Download - Matriks
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 1/47
1
BAB I
MATRIKS
Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika
yang dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris
Arthur Cayley (1821 – 1895). Matriks berkembang karena peranannya
dalam cabang-cabang Matematika lainnya, misalnya bidang
ekonomi, industri dan transportasi. Dengan
menggunakan matriks , maka penyelesaian sistem persamaan linear
akan lebih mudah diselesaikan.
Pembahasan bab ini diawali dengan definisi matriks dan
operasi dasar matriks yang sudah dikenal, namun untuk pengenalan
sifat-sifat lebih lanjut penyajian matriks akan menggunakan notasi
matriks untuk mempersingkat penulisan. Meskipun matriks ini bukan hal
yang baru, karena sudah pernah diperoleh di SLTA, namun dengan
menguasai materi dalam bab ini akan lebih mudah mengikuti
pembahasan berikutnya.
TIK : Setelah mempelajari materi inidiharapkan mahasiswa dapat:
a. menjelaskan operasi-operasi aljabar matriks
b. menentukan bentuk eselon tereduksi suatu
matriks c. menghitung nilai determinan suatu
matriks
d. menentukan invers suatu matriks.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 2/47
⎞
2
1.1. Operasi Aljabar Matriks
Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari
bilangan- bilangan, susunan tersebut disajikan di dalam kurung
besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan itu disebut entri
atau elemen dari matriks.
Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah
⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎛ a11
⎜
a12 ... a1n⎟
⎢ a
A = ⎢
21
a22 ... a⎥
2n ⎥
atau A
=
⎜ a21 a22 ... a2n ⎟
⎢ ...
⎢
... ... ... ⎥
⎥
⎜ ...
⎜
... ... ... ⎟
⎟
⎣am1 am2 ...amn ⎦ ⎝ am1 am2 ...
amn ⎠Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = (aij )
dengan i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan barisdan kolom
dari matriks A.
Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut
matriks berukuran mxn dan dilambangkan dengan Amxn atau
(aij )mxn, ditulis singkat
A =
(aij
) .Dalam hal ini aij dinamakan elemen ke -ij dari matriks A
.
Matriks
A =(a
ij
)dengan m=n dikatakan sebagai matriks persegi, elemen
a11
, a22
, ... , ann
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 3/47
3
disebut elemen diagonal utama dari A. Jumlahan elemen diagonalutama disebut
trace dari A.
Untuk dapat menggunakan matriks perlu dikaji operasi aljabar matriksberikut.
1. Kesamaan Matriks.
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika A dan B
berukuran sama dan elemen-elemen yang bersesuaian (seletak )adalah sama.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 4/47
12
1 1 2 5 1 2
12
1 422
⎢4
⎢ ⎢
0 0
Jika disajikan dalam notasi matriks, A =
(aij )dan B = (bij
)maka A = B
jika
aij = bij , untuk setiap i = 1,2,...,m dan j=1,2,...,n.
Contoh :
Jika⎡2 5
A2 x3= ⎢
⎣ 3
4⎤ ⎡2⎥ , B
2 x3=
⎢⎦ ⎣
5 4⎤⎥ ,
3 ⎦
⎡1C
2 x 2=
⎢⎣
3⎤⎥ ,dan⎦
⎡2 5 4⎤ D2 x3
= ⎢ ⎥⎣ 3 ⎦
maka
A ≠ B , A ≠ C , B ≠ C , dan A = D. š
2. Penjumlahan dan pengurangan matriks.
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih, hanya dapat
dilakukan jika matriks tersebut berukuran sama. Penjumlahan atau
pengurangan dua matriks didefinisikan sebagai penjumlahan atau
pengurangan elemen yang
bersesuaian.
Jika A = (aij) dan B = (bij
) ,
maka
A + B = (aij+ bij
)
dan
A − B = (aij− bij
) .
Contoh :
Jika⎡2 5
A = ⎢⎣ 3
4⎤⎥dan⎦
⎡− 1 0 B = ⎢
⎣ − 3
5⎤⎥maka⎦
⎡1 A + B =
⎢⎣
5 9⎤⎥ ,
0 ⎦
B + A =⎡1
⎣2
5 9⎤⎥ ,
0 ⎦ A − B =
⎡3 5
⎣0 6
− 1⎤⎥ ,dan⎦
B − A =⎡− 3 − 5
⎣ 0 − 6
1⎤⎥ . š⎦
Sifat : Jika A, B, dan C matriks yang berukuran sama maka berlaku:
a. A + B = B +
A
(Komutatif)
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 5/47
b. A + ( B + C ) = ( A + B)
+ C
(Asosiatif)
3. Pergandaan matriks dengan bilangan (skalar).
Pergandaan matriks dengan skalar didefinisikan sebagai
perkalian skalar dengan setiap elemen matriks tersebut.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 6/47
11
⎢⎥2
Jika A = (aij) dan k sebarang skalar,
makakA = Ak = (kaij
) .
Contoh :
⎡2 5 4⎤ ⎡4 10 8⎤ ⎡−2
− 5 − 4⎤
Jika A = ⎢1 3 2
⎥ , maka 2 A = ⎢2
64⎥
dan− A = ⎢
−1
− 3 − 2⎥ . š
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
4. Pergandaan matriks.
Pergandaan matriks A dan B, dinotasikan AB, hanya dapat
dilakukan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan
banyaknya baris matriks B.
