ensambel dandansistem...
TRANSCRIPT
EnsambelEnsambeldandan SistemSistem InteraktifInteraktif
Ensambel dan Sistem InteraktifEnsambel dan Sistem Interaktif
TopikTopik--topik yang akan dibahas:topik yang akan dibahas: Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi, Ensambel Mikrokanonik (tanpa interaksi,
bab IV)bab IV)
Ensambel Kanonik (interaksi termal)Ensambel Kanonik (interaksi termal)
Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)Ensambel Kanonik Besar (interaksi difusif)
EnsambelEnsambel KanonikKanonik ((interaksiinteraksi termaltermal))Tinjau 2 sistem A dan A` yang berinteraksi termal, hanya ukurannya yang sangat berlainan, tepatnya salah satu sistem jauh lebih besar dari sistemlainnya. Sistem yang besar dapat dipandang sebagai tandon/reservoar
Sistem yang apabila berinteraksi dengan sistem yang lain seolah-olah tidak mengalami perubahan apapun setelah proses berlangsung dan mencapai
A`, E`
A*
apapun setelah proses berlangsung dan mencapai keseimbangan.A, E
Energi total sistem A dan tandon A` E`EE* +=
Keadaan makro sistem dengan energi E mempunyai banyak sekali keadaan mikro. Interkasi termal menyebabkan aliran panas dari tandon ke dalam
sistem (atau sebaliknya) sampai terjadi keadaan seimbang
Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?
Dalam keadaan seimbang, berapa probabilitas Pr yaitu probabilitas untukmendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergiEr ?
Tinjau Sistem A*
Jumlah total keadaan yang diizinkan pada sistem A* adalah Ω*total
Jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A* dimana sistem A berenergi Eadalah Ω*(E)
Sehingga probabilitas untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaanyang berenergi E adalah
(E)*ΩC(E)*Ω*Ω
1
*Ω
(E)*ΩP(E)
TotTot
===
Ω*(E) dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah keadaan yang diizinkan pada sistem A dan sistem A’
Jika sistem A berenergi E dan jumlah keadaannya adalah Ω(E), maka
sistem A’ berenergi E’ = E* ˗ E dan jumlah keadaannya adalah Ω’(E* ˗ E), sehingga
E)*(EΩ' Ω(E) CP(E)
sehingga E),*(EΩ' Ω(E)(E)*Ω
−=−=
Contoh
Sistem A dan A’ dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*.Kedua sistem mengalami kesetimbangan dengan energi sistem A* adalah 13 satuan E.Tabel berikut menunjukkan energi yang dimiliki sistem A dan A’ dan jumlah keadaanyang berkaitan:
No ETotal EA EA’ Ω (E) Ω’(E’) Ω* (E)
1 13 3 10 2 40 80
2 13 4 9 5 26 130
3 13 5 8 10 16 160
4 13 6 7 17 8 1364 13 6 7 17 8 136
5 13 7 6 25 3 75
Berapakah probabilitas Pr untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu r yang berenergi Er = 3 satuan E ?
E)*(EΩ' Ω(E) CP(E) −=581
802.40 .
581
1P(E) ==
Hitung juga probabilitas untuk mendapatkan sistem A dengan energi yang lain (Er = 4, 5, 6 dan 7 satuan E ?
Keadaan mana yang berpeluang besar mewakili sistem dalam keadaan setimbang tersebut?
Tinjau kembali sistem A dan A’ yang dapat berinteraksi dan berada dalam sistem yang terisolir A*
E)*(EΩ' Ω(E) CP(E) −=
Probabilitas P untuk mendapatkan sistem A berada pada suatu keadaan tertentu yang berenergi Eadalah
Selanjutnya kita ingin mengetahui kondisi seperti apa saat terjadi keseimbangan antara sistem A dan A’
E)*(EΩ'ln Ω(E)lnClnP(E)ln
E)*(EΩ' Ω(E) CP(E)
−++=−=
Saat seimbang, P(E) bernilai maksimum
E)*(EΩ'ln Ω(E)lnClnP(E)ln −++=
ln P(E) bernilai maksimum
0 P(E)ln E
=∂∂ 0E)*(E'ln)(ElnCln
E=−Ω+Ω+
∂∂
0E
E)*E('ln
E
Ω(E)ln =∂
−Ω∂+∂
∂0
E'
)E'('ln
E
Ω(E)ln =∂Ω∂−
∂∂
E'
)E'('ln
E
