

Se considera que una fuerza es distribuida cuando no acta en un solo punto sino sobre en una superficie dadeste caso la fuerza se expresa como una presin que tiene unidades de fuerza sobre rea (F/A y en el sisinternacional N/m

2=Pa, Pascal). Un ejemplo de este tipo de fuerza es la que se ejerce entre nuestro zapato y el

de apoyo. Note que mientras mas grande sea el rea en que nos apoyamos la presin es menor ya que la m

fuerza se distribuye en un rea mayor.

En el caso particular en que el rea de contacto entre dos cuerpos sea de ancho constante y mucho menor q

longitud podemos expresar la fuerza distribuida no por unidad de rea sino por unidad de longitud, en este tendramos una fuerza distribuida en una lnea y no en un rea. Este tipo de carga se conoce como carga distrilineal y se representa por la letra (omega, minscula). Note que las unidades de son: fuerza/longitud y nfuerza solamente y que su magnitud representa la altura del diagrama de la carga distribuida.

Otro tipo de fuerza que se ejerce en forma distribuida es el peso de los cuerpos. Valindonos del concepto deespecifico como peso por unidad de volumen notamos que este no es mas que la distribucin del peso total volumen que ocupa el cuerpo. Sus unidades son de fuerza por volumen, F/L

3.

Una vez concebido el concepto de fuerzas distribuidas podemos preguntarnos como calculamos el efecto totestas sobre un cuerpo dado. Podramos aplicar el concepto de sistemas equivalentes de fuerzas y en vez de tra


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con fuerzas distribuidas como tales trabajar con una fuerza equivalente que represente el total de la carga distriejercida en un cuerpo. Partiremos de un ejemplo de sistemas de fuerzas para explicar este tema.

En una viga dada estn actuando una serie de cargas puntuales como se indica en la figura, se quiere determinresultante de este sistema y su punto de aplicacin:

Tenemos dos formas de pasar del sistema de fuerzas I al sistema de fuerzas II, una de ellas consiste en trastodas las fuerzas a un punto del cual desconocemos su ubicacin pero que al ser trasladadas all el momresultante de traslado sea igual a cero, as reduje el sistema a una sola fuerza de resultante ubicada en ese pOtro mtodo es trabajando por sistemas de fuerzas equivalentes: para que ambos sistemas de fuerzas equivalentes, o sea que produzcan los mismos efectos de traslacin y de rotacin al cuerpo rgido cumpliendsiguientes igualdades:

1. Por el primer mtodo tenemos: Para trasladar cada fuerza, sumo y resto cada fuerza en el punto de traslaqueda un sistema de fuerza par en el nuevo punto, as con todas las otras fuerzas llegamos a tener unas fucongruentes en el punto pacompaada de unos pares en funcin de la distancia x. Como todas las fuerzas ycongruentes se suman y se encuentra una fuerza resultante; lo mismo para los pares, encontrando un par resultYa que lo que queremos encontrar es el punto de aplicacin de esta resultante donde el par que la acompae seaigualamos el par resultante a cero y encontramos la distancia x.


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Note que cada par de traslado corresponde al momento de la fuerza con respecto al punto al cual la vamtrasladar, para hallar estos momentos se asumi una posicin del punto py de acuerdo con ella se colocasignos a los pares de traslado, si encontramos un valor negativo para x quiere decir que el lado donde actresultante no es este sino el lado contrario al asumido.

Al desarrollar las ecuaciones anteriores encontramos el valor de la resultante y el valor de x:

todas las fuerzas se cancelan y quedan solo las distancias en metros y la distancia x:

As nuestro sistema equivalente de una sola fuerza es igual a una resultante vertical R=25N aplicada a 2,5mextremo izquierdo de la viga.

2. Por el segundo mtodo se plantean las ecuaciones de equivalencia


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en la ecuacin anterior note que en el sistema II su resultante no produce momentos con respecto a pya que ellaaplicada en ese punto. Observemos que es exactamente la misma ecuacin de momentos de traslado del mtpor lo tanto el valor de x es el mismo.

Tomando la ecuacin de momentos podemos generalizar el punto de aplicacin de la resultante de un sistemfuerzas compuesto por fuerzas de igual magnitud, direccin y sentido:

El punto de aplicacin se mide en una distancia perpendicular a las lneas de accin de las fuerzas, en este caso fmedida a partir del extremo izquierdo de la viga:

donde dies la distancia de cada una de las fuerzas al mismo punto desde donde se mide x.

