PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
Oleh:
Anang Wibowo, S.Pd
SMA Negeri 1 Ponorogo
Mei 2012
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
Email : [email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only)
© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumber URL-nya ya…
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN
A. Pendahuluan Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui satu titik pada
lingkaran tersebut, mempunyai dua buah garis singgung dengan gradien yang sama, dan mempunyai dua garis singgung yang dapat ditarik melalui satu titik di luar lingkaran. Setidaknya itulah yang dapat kita tentukan, dan materi inilah yang selama ini diajarkan di SMA/MA kelas XI IPA pada Bab Lingkaran, sub bab Menentukan persamaan garis singung lingkaran. Dengan rincian sebagai berikut: a. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran, b. Menentukan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui, dan c. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.
Muncul pertanyaan, bagaimanakah dengan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran, apakah bisa kita tentukan? Mengapa selama ini yang dibahas hanya sebatas menentukan panjang garis singgung sekutu dua lingkaran, yang mana materi ini telah dibahas di tingkat SMP? Berikut adalah pembahasan, bagaimana kita menentukan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran.
B. Dasar Teori
Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.
Garis cmxy += menyinggung lingkaran L jika nilai D = 0. Dimana D adalah diskriminan persamaan kuadrat yang diperoleh setelah mensubtitusikan cmxy += ke persamaan lingkaran.
Atau
Garis ax + by + c = 0 menyinggung lingkaran L jika d = r, dengan d adalah jarak titik pusat lingkaran ( )11, yxP terhadap garis singgung ax + by + c = 0 dan r adalah jari-jari
lingkaran, dimana 22
11
ba
cbyaxPQd
+
++==
.
L
ax + by + c = 0
P
Q
r
L cmxy +=
Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran
Dari gambar, 1
1
xy
mPQ =
PQ tegak lurus gs, maka
1
11yx
mmm gsgsPQ −=⇒−=
Persamaan garis singgung melalui ( )11 , yxQ adalah:
( )
( )
( ) ( )
21
2111
211
211
1111
11
11
11
yxyyxx
xxxyyy
xxxyyy
xxyx
yy
xxmyy
+=+
+−=−
−−=−
−−=−
−=−
Karena Q(x1, y1) pada lingkaran, maka 221
21 ryx =+ , sehingga persamaan garis
singgungnya adalah:
211 ryyxx =+
Dengan sistem bagi adil, lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− mempunyai persamaan garis
singgung:
( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−
dan untuk lingkaran 022 =++++ CByAxyx mempunyai persamaan garis singgung:
( ) ( ) 022 1111 =++++++ CyyB
xxA
yyxx
Persamaan Garis Singgung Suatu Lingkaran Jika Gradiennya Diketahui
Misalkan persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ adalah cmxy += ,
Subtitusi y ke persamaan lingkaran
( )( ) ( ) 021
022222
22222222
=−+++⇒
=−+++⇒=++
rcmcxxm
rcmcxxmxrcmxx
Garis menyinggung lingkaran jika D = b2 – 4ac = 0
Q(x1, y1)
P
r
X
Y
x1
y1
gs
( ) ( )( )
( )( )2
222
2222
2222
22222222
2222
1
1
0
044444
0142
mrc
mrc
rmrc
rmrc
rmrcmccm
rcmmc
+±=⇒
+=⇒
+=⇒
=++−⇒
=++−−⇒
=−+−
Maka persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ dengan gradien m adalah:
21 mrmx
cmxy
+±=
+=
Dengan sistem bagi adil, untuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− akan diperoleh
persamaan garis singgung:
( ) 21 mraxmby +±−=−
Sehingga gradien garis singgung lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− yang melalui titik
( )11 , yxT di luar lingkaran dapat kita tentukan dengan rumus:
( ) 211 1 mraxmby +±−=−
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Menentukan gradien garis singgung lingkaran. 2. Gunakan rumus persamaan garis melalui suatu titik, misalnya ( )11 , yxT dan
diketahui gradiennya (m). Persamaannya adalah: ( )11 xxmyy −=− Persamaan Garis Polar/Kutub Dari satu titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran tersebut. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung disebut garis polar atau garis kutub.
