Download - Matriks dan sorting kel. bagus samsu vicky
MATRIKS
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaiansuatu persamaan matrikdengan menggunakan
sifat dan operasi matrik
Perhatikan Tabel: Absensi siswa kelas IIIBulan: Februari 2006
Nama Siswa
Sakit Ijin Alpa
Agus 0 1 3
Budi 1 2 0
Cicha 5 1 1
Jika judul baris dan kolomdihilangkan
Nama Siswa
Sakit Ijin Alpa
Agus 0 1 3
Budi 1 2 0
Cicha 5 1 1
Judul kolom
Judul baris
Maka terbentuksusunan bilangansebagai berikut:
0 1 3 1 2 0 5 1 1
disebut matriks
Matriks adalah
Susunan bilangan berbentukpersegipanjang yang diatur
dalam baris dan kolom,ditulis diantara kurung kecil
atau siku
Bilangan yang disusun disebut elemen.
Banyak baris x banyak kolomdisebut ordo matriks.
Sebuah matriksditulis dengan huruf besar
Contoh:
Matriks A =
654
321 baris ke 1
baris ke 2
kolom ke 1kolom ke 2
kolom ke 3
•matriks A berordo 2 x 3
•4 adalah elemen baris ke 2 kolom ke 1
Matriks persegi
Adalah matriks yang banyak baris dan kolom sama
Contoh:
Banyak baris 4, banyak kolom 4A adalah matriks berordo 4
A =
2409
8765
1052
4321
diagonal utama
500
710
321
A =
A adalah matriks segitiga atasyaitu matriks yang elemen-elemen
di bawah diagonal utamanya bernilai nol
Perhatikan matriks berikut:
B =
B adalah matriks segitiga bawahyaitu matriks yang elemen-elemen
di atas diagonal utamanya bernilai nol
Perhatikan matriks berikut:
534
017
001
C =
C adalah matriks diagonalyaitu matriks persegi yang elemen-
elemen di bawah dan di atas diagonal utama bernilai nol
Perhatikan matriks berikut:
500
010
003
I =
I adalah matriks Identitasyaitu matriks diagonal yang
elemen-elemen pada diagonal utama bernilai satu
Perhatikan matriks berikut:
100
010
001
Transpos Matriks
Transpos matriks A, ditulis At
adalah matriks baru dimana elemen baris matriks At
merupakan kolom matriks A
Transpos matriks A
A =
654
321
63
52
41adalah At =
Kesamaan Dua Matriksmatriks A = matriks B
jika ordo matriks A = ordo matriks B
elemen yang seletak sama
dan B =
A =
107
321
x
Jika matriks A = matriks B, maka x – 7 = 6 x = 13
2y = -1 y = -½
y206
321
Contoh 1:
113
342
85
q
r
p
Diketahui K =
dan L =
1123
442
856
p
q
Jika K = L, maka r adalah….
Bahasan: K = L
1123
442
856
p
q=
113
342
85
q
r
p
p = 6; q = 2p q = 2.6 = 123r = 4q 3r = 4.12 = 48 jadi r = 48 : 3 = 16
yxy
xyxMisalkan A =
dan B =
32
1 21
y
x
Jika At adalah transpos matriks Amaka persamaan At = B
dipenuhi bila x = ….
Contoh 2:
Bahasan:
yxy
xyxA =
=
yxx
yyx
At = B
yxx
yyx
At =
32
1 21
y
x
x + y = 1x – y = 32x = 4Jadi x = 4 : 2 = 2
Operasi Pada Matriks
PenjumlahanPenguranganPerkalian:
perkalian skalardengan matriks
perkalian matriksdengan matriks
Penjumlahan/pengurangan
Matriks A dan B dapat dijumlahkan/dikurangkan,
jika ordonya sama.
