Download - Perkalian matrik elementer
PERKALIAN MATRIK ELEMENTERTulus
Setyawan
Hitung invers matrik AA = Jawab :Menghitung E1A1 = 2 = A3 =
E1 =
= Menghitung E2N2 = E1A2 =
E2 =
E2E1 =
=
CONTOH PERKALIAN MATRIK ELEMENTER Tulus
Setyawan
DEFINISI PERKALIAN MATRIK ELEMENTER 1. Matrikelementeradalahmatrik yang
diperolehdarioperasielementer yang dikenakanpadamatrikidentitas.
2. Setiapmatrikelementermempunyai invers, dansetiapmatrikbujursangkarberordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalenbaristerhadapmatrikidentitas I.
3. Akibatnyajika :
EkEk-1Ek-2…E2E1A = I,
maka,
A-1 = EkEk-1Ek-2…E2E1
Matrikelementer E diperolehdaritransformasimatrikidentitasdimanapadakolomke-I digantidengannormalitas vector kolom :
Ei =
Nk,I = dimana: Nk,I = Ei-1Ei-2…E1IAi
Tulus Setyawan
Menghitung E3 dan Invers MatrikN3 = E2E1A3 =
E3 =
Jadi Invers Matriknya
A-1 = E3E2E1 = =
CONTOH PERKALIAN MATRIK ELEMENTER Tulus
Setyawan
Devinisi Partisi Matriks
Dalam teori pengolahan citra digital, sebuah citra direpresentasikan sebagai matriks yang ukurannya sangat besar. Mengolah citra digital, berarti mengolah matriks tersebut. Untuk mempermudah perhitungan terkadang sebuah matriks yang besar perlu dipartisi (disekat)
terlebih dahulu. Partisi dilakukan dengan cara membagi matriks yang besar menjadi sub-sub matriks yang lebih kecil.
Sebagai contoh, diketahui dua buah citra berukuran 10000 X 10000 piksel yang dinyatakan sebagai matriks berukuran 10000 X 10000 berikut :
Tulus Setyawan
Contoh Partisi Matriks
a 11a 21
a 10000 1
a 12a 22
a 10000 1
a 1 10000a 2 10000
a 10000 10000
A=
b 11b 21
b 10000 1
b 12b 22
b 10000 1
b 1 10000b 2 10000
b 10000 10000
B=
Untuk memproses kedua citra tersebut dibutuhkan waktu sangat lama dan seringkali tidak mungkin untuk mengalikan kedua matriks karena terbatasnya memori computer untuk menyimpan kedua
matriks tersebut.
Tulus Setyawan
Penyelesaian
A11A21
A100 1
A12A22
A100 2
A1 100A2 100
A100 100
B =
B11B21
B100 1
B12B22
B100 2
B1 100B2 100
B100 B100
Untuk meyelesaikan permasalahan ini kedua matriks tersebut dipecah-pecah (dipartisi) menjadi matriks yang berukuran lebih kecil, misalnya menjadi matriks berukuran 100 X100.
Dimana Aij, Bij, i=1,2,…,100, adalah matriks ordo 100 X 100 . Bila dilakukan operasi perkalian matriks, maka
Tulus Setyawan
A11A21
A100 1
A12A22
A100 2
A1 100A2 100
A100 100
B11B21
B100 1
B12B22
B100 2
B1 100B2 100
B100 100
=
C11C21
C100 1
C12C22
C100 2
C1 100C2 100
C100 100
= C
Dimana Cij = ∑ Aik Bkj = Ai1 B1j + Ai2 B2j + …. + Ai100 B100j, i = 1,2,…,100; j =
1,2,….,100.
Sebagai contoh,
C12 = ∑ A1k BK2 = A11B12+A12B22+….+A1 100B100 2
Jadi, kita hanya perlu untuk menghitung perkalian matriks 100 X 100 .