Misal A( )AA yx , maka PGS di titik singgung A adalah 2ryyxx AA =+ …….(1)
B ( )BB yx , maka PGS di titik singgung B adalah 2ryyxx BB =+ …….(2)
( )11, yxT
Garis polar/kutub
g1
g2
A dan B adalah titik singgung, juga titik potong garis polar dengan lingkaran.
A
B
P
Sehingga persamaan garis
AT adalah 211 ryyxx AA =+ ……….(3)
BT adalah 211 ryyxx BB =+ ……….(4)
Kurangkan (3) dengan (4), diperoleh
( ) ( ) ( )( ) 1
111 0
yx
xxyy
yyyxxxBA
BABABA −=
−−
⇒=−+−
Gradien garis AB adalah ( )( ) 1
1
yx
xxyy
BA
BA −=−−
dan garis AB melalui titik A maka persamaan
garis AB adalah
( )
211
1111
11111
1
ryyxx
yyxxyyxx
xxxxyyyyxxyx
yy
AA
AAAA
=+⇒
+=+⇒
+−=−⇒−−=−
Jadi, persamaan garis polar AB pada lingkaran 222 ryx =+ adalah: 211 ryyxx =+
Uuntuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− mempunyai persamaan garis polar:
( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−
Dan untuk lingkaran 022 =++++ CByAxyx persamaan garis polarnya adalah:
( ) ( ) 022 1111 =++++++ CyyB
xxA
yyxx
Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:
1. Tentukan persamaan garis polarnya. 2. Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, untuk mencari titik A dan
B sebagai titik singgung lingkaran. 3. Gunakan rumus Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran untuk
mencari persamaan garis singgungnya.
Kedudukan Dua Lingkaran:
Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu:
a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ
b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ
c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ
d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ
e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, atau bersinggungan luar. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika PQrR ≤+ .
Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, atau berpotongan. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika PQrR ≤− .
Titik Bagi Ruas Garis AB Koordinat titik bagi ruas garis AB yaitu titik C, dimana AC : CB = a : b adalah
( )
++
++
=babyay
baxbxa
CyxC ABABCC ,,
Dua Segitiga yang Sebangun Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Perhatikan gambar, segitiga ABC sebangun dengan segitiga PQR, maka RCQBPA ∠=∠∠=∠∠=∠ ,, dan
QRBC
PRAC
PQAB ==
A
B
C a
b
r R
P Q r R
P Q r
R
P Q
P Q r
R P
Saling Asing Luar Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam
Saling Asing Dalam Berpotongan
r
R
P Q
C. Persamaan Garis Singgung Sekutu Dua Lingkaran Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan terlebih dulu titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran. Adapun lingkaran yang akan digunakan, bisa memilih lingkaran pertama atau lingkaran kedua. Titik potong kedua garis singgung adalah:
Garis Singgung Sekutu Dalam
Perhatikan gambar di atas!
PBE∆ sebangun dengan QDE∆ , karena 090=∠=∠ QDEPBE dan QEDPEB ∠=∠
(saling bertolak belakang) mengakibatkan DQEBPE ∠=∠ , sehingga
rRQEPEataurR
QDPB
QEPE
:: === .
Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan perbandingan rREQPE :: =
Maka koordinat titik E adalah
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ ,
P
Q
E R
r
α
β
γ
β
αγ
A
B
C
P
Q
R
R r
P Q
A
B
C
D
g1
g2
E
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R > r.
Perhatikan gambar di atas!
PBS∆ sebangun dengan QCS∆ , karena 090=∠=∠ QCSPBS dan QSCPSB ∠=∠ (saling berhimpit) mengakibatkan CQSBPS ∠=∠ , sehingga
rRr
rRQSPQ
rR
QSPQ
rR
QCPB
QSQSPQ
>−
=⇒=+⇒==+
;1
Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis PQ dengan perbandingan rRrrRQSPQ >−= ;:)(: sehingga
( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )rR
yrRyy
yrRyyrR
yryrRRyrrR
yryrRy
danrR
rxRxx
rxRxxrR
rxxrRRxrrRrxxrR
x
diperoleh
rrRryyrR
rrRrxxrR
QyxQ
PQS
PQS
PSQPS
Q
PQS
PQS
PSQPS
Q
PSPSQQ
−−
=⇒
−=−⇒
+−=⇒+−+−
=⇒
−
−=⇒
−=−⇒
+−=⇒+−+−
=⇒
+−+−
+−+−
=
:
,,
Sehingga kita dapatkan koordinat titik S adalah ( )
−−
−−
=rRryRy
rRrxRx
SyxS PQPQSS ,,
P
S
Q R – r
r
A
B
S
D
C
Q P
R r
Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran kita menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgungnya terlebih dulu.
Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r.
Jika R = r (jari-jari kedua lingkaran sama), maka kedua garis singgung sekutu sejajar dan tidak mempunyai titik potong. Kedua garis singgung sejajar dengan garis PQ, yaitu garis
yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Sehingga diperoleh PQ
PQPQgs xx
yymm
−
−== .
Persamaan garis singgung sekutunya kita kita tentukan dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya. Persamaan garis singgung dengan
gradien m untuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( ) 21 mraxmby +±−=− .
Dua Lingkaran yang Bersinggungan
Titik
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ , pada lingkaran yang bersinggungan luar, merupakan
titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan
dalam. Titik
−−
−−
rRryRy
rRrxRx
S PQPQ , pada dua lingkaran yang bersinggungan dalam,
juga merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan luar. Titik E dan titik S adalah titik singgung sekutu. Sehingga persamaan garis singgung sekutunya dapat ditentukan dengan rumus menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
r R P Q
r
R
P Q
Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam
P
Q
g1
g2
r
R= r
S E
D. Soal dan Pembahasannya Pada pembahasan soal di bawah, untuk soal pertama kita akan menentukan
gradien garis singgung terlebih dulu, kemudian mencari persamaan garis singgung sekutunya dengan menggunakan lingkaran pertama, juga dengan lingkaran kedua. Untuk soal kedua kita gunakan kedua cara namun dengan lingkaran yang sama yaitu menggunakan lingkaran pertama. Soal ketiga dan keempat adalah contoh soal dengan karakteristik khusus.
Soal Pertama: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam ( ) ( ) 1632 22
1 =−+−≡ yxL dan
( ) ( ) 4312 222 =−+−≡ yxL .
Jawab:
( ) ( ) 1632 221 =−+−≡ yxL mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4
( ) ( ) 4312 222 =−+−≡ yxL mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
( ) ( )PQrRdanPQrR
rRrR
PQ
<−<+
=−=−=+=+
==−+−=
224624
1010033212 22
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Diketahui bahwa koordinat titik
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ , , sehingga kita peroleh koordinat
titik E adalah:
=
=
++
++
3,3
266
18,
652
243.23.4
,24
2.212.4EEE
Cara 1: Menggunakan Lingkaran Pertama. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:
( ) ( ) 22 14231 mxmymRxxmyy PP +±−=−⇒+±−=−
Garis singgung melalui titik
3,
326
E
01443 =−− yx03843 =−+ yx
1L 2L
( )
9400
1616
320
14
14320
0
142326
331423
22
2
2
22
mm
mm
mm
mmmxmy
=+⇒
=+±⇒
+±=⇒
+±
−=−⇒+±−=−
43
169916
144256
400144144
2
2
2
22
±=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=+⇒
m
m
m
m
mm
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui
3,
326
E adalah:
−=−
326
3 xmy
014434
2643
3
326
43
343
=−−⇒
−=−⇒
−=−⇒=
yx
xy
xymUntuk
038434
2643
3
326
43
343
=−+⇒
+−=−⇒
−−=−⇒−=
yx
xy
xymUntuk
0384301443
2
1
=−+≡•=−−≡•
yxgyxg
Cara 2: Menggunakan Lingkaran Kedua. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:
( ) ( ) 22 121231 mxmymrxxmyy QQ +±−=−⇒+±−=−
Garis singgung melalui titik
3,
326
E
( )
22
22
2
2
22
10036369
10044
310
12
123
100
1212326
3312123
mm
mm
mm
mm
mmmxmy
=+⇒
=+⇒
−=+±⇒
+±−=⇒
+±
−=−⇒+±−=−
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2 adalah:
43
169
916
3664
2
2
2
±=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
m
m
m
m
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui
3,
326