Ω(E)ln
∂Ω∂=
∂∂)'('β)(β EE =
)'('β)(β EE =E'
)(E'Ω'
)(E''
1
E'
)E'('ln)'E('β
E
Ω(E)
)(E
1
E
Ω(E)ln)E(β
∂∂
Ω=
∂Ω∂=
∂∂
Ω=
∂∂=
Dua kuantitas penting: ln Ω dan β
β satuannya adalah: (energi)˗1
E
Ω(E)
Ω(E)
1
kT
1β
∂∂== k : konstanta Boltzmann
T : Temperatur AbsolutEΩ(E)kT ∂ T : Temperatur Absolut
ln Ω
Jadi saat setimbang: )'('β)(β EE = 'TT =
Ω= lnk S S : Entropi
k : konstanta Boltzmann
Sistem yang Kontak Termal dengan Reservoar Kalor
A`, E`
A, E
A*
A`: Reservoar KalorA : Sistem yang Kecil
Probabilitas sistem A dalam keadaan tertentu r yang berenergi Er adalah Pr
)E*(EΩ' )Ω(E C)(EP rrrr −= )E*(EΩ' )Ω(E C)(EP rrrr −=
rβ'r
rrr
e*)E(')E*E('
Eβ'*)E('lnE'E
'ln*)E('ln)E*E('ln
−Ω=−Ω
−Ω=
∂Ω∂−Ω=−Ω
Sehingga
rr Eβ'Eβ'rrr Ke(E*)eΩ' )Ω(E C)(EP −− == A : konstanta
β‘ : karakteristik reservoar =1/kT’Fungsi Distribusi Kanonik
1Ke)E(Pr
βEr
rr
r∑∑ == −∑ −=
r
βEreK
1
rEβ'rr Ke)(EP −=
Fungsi Distribusi Kanonik:
Konstanta K dapat ditentukan dari syarat normalisasi:
β'β →
∑−
−
=
r
kT
E
kT
E
rr r
r
e
e)E(P
Sehingga Fungsi Distribusi Kanonik dapat dituliskan:
Contoh Penggunaan Distribusi KanonikDistribusi Kanonik
1. ParamagnetismeKita akan menyelidiki sifat magnetik suatu material yang terdiri N0 atom magnetik persatuan volume yang ditempatkan dalam medan magnet luar B dan material tersebut bersuhu T
Bext.
Kasus sederhana : tiap atom magnetiknya berspin ½ dan momen magnetiknya µ0
Tinjau sebuah atom magnetik, berapakah momen magnetik rata-rata dari sebuah atom tersebut?
Keadaan partikel pada sistem di atas adalah sebagai berikut:
1. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang searah dengan medan magnet luar;
2. Ada partikel yang memiliki momen magnetik yang berlawanan arah dengan medan magnet luar.
Distribusi kanonik:
Pr = Ce -βEr
P+ = Ce -βE+ dan P- = Ce -βE-
Energinya:
E+ = -(B) (+µo) = -Bµo
E - = -(B) (-µo) = Bµo
Sehingga:
P+ = Ceβ Bµo dan P- = Ce-β Bµo
Karena hanya ada dua keadaan, maka :
P- + P+ = 1
Ce-β Bµo + Ceβ Bµo = 1, sehinggaoo βBµβBµ ee
1C −+
=
Pernyataan momen magnetik partikel rata-rata dinyatakan oleh:
∑= rrµPµoo
oo
βBµβBµ
βBµo
βBµo
ee
)eµ()eµ(−
−
+−++=
+−= −
−
oo
oo
βBµβBµ
βBµβBµ
o ee
eeµµ
dimana secara umum harga : θtanhee
eeθθ
θθ
=
+−
−
−
sehingga B)βtanh(µµµ oo=ee
+
Jika digunakan definisikT
1β=
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):
µNM =kT
BµtanhNµM o
o=
Deret Mc. Laurin tanh x adalah :
−+−+
+++
−+−−
+++
=...
!2!11...
!2!11
...!2!1
1...!2!1
1
tanh22
22
xxxx
xxxx
x .
!22
2
!32211
tanh 2
3
x
xx
x
+
++−=
1kT
Bµo <<Kasus harga µoB << kT maka nilai
Maka untuk harga x << 1, tanh x = 2x/2 = x
=kT
BµNµM o
o
sehingga
=
kT
BNµM
2o
=
kT
Nµχ
2o
χ: suseptibilitas material
kT
BµtanhNµM o
o=
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):
Hukum Curie
1kT
Bµo >>
kT
Bµ
kT
Bµ
kT
Bµ
kT
Bµ
o
oo
oo
ee
ee
kT
Bµtanh
−
−
+
−= 1
e
e
kT
Bµtanh
kT
Bµ
kT
Bµ
o
o
o
≈=
Kasus harga µoB >> kT maka nilai
maka harga momen magnetik rata-rata tiap satuan volume dari material(Magnetisasi):
0NµM =
(Magnetisasi):
Nilai maksimum (saturasi), tidak bergantung B dan T
2. Energi Total Rata-Rata Gas IdealTinjau sebuah gas yang terdiri dari N buah molekul identik, masing-masing bermassa m yang ditampatkan pada sebuah kotak 3-D dengan sisi-sisi Lx , Ly , Lz
dan gas bersuhu T
Penyederhanaan Sistem (Idealisasi):
1. Energi potensial interaksi sangat kecil dibanding energi kinetik2. Non degenerasi3. Molekul gas monoatomik
Berapakah energi total rata-rata gas ideal tersebut?