Jika A = (aij
)mxp
dan B = (bij
) pxn
, maka AB = C = (cij
) mxn
,
dengan
p
cij= ∑ aik
bkj
.
k =1
Contoh :
Jika⎡2 5
A = ⎢⎣ 3
⎡ 2 0
4⎤ dan B = ⎢ 4
3⎦
⎢⎣− 21
−
1⎤⎥⎥−
3⎥⎦
maka
⎡4 + 20 −8
0 + 15 +4
− 2 + 5 −12⎤
⎡16 19 − 9⎤
AB =
⎢⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣2 + 12 −4
0 + 9 −4
− 1 + 3 − 6
⎦⎣10 5 − 4⎦
Matriks BA tidak dapat diperoleh karena banyaknya kolom dari B
adalah 3 sedangkan banyaknya baris dari A adalah 2. š
Sifat : Jika A, B, dan C matriks sehingga operasi berikut berlaku, maka :
a. A( B + C ) = AB + AC
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 7/47
Distributif kiri
( B + C ) A = BA +
CA
Distributif kanan
b. A( B − C ) = AB − AC
Distributif kiri
( B − C ) A = BA −
CA
Distributif kanan
c. A( BC ) = (
AB)C
Assosiatif
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 8/47
t
1.2. Jenis – jenis Matriks
Beberapa matriks dengan elemen tertentu yang seringkali digunakan
disajikan berikut.
1. Matriks Nol.
Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol,
dinotasikan 0. Contoh :
⎡0 0⎤⎡0
0 0⎤
Matriks
⎢
⎥ ,
⎢
⎥ merupakan matriks nol
⎣0 0⎦⎣0
0 0⎦
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang ukurannya bersesuaian
sehingga operasi aljabar berikut dapat dilakukan, berlaku :
a. A + 0 = 0 + A
= A. b. A – A = 0.
c. 0 – A = –A.
d. A . 0 = 0 . A = 0.
2. Matriks Transpos.
Transpos dari matriks A, dinotasikan dengan A1 atau At , adalah
matriks yang kolom pertamanya adalah baris pertama matriks A,
kolom keduanya
adalah baris kedua matriks A, dan seterusnya.
Jika A = (aij ) mxn
maka
A = (a ji ) nxm
Contoh :
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 9/47
2 4 3 4 ⎢ 7⎣ 4
⎢ ⎥⎢ ⎥
Jika⎡1 3 5⎤
A = ⎢ ⎥ ,⎣ 7 ⎦
⎡1 B = ⎢
⎣
− 2⎤⎥maka⎦
⎡1
At = ⎢3
⎢⎣5
2⎤⎥⎥
4⎥
⎦
dan Bt
⎡ 1
= ⎢−
2
3⎤⎥ . š⎦
Sifat : Untuk sebarang matriks A berlaku :
a. (At )t = A
b. (kA)t = kAt
c. (A + B)t = At + Bt
d. (AB)t = Bt At
3. Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah.
Matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utama
bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Begitu pula matriks
persegi yang semua
elemen di atas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitigabawah.
Jadi A = (aij ) nxndisebut matriks segitiga atas jika aij = 0 untuk i > j dan
disebut matriks segitiga bawah jika
aij = 0 untuk i < j.
Contoh :
⎡a11Matriks A=
⎢0
a12
a22
a13⎤
a23
⎥⎡ a11
dan B=
⎢a
0
a22
0 ⎤
0⎥
berturut-turut adalah
0 0 a33 ⎢⎣a
31
a32 a33
matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.
4. Matriks Diagonal.
Adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya adalah
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 10/47
nol kecuali elemen pada diagonal utama.
Jadi A = (a
ij)
nxndisebut matriks diagonal jika aij = 0 untuk i ∫ j .
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 11/47
3 .
⎡1 0
⎢
0⎤ ⎡− 1 0
0⎤
⎥ ⎢ ⎥
Contoh : ⎢0 3 0⎥ , ⎢0
3 0⎥
⎢⎣0 0 5 0 0 0
5. Matriks Identitas (Matriks Satuan).
Matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya sama
dengan 1 disebut matriks identitas, dinotasikan dengan In
atau I.
Dalam bentuk notasi matriks ,dituliskan
I = (aij) dengan aij = 1, untuki=j
dan aij = 0, untuk i∫ j, berlaku untuk i,j=1,2,...,n.
Contoh:
⎡1 0
I =⎢
0 1⎢⎢⎣0 0
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
Sifat : Untuk sebarang matriks A yang berukuran nxn berlaku In A=A In=A.
6. Matriks invers
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA =
I. Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan A-1. Matriks yang
mempunyai invers
disebut matriks non singular.
⎡ − 1 2⎤ ⎡5 − 2⎤Contoh : Jika
A =⎢
⎥ maka B =⎢
⎥ adalah invers dari A sebab
⎣− 3 5⎦ ⎣3 − 1⎦
⎡ − 1 2⎤⎡5
−2⎤
⎡1 0⎤ ⎡5 − 2⎤ ⎡ − 12⎤
⎡1 0⎤
AB = ⎢ ⎥⎢
⎥ =⎢
⎥dan BA =⎢
⎥ ⎢ ⎥ =⎢
⎥ . š
⎣− 3 5⎦
⎣3
−1⎦
⎣0 1⎦ ⎣3 − 1⎦ ⎣− 3
5⎦⎣0 1⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 12/47
Sifat : a. ( A-1 )-1 = A
b. ( AB )-1 = B-1 A -1
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 13/47
⎢ ⎥
⎢ ⎥
7. Matriks Simetris.
Suatu matriks persegi A dikatakan simetris jika A = At .
Jika A = (aij ) maka A dikatakan simetris jika
aij = a ji , untuk setiap i,j.
Contoh :
Matriks
⎡1 3
A =⎢
3 4⎢⎢⎣2 0
2⎤
0⎥⎥
5⎥⎦
⎡1 3
adalah simetris sedangkan matriks B =
⎢3 4
⎢⎣2 0
− 2⎤
1 ⎥ tidak
5 ⎥⎦
simetris. Mengapa ?
Untuk sebarang matriks persegi A, matriks A+At merupakan matriks
simetris. Mengapa ?
8. Matriks Skew Simetris (Simetris Miring).
Matriks A dikatakan simetris miring jika At = – A .
Jika A = (aij ) maka A dikatakan simetris miring jika
aij= −
a ji , untuksetiap
i,j.
Contoh :
Matriks
⎡ 0 3
A = ⎢− 3 0
⎢⎣− 21
2 ⎤
−
1⎥
0⎥⎦
adalah matriks simetris miring.