Kasus Umum
100
K=1
100
K=1
a11a21
amq
a 12a 22
a mq
a1 npa2 np
amq np
B =
b11b21
bnp 1
b12b22
bnp2
b1 srb2 sr
bnp sr
A =
Misalkan Matriks mq x np dan
Matriks np x sr . Kita bisa mempartisi kedua matriks menjadi
A11A21
Aq 1
A =
A12A22
Aq 2
A1 pA2 p
Aqp
B =
B11B21
Bp 1
B21B22
Bp 2
B1 rB2 r
B pr
Di mana A ij adalah matriks m x n dan B jk adalah matriks n x s , i =1,2,….,q; j =1,2,….,p, k=1,2,….,r.
Tulus Setyawan
Matriks A4x4 disekat dengan satu dipartisi horizontal menjadi A1;2x4 dan A2;2x4.
A=A1---A2
=
1 2 3 45 6 7 8----------------8 7 6 54 3 2 1
AT =A1 A2
--- =1 5 8 42 6 7 33 7 6 24 8 5 1
------------Jika sebuah matriks berorde m x n dipartisi dengan satu sekatan vertical, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde m x n1 dan m x n2, dimana n1+n2=nMatriks B3x4 dipartisi dengan satu partisi vertical menjadi B1; 3x2 dan B2; 3x2.
Tulus Setyawan
Biasanya partisi yang dilakukan adalah sekali secara horizontal dan sekali secara vertical.
B=B1 B2=1 2 3 48 7 6 59 2 3 7
---
---------
B =T B
B
T
T1
2
--- =
1 8 92 7 2
3 6 34 5 7
------------
C=C11
C12
C21
C22
--------
--------
=
1 2 34 5 6
7 8 93 2 1
---------------
------------ C =T
T
T
C C
C C
T
T11
12
21
22
-----------
----------- =1 4 7 32 5 8 2
3 6 9 1-----------------
------------
Tulus Setyawan
C11 berorde m1 x n1 C12 berorde m1 x n2C21 berorde m2 x n2 C22 berorde m2 x n2(perhatikan perpindahan sekat antara C12 dan C21!)
OPERASI PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN• Partisi VertikalA mxn =A1 A2
--- B mxn =B1 B2---
(A1 dan B1 berorde mxn1; A2 dan B2 berorde mxn2) maka:
A±B =A1 A2
--- ±B1 B2
--- = A1 ± B1A2 ± B2
Tulus Setyawan
A =
2 7 11 92
4 5 08 48
7 6 10 25
8 2 35 36
2 1 11 122
---------------
B=
2 8 11 92
3 6 66 34
4 1 77 25
5 2 35 35
2 1 11 72
---------------
A – B =
0 -1 00 00
1 -1 -62 14
3 5 -6-7 00
3 0 00 01
0 0 00 50
---------------
Partisi Horizontal
A mxn =A1---A2
B mxn =B1---B2
Tulus Setyawan
(A1 dan B1 berorde m1 x n ; A2 dan B2 berorde m2 x n)
A1 ± B1A±B =
A1---A2
±B1---B2
= A2 ± B2--------
A=
1 10 7 19 6 3 17 0 0 4
3 0 0 78 12 6 41 6 1 1
---------------- B=
1 2 3 14 5 6 87 0 0 9
3 0 0 106 7 8 11 4 3 1
----------------
maka
:
maka
A + B =
2 12 10 213 11 9 914 0 0 13
6 0 0 1714 19 14 52 10 4 2
-----------------
Tulus Setyawan
OPERASI PERKALIAN
0perasi perkalian terhadap dua matriks A dan B adalah sebagai berikut:
AB =
A11A21
Aq 1
A12A22
Aq 2
A1 pA2 p
Aqp
B11B21
Bp 1
B21B22
Bp 2
B1 rB2 r
B pr
=
C11C21
Cq 1
C21C22
Cq 2
C1 rC2 r
C qr
=C mqxsr
dimana
Cij = ∑ Aij Bkj = Ai 1 B1 j + Ai 2 B2 j + …. + Aip Bpj , i =1,2,…,q; j =1,2,…,r, adalah matriks mxsK=1
p
Tulus Setyawan
Misalkan
A 4x4 =
1 0 1 00 2 3 -1
2 0 -4 00 1 0 3
----------------
----------------
=A11 A12A21 A22
dan
A 4x6 =
2 0 0 1 1 -10 1 1 -1 2 2
1 3 0 0 1 0-3 -1 2 1 0 -1
--------------------------