NkT2
3E =
Penggunaan Distribusi Kanonik:
Tinjau sebuah molekul dalam gas ideal tersebut (sistem kecil)
Berapakah probabilitas menemukan molekul tersebut dalam keadaan kuantum ryang energinya εr ?
rβε
rr Ke)(EP −=
rβε
rr Ke)(EP −=∑
−
−
=
r
kT
ε
kT
ε
rr r
r
e
e)(EP
Pernyataan εr untuk sistem ini?
++= 2z
2z
2y
2y
2x
2x
22
rL
n
L
n
L
n
2m
πε
h
Energi rata-ratanya?
rr
rεPε ∑=∑
∑−
−
=kT
ε
βε
rr
r
r
e
eε
zyx LLL2m r ∑r
kTe
( )βββ ∂
∂−=
∂∂−=
∂∂−= ∑∑∑ −−− Z
rr
rrr βεβεβε
rr eeeε
Perhatikan pembilangnya!
Partisi Fungsi:eZr
βε r∑ −=
Sehingga energi rata-ratanya:ββ ∂
∂−=∂∂−= ZZ
Z
ln1ε
Fungsi partisi sebuah molekul:
zyxn
2z
2z
2y
2y
2x
2x
22
nnr
βε Z ZZL
n
L
n
L
n
2m
βπexpeZ
zyx
r =
++−== ∑∑∑∑
∞∞∞− h
dengan:
∑∞
−=
xn2x
2x
22
L
n
2m
βπexpZ
h
x
∑∞
−=2
2y
22
L
n
2m
βπexpZ
h
y
Karena bentuknya mirip, kita hitung salahsatu saja, misal Zx:
Aproksimasi, nx, ny, nz variabel kontinu:
nβπ 222 ∞h
∑
−=yn
2yL2m
expZ y
∑∞
−=
zn2z
2z
22
L
n
2m
βπexpZ
h
zkonstanta) :(b
Lb
dnL
n
2m
βπexpZ
21x
x
02x
2x
22
x
β=
−= ∫
∞h
Hal serupa untuk Zy dan Zz:
L
b dan Z L
b Z2
1z
z2
1
yy
ββ==
Vb
LLLb ZZZZ
23
3
23
zyx3zyx
ββ===
Sehingga fungsi partisi Z:
kT33lnβ3
3lnblnβ2
3lnV
ββ
lnZ
β
Z
Z
1ε
==∂=
+−∂∂−=
∂∂−=
∂∂−=
Energi rata-rata sebuah molekul:
V
bZ2
33
β=
kT22ββ2
==∂
=
Energi rata-rata gas ideal:
NkT2
3ε NE ==
3. Tekanan Rata-Rata Gas Ideal
fr
Lx
y
x
Ly
gas idealfr : Gaya dalam arah x yang diberikan oleh
sebuah molekul pada dinding kanankotak, dimana molekul tersebut dalamkeadaan kuantum r dan energinya εr
Misalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dLxMisalkan dinding kanan berubah secara lambat sebesar dLx
Maka, molekul melakukan usaha pada dinding sebesar fr dLx
Molekul kehilangan energi sebesar ‒ dεr
x
rrrxr L
εf dεdLf
∂∂−=→−=
Sehingga:
Gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
∑
∑
∑
∑∑ −
−
−
−
∂∂−
===
r
βε
r x
rβε
r
βε
βε
rr
rr
r r
r
r
r
e
Lε
e
e
effPf
Perhatikan pembilang:
L
Ze
Lr
∂∂=
∂∂=
∂∂− ∑∑ −−
βββε 11
L
εe rβε r
xrx Le
L ∂=
∂
=
∂− ∑∑ ββL
er x
Sehingga
xx
x
L
lnZ
β
1
L
Z
βZ
1
Z
LZ
β
1
f∂∂=
∂∂=∂
∂
=
LLLbZ
23
zyx3
β=
Diperoleh gaya rata-rata oleh sebuah molekul pada dinding:
xx L
kT
L==
∂∂=
β1
L
lnZ
β
1f
x
Gaya rata-rata oleh N molekul pada dinding:
xL
NkTfNF ==
Tekanan rata-rata oleh N molekul pada dinding kanan seluas LyLz :
V
NkT
LLL
NkT
LL
fN
A
FP
zyxzy
====
NkTVP = Persamaan Keadaan Gas Ideal
Catatan: Perhitungan P pada dinding yang lain, akan menghasilkan persamaan yang sama