9. Matriks-matriks persegi yang istimewa.
- Jika A dan B matriks-matriks persegi sedemikian sehingga
AB = BA, maka A dan B disebut commute.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 14/47
- Jika AB = -BA, maka A dan B disebut Anti Commute.
- Matriks A yang memenuhi A k+1 = A (k bilangan positif), disebutperiodik
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 15/47
⎢ ⎥
⎢
- Jika A 2 = A, maka A disebut matriks Idempoten.
- Jika A k = 0, dengan k bilangan bulat positif terkecil maka A
disebut matriks nilpoten. Dalam hal ini bilangan k disebut
indeks nilpoten.
Contoh :
⎡2 1⎤ ⎡6 4⎤a.Matriks
A = ⎢1 2
⎥ dan B =
⎢4
6⎥ adalah Commute, sebab :
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡2 1⎤ ⎡
6 4⎤ ⎡
16 14⎤ ⎡
6 4⎤ ⎡
2 1⎤ ⎡
16 14⎤AB =
⎢⎥ ⎢ ⎥ =⎢
⎥ dan BA =⎢
⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎣1 2⎦ ⎣4 6⎦ ⎣14 16⎦ ⎣4 6⎦ ⎣1 2⎦ ⎣14 16⎦
b.Matriks
⎡ 2 − 2
A =⎢− 1 3
− 4⎤
4⎥
adalah idempoten sebab A2 = A.
1 − 2 − 3
⎡ 1
c. Matriks M = ⎢ 5
⎢⎣− 2
1 3 ⎤
2 6⎥⎥
− 1 −3⎥⎦
adalah nilpoten berindeks 3, sebab M3 = 0.
1.3. Operasi Baris Elementer
Selain operasi aljabar matriks yang sudah diperkenalkan pada
subbab 1.1, ada operasi lain yang dapat dikenakan pada suatu matriks
untuk mendapatkan matriks lain. Operasi ini dinamakan operasi baris
elementer karena dikenakan pada baris-baris suatu matriks. Operasi ini
banyak digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear yang akan dibahas pada bab berikutnya. Operasi baris elementer
meliputi tiga bentuk, yaitu :
a. Menukar baris ke-i dan baris ke- j, dinyatakan dengan Bij.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 16/47
⎢ ⎥
2 3 2 3
⎢⎥
⎢
⎥ ⎥
b. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar k ≠ 0 ,
dinyatakan
dengan Bi( k).
c. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke- j (k skalar) kepada
baris ke-i, dinyatakan dengan Bij(k).
Operasi semacam ini juga dapat dilakukan pada kolom, dengan notasi Bdiganti
K , namun untuk pembahasan ini operasi hanya dikenakan pada baris saja.
Jika kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks
untuk memperoleh matriks yang lain, matriks awal dan hasilnya
dihubungkan dengan
tanda ≈ .
⎡1
Contoh : Diketahui matriks A =
⎢2
⎢⎣1
5 1⎤
− 1 3⎥ .
− 2 4⎥⎦
a. Jika baris ke-1 ditukar dengan baris ke-3, diperoleh
⎡1⎢⎢
⎢⎣1
5 1⎤
− 1 ⎥
− 2
4⎥⎦
B13
≈⎡1⎢⎢⎢⎣1
− 2 4⎤
− 1 ⎥
5 1⎥⎦
Jika operasi K 13 dikenakan pada A
diperoleh
⎡1
⎢3
⎢⎣4
5 1⎤
− 1 2⎥ .
− 2 1⎥⎦
b. Jika baris ke-2 dikalikan 3,diperoleh
⎡1
⎢2
⎢⎣
15
1⎤
− 1 3⎥− 2 4⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 17/47
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
B2
( 3 )
≈⎡1
⎢6
⎢⎣
15
1⎤
− 3 9⎥− 2 4⎥⎦
⎡1 Jika operasi K 2(2) dikenakan pada A diperoleh ⎢2
⎢⎣1
10 1⎤− 2 3⎥ .
− 4 4⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 18/47
2 3 0 1
⎢ ⎥
⎥
c. Jika baris ke-1 dikalikan -2 kemudian ditambahkan ke baris ke-2,diperoleh
⎡1
⎢⎢⎢⎣1
5 1⎤
− 1 ⎥− 2
4⎥⎦
B12
( −2 )
≈⎡1
⎢⎢⎢⎣1
5
− 11
− 2
1⎤
⎥⎥4⎥⎦
⎡1
Jika operasi K 31(-1) dikenakan pada A diperoleh
⎢2
⎢⎣1
5 0⎤
− 1 1⎥ . š
− 2 3⎥⎦
Jika operasi baris elementer dikenakan pada matriks
identitas akan diperoleh suatu matriks yang khas. Sebuah matriks
berukuran nxn disebut
matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matrikssatuan In
dengan melakukan satu operasi baris elementer.
Karena ada tiga macam operasi baris elementer, maka ada 3
macam matriks elementer :
1. Eij, yaitu matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-i ditukar
dengan
baris ke-j.
⎡0 0 1⎤
⎢ ⎥
⎡0 1 0⎤
⎢ ⎥Contoh : Dari I3, diperoleh E 13 =
⎢0
1
0⎥
, E 12 =
⎢1
0 0⎥
⎢⎣1 0 0 ⎢⎣0 0 12. E i ( k ) adalah matriks yang didapat dari matriks I jika baris ke-idigandakan
dengan skalar k ≠ 0.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 19/47
⎡1 0 0⎤ ⎡ 1 0 0⎤⎢ 3
⎥ ⎢1
⎥
⎢ 0 1⎥ 0 − 2⎥⎦0⎥ , E
3(−2) = ⎢0 0⎥ .
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 20/47
, ⎢ ⎥
⎢.
3. Matriks E ij ( k ) adalah matriks yang didapat dari matriks I jika
baris ke-j
digandakan dengan skalar k ≠ 0 kemudian ditambahkan ke
baris ke-i.