----------------
=B11 B12B21 B22
Tulus Setyawan
dimana A111 00 2= , A12=1 0
3 -1, A21=2 00 1, A22=-4 0
0 3
danB11=1 0 0
0 2 1, B12=1 1 -1-1 2 2, B21=1 3 0
-3 -1 2, B22=0 1 01 0 -1
Maka perkalian matriks A dan B adalah
A 4x4B 4x6=
A11 A12A21 A22
B11 B12B21 B22=
A11B11+A12B21 A11B12+A12B22A21B11+A22B21 A21B12+A22B22
=C 4x6
=C11 C12C21 C22
=
3 3 0 1 2 -16 12 0 -3 7 5
0 -12 0 2 -2 -2-9 -2 7 2 2 -1
--------------------------
----------------
Tulus Setyawan
Contoh 1
A =1 2 5 3 4 73 4 8 1 2 62 3 6 1 5 8
---------
A1 A2
--- = B =B1---B2
=
1 33 55 27 62 44 3
------
A1B1=1 2 53 4 82 3 6
1 33 55 2
=1.1+2.3+5.5 1.3+2.5+5.23.1+4.3+8.5 3.3+4.5+8.22.1+3.3+6.5 2.3+3.5+6.2
=32 2355 4541 33
A2B23 4 71 2 61 5 8
7 62 44 3
=3.7+4.2+7.4 3.6+4.4+7.31.7+2.2+6.4 1.6+2.4+6.31.7+5.2+8.4 1.6+5.4+8.3
=57 5535 3249 50
AB
=
= A1B1+ A2B2 =89 7890 7790 83
Tulus Setyawan
Contoh 2
A =3 1 2 56 4 8 3
9 5 7 2----------------
-------------
B =
5 3 1 2 4 67 2 4 1 5 8
2 5 8 3 4 74 3 1 6 7 12
--------------------------
----------------
A11B11+A12B21=3 16 4
5 3 17 2 4+
2 58 3
2 5 84 3 1
=22 11 758 26 22+24 25 21
28 49 67
=46 36 2886 75 89
A11B12+A12B22=3 16 4
2 4 61 5 8+
2 58 3
3 4 76 7 12
Tulus Setyawan
7 17 2616 44 68= +36 43 74
42 53 92
=43 60 10058 97 160
A21B11+A22B21=9 5
2 4 61 5 8
+7 2
=80 37 29+22 41 58
=102 78 87
A21B12+A22B22=9 5 +7 23 4 76 7 12
5 3 17 2 4
2 5 84 3 1
=23 61 94+33 42 73
=56 103 167
Tulus Setyawan
AB =A11B11+A12B21 A11B12+A12B22
A21B11+A22B21 A21B12+A22B22----------------------------------------
---------
AB =
46 36 28 43 60 10086 75 89 58 97 160
102 78 87 56 103 167-----------------------------
-------------
Contoh 3
Toyes adalah dokter ahli penyakit cinta di Indonesia. Ia mempunyai pasien seorang wanita warga Virgnia bernama Sylvi yang mengeluhkan bahwa selama 10 tahun ini hatinya sakit karena ditinggal pacarnya. Untuk mengetahui adanya penyakit – penyakit lain yang ditimbulkan oleh sakit hati tersebut, Toyes memutuskan pergi ke Virginia untuk melakukan CT Scan pada kepala Sylvi dan mengambil citra iris matanya untuk mengetahui kemungkinan adanya penyakit yang lain.
Tulus Setyawan
Dari proses foto CT Scan dan pengambilan citra iris mata dihasilkan citra berukuran 20 M dan 15 M. Kedua citra tersebut akan dikirim ke Indonesia segera, untuk kebutuhan analisis dan hasilnya harus dikirim ke Virginia dalam waktu 2 hari. Bagaimana cara mengirim data sebesar ini, agar tidak putus di tengah jalan dan cepat sampai di tempat tujuan?
JAWAB
Pengiriman data yang terlalu besar mengakibatkan data mudah putus di tengah jalan, kalaupun tidak sampai putus, data tiba di tempat dalam waktu yang sangat lama. Untuk mengatasi hal ini data citra disimpan dalam bentuk matriks, kemudian dilakukan partisi menjadi data – data kecil misalnya berukuran 1 M.
