Pernyataan Berkuantor
Agi Putra Kharisma, S.T., M.T.
Ganjil 2016/2017
1
Jenis Pernyataan Berkuantor
Kuantor Universal
Kuantor Eksistensial
2
Contoh Kuantor Universal
Semua mahasiswa UB memiliki NIM.
Semua kendaraan bermesin diesel menggunakan bahan bakar solar.
Semua negara memiliki bendera.
3
Contoh Kuantor Eksistensial
Ada bilangan bulat dimana hasil kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Ada hewan hidup di dalam tanah.
Ada WNI tidak memiliki KTP.
4
Contoh Kuantor Universal Dalam Model Formal
Proposisi “Semua mahasiswa UB memiliki NIM” dapat dinyatakan dengan:
Misal:
U adalah himpunan mahasiswa ub
q(x) menyatakan x memiliki NIM
Maka model matematika-nya adalah:
∀x ∈ U, q(x)5
Contoh Kuantor Eksistensial Dalam Model Formal
Proposisi “Ada bilangan bulat dimana hasil kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
” dapat dinyatakan dengan:
Misal:
Z adalah himpunan bilangan bulat
Maka model matematika-nya adalah:
∃x ∈ Z, x2 = x6
Dunia Tarski
Misal:
S(x) menyatakan x adalah segitiga
B(x) menyatakan x berwarna biru
Periksa nilai kebenaran proposisi berikut:
1. ∀x, S(x) → B(x)
2. ∀x, B(x) → S(x)
7
Notasi Formal
8
Negasi
Negasi kuantor universal adalah kuantor eksistensial
Negasi kuantor eksistensial adalah kuantor universal
9
Negasi Kuantor Universal
10
Negasi Kuantor Eksistensial
11
Contoh negasi (1)
Negasi proposisi:
“Semua mahasiswa UB memiliki NIM”
adalah:
“Ada mahasiswa UB tidak memiliki NIM”
12
Contoh negasi (2)
Negasi proposisi:
“Ada hewan hidup di dalam tanah”
adalah:
“Semua hewan tidak hidup di dalam tanah”
13
Latihan (1)
Misal M adalah himpunan mahasiswa FILKOM UB, R adalah himpunan tempat makan di kota Malang, K(m,r) menyatakan “mahasiswa m pernah makan di r”. Tulis ulang pernyataan di bawah ini dengan model informal.
a) ∃m ∈ M dimana K(m, Sate Bunul H. Paino)
b) ∀m ∈ M, K(m, Kantin FILKOM)
c) ∀m ∈ M, ∃r ∈ R dimana K(m,r)
d) ∃r ∈ R dimana ∀m ∈ M, K(m,r)
e) ∃m ∈ M, ∃n ∈ M, dan ∃r ∈ R dimana m ≠ n dan K(m,r) ∧K(n,r)
f) ∃m ∈ M, ∃n ∈ M dimana m ≠ n dan ∀ r ∈ R, K(m,r)
K(n,r)14
Latihan (2)
Misal D = { -48, -14, -8, 0, 1, 3, 16, 23, 26, 32, 36}. Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut. Jika bernilai FALSE, maka sebutkan counterexamples-nya.
a) ∀x ∈ D, jika x ganjil maka x > 0
b) ∀x ∈ D, jika x < 0 maka x genap
c) ∀x ∈ D, jika x genap maka x < 0
d) ∀x ∈ D, jika digit satuan x adalah 2, maka digit
puluhannya adalah 3 atau 4.
e) ∀x ∈ D, jika digit satuan x adalah 6, maka digit
puluhannya 1 atau 2.
15
Latihan (3)
Tentukan nilai kebenarannya.
a) ∀ bilangan riil x, ∃ bilangan riil y dimana x + y = 0
b) ∃ bilangan riil y dimana ∀ bilangan riil x, x+ y = 0
c) ∀ bilangan riil bukan nol r, ∃ bilangan riil s dimana
rs = 1
d) ∃ bilangan riil r dimana ∀ bilangan riil bukan nol s,
rs = 1
e) ∃ bilangan riil r dimana ∀ bilangan riil s, rs = 0
16
Latihan (4)
Nyatakan negasi pernyataan berikut ini.
a) ∀x ∃y ∀z T(x,y,z)
b) ∀x ∃y P(x,y) ∨ ∀x ∃y Q(x,y)
c) ∀x ∃y (P(x,y) ∧ ∃z R(x,y,z))
d) ∀x ∃y (P(x,y) → Q(x,y))
17
Jawaban (4)
a) ∃x∀y∃z ¬T(x, y, z)
b) ∃x∀y ¬P(x, y) ∧ ∃x∀y ¬ Q(x, y)
c) ∃x∀y (¬P(x,y) ∨ ∀z ¬R(x,y,z))
d) ∃x∀y (P(x,y) ∧ ¬Q(x,y))
18