Contoh : Dari I3,
diperoleh E 12 ( 4
)
⎡1
=⎢
0⎢⎢⎣0
4 0⎤
1 0⎥
E ⎥ 23
0 1⎥⎦
⎡1 0(−1) =
⎢0 1⎢⎣0 0
0 ⎤
− 1⎥ .
1 ⎥⎦
Sifat-sifat matriks elementer:
a. Jika matriks A digandakan dari kiri dengan matriks elementer E, makaEA
adalah suatu matriks baru yang diperoleh bila operasi baris
elementer yang digunakan untuk memperoleh E dari I, diterapkan
pada A.
⎡1 2⎤
⎢ ⎥
⎡0 0 1⎤
⎢ ⎥
⎡1 0 0⎤
⎢ ⎥
Contoh :
Misal
A = ⎢3 7⎥ , E 13 = ⎢0
1
0⎥ , E 2 (3) =
⎢0
3 0⎥ , dan
⎢⎣5 4 ⎢⎣1 0 0 ⎢⎣0 0 1⎡1
E 12 ( 4 ) = ⎢0
⎢⎣0
4 0⎤
1 0⎥⎥
0 1⎥⎦
⎡1 2⎤ ⎡5 4⎤ ⎡0 0 1⎤ ⎡1 2⎤ ⎡5 4⎤⎢ ⎥
B13
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢3 7
⎥≈
⎢3
7⎥
, dan E 13
. A =⎢
0
1
0⎥
⎢3
7⎥
=
⎢3
7⎥
.
⎢⎣5 4 ⎢⎣1 2 ⎢⎣1
0 0 ⎢⎣5 4 ⎢⎣1 2
⎡1 2⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡1 2 ⎤⎢ ⎥
B2(3)
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢
3 7⎥
≈
⎢9
27⎥
, dan E 2
(3). A =
⎢0
3 0⎥
⎢3
7⎥
=
⎢9
21⎥
.
⎢⎣5 4 ⎢⎣5 4 ⎢⎣0
0 1 ⎢⎣5 4 ⎢⎣5 4
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 21/47
⎡1 2⎤ ⎡13 30⎤ ⎡1 4 0⎤ ⎡1 2⎤ ⎡13 30⎤⎢ ⎥
B12
( 4)
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢
3 7⎥
≈⎢
3 7⎥
,
dan
E 12
(4). A =⎢
0 1 0⎥
.
⎢3
7⎥
=⎢
3
7⎥
. š
⎢⎣5 4 5 4 ⎢⎣0
0 1 ⎢⎣5 4 5 4
b. Invers dari matriks elementer juga merupakan matriks elementer.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 22/47
Jika satu operasi baris elementer diterapkan pada I untuk
menghasilkan E, maka terdapat operasi baris elementer yang bila
diterapkan padaE
akan menghasilkanI. Berbagai kemungkinan
operasi seperti di atas disajikan
sebagai berikut.
Operasi baris pada I
untuk menghasilkanOperasi baris pada E
untuk menghasilkan I
Menukar baris ke-i dan baris ke-j Menukar baris ke- j dan baris ke-i
Menggandakan baris ke -i dengan
skalar k ≠ 0 (Bi(k)).
Menggandakan baris ke -i dengan1/k
Menambahkan k kali baris ke- jkepada
Menambahkan -k kali baris ke- jkepada baris ke-i (Bij(-k )).
Operasi pada kolom kanan merupakan invers (balikan) dari
operasi pada kolom kiri. Jika operasi pada kolom kanan dikenakan pada
I maka akan mengha- silkan matriks elementer, sebut saja E0, yang
menurut sifat a berlaku
E.E0 = I dan E0.E= I
Dengan demikian E0 adalah invers dari E. Dari tabel di atas
diperoleh : (Eij)-1 = E ji , (Ei(k))-1 = Ei(1/k)) dan
(Eij(k ))-1 = Eij(-k ).
Contoh :
⎡0 0 1⎤
⎡0
0 1⎤ ⎡1 0 0⎤
E . E =⎢0 1 0
⎥.⎢
0 1 0⎥=
⎢0 1 0
⎥dan E31. E13 = I.13 31 ⎢
⎢⎣1
⎥ ⎢0 0⎥⎦⎢⎣1
⎥0
0⎥⎦
⎢⎢⎣0
⎥0 1⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 23/47
⎡1 0 0⎤⎡1
0 0⎤ ⎡1 0 0⎤
E (3). E ( 1
) =⎢0
3 0⎥
.⎢
0 1 / 3 0⎥=
⎢0 1 0
⎥dan E (1/3). E (3) = I.
2 2
3⎢
⎢⎣
0
⎥ ⎢
0 1⎥⎦
⎢⎣0
⎥
0
1⎥⎦
⎢
⎢⎣
0
⎥ 2 2
0 1⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 24/47
3 4
⎢ ⎥
⎡1 4 0⎤
⎡1
− 4 0⎤ ⎡1 0 0⎤
E (4). E (−4) =⎢
0 1 0⎥
.⎢
0 1 0⎥=
⎢0 1 0
⎥dan E12(-4) . E12(4) = I.
š12 12 ⎢⎢⎣0
⎥ ⎢0 1⎥⎦⎢⎣0⎥0
1⎥⎦
⎢⎢⎣0⎥0 1⎥⎦
Kedua sifat di atas penting untuk digunakan dalam teorema berikut.
Teorema : Jika A matriks nonsingular maka A dapat dinyatakan
sebagai hasil ganda matriks-matriks elementer.
Contoh :Nyatakan
⎡2 A = ⎢⎣
3⎤⎥ sebagai hasil ganda matriks-matrikselementer.⎦
Penyelesaian : Kita dapat melakukan operasi baris elementer berhinggakali pada
A sampai diperoleh matriks I sebagai berikut.
