PENDUGAAN PARAMETERDISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH

TIGA PARAMETER ( ( , , ))DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Tesis

Oleh

Elisabet Viviana

MAGISTER MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2016

ABSTRAK

PENDUGAAN PARAMETERDISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH

TIGA PARAMETER ( ( , , ))DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Oleh

ELISABET VIVIANA

Generalized Rayleigh (G R(α, λ, μ)) mempunyai tiga parameter dengan sebagaiparameter bentuk, sebagai parameter skala, dan sebagai parameter lokasi.Pada penelitian ini, parameter dari G3R diduga dengan menggunakan metodeMaximum Likelihood Estimation (MLE). MLE merupakan metode estimasiparameter suatu distribusi, dengan cara memilih penduga-penduga yang nilai-nilaiparameternya diestimasi dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya. Nilaiparameter dapat diduga secara analitik dengan mensubstitusikan nilai dugaanparameter dan . Untuk nilai dugaan dan , karena tidak dapat diselesaikansecara analitik, sehingga digunakan metode iterasi untuk mendapatkan dugaanbagi parameter-parameternya. Metode iterasi yang digunakan adalah MetodeNewton Raphson, dan dengan bantuan software R. Penelitian ini bertujuan untukmenduga parameter distribusi G3R. Berdasarkan simulasi hasilnya menunjukkanbahwa bias menjadi lebih kecil dan selang kepercayaan menjadi lebih pendekketika ukuran sampel lebih besar.

Kata Kunci : Distribusi Generalized Rayleigh Tiga Parameter(G3R(α, λ, μ)) ,Metode Maximum Likelihood Estimation(MLE), Newton Raphson.

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION OF THREE PARAMETER GENERELIZEDRAYLEIGH DISTRIBUTION ( ( , , ))

USING MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) METHOD

By

ELISABET VIVIANA

Generalized Rayleigh (G R(α, λ, μ)) contains three parameters with as a shapeparameter, as a scale parameter, and as a location parameter. In this study,parameters of G3R be estimated by the Maximum Likelihood Estimation (MLE)method. In estimating parameters of the distribution, the MLE maximizes thelikelihood function of the probability density function of the distribution. Thevalues of parameter can be solved analitically with substitution the estimationvalues of parameter and . For and estimation values, Because it can not besolved analitycally, the iteration method is used to get the estimation of theirparameters.The iteration method is Newton Raphson Method and supported bysoftware R. The goal of this research is to estimate the distribution parameters ofthe G3R. Based on simulation, the result shows that the bias becomes smaller andthe confident interval becomes shorter when the sample size are larger.

Key Words : Three Parameters Generalized Rayleigh Distribution (G3R(α, λ, μ)) ,Maximum Likelihood Estimation (MLE) Method, NewtonRaphson.

PENDUGAAN PARAMETERDISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH

TIGA PARAMETER ( ( , , ))DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Oleh

Elisabet Viviana

TesisSebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

MAGISTER SAINS

PadaJurusan Matematika Program Studi Magister Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Way Kandis, Bandar lampung, pada tanggal 03 November

1990, merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Agustinus Sutrisno dan

Maria Suyati, penulis mempunyai satu adik perempuan yaitu Dominika Sintia

Penulis memulai pendidikan Taman Kanak-kanak Sejahtera II Bandar Lampung

pada tahun 1994, melanjutkan ke SD Sejahtera II Bandar Lampung pada tahun

1996 dan lulus pada tahun 2002, kemudian melanjutkan ke SMP Fransiskus

Tanjung Karang, lulus pada tahun 2005, kemudian melanjutkan ke SMA Xaverius

Pringsewu, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008 penulis melanjutkan ke

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta dan lulus pada tahun 2013.

Penulis melanjutkan pendidikan Pasca Sarjana dan terdaftar sebagai mahasiswa

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung pada Tahun 2013.

