eliminasi gauss 4 upload

Eliminasi Gauss

Mengubah Matriks yang kompleks menjadi matriks segitiga atas ,

Mengubah matriks kompleks menjadi matriks segitiga atas sebagai berikut :

1 2 0 82 -1 2 17

1 5 1 25

Pengubahan dilakukan dengan meng-kali-kan satu atau beberapa baris (i) dan kemudian menjumlahkan dengan baris yang lain (j) untuk mendapatkan baris (j) yang baru

Contoh dari eliminasi Gauss adalah sebagai berikut :

1. Langkah pertama

Mengusahakan agar elemen (baris 2, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan semua elemen baris 1 dengan -2 dan menjumlahkan dengan elemen baris 2 sehingga didapatkan elemen baris 2 yang baru

1 2 3 1 dikalikan -2 -2 -4 -6 -2

2 5 5 -3 2 2 5 5 -33 5 11 2 2baru 0 1 -1 -5

Sehingga matriks yang baru menjadi

1 2 3 1

0 1 -1 -53 5 11 2

1 2 0 80 -5 2 10 0 11 88

2. Langkah kedua


1 2 3 1 dikalikan -3 -3 -6 -9 -30 1 -1 -5

3 5 11 2 3 3 5 11 23baru 0 -1 2 -1

Sehingga matriks yang baru menjadi

1 2 3 10 1 -1 -5

0 -1 2 -1

3. Langkah ketiga

Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 2) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan semua elemen baris 2 dengan 1 dan menjumlahkan dengan elemen baris 3 sehingga didapatkan elemen baris 3 yang baru

1 2 3 10 1 -1 -5 dikalikan 1 0 1 -1 -5

0 -1 2 -1 3 0 -1 2 -13 baru 0 0 1 -6

Sehingga matriks yang baru menjadi :

1 2 3 10 1 -1 -5

0 0 1 -6

4. Langkah keempat

Setelah diadapt matriks baru yang lebih sederhana, maka lebih mudah untuk mendapatkan nilai x, y, dan z

Seringkali beberapa matrks kompleks tidak bisa dengan mudah disederhanakan dengan operasi baris elementer yang hanya mengkalikan 1 baris. Contohnya adalah matriks berikut :

1 2 0 8

2 -1 2 17

1 5 1 25

1. Langkah pertama


1 2 0 82 -1 2 171 5 1 25 dikalikan -2 -2 -10 -2 -50

2 2 -1 2 172 baru 0 -11 0 -33


1 2 0 80 -11 0 -331 5 1 25

2. Langkah ke dua

Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 2) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan semua elemen baris 1 dengan -5 dan mengkalikan semua elemen baris 3 dengan 2 kemudian menjumlahkan hasil kali dua baris tersebut untuk mendapatkan baris 3 yang baru.

Catatan : Pada langkah eliminasi Gauss, diperbolehkan untuk meng-kalikan lebih dari 1 baris seperti pada contoh langkah kedua ini. Bahkan mungkin semua baris. Wong kalo dipikir-pikir, semua elemen baris adalah representasi koefisien variabel pada persamaan yang sama. Jadi, nilai variabel tetap tidak akan berubah asalkan dalam semua baris

1 2 0 8 dikalikan -5 -5 -10 0 -400 -11 0 -331 5 1 25 dikalikan 2 2 10 2 50

3 baru -3 0 2 10


1 2 0 80 -11 0 -33

-3 0 2 10

3. Langkah ketiga

Mengusahakan agar elemen (baris 3, kolom 1) berubah menjadi 0. Dilakukan dngan cara mengkalikan semua elemen baris 1 dengan 3 dan menjumlahkan dengan elemen baris 3 sehingga didapatkan elemen baris 3 yang baru

1 2 0 8 dikalikan 3 3 6 0 240 -11 0 -33

-3 0 2 10 3 -3 0 2 103 baru 0 6 2 34

Sehingga baris yang baru menjadi

1 2 0 80 -11 0 -330 6 2 34

Melalui tahap perhitungan langkah 3 diatas, Kita mendapatkan elemen (baris 3 kolom 1) menjadi 0 akan tetapi kita merubah elemen (baris 3 kolom 2) yang semula 0 menjadi tidak lagi bernilai 0.