⎡2 3⎤
⎢ ⎥
B1(1 / 2 )
⎡1
⎢
3 /
2⎤
⎥
B21( −3)
⎡1
⎢
3 / 2
⎤
⎥
B12( 3)
⎡1
⎢
0 ⎤ B2( −2 )
⎡1 0⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎣3 4⎦ ≈
A
⎣3 4 ⎦ B
≈ ⎣0
C
− 1/ 2⎦ ≈ ⎣0 − 1 /
2⎦ D
≈ ⎣0
I
1⎦ .
Menurut sifat a, tentu berlaku : B = E1(1/2). A, C= E21(-3).B, D =
E12(3).C, dan I =
E2(-2). D. Dengan demikian diperoleh E2(-2). E12(3). E21(-3).
E1(1/2). A = I. Karena matriks elementer mempunyai invers matriks
elementer pula, maka A =(E1(1/2))-1. (E21(-3) )-1.(E12(3)) -1. (E2(-2))-1
.I
=E1(2). E21(3). E12(-3). E2(-1/2)
Jadi
⎡2
A
=
3⎤ ⎡2
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 25/47
4
⎢ 1⎢
1⎢
⎦⎦ ⎦
=
0⎤ ⎡1
.
0⎤ ⎡1
.
− 3⎤⎡1 0 ⎤
. .
⎣3 ⎦ 0 1 ⎣3 ⎥
⎣0
⎥
⎣0 − 1 / 2
⎥
Bentuk perkalian matriks elementer ini tidak tunggal. Periksa bahwa
A = E21.E12.E21(2).E12 (1). Dapatkah kamu cari bentuk perkalian yang lain? š
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 26/47
⎢3
⎢3
⎢3
⎥
⎥
Definisi : Matriks B dikatakan ekivalen baris (row equivalent)
dengan matriks A, ditulis A ~ B, jika matriks B dapat
diperoleh dari matriks A dengan berhingga banyak operasi baris
elementer
Mengingat sifat a dari matriks elementer, definisi di atas dapat pula
dinyatakan sebagai : matriks B dikatakan ekivalen baris dengan
matriks A jika terdapat
matriks-matriks elementer E1, E2, . . . . . ,Ep sehingga B = EpEp-1. . . E1 A.
Contoh.
⎡3 5 1⎤
⎢ ⎥
⎡3 5 1⎤
⎢ ⎥A =
⎢2 0 3
⎥dan B =
⎢2
0
3⎥
adalah ekivalen baris, karena
⎢⎣5 5 4 ⎢⎣0 0 0⎡3 5
⎢2 0
⎢⎣5 5
1⎤⎥⎥
4⎥⎦
B13
( −1)
≈
⎡3
⎢2
⎢⎣2
5 1⎤
0 ⎥
0
3⎥⎦
B32
( −1)
≈
⎡3
⎢2
⎢⎣0
5 1⎤
0⎥
. š
0 0⎥⎦
Sifat : 1. Jika A ekivalen baris dengan B, maka B ekivalen baris dengan A.
2. Jika A ekivalen baris dengan B dan B ekivalen baris dengan C,maka A
ekivalen baris dengan C.
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form)
jika memenuhi :
a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol,
maka elemen pertama yang tidak nol adalah 1, dan disebut 1
utama (pivot)
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 27/47
b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris inidiletakkan
pada baris paling bawah.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 28/47
⎢3
0
⎢0
0
⎢ 1
⎥⎣
⎣
⎥
c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua
elemennya nol, 1 utama pada baris yang bawah terletak di
sebelah kanan dari 1
utama baris di atasnya.
⎡1 4 2⎤
⎢ ⎥
⎡1 3 2 0 5⎤
⎢0 0 1 1
⎥
Contoh :⎢
0
1
3⎥
dan⎢0 0 0 1 2⎥
⎢⎣0 0 1 ⎢0 0
⎥0 0 ⎦Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baristereduksi (reduced
row-echelon form) jika matriks tersebut dalam bentuk eselon
baris dan pada masing-masing kolom yang memuat 1 utama,
elemen 1 merupakan satu-satunya elemen yang tidak nol.
Contoh.
⎡1 0
⎢
0 1
⎢0 0⎢
0 0
0⎤⎥ ⎡0 1
⎥ dan⎢
0 01⎥⎥ ⎢⎣0 0⎦
2 0⎤
0 ⎥0 0⎥⎦
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk normal jika
matriks tersebut memuat submatriks identitas.
Ada 4 jenis bentuk normal yaitu :
⎡ I p 0⎤ ⎡
I p⎤I p , ⎢ ⎥ ,
[ I p0], dan⎢
⎥ dengan I p adalah matriks identitas
⎣ 0 0⎦ ⎣ 0 ⎦
⎡1 0 0 0⎤⎢ 1 0 0
⎥⎥
⎢ 0 0
Selain untuk menentukan bentuk eselon baris tereduksi, operasi baris
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 29/47
elementer juga dapat digunakan untuk memperoleh invers dari suatu
matriks non singular.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 30/47
⎢2
⎢⎥
⎢
⎥
⎥
Jika A adalah matriks non singular, maka dengan melakukan
sebanyak berhingga kali operasi baris elementer pada matriks [ A| I]
(matriks ini disebut perluasan dari matriks A
) akan didapat
matriks [I| B]. Misalkan untuk itu diperlukan n operasi baris
elementer. Karena A dibawa ke I dan I dibawa ke B, maka I = E1. E2.
E3.... En. A dan B = E1. E2. E3.... En.I. Karena matriks elementer
mempunyai invers maka dari perkalian yang pertama diperoleh
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 A = E n . E n−1.... E 2 E 1 . I
sehingga
AB = (
E n
. E n−1.... E 2 E 1 ).( E 1. E 2 .... E n−1
. E n ) = I
−1 −1 −1 −1dan BA = ( E 2 .... E n−1. E n
E n
).( E n−1.... E 2 E 1 . E 1 . E 2 .... E n−1
. E n ) = I .
Ini berarti B adalah invers dari A, atau B = A-1.
Contoh :
⎡1
Jika A = ⎢2
⎢⎣2
1 1⎤
0
⎥− 2
1⎥⎦
maka invers dari A dapat ditentukan sebagai berikut.