MOTO

“When You’ve Done Everything You Can Do,

That’s When God Will Step In And Do What You Can’t Do”

- 2 Corinthians 12:10 –

“ Takut akan TUHAN adalah permulaan pengetahuan,

tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan “

- Amsal 1 : 7 -

PERSEMBAHAN

Seiring do’a dan rasa syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa

Kupersembahkan karya kecilku ini kepada:

Orang tuaku Agustinus Sutrisno dan Maria Suyati

Yohanes Juni Irawan dan Dominika Sintia

atas doa, semangat, kasih sayang, motivasi dan segala dukungan yang diberikan

Keluarga besar SMP Xaverius 3 Bandar Lampung

Semua sahabat dan saudara

atas doa , semangat dan atas kesabarannya menanti keberhasilanku

Almamater tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas

berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini yang

berjudul “PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED

RAYLEIGH TIGA PARAMETER ( ( , , )) DENGAN METODE

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)” sebagai salah satu syarat

meraih gelar Magister Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

Terima kasih yang tulus penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu

mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan

tesis ini.

2. Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing II yang dengan

sabar membimbing, mengarahkan dan memotivasi penulis dalam

menyelesaikan tesis ini, dan sekaligus selaku ketua jurusan matematika.

3. Bapak Suharsono, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah

mendampingi penulis selama perkuliahan, dan sekaligus sebagai dosen

penguji yang telah memberikan kritik, saran, dan nasehat-nasehat dalam

penulisan tesis ini.

4. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D., selaku ketua program Studi Matematika Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6. Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama

menyelesaikan masa studi.

7. Orang tuaku tercinta Agustinus Sutrisno dan Maria Suyati yang senantiasa

dengan tulus menyayangi, mendo’akan dan memotivasiku dalam menggapai

cita-citaku.

8. Adikku tercinta Dominika Sintia, yang senantiasa memberikan doa dan

semangat.

9. Pacar tercinta Yohanes Juni Irawan yang senantiasa mendampingiku

memberiku semangat dan motivasi.

10. Teman-teman Pasca (Pak Kris, Pak Rahman, Pak Anton, Pak Malik, Bu

Herli, Bu Ade, Bu Ike, Bu Ana, Pak Waryoto, Nurman, Bu Dwi, Pak Fauzan,

Mas Agus, Mbak Suli, Bu Guiana, Mbak Rini, Ayu, Kak Permata, Pak Edi,

Mbak Cut, Pak Wahid), teman-teman MIPA ( Reni, Gery dan Yevta)

11. Keluarga Besar SMP Xaverius 3 Bandar Lampung ( Pak Petrus, Bu Kesti,

Ms. Henny, Pak Sihmara, Pak Yuli, Pak Emil, Pak Tinus, Bu Ani, Bu Rani,

Bu Tantri, Mas Robert) yang selalu bersabar dan memberikan semangat

dalam menyelesaikan masa studi.

12. Sahabat-sahabat yang selalu ada saat suka dan duka dalam menyelesaikan

masa studi.

Semoga senantiasa memberikan kebaikan dan balasan atas jasa dan budi baik

yang telah diberikan kepada penulis. Penulis mohon maaf atas segala kekurangan

dan ketidaksempurnaan dalam penulisan tesis ini. Semoga tesis ini bermanfaat

bagi kita semua. Amiin.

Bandar Lampung, Mei 2016Penulis,

Elisabet Viviana

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI................................................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xv

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xvi

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................... 1

1.2 Batasan Masalah ............................................................................... 2

1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 3

1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................ 3

II. LANDASAN TEORI

2.1 Distribusi Rayleigh ........................................................................... 4

2.2 Distribusi Generelized Rayleigh dengan Dua Parameter (G2R(α, λ)) 5

2.3 Distribusi Generelized Rayleigh dengan Tiga Parameter (G3R(α, λ, )) 6

2.4 Pendugaan Parameter ........................................................................ 7

2.5 Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum

(Maximum Likelihood Estimation Method) ....................................... 9

2.6 Metode Newton Raphson .................................................................. 10

2.7 Program R .......................................................................................... 12

2.8 Selang Kepercayaan........................................................................... 13

III. METODE PENELITIAN

3.1 Metode Penelitian ............................................................................. 14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 PendugaanParameter G3R dengan Menggunakan Metode

Maxsimum Likelihood Estimation (MLE) ........................................ 16

4.1.1 Pendugaan Parameter ............................................................ 18

4.1.2 Pendugaan Parameter ............................................................. 18

4.1.3 Pendugaan Parameter ............................................................ 20

4.2 Metode Newton Raphson untuk Pendugaan Parameter dan ........ 24

4.2.1 Turunan Kedua Parameter dari fungsi Logaritma Natural

G3R Terhadap Parameter dan ............................................. 26

4.2.2 Turunan Kedua Parameter dari fungsi Logaritma Natural

G3R Terhadap Parameter dan ............................................. 29

4.3 Menghitung Bias, Rata-rata, Ragam, dan Selang Kepercayaan ....... 32

4.4 Grafik Bias, Grafik Ragam, dan Grafik Dugaan

Terhadap Selang Kepercayaan ........................................................... 34