E adalah:
−=−
326
3 xmy
014434
2643
3
326
43
343
=−−⇒
−=−⇒
−=−⇒=
yx
xy
xymUntuk
038434
2643
3
326
43
343
=−+⇒
+−=−⇒
−−=−⇒−=
yx
xy
xymUntuk
0384301443
2
1
=−+≡•=−−≡•
yxgyxg
Soal Kedua: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran ( ) ( ) 1665 22
1 =−+−≡ yxL dan ( ) ( ) 4415 22
2 =−+−≡ yxL . Jawab:
( ) ( ) 1665 221 =−+−≡ yxL mempunyai pusat P(5, 6) dan jari-jari R = 4
( ) ( ) 4415 222 =−+−≡ yxL mempunyai pusat Q(15, 4) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
( ) ( )PQrRdanPQrR
rRrR
PQ
<−<+
=−=−=+=+
=+=−+−=
224624
104410064515 22
Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2 adalah:
1L
2L
235 −= xy
2=y
0149125 =−+ yx
Diketahui bahwa koordinat titik
−−
−−
rRryRy
rRrxRx
S PQPQ , , sehingga kita peroleh koordinat
titik S adalah: ( )2,2524
,205
246.24.4
,24
5.215.4SSS =
=
−−
−−
Cara 1: Dengan Menentukan Persamaan garis Polar Persamaan garis polar berdasar titik S(25, 2) pada lingkaran L1 (dipilih L1) adalah: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
235092420016244100201666255252
11
−=⇒=−−⇒=−+−−⇒=−−+−−⇒=−−+−−
xyyx
yxyxrbybyaxax
Subtitusi y ke persamaan L1 ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
51385058513042515013
085030026
016841290252510
1629551665
2
2
22
2222
==⇒
=−−⇒=+−⇒
=+−⇒
=−+−++−⇒
=−+−⇒=−+−
xataux
xxxx
xx
xxxx
xxyx
Subtitusi x ke persamaan garis polar (bukan ke persamaan lingkaran).
( )2,5223252355513126
,1385
13126
13299
13425
231385
51385
2
1
Tyx
Tyx
⇒=−=−⋅=⇒=∗
⇒=−=−⋅=⇒=∗
13126
,1385
1T dan ( )2,52T adalah titik potong garis polar dengan lingkaran yang merupakan
titik singgung pada lingkaran L1. Kita tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran L1. Persamaan garis singgung melalui ( )11 , yxT pada lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah:
( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
014912505964820020828848100200208648520
01661348
51320
166613
12655
1385
13126
,1385
1
=−+⇒=−+⇒=−−+−+⇒=−−+−⇒
=−−+−⇒
=−
−+−
−⇒
yxyx
yxyx
yx
yxT
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
284
0162440166450166625552,51
=⇒−=−⇒
=−+−⇒=−−−−⇒=−−+−−⇒
yy
yyx
yxT
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
20149125 ==−+ ydanyx Cara 2: Dengan Menentukan Gradien Garis Singgung. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah (dipilih L1):
( ) ( ) 22 14561 mxmymRxxmyy PP +±−=−⇒+±−=− Garis singgung melalui titik ( )2,25S
( ) ( )
( )
125
2410
0
0102401024
110251
151
151
14204
14525621456
2
22
2
2
2
22
−=−==⇒
=+⇒=+⇒
++=+⇒
+=+±⇒
+±=−⇒
+±=−⇒
+±−=−⇒+±−=−
mataum
mmmm
mmm
mm
mm
mm
mmmxmy
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui ( )2,25S adalah: ( )252 −=− xmy
( )
202
25020
=⇒=−⇒
−=−⇒=
yy
xymUntuk
( )
0149125
1255241212
125125
2
25125
2125
=−+⇒
+−=−⇒
+−=−⇒
−−=−⇒−=
yx
xy
xy
xymUntuk
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
01491252 =−+= yxdany
Soal Ketiga:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran
( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL dan 5
56
512 22
2 =
++
−≡ yxL .
Jawab:
( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL mempunyai pusat P(4, 2) dan jari-jari R = 5
556
512 22
2 =
++
−≡ yxL mempunyai pusat
−
56
,5
12Q dan jari- jari r = 5
Hubungan dua lingkaran
rRPQrRrR
rR
PQ
+<<−<<
=−=−
==+=+
===+=
−−+
−=
47,479,10
055
47,45255
79,15
1625320
25256
2564
256
45
12 22
Maka L1 dan L2 berpotontan di dua titik, tidak mempunyai garis singgung sekutu dalam, hanya mempunyai garis singgung sekutu luar.