⎡1 1 1 1 0 0⎤⎢ 0 2 0 1 0
⎥⎥
⎢ − 2 1 0 0 1⎥
Selanjutnya dengan melakukan operasi baris berikut ini : B21(-1), B 31(-
2),
B12(1/2), B2(1/2), B32(-2), B13(1), B3(-1), akan diperoleh matriks :
⎡1 0 0
⎢0 1 0
⎢⎣0 0 1
2 − 3 /
2
1 1/ 2
− 2 2
1 ⎤
0 ⎥ . Jadi A-1
=− 1⎥⎦
⎡ 2
⎢1
⎢⎣−2
− 3 /
2
1/ 2
2
1 ⎤
0 ⎥ . š
− 1⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 31/47
Definisi : Rank dari matriks A dapat didefinisikan sebagaibanyaknya baris
(kolom) tak nol dari bentuk eselon baris yang diperoleh dari
matriks A.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 32/47
⎢ 1 − 1
⎢ 0 0
⎢ 2
2
⎥
Karena banyaknya baris (kolom) tak nol selalu kurang dari minimumdiantara baris dan kolom, maka rank( Amxn) ≤ min {m, n}.Contoh :
⎡2
Carilah rank dari matriks A = ⎢2
⎢⎣4
3 1⎤
1 ⎥4 3⎥⎦
Jawab : Jika matriks A dikenai operasi baris elementer B1(1/2), B21(-2),
B31(-4),
⎡1 3 / 21 / 2
⎤⎥
⎥⎥⎦
. Jadi rank( A) = 2. š
1.4. Determinan.
Determinan suatu matriks persegi sangat banyak gunanya dalam
berbagai cabang matematika. Sebagai contoh pada aljabar, determinan
digunakan untuk mencari jawab n persamaan linear dengan n
variabel. Ada dua definisi determinan dilihat dari segi
pendekatannya, pertama dengan pendekatan klasik, yaitu bertitik tolak
pada fungsi permutasi, kedua dengan pendekatan bukan klasik,
yaitu pada fungsi multilinear. Pada pembahasan kali ini kita
mendefinisikan determinan dengan pendekatan klasik, yaitu melalui
fungsi permutasi.
Definisi : Permutasi bilangan asli, dinotasikan s, adalah susunan
bilangan- bilangan asli menurut suatu aturan tanpa
menghilangkan atau mengulangi bilangan tersebut. Himpunan
semua permutasi dari n ditulis dengan Sn.
Contoh :
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 33/47
Permutasi dari barisan bilangan 1 dan 2 adalah (1,2) dan (2,1). Jadi S2 =
{(1,2), (2,1)} Permutasi dari bilangan 1,2, dan 3 adalah (1,2,3), (1,3,2),
(2,3,1), (2,1,3), (3,1,2), dan (3,2,1). Jadi S3 = {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1),
(2,1,3), (3,1,2), (3,2,1)}.
Kita lihat bahwa banyaknya permutasi 2 bilangan adalah 2,banyaknya
permutasi 3 bilangan adalah 6. Secara umum banyaknya permutasi nbilangan
adalah n!. Penulisan permutasi k bilangan adalah ( j1,j2,..., jk )
dengan
ji ≠
jk
untuk
i ≠ k .
Definisi : Inversi pada suatu permutasi adalah terdapatnya bilanganyang lebih
besar mendahului bilangan yang lebih kecil, atau ji > jk
untuk i < k .
Contoh :
Pada permutasi (2,1,3) terdapat 1 inversi yaitu 2 mendahului 1.
Pada permutasi (3,2,1) terdapat 3 inversi yaitu : 3 mendahului 2, 3
mendahului 1, dan 2 mendahului 1.
Definisi : Jika jumlah inversi dari suatu permutasi adalah genap,
maka disebut permutasi genap dan jika jumlah inversi suatu
permutasi ganjil maka disebut permutasi ganjil.
Definisi : Tanda dari permutasi s, dinotasikan sgn(s), didefinisikansebagai
⎧+ 1, jika jumlah inversi σ genap sign(σ ) = ⎨
⎩ − 1, jika jumlah inversi σ gasal
Contoh :
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 34/47
Jika s = (2,1,3) maka sgn(s)
= -1. Jika s = (3,2,1) maka
sgn(s) = -1.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 35/47
⎢
⎦
21
⎥
34
⎢5
Definisi : Determinan dari matriks Anxn didefinisikan sebagai :
det( A) = ∑σ
∈S n
sgn(σ ).a1 j1.a2 j2
a3 j3
....anjn
Contoh :
Jika A =⎡
a11
⎣a21
a12⎤
a22
⎥ maka S2 = {(1,2), (2,1)} dengan sgn(1,2) = +1, sgn(2,1)= -1
sehingga
det( A) = a11a22 − a12 a21
Jika
⎡
a11
A = ⎢a⎢
⎢⎣a31
a12
a22
a32
a13 ⎤
a23 ⎥ maka S3
= {(1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), ((2,1,3),
(3,1,2),(3,2,1)}
a33 ⎥⎦
dengan sgn(1,2,3) = +1, sgn(2,3,1) = +1, sgn(3,1,2) = +1, sgn(1,3,2) =
-1, sgn(2,1,3)=-1, dan sgn(3,2,1) = -1. Sehingga
det(A) = a11a22 a33 + a12a23a31 + a13a21a32-
a11a23a32-
a12a21a33-
a13a22 a31 .
Apabila contoh tersebut diterapkan padamatriks
⎡2 A = ⎢
⎣
3⎤⎥ dan B=⎦
⎡3 2
⎢2 4
⎢⎣0 1
1⎤⎥⎥
6⎥⎦
maka det( A) = 2.4 - 3.3 = -1 dan det(B) = 3.4.6 + 2.5.0 + 1.2.1 - 3.5.1 -
2.2.6 -
1.4.0 = 35. š
Dari definisi di atas, apabila A suatu matriks segitiga (atas ataupunbawah)
maka det( A) pasti bernilai nol sebab satu-satunya suku tidak nol adalahperkalian
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 36/47
elemen-elemen diagonal utama. Jadi jika Anxn
=(a
ij
)maka det( A) =
a11.a22. ... .ann.