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 39

5.2 Saran ................................................................................................. 40

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Gambar 1. Grafik PDF distribusi Rayleigh .................................... 5

2. Gambar 2. Grafik PDF distribusi Generelized Rayleigh ................ 5

3. Gambar 3. Grafik Bias Distribusi Generelized Rayleigh

3 Parameter (G3R) .......................................................................... 35

4. Gambar 4. Grafik Ragam Distribusi Generelized Rayleigh

3 Parameter (G3R) ......................................................................... 36

5. Gambar 5. Grafik Dugaan Parameter Terhadap Selang kepercayaan

pada distribusi Generalized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ............. 37

6. Gambar 6. Grafik Dugaan Parameter Terhadap Selang kepercayaan

pada Distribusi Generalized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ........... 38

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Hasil perhitungan dugaan, bias, ragam, dan

selang kepercayaan distribusi G3R .................................................. 33

2. Hasil dugaan ................................................................................ 34

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Generalized Rayleigh Distribution diperkenalkan oleh Burr (1942). Pada

mulanya, Burr memperkenalkan dua belas bentuk Comulative Distribution

Function (CDF) yang berbeda dalam pemodelan data kelangsungan hidup.

Dalam perkembangan selanjutnya Surles and Padgett (2001) Surles and Padgett

(2004) telah memperkenalkan Burr Type X dengan dua parameter yang

dinamakan Generalized Rayleigh Distribution with two parameters (distribusi

Generalized Rayleigh dengan dua parameter). Distribusi ini merupakan Family

dari distribusi Generalized Weibull.

Kemudian Raqab, M.Z. and Kundu, D (2005) mengembangkan distribusi

Generalized Rayleigh dengan dua parameter dengan menambahkan parameter

sebagai parameter lokasi sehingga distribusinya menjadi distribusi Generalized

Rayleigh dengan tiga parameter .

Beberapa orang telah meneliti distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga

parameter, diantaranya adalah Debasis Kundu dan Mohammad Z. Raqab dalam

Jurnal Internasionalnya yang berjudul “Estimation of = [ < ] For Three

2

Parameter Generalized Rayleigh Distribution”. Dalam penelitiannya, Kundu dan

Mohammad membahas tentang pendugaan stress-strength parameter= [ < ] ketika X dan Y keduanya adalah distribusi Rayleigh tiga

Parameter dengan skala dan parameter lokasi yang sama, tetapi parameter

bentuknya berbeda.

Dalam penelitian ini, ingin dikaji penduga parameter distribusi Rayleigh tiga

parameter . Metode yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood

Estimation (MLE) dimana metode ini merupakan metode yang paling efisien dan

sering memberikan pendugaan yang baik, karena prinsip dari metode MLE adalah

memilih penduga yang nilai-nilai dari parameternya memaksimumkan fungsi

kemungkinan atau memaksimumkan informasi. Dalam penduga parameter dari

suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak dapat diselesaikan secara

analitik, sehingga perlu diselesaikan dengan cara numerik. Salah satu cara yang

digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu Metode Newton Raphson. Metode

Newton Raphson sering digunakan karena metode ini lebih sederhana dan

mempunyai konvergensi yang cepat.

1.2 Batasan Masalah

Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada pendugaan,dan perbandingan

ketakbiasan penduga parameter G3R dari masing-masing ukuran data

menggunakan software R.

3

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Menduga parameter Generalized Rayleigh dengan tiga parameter

menggunakan metode Maximum Likelihood.

2. Membandingkan bias untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500

dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memperdalam pemahaman mengenai statistika

inferensia khususnya mencari pendugaan parameter Generalized Rayleigh dengan

tiga parameter menggunakan metode Maximum Likelihood dan untuk memberikan

sumbangan pemikiran bagi peneliti lain yang akan melakukan penelitian lebih

lanjut.

II. LANDASAN TEORI

Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan

beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika . Berikut akan

dijelaskan beberapa konsep dan teori serta fungsi-fungsi khusus yang digunakan

untuk menyederhanakan hasil pencarian fungsi karakteristik dari distribusi

Generalized Rayleigh dengan tiga parameter berkaitan dengan pendugaan

parameternya dengan metode Maximum Likelihood menggunakan Software R.