Cargas distribuidas en una longitud:

Analicemos que pasa cuando estas fuerzas se expresan como una carga distribuida sobre la viga:

Pensemos en cada una de estas fuerzas representa a una persona que se par sobre la viga, todas en este pesan lo mismo y su peso est siendo transmitido por accin reaccin a la viga. Las personas se paran de tal mque quedan a un metro una de otra. Pensemos que pasa si esta fuerza no fuera transmitida en forma tan puntuaque nos pusiramos unos zapatos gruesos y bien largos por decir de un metro de largo. El peso no se transmpuntualmente a la viga sino en una longitud de viga igual a 1m. Se puede decir que ese peso est repartido emetro de longitud y la carga equivalente entonces sera 5N/m.

Convirtamos el sistema de fuerzas compuesto por las fuerzas distribuidas en una sola fuerza y encontremos su pde aplicacin:

Por intuicin usted podra decir que la fuerza total sobre la viga es *L, esta multiplicacin nos dara en unidadefuerza y correspondera a la fuerza resultante sobre la viga. Esta hiptesis puede ser cierta, pero conocemos dacta esta fuerza? Y si no fuera constante en toda la longitud esto se cumple?

Para que nuestro mtodo sea general utilizaremos este ejemplo y despus lo generalizaremos.


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Si trabajamos con longitudes de vigas pequeas el resultado ser mas exacto, considerando solo un tramo de lahallamos la fuerza resultante en este pedacito como:

actuando a una distancia xi del extremo de la viga

Al igual que hicimos en el ejemplo anterior aplicamos equivalencia entre los dos sistemas de fuerzas:

despejando R y X de estas ecuaciones tenemos:

En el lmite cuando x se hace muy pequeo, estas sumatorias se convierten en integrales.


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En los casos generales la carga distribuida se expresa como una funcin de x, no olvidemos que esta carga pvariar en cada punto de la viga y que su magnitud esta representada por la altura de la curva de carga.

Al analizar estas sumatorias e integrales y compararlas con una curva normal de una funcin f(x) nos damos cque la resultante no es mas que el rea bajo la curva de carga. Esta conclusin nos sirve para encontrar cuaresultante solamente considerando el rea de la grafica de . Para figuras geomtricas con reas simples estpresta una gran ayuda ya que no tendramos que integrar. Al punto de aplicacin de la resultante definido a

distancia X corresponde al centroide del rea de carga y se se designa como .

Podemos decir que *dx representa el rea de la curva de carga en ese pedacito de viga y por ese motivo se prepresentar como un dA, aunque en realidad no tiene unidades de rea. La integral de momento la expresamfuncin de este dA:

esta ecuacin se conoce como el primer momento del rea con respecto al eje y.

PESO EXPRESADO COMO UNA CARGA DISTRIBUIDA

El peso es la fuerza de atraccin que ejerce la tierra sobre cada cuerpo que se encuentra en su superficie o cercella. Esta fuerza se ejerce sobre cada una de las partes que conforman el cuerpo de acuerdo con su masa, podrdecir que en un cuerpo no acta una fuerza nica de atraccin sino que se ejercen tantas fuerzas atraccin partes constitutivas tenga el cuerpo.

Para analizar el valor del peso de un cuerpo nos valemos de los conceptos de densidad () y peso especifico (

material. Se entiende por densidad la masa sobre unidad de volumen (=m/V) y como peso especifico el pes

cuerpo sobre el volumen (=W/V). Para pasar de masa a fuerza o peso sabemos por la segunda ley de Newton qu

Peso = masa * aceleracin de la gravedad

Aplicada al peso especifico y a la densidad tenemos:

peso especifico = densidad por la aceleracin de la gravedad.


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El peso especifico es propio de cada material as como la densidad de masa tambin es una propiedad del maque constituye a un cuerpo. Este valor no depende de la geometra del cuerpo ya que est expresado por unidvolumen.

Para hallar el peso de un elemento de cierto material no tendramos sino que multiplicar el peso especifico pvolumen y obtenemos un peso en unidades de fuerza, hasta aqu el problema es sencillo, pero s nos preguntdnde acta esta fuerza lo sabemos?