Selanjutnya sifat-sifat yang berlaku pada determinan adalah :
1. Nilai determinan matriks A sama dengan nilai determinan
transposenya, yaitu det( A) = det( At )
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 37/47
⎢a
⎢a
⎢⎥
⎢ ⎥
Contoh : Jika A =⎡ a11
⎣a21
a12
⎤⎥
22 ⎦maka A t =
⎡a11
⎣a12
a21
⎤⎥ . Sehingga
22 ⎦
det( A) = a11a22 − a12 a21 dan det( At ) = a11a22 − a12 a21 .
2. Jika setiap elemen pada suatu baris atau kolom matriks A bernilai nol,maka
det( A) = 0.
Contoh :
B =
⎡3
⎢2
⎢⎣0
2 1⎤
4 5⎥ maka det(B) = 3.4.0 + 2.5.0 + 1.2.0 - 3.5.0 -
2.2.0-
0 0⎥⎦
1.4.0 = 0.
3. Jika matriks A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sama
(elemen yang bersesuaian bernilai sama), maka det( A) = 0.
⎡3 2 1⎤
⎢ 4 5⎥ maka det(C) = 3.4.5 + 2.5.2 + 1.2.4-
3.5.4⎢ 4 5⎥⎦
1.4.2 = 0.
4. Jika matriks B diperoleh dengan menukar dua baris atau dua kolommatriks A
maka det(B) = - det( A).
⎡3
Contoh : Matriks A = ⎢2
⎢⎣0
2 1⎤
4 5⎥ , det ( A) = 35. Dengan menukar baris 1
dan
1 6⎥⎦
⎡0 1 6⎤
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 38/47
⎢ 4 5⎥
dengan det(C) =
⎢ 2 1⎥⎦
1.5.3 + 6.2.2 - 0.5.2 - 1.2.1 - 6.4.3 = -35.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 39/47
⎢ ⎥
5. Jika matriks B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau satu kolommatriks
A dengan skalar k ≠ 0, maka det(B) = k .det( A).
Contoh :
⎡3
Matriks A = ⎢2
⎢⎣0
2 1⎤
4 5⎥ , det ( A) = 35. Dengan mengalikan baris ke tiga
matriks
1 6⎥⎦
⎡3 2 1 ⎤⎢ 4 5
⎥dengan det(C) = 3.4.18 +
⎢ 3 18⎥⎦
1.2.3 - 3.5.3 - 2.2.18 - 1.4.0 = 105.
6. Jika A, B, dan C matriks yang identik (sama) kecuali pada satu baris.
Pada baris yang tidak identik ini, baris matriks C merupakan jumlahan
dari baris matriks A baris matriks B, maka det(C) = det( A) + det (B).
Contoh :
⎡3 2 1⎤
⎢ ⎥
⎡1 0 1⎤
⎢ ⎥
⎡4 2 2⎤
⎢ ⎥Misalkan A =
⎢2
4 5⎥
, B =
⎢2
4 5⎥
, dan C =
⎢2
4 5⎥
. Maka det( A) =
35,
⎢⎣0 1 6 ⎢⎣0 1 6 ⎢⎣0 1 6det(B) = 1.4.6 + 0.5.0 + 1.2.1 - 1.5.1 - 0.2.6 - 1.4.0 = 21.
det(C) = 4.4.6 + 2.5.0 + 2.2.1 - 4.5.1 - 2.2.6 - 2.4.0 = 56.
7. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambah satu barisdengan k
kali baris yang lain, maka det(B ) = det( A).
Contoh :
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 40/47
⎢⎥
⎡3 2 1⎤
⎢ ⎥
⎡ 3 2 1⎤
⎢ ⎥Misalkan A =
⎢
2
4 5⎥
dan B =⎢− 1
2
4⎥
. Maka det( A) = 35, det(B) =
3.2.6⎢⎣0 1 6 0 1 6+ 2.4.0 + 1.(-1).1 - 3.4.1 - 2.(-1).6 - 1.2.0 = 35.
Dari 7 sifat di atas kita dapat mengubah sebarang matriks
menjadi matriks segitiga dengan operasi baris elementer jenis tersebut,
tanpa mengubah nilai determinannya.
Contoh:
Misal A=
⎡3
⎢2
⎢⎣0
2 1⎤
4 5⎥ , dengan operasi B21(-2/3) dilanjutkan B32
(-3/8)
diperoleh
1 6⎥⎦
⎡3 2 1 ⎤
⎢ ⎥8 35
matriks B =⎢
0
⎢⎣0
8 / 3
0
13 / 3⎥
, sehingga det( A) = det(B )
3. 3 . 8
35 / 8⎥⎦
= 35.
1.5. Ekspansi Kofaktor
Definisi : Jika A adalah matriks persegi maka minor dari elemen aij,
dinyatakan
dengan Mij, adalah determinan tingkat (n-1) yang diperoleh
dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j dari matriks A.
Bilangan (-1)i+j Mij, dinyatakan dengan K ij, dinamakan kofaktor
entri aij.
Contoh :
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 41/47
⎢ 2
⎥
⎡1 1 1⎤
⎢ ⎥⎡ 0 2⎤
1+1
Misal A =⎢
2 0 2⎥
, maka M11 = det
⎢− 2
1⎥ = 4 dan K 11 = (-
1)
M11 = 1.4 = 4.
⎢⎣2− 2 1
⎣ ⎦⎡2
Selanjutnya M12 = det⎢
⎣2
2⎤⎥ = -2 dan K 12 = (-1)1+2 M12 = -1.( -2) = 2.Secara
1⎦
sama diperoleh M13 = -4 , M21 = 3, M22 = -1 , M23 = -4 , M31 = 2, M32 =
0, dan
M33 = -2. Kemudian didapat K 13 = -4 , K 21 = -3, K 22 = -1 , K 23 = 4 , K 31 =
2, K 32 =
0, dan K 33 = -2. š
Dari penghitungan kofaktor elemen suatu matriks kita dapat
menghitung determinan dan invers dari suatu matriks.
