PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

Metode Pembuktian Matematika

Pembuktian langsung

Pembuktian tidak langsung

Induksi matematika

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung dalam matematika dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi, fakta, aksioma yang ada untuk sampai pada suatu kesimpulan (konklusi)

Contoh 1

Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n2 bilangan ganjil”.

Bukti:

Diketahui bahwa n bilangan ganjilKarena n bilangan ganjil, maka n = 2k+1, dengan k bilangan bulatn2 = (2k+1) 2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) + 1Bentuk 2(2k2+2k) + 1 adalah bilangan ganjilJadi n2 bilangan ganjil

Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

KontraposisiKontradiksi

Kontraposisi•Pembuktian tidak langsung kontraposisi

digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

•Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

•Secara simbolik :p → q ≡ ~q → ~p artinya untuk membuktikan kebenaran p → q kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Contoh :

Buktikan bahwa: “jika n2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti:

Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya.Misalnya :p = n2 bilangan ganjilq = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ?Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.Akibatnya n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2). Artinya n2 bilangan genap.Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p BENAR. Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil.

Kontradiksi

•Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada.

•Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh :Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jka n2 ganjil, maka n ganjil”.

Bukti:

Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap. Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat. Dengan demikian maka :n2 = (2k) 2

n2 = 4k2

n2 = bilangan bulat genap (~p)Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedang dari lang-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu yang berlaku untuk bilangan asli

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka P(n) benar untuk semua n.

Contoh :

Buktikan bahwa : “1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2, untuk semua bilangan asli n”.

Bukti:

Misalkan P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2,(a). P(1) benar, sebab 1 = 1(b). Apabila P(k) benar, yaitu apabila ; 1 + 3 + 5 + 7

+ … + (2k-1) = k2, maka 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1= (1 + 3 + 5 + 7 + … + 2k-1 + 2k+1.= k2 + 2k + 1= (k + 1) 2

Sehingga P(k+1) benar