ELIPS

Tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik

tertentu mempunyai nilai yang tetap

Titik tertentu itu dinamakan fokus atau titik api dari elips

F1 F2A1 A2

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Misal titik tersebut titik P, maka :

PF1 + PF2 = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya A2, maka :

A2F1 + A2F2 = 2a

(a + c) + (a – c) = 2a

2a = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya B1, maka :

222

22

22

2222

2111

22

2

2

acb

acb

acb

acbcb

aFBFB

PERSAMAAN ELIPS

12

2

2

2

b

y

a

x

Pusat O (0,0)

SUMBU SIMETRI

Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2

disebut sumbu utama atau sumbu transversal Ruas garis A1A2 disebut sumbu panjang atau sumbu

mayor Sumbu simetri yang melalui titik tengah F1 dan F2

yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan atau sumbu konjugasi

Ruas garis B1B2 disebut sumbu pendek atau sumbu minor

Menentukan eksentrisitas, direktris dan lactus rectum

Definisi elips :

Perbandingan kedudukan titik-titik yang

berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu

garis tetap harganya antara 0 dan 1

F1A1F2 A2

B1

O

b

B2

ca

x = -k x = k

Q P

Ambil titik tertentu : A2

)1(....

)(222

2

22

caaeke

caeak

FAPeA

PA

FAe

Ambil titik tertentu : A1

)2(....

)(211

1

21

cakeae

caeka

FAPeA

PA

FAe

F1A1F2 A2

B1

O

b

B2

c

a

x = -k x = k

Q P

Subsitusi (1) dan (2)

direktrisperse

ak

kea

kea

aekeca

aekeca

.

22

Subsitusi (1) dan (2)

taseksentrisia

ce

aec

aec

aekeca

aekeca

22

Contoh :

Tentukan persamaan elips dengan pusat (1,2) dan eksentrisitas 4/5 sedangkan direktrisnya 4x = 25

F1A1

L1

L1’

F2 A2

L2(c, -y)

L2’(c, y)

B1

O

b

B2

ca

Menentukan latus rectum

Definisi:

Garis yang melalui F1 dan F2 tegak

lurus sb. Utama memotong elips di L1 dan L’1

L1L1’ = L2L2’ = latus rectum

a

by

a

by

bbya

cabya

bcbaya

baaybc

b

y

a

c

b

y

a

x

elipsL

2

2

42

2222

22222

222222

222222

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)(

1

1

a

b

a

b

a

b

FLFLLL

makaa

bcL

dana

bcL

diperoleh

2

22

212111

2

1

2

1

2

''

,,'

,

:

Panjang lactus rectum

ANALOG DENGAN PERSAMAAN ELIPS PUSAT

1

2

2

2

2

b

y

a

x

,

e

ahk

a

ce ,

GARIS SINGGUNG

Misal garis )1(.........cmxyg

)2(...........12

2

2

2

b

y

a

x

)(4

02)(

)(

222222

222222222

222222

cbmabaD

bacamcxaxbma

bacmxaxb

Pers. Elips

maka :

g

Ox

y

g

Ox

y

g

Ox

y

D = 0

D > 0

D < 0

Persamaan garis singgung bergradien p

12

12

1 b

yy

a

xx

TITIK DAN GARIS POLAR

Misal sebuah titik P(x1, Y2) diluar suatu elips . Dari titik P ditarik dua buah garis singgung, maka garis hubung p antara

kedua titik singgungnya disebut garis polarnya P terhadap elips dan P sebagai

titik polar dari garis p tersebut.

xO

y

P (x1, y1)

Q (x2, y2)

R (x3, y3)

Titik Polar

Garis Polar

Akan dibuktikan:

12

12

1 b

yy

a

xx

merupakan persamaan garis polar titik P(x1, y1) yang terletak diluar elips terhadap elips tersebut

Bagaimana jika titik polar P terletak di dalam elips?

xO

y

P

Titik Polar

Garis Polar

A

B

Latihan (Hal 20 – 23)

No. 4 No. 7 No. 26