Definisi : Jika A = (aij ), maka determinan A didefinisikan sebagai :
n n
det( A) = ∑ (−1)i+ j
aij M ij = ∑ aij
K ij
(ekspansi baris ke i), atau
j =1 j =1
n n
det( A) = ∑ (−1)i+ j
aij M ij = ∑ aij
K ij
(ekspansi kolom ke j)
i=1 i=1
Contoh :
⎡1
Jika A = ⎢2⎢⎣2
1 1⎤
0 ⎥− 2
1⎥⎦
maka det( A) = 1. K 11 + 1. K 12 + 1. K 12 = 4 + 2 + (-
4) = 2.Atau
det( A) = 2. K 21 + 0. K 22 + 2. K 23 = 2.(-3) + 0. (-1) + 2.4 = .(-6) + 8 = 2.Cobalah
hitung dengan ekspansi kolom. š
Defini
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 42/47
si : Jika A = (aij ) matriks persegi maka matriks K = ( K ij )
dengan
K ij adalah
kofaktordari
aij dinamakan matriks kofaktor dari A. Transpose dari
matriks kofaktor disebut matriks adjoin dari A, dinotasikan adj( A).
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 43/47
⎡1 3 ⎤ ⎡− 0⎤ ⎡2 2 1 ⎤
1. Diberikan matriks A
⎢ − 1⎥
, B =1⎥ , C = ⎢
⎥ ⎢ D =⎢
0
⎢
1
3
⎥
2
Contoh :
⎡1 1 1⎤
⎢ ⎥
⎡ 4 2
⎢
−
4⎤
⎥
⎡ 4 − 3 2⎤
⎢ ⎥
Jika A =⎢
2 0 2⎥
, maka K =⎢− 3
− 1
4⎥
, dan adj( A) =⎢
2
− 1
0⎥
.
⎢⎣2 − 2 1 2 0 − 2 ⎢⎣−
4
4 − 2
Teorema : Jika A matriks yang mempunyaiinvers maka
A−1 = 1
det( A)adj( A) .
Contoh :
⎡1 1 1⎤
⎢ ⎥
⎡ 4 − 3=1 ⎢
2⎤ ⎡
2
⎥ ⎢
− 3 / 2 1⎤
⎥
Jika A =⎢
2 0 2⎥
, maka A-1 =⎢
2 − 1
0⎥
=⎢
1
− 1 /
2
0⎥
.
⎢⎣2 − 2 1 ⎢⎣−
4
4 − 2 ⎢⎣−
2
2 − 1⎥⎦
Latihan 1.
= ⎢2 ⎥⎡2
1⎤
⎦
⎢
⎣⎢1
1⎥ , − 1⎥ ,
⎡3 1 0 ⎤ ⎡2⎤ E =
⎢⎥ , F = [12
3] , G =
⎢⎥ , dan H =[0
1 1] . Manakah diantara
⎣2 1 −
3⎦
⎣2⎦
operasi berikut yang dapat dilakukan ? Jika dapat dilakukan tentukan
hasilnya, jika tidak dapat dilakukan berikan alasannya.
a. A + B
b. 2A +
C c. B - 2D d.
3H - F
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 44/47
e. AB +
FE
f. 3BA
g. ED -
BA h. BG
+ GH i.
HD-
At
j. F t + Gt
k. (F +
G)t l.
( AB)t
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 45/47
⎢ 3 ⎢ ⎥
⎢ ⎥ 3⎢⎥⎢
⎢ 1 ⎢ 1
⎢
0⎥
⎥
⎥ ⎥
2. Berikan satu contoh matriks simetris ukuran 3 x 3.
3. Berikan satu contoh matriks simetris miring A yang berukuran 3 x 3.Apakah
A + At juga simetris miring ? Berikanalasannya.
4. Jika
⎡ 1 2
C =⎢− 1
0
1⎤ ⎡2 2⎥
dan D =⎢
0
1
1 ⎤
− 1⎥
, hitunglah :
4 1 5 ⎢⎣4 3 3
a. C (C +
D)
b. C 2 +
CD)
c. C (CD)
d. C 2D
e. (C - D)C
f. C 2- DC
5. Lakukan operasi baris elementer B2(-2), B21(2), B13, B23(-2), B12(-
1),dan B1(3)
pada matriks berikut.
⎡1
a. A =⎢
2
3 ⎤
−1⎥
⎡2 2
b. B =⎢
0 1
1 ⎤
−1⎥
⎡ 1 2 1⎤
c. C =⎢− 1 0
⎥
⎢⎣2 0 ⎢⎣4 3 3 4 1 3⎥⎦
6. Dapatkan invers dari matriks elementer berikut.
⎡1
a.⎢0
⎢⎣0
0 0⎤
0⎥
1
0⎥⎦
⎡1
b.
⎢0
⎢⎣0
0 0⎤
1⎥
0
1⎥⎦
⎡1 0
c.⎢
0 1
⎢⎣0 0
0 ⎤⎥⎥
− 2⎥⎦
7. Tentukan bentuk eselon baris dari matriks berikut. Catatlah
operasi baris elementer yang dilakukan untuk mendapatkan
bentuk eselon barisnya.
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 46/47
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3⎥
Dapatkan pula bentuk eselon baris tereduksinya
⎡1
a. A =⎢
2
3 ⎤
−1⎥
⎡2 2
b. B =⎢
0 1
1 ⎤
−1⎥
⎡ 1 2 1⎤
c. C =⎢− 1 0
⎥
⎢⎣2 0 ⎢⎣4 3 3 4 1 3⎥⎦
5/13/2018 Matriks - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/matriks-55a754d9dc67c 47/47
8. ll