Hasilnya merupakanjumlah/selisih
elemen-elemen yang seletak
Contoh 1:
dan B =A =
7 43
3 -21
9 03
1 -52
A + B =
+
16 40
4 -71=
7 43
3 -21
9 03
1 -52
Jika A =
43
21 , B =
03
52
dan C =
40
71
Maka (A + C) – (A + B) =….
Contoh 2:
(A + C) – (A + B) = A + C – A – B
= C – B
=
40
71
03
52
=
0430
5721
=
43
21
Bahasan
Perkalian skalar dengan matriks
Jika k suatu bilangan (skalar)maka perkalian k dengan matriks A
ditulis k.A,adalah matriks yang elemennya
diperoleh dari hasil kalik dengan setiap elemen
matriks A
Matriks A =
51 43
3 -21
Tentukan elemen-elemen matriks 5A!Jawab:
5A =
51 43
3 -21.5
Contoh 1:
1 2015
15 -105
Matriks A =
43
2a, B =
ba0
51
dan C =
27
31
Jika A – 2B = 3C, maka a + b = ….
Contoh 2:
= 3
– =
A – 2B = 3C
43
2a
ba0
51
27
31
43
2a
– 2
ba 220
102
621
93
Bahasan
– =
=
43
2a
ba 220
102
621
93
ba
a
2243
122
621
93
ba
a
2243
122=
621
93
a – 2 = -3 a = -14 – 2a – 2b = 64 + 2 – 2b = 6 6 – 2b = 6 -2b = 0 b = 0Jadi a + b = -1 + 0 = -1
Matriks A =
ml
k
32
4
dan B =
7
1232
lk
klm
Supaya dipenuhi A = 2Bt,dengan Bt adalah matriks transpos
dari B maka nilai m = ….
Contoh 3:
B =
7
1232
lk
klm
berarti Bt =
712
32.2
lk
klm
A = 2Bt
ml
k
32
4 =
712
32
lk
klm
Bahasan
712
32.2
lk
klm
A = 2Bt
ml
k
32
4=
ml
k
32
4=
)7(2)12(2
2)32(2
lk
klm
ml
k
32
4
14224
264.
lk
klm=
m3l2
4k =
14l22k4
k2l6m4
4 = 2k k = 2
2l = 4k + 2 2l = 4.2 + 2
2l = 10 l = 5
3m = 2l + 14
3m = 2.5 + 14 = 24
Jadi m = 8
Bubble Sort
• Metode sorting termudah• Diberi nama “Bubble” karena proses pengurutan
secara berangsur-angsur bergerak/berpindah ke posisinya yang tepat, seperti gelembung yang keluar dari sebuah gelas bersoda.
• Bubble Sort mengurutkan data dengan cara membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya.
Bubble Sort (2)• Pengurutan Ascending :Jika elemen sekarang lebih besar dari
elemen berikutnya maka kedua elemen tersebut ditukar.• Pengurutan Descending: Jika elemen sekarang lebih kecil dari
elemen berikutnya, maka kedua elemen tersebut ditukar.• Algoritma ini seolah-olah menggeser satu per satu elemen dari
kanan ke kiri atau kiri ke kanan, tergantung jenis pengurutannya, asc atau desc.
• Ketika satu proses telah selesai, maka bubble sort akan mengulangi proses, demikian seterusnya sampai dengan iterasi sebanyak n-1.
• Kapan berhentinya? Bubble sort berhenti jika seluruh array telah diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan, serta tercapai perurutan yang telah diinginkan.
banyaknya data: nData diurutkan/disorting dari yang bernilai besar
Prosesstep 1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai
urutan ke-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.step 2 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai
urutan ke-2. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.
step n-1 : Periksalah nilai dua elemen mulai dari urutan ke-n sampai urutan ke-n-1. Jika nilai kiri<kanan, tukarkan kedua data itu.