2.1 Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh merupakan distribusi kontinu yang diperkenalkan oleh Lord

Rayleigh. Pada tahun 1880, distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang

oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat

kekuatan sinyal radio yang diterima. Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan

bahwa sebuah distribusi Rayleigh memiliki PDF yaitu sebagai berikut :

0;, 22

22

x

exxf

5

Gambar 1. Grafik PDF distribusi Rayleigh

2.2 Distribusi Generalized Rayleigh dengan Dua Parameter (G2R( , ))Raqab (2005) menjelaskan bahwa distribusi Generalized Rayleigh dengan dua

parameter (G2R) merupakan salah satu distribusi kontinu yang memiliki dua

parameter, yaitu α dan λ. Raqab memisalkan X adalah random variabel dari

distribusi G2R sehingga PDF dari distribusi Rayleigh dua parameter yaitu :

0,0,0;12,,12 22

xexexf xx

Gambar 2. Grafik PDF distribusi generalized Rayleigh

6

Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh PDF dari distribusi

generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari PDF distribusi

Rayleigh, distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell, dan distribusi Chi-Square.

Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa distribusi Generalized Rayleigh

dengan dua parameter diperoleh dari penggabungan distribusi Rayleigh dengan

beberapa distribusi lain.

2.3 Distribusi Generalized Rayleigh dengan Tiga Parameter (G3R( , , )).Raqab, M.Z. and Kundu, D. (2005) menjelaskan bahwa distribusi Generalized

Rayleigh dengan tiga parameter didapat dari distribusi Generalized Rayleigh dua

parameter dengan memperkenalkan penambahan μ sebagai parameter lokasi,

Oleh karena itu untuk > 0 , > 0 dan ∞ < μ < −∞, distribusi Generelized

Rayleigh dengan tiga parameter mempunyai Cumulative Distribution Function

(CDF) : ( ; , , μ) = 1 − ( ) ; > μdan Probability Density Function (PDF) :( ; , , μ) = 2 ( − ) ( ) (1 − ( ) ) ; > μDengan : > 0 ; > 0 ; −∞ < < ∞ ; >Dimana : adalah parameter bentuk

adalah parameter skala

adalah parameter lokasi

7

Selanjutnya, Distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga parameter dinotasikan

sebagai G3R(α, λ, ).2.4 Pendugaan Parameter

Dalam statistik inferensia dibutuhkan pemahaman mengenai kaidah-kaidah

pengambilan kesimpulan tentang suatu parameter populasi berdasarkan

karakteristik sampel. Hal ini membangun apa yang disebut dengan pendugaan titik

dari fungsi kepekatan peluang parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.1

Misal suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung

pada suatu parameter tak diketahui dengan sembarang nilai dari suatu himpunan

ruang parameter , maka dinotasikan dengan f (x; ), .

Definisi 2.2

Misal X1, X2, ..., Xn berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan

peluang f (x; ), . Suatu statistik U(X1, X2, ..., Xn) = U(X) yang digunakan

untuk menduga g() disebut sebagai penduga bagi g().

Berkaitan dengan pendugaan parameter akan dijelaskan beberapa sifaat penduga

yang baik sebagai berikut:

8

1. Tak Bias

Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g() jika

E (U(X)) = g(), .

2. Varians Minimum

Misal T menyatakan suatu penduga tak bias g(), maka T disebut penduga

varians minimum jika

( ) ()n E ln f( ; )3. Konsisten

Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga konsisten bagi g() jika( ) → () untuk → ∞, ∀ ∈ yaitu bila P{U(X) – ()} = 0.

(Hoog and Craig, 1995)

Untuk menduga parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan beberapa

metode. Dalam penelitian ini pendugaan parameter distribusi Generelized

Rayleigh tiga parameter akan dilakukan dengan menggunakan metode MLE yang

akan dijelaskan pada subbab 2.5 berikut ini.

9

2.5 Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood

Estimation Method)

Definisi 2.3

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah sampel acak berukuran n yang saling bebas

stokastik identik dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan

peluang f (x; ), . Fungsi kepekatan peluang bersama dari X1, X2, ..., Xn

adalah f (x1; ) f (x2; ) ... f (xn; ) yang merupakan fungsi kemungkinan

(Likelihood Function).