Para responder esta pregunta trabajemos como ejemplo un elemento viga con seccin transversal constante y

material tiene un peso especifico

Caso de elementos largos, una de sus dimensiones es mucho mas grande que sus otras dos:

El peso total de este elemento es:

Para hallar la ubicacin de este peso podemos considerar la viga como una suma de elementos pequeitos de

transversal igual aAt=t*h y de longitud dL. El peso de cada uno de estos pedacitos de viga estara dado por w=At. Como el volumen de todos los pedacitos es igual los pesos correspondientes son tambin iguales. Si distribuim

peso de cada pedazo de viga en su propia longitud dL nos queda una carga distribuida por unidad de longitutoda la viga igual a:

de esta forma hemos expresado el peso como una carga distribuida por unidad de longitud en funcin de la setransversal del elemento y del peso especifico del material. Si lo vemos de frente tenemos:

la resultante de este sistema de cargas es el rea bajo la curva de carga, en este caso una carga uniforme y su es un rectngulo:


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resultado que ya conocamos de antemano y cuya ubicacin de la resultante corresponde al eje vertical de simetrla figura de carga, x=L/2. Esta ubicacin se puede comprobar haciendo la equivalencia entre los dos sistemafuerzas y tomando momentos respecto a un punto cualquiera A:

Momento del sistema de cargas distribuidas:

donde lies la distancia al punto A de cada uno de los pesos de cada pedazo de viga.

Momento del sistema de cargas correspondiente al peso total W:

igualando los dos sistemas y despejando para X:

Se puede concluir que la localizacin de la resultante del peso de un elemento con rea transversal constadensidad constante no depende del rea de la seccin ni de la densidad del material, siempre ser en L/2.

Que pasara en el caso de que la altura del elemento no fuera constante?

Para elementos con altura variable pero donde su espesor t se mantenga en toda la longitud el valor del peso

ubicacin lo calculamos as:


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Igual que en la viga de seccin transversal constante se divide el elemento en pedazos y se trabaja con el peso, wcada uno de estos elementos

Estos pesos se pueden representar como cargas distribuidas si los dividimos en su propia longitud dL:

en este caso siendo t constante, la carga distribuida correspondiente al peso del elemento es proporcional a la ahi, por lo tanto la forma de la carga distribuida correspondiente al peso ser proporcional a la altura del elemento,

esta viga la carga tendr forma trapezoidal y sus valores inicial y final se determinan multiplicando el peso espepor el espesor y por la altura en ese p

La resultante de esta carga se determina como el rea bajo la curva de carga, la semisuma de las alturas por la bsu punto de aplicacin lo encontramos por integracin expresando h como una funcin de L o descomponienfigura de carga en un tringulo y un rectngulo y tomando momentos con respecto a un punto cualquie


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Momentos de la carga distribuida:

momentos de la resultante:

igualando y despejando X, tenemos:

en esta ltima ecuacin notamos que la posicin de la resultante no depende del peso especifico ni del espesorde la altura de la figura.

Podemos concluir que para elementos de espesor y peso especifico constante la posicin del peso depnicamente de la geometra longitudinal de la seccin. Por esto podemos decir que el centro de gravedad (donde se aplica el peso) coincide con el centroide del rea frontal del elemento. Para diferentes figuras no eshallar el centroide del rea como el momento de primer orden del rea dividido el rea total

dondeAies el rea longitudinal de cada parte del elemento, en el caso en que este se halla tomado por partes, yla distancia del centroide de cada una de estas partes al punto de referencia. En el caso de hacerlo por integraaltura hidel elemento se debe expresar como una funcin de L.

Para elementos con diferentes formas ya sabemos que la carga distribuida debido al peso es de la misma forma figura del elemento.

En todos estos elementos de espesor constante la forma de la carga distribuida por unidad de longitud debido al propio es proporcional a la altura de la figura.


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En el caso de que las densidades no fueran constantes, el valor no se puede sacar de las sumatorias o integraeste se debe expresar como una funcin de L. En el caso de que el cuerpo este compuesto por otros cuerpdiferente densidad se puede encontrar la resultante del peso y su ubicacin descomponiendo el cuerpo en tpartes como variacin del peso especifico se tenga. De cada componente del cuerpo se halla su peso resultanteubicacin y se reduce este sistema a una sola fuerza por los mtodos conocidos.

2. Caso de elementos planos, las dos dimensiones en planta son mucho mas grandes que la altura del elemento:

Este tipo de cuerpos se denominan placas, ellas pueden ser las mismas figuras analizadas en el numeral anteriorcambiamos su ubicacin, en vez de colocarlas paradas en este caso van acostadas.