Tulus Setyawan
Data kecil ini dikirim secara bertahap hingga lengkap. Sampai di tempat, data ini digabung lagi menjadi matriks yang besar, dan menghasilkan citra semula yang berukuran 20 M dan 15 M.
Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom.
Tulus Setyawan
CONTOH
6863475355324321
A
6847
A6353
A
5543
A3221
A
: adalah A matrik Partisi
2221
1211
Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah :
Karena, AB=BA=I maka diperoleh :
2221
1211
2221
1211BBBB
B ;AAAA
A
I00I
AAAA
BBBB
I00I
BBBB
AAAA
2221
1211
2221
1211
2221
1211
2221
1211
Tulus Setyawan
Dari perkalian matrik diperoleh hasil :(1). A11 B11 + A12 B21 = I(2). A11 B12 + A12 B22 = 0(3). B21 A11 + B22 A21 = 0(4). B21 A12 + B22 A22 = I
Dengan asumsi, A11–1 ada, dan
B22 = L–1 adaMaka rumus untuk menghitung inver matriknya adalah :(1). B12 = –(A 11
–1 A12)L–1 (2). B21 = – L–1(A21 A11
–1)(3). B11 = A11
–1+(A11–1A12)L–1(A21
A11–1)
(4). L = A22 – (A21A11–1A12)
CONTOH : Kasus n=4. Hitunglah invers matrik berikut ini
Jawab :
6863475355324321
A
6847
A6353
A
5543
A3221
A
: adalah A matrik Partisi
2221
1211
Tulus Setyawan
Menghitung L
1-156-
1-(-1)-(-5)-6-
5-61L Jadi,
6-1-5-1-
12998
-6847
312-1
6353
-6847
AAAAL
0311
1-223-
6353
AA
312-1
5543
1-2
23-AA
1-2
23-12-2-3
)43(1A
1-
121-
112122
1-1121
121-
11
1-11
Menghitung Invers Matrik
4-56-13
3-38-13
1-223-
12-6-9
312-1
1-223-
)A(AL)AA(AB
1-269-
0311
1-1
56- -
)A(A-LB
2-37-8
1-156-
312-1
-
L)A-(AB
1-1121
1-12
1-11
1-1111
1-1121
1-21
1-12
1-1112
Tulus Setyawan
1-11256-69-2-34-57-86-10
BBBB
A2221
12111-
CONTOH :Hitung invers matrik A berikut :
Jawab : Partisi matrik A
3155413343536322344334532
A
315133536
A544332
A
234345
A4332
A
2221
1211
Tulus Setyawan
Menghitung L
21-1001
2-334-
544332
AA
5676-7-8-
234345
2-334-
A A
2-3
34-
23-3-4
981A
1-1121
121-
11
1-11
1-1-11-2-0101-
1)-(02)(-1-0)-(12)(-1-4)-(22)(-2-
0)-(12)(-2-1)-(0
11L
Jadi,21-21-01-
21-1
123234345
-315133536
5676-7-8-
544332
-315133536
AAAAL
1-
121-
112122
Tulus Setyawan
Menghitung Invers Matrik
27-5337-
25-2303-
2-334-
3-24-122-
5676-7-8-
2-334-
)A(AL)AA(AB
32-41-2-2
21-1001
1-1-11-2-0101-
-
)A(A-LB
41725-20-2-
1-1-11-2-0101-
5676-7-8-
-
L)A-(AB
1-1121
1-12
1-11
1-1111
1-1121
1-21
1-12
1-1112
1-1-132-1-2-041-101-2-2417227-55-20-2-337-
BBBB
AJadi, 2221
12111-
Tulus Setyawan
Sumber :1. Buku Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks
Diterbitkan oleh ANDY Yogyakarta dan Universitas Dian Nuswantoro Semarang Tahun 2009
2. Buku Perhitungan Matriks Dengan Quick BasicDiterbitkan oleh ANDI OFFSET Tahun 1994
T ERIMAKASIHSALAM SEJAHTERA
Tulus Setyawan