Untuk x1, x2, ..., xntetap, fungsi kemungkinan merupakan fungsi dari dan

dilambangkan dengan L() dan dinotasikan sebagai berikut:

L() = f ( ̅ ; )= f (x1, x2, ..., xn; )

= f (x1; ) f (x2; ) ... f (xn; ),

= ∏ ( ; )Definisi 2.4

L() = f (x1, x2, ..., xn; ), merupakan fungsi kepekatan peluang dari x1, x2, ...,

xn. Untuk hasil pengamatan x1, x2, ..., xn, nilai berada dalam ( ), dimana

L() maksimum yang disebut sebagai Maximum Likelihood Estimation (MLE)

dari . Jadi, merupakan penduga dari Jika f (x1, x2, ..., xn; ) = max f (x1, x2, ...,

xn; ), . Maka untuk memaksimumkan L() dicari turunan dariL() terhadap

10

parameternya. Biasanya mencari turunan dariL() terhadap parameternya relatif

sulit, sehingga dalam penyelesainnya dapat diatasi dengan menggunakan

logaritma atau fungsi ln dari L() yaitu:

ln L() = ∑ ln ( ; ). Untuk memaksimumkan ln L() adalah dengan

mencari turunan dari ln L() terhadap parameternya, dimana hasil turunannya

disamadengankan nol.

( ) = 0(Hogg and Craig, 1995)

Dalam penduga parameter dari suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak

dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesikan dengan cara

numerik. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu

metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson sering digunakan karena

metode ini lebih sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat. Sub-bab 2.6

akan menjelaskan tentang definisi metode Newton Raphson.

2.6 Metode Newton Raphson

Apabila proses pendugaan parameter didapat persamaan akhir yang non linear

maka tidak mudah memperoleh pendugaan parameter tersebut, sehingga

diperlukan suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear

tersebut. Salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan

11

non linear adalah Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson adalah

metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif.

Jika 0merupakan nilai awal (inisialisasi) dari atau 0 merupakan nilai ke 1 dari

, maka dapat dimisalkan 0 = i dan 1 = i + 1 dengan i awal 0.

Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih

dari satu parameter. Misal 1, 2, . . . p ... maka iterasinya sebagai beriku:

i + 1 = i – [H – 1 g]

Dimana = ⋮

dan = ⋮

Vektor gradien atau vektor turunan pertama terhadap parameternya dan

lambangnya dengan ( )yaitu:

() = L () =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ L ()

L ()⋮L () ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎤

Matriks Hessian atau matriks turunan kedua dari fungsi logaritma natural terhadap

parameter , , dan dilambangkan dengan H() yaitu:

H() = L ()

12

=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ L ( ) ln L ( ) … ln L ( )

ln L ( )⋮ln L ( )

L ( )⋮ln L ( )

…⋱…

ln L ( )⋮L ( )⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(Seber and Wild, 2003)

Pada penelitian ini untuk memudahkan melakukan proses iterasi dengan metode

Newton Raphson peneliti akan menggunakan Software R. Penjelasan mengenai

Software R akan dijelaskan pada subbab 2.7.

2.7 Program R

R adalah perangkat lunak bebas untuk komputasi statistik dan grafik. Merupakan

proyek GNU General Public License Free Software Fundation yang mirip bahasa

S yang dikembangkan di Bell Laboratories oleh John Chambers dan rekannya. R

menyediakan berbagai statistik seperti linear dan non linear modeling, pengujian

analisis klasik, analisis time-series, klasifikasi dan lainnya. Sebuah rangkaian

perangkat lunak yang digunakan untuk manipulasi data, perhitungan, dan tampilan

grafik yang mencakup antara lain sebagai berikut:

a. Penanganan data yang efektif dan penyimpangan data

b. Rangkaian operator untuk perhitungan array dalam matrik tertentu

13

c. Fasilitas grafik untuk analisis data dan menampilkannya, baik pada layar

maupun hardcopy

d. Bahasa pemrograman yang sederhana, berkembang dengan baik dan efektif.