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El peso de cualquier cuerpo se puede expresar en funcin del peso especifico y del volumen como:

para encontrar el punto de aplicacin (centro de gravedad), Xcg y Ycg, dividimos la placa en muchos pedpequeos cada uno con su peso propio, wi. Mientras mas pequeos los elementos ellos tienden a considerarse puntos en el espacio y la ubicacin del peso coincide con las coordenadas del punto del elemento, xi, yi.

Haciendo la equivalencia entre los dos sistemas de fuerzas tenemos

el peso de cada elemento es

en el caso de que dx y dy tiendan a cero la sumatoria se convierte en una integral

si se mantiene y h constantes ellos pueden salir de la sumatoria y de la integral y esta se convierte en la suma dreas que no es mas que el rea total. En el caso de que no sean constantes su variacin se debe expresar una funcin del rea y hacen parte de la sumatoria o de la integral.


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Aplicando la equivalencia en rotacin alrededor de cada uno de los ejes tenemos:

Momentos alrededor del eje Y:

igualando momentos y despejando Xcg

aplicando lo mismo a los momentos con respecto al eje X encontramos el Ycg

se puede concluir que cuando la altura h y la densidad del material son constantes el centro de gravedad coincideel centroide del rea.

Haciendo los elementos mas pequeos las sumatorias se convierten en integrales

lo mismo para el Ycg

donde el xiy yirepresentan el centroide del diferencial de rea dA

Determinacin del centroide por integracin:

Para determinar el centroide o centro de rea por integracin debemos considerar un diferencial de rea, dAy cola curva que limita a la figura en cuestin. Podemos definir varios diferenciales de rea y escoger con cual tradependiendo de la figura que tengamos:


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3. Caso de elementos lineales: Estos elementos se conocen como alambres o lneas. Son largos y mantienen sutransversal constante en toda su longitud.


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Al igual que para las placas planas, se divide el elemento en pedazos pequeos y se encuentra por equivalencsistemas de fuerzas el peso total y su localizacin Xcg y Ycg.

donde el diferencial de longitud, dL, se puede expresar en funcin de x y y o tambien en funcin de y

coordenadas polares.

OTROS TIPOS DE FUERZAS QUE SE PUEDEN EXPRESAR COMO CARGAS DISTRIBUIDAS POR UNIDALONGITUD

Todas aquellas fuerzas que se ejercen sobre superficies donde una de sus dimensiones se mantiene constanpueden convertir en fuerzas por unidad de longitud.

El caso de fuerzas por viento o por empuje de lquidos o tierra sobre superficies verticales se puede considerar cfuerzas distribuidas y aunque, no sean verticales, en todos los casos se trabajan de la misma manera que las fuevistas hasta ahora.

Para fuerzas sobre superficies que contienen lquidos estudiaremos la ley de Pascal: la presin, p, a la cual sometida una partcula cuando est dentro de un fluido en reposo, es igual en todas las direcciones y su magdepende del peso especifico del lquido y de la profundidad a la que se encuentre la partcula.


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Si hacemos el diagrama de cuerpo libre de la partcula observamos que ella est soportando el peso de lquidoest por encima, w=.z; para que la partcula se mantenga en equilibrio debe existir una fuerza igual y de secontrario que compense el efecto de este peso, entonces existe una presin igual para arriba. Lo mismo pasa eotras direcciones, dndonos como resultado una presin igual en todas las direcciones (se puede ver la demostraen cualquier libro de mecnica de fluidos).

En envases que contienen lquidos, las partculas adyacentes al envase estn sometidas a una presin ppor edel lquido. Al lado del recipiente debe existir una fuerza igual en magnitud, direccin y sentido contrario a esta pr

ejercida ya que la partcula no esta en movimiento. Por accin reaccin vemos que sobre el recipiente se ejercpresin igual a la que se ejerce sobre la partcula dentro del fluido. Esta presin, como ya vimos, es proporciopeso especifico del lquido y a la profundidad z.

CUESTIONARIO #5

1. Cmo se calcula la resultante de una carga distribuida?

2. Cmo se puede aplicar el peso de un cuerpo en funcin de una carga distribuida?


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UNIDAD O TEMA: ANALISIS DE ESTRUCTURAS

TITULO: Armaduras

ARMADURAS PLANAS

Uno de los elementos estructurales ms usados en Instalaciones Agrcolas son las Cerchas o Armaduras, las csoportan cargas elevadas y cubren grandes luces, generalmente se utilizan en cubiertas de techos y puenteanlisis de las condiciones de estabilidad que deben cumplir cuando sobre ellas son aplicadas cargas de trcorresponden al desarrollo del presente tema.