Jika kita mencoba mengubah elemen (baris 3 kolom 2) menjadi 0 dengan operasi baris 3 sebagai berikut

4. Langkah keempat

:1 2 0 8 dikalikan -3 -3 -6 0 -240 -11 0 -330 6 2 34 0 6 2 34

3 baru -3 0 2 10

Maka kita akan mendapatkan matriks baru sebagi berikut :

1 2 0 80 -11 0 -33

-3 0 2 10

Sehingga kita akan mendapatkan elemen (baris 3 kolom 2 ) menjadi 0 tapi mengubah elemen 0 yang sudah ada.

Jika kita mendapati kasus perhitungan seperti diatas, maka yang perlu kita lakukan adalah tetap berusaha sambil tetap berdoa agar Allah memberikan jalan keluar…..

5. Langkah keempat b

Selain dengan tetap berdoa, kita juga harus melengkapi dengan berusaha, dan salah satu usaha yang bisa kita lakukan adalah mengubah metode perhitungan kita. Jika kita perhatikan lebih lanjut, eliminasi Gauss merupakan upaya merubah elemen tidak 0 menjadi 0 melalui bantuan baris lain. Sehingga untuk lebih amannya ( agar tidak mengubah elemen 0 yang sudah kita miliki), maka sebaiknya kita memanfaatkan elemen baris yang sudah ada elemen 0 nya agar hasil operasi baris yang kita dapatkan tidak mengubah 0 yang kita miliki

Sebagai contoh,

Pada matriks sebagai hasil langkah kita yang ketiga, kita akan mencoba mengubah elemen (baris 3 kolom 2) menjadi 0 dengan bantuan baris 2 . Karena elemen (baris 2 kolom 1) sudah bernilai 0 sehingga jika kita kalikan dengan angka berapa pun akan tetap 0 jika kita jumlahkan dengan elemen (baris 3 kolom 1 ) yang bernilai 0, maka hasilnya akan 0, yang berarti tidak akan merubah elemen 0 yang kita miliki

1 2 0 8

0 -11 0 -33 dikalikan 6 0 -66 0-

1980 6 2 34 dikalikan 11 0 66 22 374

3 baru 0 0 22 176

Sehingga matriks kita yang baru menjadi

1 2 0 80 -11 0 -330 0 22 176

Catatan :

1. Pada langkah eliminasi Gauss, diperbolehkan untuk meng-kalikan lebih dari 1 baris seperti pada contoh langkah kedua ini. Bahkan mungkin semua baris. Wong kalo dipikir-pikir, semua elemen baris adalah representasi koefisien variabel pada persamaan yang sama. Jadi, nilai variabel tetap tidak akan berubah asalkan yang dikalikan dengan sebuah konstanta tidak Cuma 1 elemen tapi semua elemen dalam dalam satu baris

2. Untuk mencegah adanya loop yang tidak berkesudahan, maka langkah mengubah elemen (baris i kolom j ) menjadi 0 sebaiknya digunakan baris yang sudah memiliki elemen 0. Sehingga langkah kita melakukan eliminasi gauss adalah sebagai berikut :

a) Langkah pertama bisa dengan : Mengubah elemen ( baris 2 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja Mengubah elemen ( baris 3 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja

b) Langkah kedua bisa dengan : Mengubah elemen ( baris 3 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja Mengubah elemen ( baris 2 kolom 1) menjadi 0 dengan baris mana saja

c) Langkah ketiga Mengubah elemen ( baris 3 kolom 2) menjadi 0 dengan menggunakan baris ke-2

1 2 0 8

2-1 2 17

1 5 1 25

Langkah terakhir adalah dengan mengubah elemen (baris 3 kolom 2 ) menjadi 0 dengan memanfaatkan baris ke 2

Langkah terakhir

eliminasi gauss 4 upload

Documents