…
Contoh Algoritma: BUBBLE SORT
7 4 5 8 10Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
7 4 5 8 10Step-1
Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
7 4 5 10 8Step-1
Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
7 4 10 5 8Step-1
Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
7 10 4 5 8Step-1
Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8Step-1
Awal
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 7 4 5 8
Step-1
Awal
Step-2
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 7 4 8 5
Step-1
Awal
Step-2
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 7 8 4 5
Step-1
Awal
Step-2
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 8 7 4 5
Step-1
Awal
Step-2
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 8 7 4 5
10 8 7 4 5
Step-1
Awal
Step-2
Step-3
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 8 7 4 5
10 8 7 5 4
Step-1
Awal
Step-2
Step-3
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 8 7 4 5
10 8 7 5 4
Step-1
Awal
Step-2
Step-3
Bubble Sort: tahap demi tahap
7 4 5 8 10
10 7 4 5 8
10 8 7 4 5
10 8 7 5 4
10 8 7 5 4
Step-1
Awal
Step-2
Step-3
Step-4
Bubble Sort: tahap demi tahap
Bubble Sort (3)
Bubble Sort (4)
Bubble Sort (5)
Bubble Sort (6)
• Versi 1
• Versi 2
Bubble Sort (6)
• Dengan prosedur diatas, data terurut naik (ascending), untuk urut turun (descending) silahkan ubah bagian: if (data[j]<data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]); Menjadi: if (data[j]>data[j-1]) tukar(&data[j],&data[j-1]);
• “The bubble sort is an easy algorithm to program, but it is slower than many other sorts”
Exchange Sort• Sangat mirip dengan Bubble Sort• Banyak yang mengatakan Bubble Sort sama dengan Exchange
Sort• Pebedaan : dalam hal bagaimana membandingkan antar
elemen-elemennya.– Exchange sort membandingkan suatu elemen dengan elemen-elemen
lainnya dalam array tersebut, dan melakukan pertukaran elemen jika perlu. Jadi ada elemen yang selalu menjadi elemen pusat (pivot).
– Sedangkan Bubble sort akan membandingkan elemen pertama/terakhir dengan elemen sebelumnya/sesudahnya, kemudian elemen tersebut itu akan menjadi pusat (pivot) untuk dibandingkan dengan elemen sebelumnya/sesudahnya lagi, begitu seterusnya.
Exchange Sort (2)
Exchange Sort (3)
Exchange Sort (4)
Exchange Sort (5)
• Prosedur Exchange Sort
Selection Sort• Merupakan kombinasi antara sorting dan searching• Untuk setiap proses, akan dicari elemen-elemen yang belum
diurutkan yang memiliki nilai terkecil atau terbesar akan dipertukarkan ke posisi yang tepat di dalam array.
• Misalnya untuk putaran pertama, akan dicari data dengan nilai terkecil dan data ini akan ditempatkan di indeks terkecil (data[0]), pada putaran kedua akan dicari data kedua terkecil, dan akan ditempatkan di indeks kedua (data[1]).
• Selama proses, pembandingan dan pengubahan hanya dilakukan pada indeks pembanding saja, pertukaran data secara fisik terjadi pada akhir proses.
Selection Sort: contoh5 2 4 6 1 3
1 2 3 4 5 6
1 2
3 4
5 6
1 2 4 6 5 3
1 2 4 6 5 3
1 2 3 6 5 4
1 2 3 4 5 6
Carilah elemen terkecil &tukar dengan “5”
1 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “2”
1,2 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “4”
1,2,3 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “6”
1,2,3,4 fixed. Carilah elemen terkecil & tukar dengan “5”
1,2,3,4,5 fixed, otomatis elementerakhir sudah pada posisi yangbenar
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Selection Sort (2)
Beberapa Algoritma Sorting
1. Bubble Sort2. Selection Sort3. Insertion Sort4. Merge Sort5. Quick Sort
Bubble Sort: pseudocode
BUBBLESORT(A)1 for i←1 to length[A]2 do for j←length[A] downto i+13 do if A[j] < A[j-1]4 then exchange A[j] ↔ A[j-1]