Es una estructura reticulada simple formado por elementos rectos de seccin constante, cuya longitud supera vveces su seccin transversal, se conocen como barras y se conectan rgidamente en sus extremos denominnodos o nudos, los esfuerzos actan a lo largo de su eje longitudinal.

Las Armaduras planas o cerchas se utilizan para soportar cargas elevadas y cubrir grandes luces, pueden consten maderas o acero y usadas en cubiertas de techos, puentes, gras, torres, etc.

ANALISIS DE LAS ARMADURAS

Para el anlisis de las armaduras se parte de varias hiptesis de trabajo, que aunque no se presentan exactamcomo se asumen, permiten simplificar los clculos y dar resultados lo mas cercanos posibles a la realidad

HIPTESIS DE TRABAJO:

1. Las barras de la armadura estn unidas mediante pasadores lisos colocados en sus extremos.2. Las cargas y reacciones actan en los nodos.3. Las barras tienen un peso despreciable.

CONSTRUCCION DE UNA ARMADURA

Con el fin de obtener la rigidez de la armadura las barras deben tener una disposicin triangular, porgeomtricamente una figura indeformable, unidas de dos en dos en sus extremos mediante pasadores lisos.

Las uniones de las barras se llaman nudos, nodos o juntas y se resuelven generalmente con placas metllamadas cartelas.


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Partiendo del tringulo base, formado por 3 nudos (ABC ) y tres barras (AB, AC, BC) por cada nuevo nudo (Dnecesitan dos barras (BD, CD), no alineadas, para formar un nuevo triangulo, generando estructuras rgidas.

CONDICIN DE RIGIDEZ DE LAS ARMADURAS

La rigidez de una armadura esta determinada por su capacidad de mantener la forma original luego de ser apliclas cargas de trabajo. La rigidez mide la estabilidad estructural de la armadura.

La Ecuacin que expresa los requisitos necesarios para que una estructura armada plana sea rgida ser:

b = 2n 3 Rgida Isosttica -Es una armadura estticamente determinada

Cuando las condiciones son:

b 2n 3 Hiperrgida Superrgida-Estticamente indeterminada

b < 2n 3 Hiporrgida Inestable- Estticamente indeterminada

Donde : b = nmero de barras; n = nmero de nudos

Observe el grfico, en este caso se tiene:

Barras = 5 (AB-AD-BC-BD-DC)Nodos = 4 (A-B-C-D)

Al aplicar la ecuacin se obtiene:b = 2 x 4 -3 = 5

Se chequea el resultado y que las barras formen tringulos entre s.


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EQUILIBRIO EN LAS ARMADURAS

Externamente se equilibran mediante apoyos isostticos. Los extremos de cada barra son articulaciones de paspermitiendo el giro, alrededor del nudo, el sistema de fuerzas sobre el nodo es concurrente, aplicndose paclculo las ecuaciones de equilibrio: Fy = 0 ; Fx = 0

Cada barra de la armadura se encuentra sometida a un sistema de dos fuerzas, axiales, iguales, opuescolineales, que la mantienen en equilibrio. Se presentan dos tipos de esfuerzos: Traccin y Compresin

ESFUERZOS EN LAS BARRAS

1 . TRACCIN: cuando la fuerza tiende a estirar las fibras internas de la barra, el efecto es de alargamiento. Se tocomo magnitudes positivas para el clculo algebraico.

2. COMPRESIN: cuando la fuerza tiende a acortar las fibras internas de la barra, el efecto es de acortamientotoman como magnitudes negativas para el clculo algebraico.


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En el diagrama se representan las actuaciones de las fuerzas internas sobre las barras y en los nudos. La armaes un sistema en equilibrio externo, al despiezarla se debe buscar el equilibrio interno en cada nudo y en cada bar

MTODOS DE ANLISIS

El anlisis de una armadura se hace con el fin de determinar los esfuerzos que actan sobre las barras, con los cse calculan las dimensiones que tendrn sus secciones transversales.

En primer lugar se debe aplicar las condiciones para el equilibrio externo de la estructura y luego con cualquiera dmtodos de anlisis buscar el equilibrio en cada barra y nudo. Los mtodos de anlisis son por Nudos y por Secci

1. MTODO DE LOS NUDOS O NODOS

Con la armadura del grfico se explica el procedimiento de clculo, los pasos sern:

1. Chequear la estabilidad y rigidez.

2. Dibujar el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).3. Determinar las reacciones en los apoyos para el equilibrio externo.