2.8 Selang Kepercayaan

Sebuah selang kepercayaan memberikan rentang nilai dugaan yang kemungkinan

akan mencakup nilai dari parameter populasi yang tidak diketahui, dimana rentang

nilai dugaannya dihitung dari himpunan data sampelnya. Jika suatu selang

kepercayaan memiliki rentang yang sangat luas, menunjukkan bahwa dibutuhkan

data yang lebih banyak untuk memastikan nilai dari suatu parameter .Selang

kepercayaan lebih informatif dari hasil sederhana tes hipotesis (di mana kita

memutuskan “menolak H0” atau “tidak menolak H0’) karena selang kepercayaan

memberikan nilai-nilai yang masuk akal untuk parameter yang tidak diketahui

(Easton and McColl, 1997) . Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek

dengan derajat kepercayaan yang tinggi (Guilford, J.P. and Benjamin Fruchter

(1973)).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk mencari pendugaan parameter distribusi Generalized

Rayleigh tiga parameter (G R(α, λ, μ)) dengan metode kemungkinan maksimum

(Maximum Likelihood Method) dengan menggunakan Software R.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Menduga parameter distribusi Generalized Rayleigh tiga parameter

( ( , , )) menggunakan metode kemungkinan maksimum (Maximum

Likelihood Method) dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi kepekatan

peluang ( ( , , ))b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan

parameter.

c. Dugaan parameter dari metode kemungkinan maksimum (Maximum

Likelihood Method) diperoleh dengan mencari turunan pertama dari

15

logaritma natural fungsi kepekatan peluang terhadap parameter-parameter

yang akan diduga dan menyamakannya dengan 0.

d. Menyelesaikan dugaan parameter yang tidak dapat diselesaikan secara

analitik menggunakan metode iterasi Newton Raphson.

2. Membangkitkan data untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500 dengan

masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100 menggunakan

Software R.

3. Mencari nilai dugaan parameter distribusi Generalized Rayleigh Tiga

Parameter ( ( , , ))menggunakan Software R.

4. Membandingkan bias dugaan untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500

dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100.

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :

1. Pendugaan parameter Generelized Rayleigh tiga parameter (G3R) dengan

metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) menghasilkan pendugaan

parameter yang dapat diselesaikan secara analitik. Sedangkan pendugaan

parameter dan tidak dapat diselesaikan secara analitik , sehingga

diselesaikan dengan cara numerik menggunakan metode Newton Raphson.

2. Dugaan dan ̂ mempunyai nilai yang semakin mendekati parameter

sebenarnya, jika nilai toleransi dan ukuran sampel diperbesar.

3. Nilai bias dan ̂ akan semakin mengecil jika ukuran sampel diperbesar .

Begitu juga untuk nilai ragam parameter dan ̂ akan semakin kecil jika

ukuran sampelnya semakin besar.

4. Nilai selang kepercayaan bagi dugaan dan ̂ cenderung memendek

ketika ukuran data membesar yang artinya memiliki keakuratan yang

tinggi dengan tingkat keyakinan yang tinggi.

40

5.2 Saran

Pendugaan parameter dalam penelitian ini dibatasi dengan menggunakan metode

Maximum Likelihood Estimation (MLE), sehingga dibuka kesempatan bagi

peneliti selanjutnya untuk mencari pendugaan parameter distribusi Generelized

Rayleigh 3 Parameter (G3R) menggunakan metode lainnya ataupun

membandingkannya dengan metode pendugaan lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Guilford, J.P. and Benjamin Fruchter. 1973. Statistics in Psychology andEducation. McGwar-Hill: Michigan.

Hogg, V Robert. and Craig, T Allen. 1995. Introduction to Mathematical StatisticFifth Edition. New Jersey : The United States of America.

Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z. 2005. “Generalized Rayleigh Distribution: Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics andData Analysis on Applied Mathematics. Vol. 49(1): 187- 200

Ling Xiao, and David E. Giles. 2011. Bias Reduction for the Maximum LikelihoodEstimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family ofDistributions. Economic Working Paper.

Raqab, Muhammad Z. 2005. “Discriminating between the Generalized Rayleigh andWeibull distributions”. Publishing Statistics 41(6), 505 – 515

Raqab, M.Z. and Kundu, D. 2005. “Estimation of R = P[Y < ] For Three ParameterGeneralized Rayleigh Distribution”. University of Jordon Amman 11942, Jordon.

Seber and Wild. 2003. Nonlinear Regression.New Jersey. The United States ofAmerica

Spiegel, Murray and Larry J. Stephens. 2004. “Schaum’s Outlines of Theory andProblems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara

Valerie J. Easton and John H. McColl. 1997. “Statistics Glossary v1.1”. The STEPSProject.