Untuk R = r (jari- jari kedua lingkaran sama, yaitu 5 ), kedua garis singgung sejajar PQ.
2816
585
16
45
12
256
==−
−=
−
−−=
−
−==
PQ
PQPQgs xx
yymm
Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2.
Persamaan garis singgung ( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL (dipilih L1) dengan gradien 2
adalah:
( )
12112562
5822215422 2
−=−=⇒±−=⇒
±−+=⇒+±−=−
xyatauxyxy
xyxy
Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:
12 −= xy dan 112 −= xy .
Soal Keempat:
Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam antara lingkaran
( ) ( ) 911 221 =−+−≡ yxL dan ( ) ( ) 416 22
2 =−+−≡ yxL .
Jawab:
( ) ( ) 911 221 =−+−≡ yxL mempunyai pusat P(1, 1) dan jari-jari R = 3
( ) ( ) 416 222 =−+−≡ yxL mempunyai pusat Q(6, 1) dan jari-jari r = 2
Hubungan dua lingkaran
( ) ( )
PQrRPQrR
rRrR
PQ
<−=+
=−=−=+=+
==−+−=
123523
5251116 22
Maka L1 dan L2 bersinggungan luar, mempunyai satu garis singgung sekutu dalam dan dua garis singgung sekutu luar.
P
Q
112 −= xy12 −= xy
( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL
556
512 22
2 =
++
−≡ yxL
Cara 1:
021 =−≡ LLPGS
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
−
===−+−+−
=−−−=−+−
=−+−
440105351212
561416
911
22
22
22
22
xx
xxxx
xxyx
yx
Cara 2:
Titik singgung sekutu dua lingkaran adalah =
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ ,
( )1,42323
,23218
EE =
++
++
E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
4123
933
91391111142
11
=⇒=⇒=−⇒=−⇒=−−+−−⇒=−−+−−
xx
x
xyxrbybyaxax
Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.
E. Kesimpulan Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan
menentukan koordinat titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung sekutunya dengan cara “Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran”. Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka persamaan garis singgung sekutu luar ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya, dengan gradien garis singgung sama dengan gradien garis PQ. Pada dua lingkaran yang bersinggungan luar dan bersinggungan dalam, ditemukan titik singgung sekutu, sehingga persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran
bisa menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgung terlebih dulu. Dipilih cara mana yang lebih mudah. Karena terdapat dua buah lingkaran, maka dapat dipilih salah satu lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya.
F. Bahan Bacaan
Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk kelas VIII SMP/MTs. Jakarta. BSE Depdiknas.
Departemen Matematika Technos. –tanpa tahun-. Teori Ringkas Matematika. Surabaya. Litbang LP3T Technos.
Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap Pintar Matematika (Bilingual). Jakarta. Cerdas Pustaka Publisher.
Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA. Jakarta. Grafindo Media Pratama.
Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic Publisher and Distributors. (PDF File)
Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia.
Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung. Erlangga.
No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)
G. Aplikasi Pendukung
• Microsoft Office Word 2007 • Goegebra Portable 4.2 / Geogebra Setup 3.0 (http://www.geogebra.org)
Lampiran:
Tabel Banyak Garis Singgung Persekutuan (GSP) Dua Lingkaran
No Hubungan 2 Lingkaran
Banyak GSP Cara menentukan PGSP
Dalam Luar Dalam Luar 1
Saling Asing Luar
2
2
Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ ,
Dengan: L1: Pusat P , jari-jari R L2: Pusat Q, jari-jari r
Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:
−−
−−
rRryRy
rRrxRx
S PQPQ ,
Jika jari-jari lingkaran sama
mk PQ
PQPQgs xx
yymm
−
−==
PGS ditentukan dengan rumus PGS jika diketahui gradiennya.
2
Bersinggungan Luar
1
2
Cara 1: 021 =−≡ LLPGS
Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu
++
++
rRryRy
rRrxRx
E PQPQ , ,
kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
-- Sda --
3
Berpotongan
0
2
-
-- Sda --
4
Bersinggungan Dalam
0
1
-
Cara 1: 021 =−≡ LLPGS
Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu
−−
−−
rRryRy
rRrxRx
S PQPQ , ,
kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.
5
Saling Asing Dalam
0
0
-
-
S
E