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4. Analizar la armadura, nudo por nudo. Los extremos de cada una de sus barras son articulaciones de paspermitiendo el giro, alrededor del nudo. El sistema de fuerzas es concurrente, aplicndose para el clculecuaciones de equilibrio:

Fy = 0 ; Fx = 0

Se recomienda comenzar el anlisis por un nudo donde concurran solamente dos (2) barras desconocidas y exfuerzas externas conocidas.

Nudos en cond iciones especiales de carga:

Si en nudo cualquiera concurren tres (3) barras, sin que exista carga externa y dos de ellas son colineales, la tebarra, cualquiera sea su ngulo, tendr una magnitud igual a cero (0). Estos miembros de fuerza cero (0) sirvenincrementar la estabilidad de la armadura, se determinan por inspeccin visual de las juntas.

Caso 1:

En el nudo A, por sumatoria de fuerzas colineales F1=F2, por lo tanto F3 queda con magnitud cero, por no tener fexterna que equilibrar.

Caso 2:

En el nudo A, por sumatoria de fuerzas colineales F1=F3, por lo tanto F2 queda con magnitud cero, por no tener fexterna que equilibrar.


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2. MTODO DE LAS SECCIONES

Procedimiento de clculo:

1. Chequear estabilidad y rigidez.2. Hacer el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL).

3. Determinar las reacciones en los apoyos para equilibrio externo.

4. Se secciona la armadura, cortando imaginariamente tres barras desconocidas, se toma uno de los lados comslido rgido cuyas fuerzas no son concurrentes ni paralelas, las barras seccionadas se toman como cargas extedesconocidas, para el anlisis se aplican las ecuaciones de equilibrio.

Fy = 0 Fx = 0 = 0 o M

Las barras seccionadas se suponen a traccin, magnitudes negativas corresponden a esfuerzos de compresin.De seguida se muestran las secciones de la armadura.


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5. Se toman momentos en un punto donde concurran dos (2) de las barras cuyos esfuerzos se desconocen calcular el esfuerzo de la tercera barra.

PARTES DE UNA ARMADURA DE TECHO TIPICA


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El apoyo A corresponde a una articulacin, el apoyo B corresponde a un rodillo. Las barras que van desde el aizquierdo al apoyo derecho, por la parte de arriba forman el cordn superior de la armadura, sobre el se apoyacorreas que sostienen las laminas de techo y la carga del viento. Las barras que van desde el apoyo izquierapoyo derecho, por la parte de abajo forman el cordn inferior de la armadura, las barras verticales se conocen cmontantes, las inclinadas se conocen como diagonales, la distancia entre apoyos se denomina luz de la armadurdistancia mayor vertical corresponde a la altura de la armadura.

CUESTIONARIO #6

1. Qu es una armadura o cercha?

2. Explique las diferencias entre los dos mtodos indicados para el clculo de esfuerzos internos en

armaduras

3. Cules son los pasos a seguir en ambos mtodos?. Detallelos


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UNIDAD O TEMA: FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

TITULO: Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores

ANLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA

Objetivo: Determinar la respuesta (fuerzas internas y deformaciones) en elementos tipo viga.

Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para comel anlisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componsistema estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga.

Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incgnitas: una fuerza axial, una fcortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el mtodo de las seccionecualquier punto de la viga nos dara como resultado un tramo de viga estticamente determinado con tres ecuacestticas disponibles y tres incgnitas por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremelemento, es decir, aquellas que se ejercen en las uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructde ah proceder a determinar las fuerzas internas por la esttica. Podemos concluir que el elemento a analizestticamente determinado as pertenezca a un sistema indeterminado.

Esto explica porque la metodologa y el objetivo de los mtodos de anlisis es determinar las fuerzas de unin y dseguir con el anlisis independiente de cada elemento.

Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fueextremas como fuerzas de reaccin y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

Fuerzas deextremo Fuerzas de

extremo

Fuerzasinternas


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Notemos que al partir el elemento una seccin ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotrampodemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rgidas y las fuerzas en seccin son iguales y de sentido contrario.Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizar la siguiente convencin:Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotacin horaria del elemento

Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad haca arriba en el elemento horizotracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convencin se puede complicar un poco por lo regir el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada.

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica traccin en el elemento.Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagrade fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variacin de estas fuerlo largo del elemen

estática para arquitectura

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