Matematika Teknik Dasar-210 โ Aplikasi Integral - 1Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan โ Universitas Brawijaya
Volume Benda-Putar
Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x, maka putaran ini akan membentuk sebuah benda yang simetris terhadapOX.
Volume Benda-Putar
Volume yang dibentuk oleh potongan kira-kira sama dengan volume yang dibentuk oleh empat-persegi panjang, atau ๐น๐ฝ = ๐๐. ๐ ๐
Volume Benda-Putar
Jika dibagi seluruh bentuk bidang menjadi sejumlah potongan tipis. Makamasing-masing akan menghasilkan cakram tipis dengan volume ๐๐ฆ2. ๐ฟ๐ฅ
โด ๐๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐๐ก๐๐, ๐ =
๐ฅ=๐
๐ฅ=๐
๐๐ฆ2. ๐ฟ๐ฅ
Volume Benda-Putar
Dalam pendekatan model ini muncul kesalahan dikarenakan luas daerah di atas masing-masing adalah empat-persegi panjang, sehingga muncul polatangga.
Tetapi jika ๐ฟ๐ฅ โ 0, kesalahan akan hilang maka ๐ = ๐๐๐๐ฆ2. ๐ฟ๐ฅ
Contoh - 1
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi olehy=5cos2x, sumbu-x dan ordinat-ordinat di x=0 dan x=/4, diputar satuputaran penuh mengelilingi sumbu-x
๐ = เถฑ0
๐/4
๐๐ฆ2. ๐ฟ๐ฅ = 25๐เถฑ0
๐/4
๐๐๐ 22๐ฅ๐๐ฅ
Dinyatakan dalam bentuk sudut ganda (4x)
cos 2๐ = 2๐๐๐ 2๐ โ 1; ๐๐๐ 2๐ =1
21 + cos 2๐
๐ =25๐
4เถฑ0
๐/4
1 + cos 4๐ฅ ๐๐ฅ
Contoh - 1
๐ =25๐
4๐ฅ +
sin 4๐ฅ
4 0
๐/4
๐ =25๐
4
๐
4+ 0 โ 0 + 0
V=25๐2
8satuan3
Contoh - 2
Persamaan parametrik suatu kurva adalah x = 3t2, y = 3t โ t2.
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurva, sumbu-x dan ordinat-ordinat yang bersangkutan dengan t=0 dan t=2, diputar mengelilingi sumbu-x
๐ = เถฑ๐
๐
๐๐ฆ2. ๐๐ฅ
๐ = เถฑ๐ก=0
๐ก=2
๐ 3๐ก โ ๐ก2 2. ๐๐ฅ
x = 3t2, y= 3t-t2
c = 3t2
dx = 6t dt
Contoh - 2
๐ = ๐เถฑ0
2
9๐ก2 โ 6๐ก3 + ๐ก4 6๐ก๐๐ก
๐ = 6๐เถฑ0
2
9๐ก2 โ 6๐ก3 + ๐ก4 ๐๐ก
๐ = 6๐9๐ก4
4โ6๐ก5
5+๐ก6
60
2
๐ = 6๐ 36 โ 38,4 + 10,67๐ = 6๐ 8,27
๐ = 156 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐3
Volume Benda-Putar
Carilah volume yang terbentuk jika bentuk bidang yang dibatasi oleh kurvay=x2+5, sumbu-x, dan ordinat-ordinat di x=1 dan x=3, diputar mengelilingisumbu-y sampai satu putaran penuh.
Volume Benda-Putar
Pada kasus tersebut tidak memiliki rumus standar, karena rumus ๐ =
๐๐๐๐ฆ2. ๐๐ฅ adalah rumus untuk rotasi mengelilingi sumbu-x.
Dibuat metode umum
Volume yang dibentuk oleh potongan =
Volume yang dibentuk oleh empat persegi
panjang (silinder tipis yang berongga)
Volume Benda-Putar
โด ๐ฟ๐ โ ๐๐ข๐๐ ๐๐๐๐๐ก ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฟ๐ โ ๐ฆ๐ฟ๐ฅ. 2๐๐ฅ โ 2๐๐ฅ๐ฆ. ๐ฟ๐ฅ
Maka untuk semua potongan seperti ini di antara x=1 dan x=3:
๐ โ๐ฟ๐ โ
๐ฅ=1
๐ฅ=3
2๐๐ฅ๐ฆ. ๐ฟ๐ฅ
Jika ๐ฟ๐ฅ โ 0, kesalahan akan hilang dan akan diperoleh
๐ = 2เถฑ1
3
๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ก
Contoh - 3
Menggunakan soal yang diberikan pada pembahasan sebelumnya.
Karena y=x2 + 5, maka dapat mensubstitusikan y:
๐ = 2เถฑ1
3
๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ = 2๐เถฑ1
3
๐ฅ ๐ฅ2 + 5 ๐๐ฅ = 2๐เถฑ1
3
๐ฅ3 + 5๐ฅ ๐๐ฅ
๐ = 2๐๐ฅ4
4+5๐ฅ2
21
3
๐ = 2๐81
4+45
2โ
1
4+5
2
Sentroid dari Suatu Bentuk Bidang
Sentroid dapat dicari posisinya dengan cara mengambil satu potonganelementer dan kemudiann menghitung momennya (a) terhadap OY untukmencari าง๐ฅ, dan (b) terhadap OX untuk mencari เดค๐ฆ.
๐ด าง๐ฅ โ ฯ๐ฅ=๐๐ฅ=๐ ๐ฅ. ๐ฆ๐ฟ๐ฅ
๐ดเดค๐ฆ โ ฯ๐ฅ=๐๐ฅ=๐ ๐ฆ
2. ๐ฆ๐ฟ๐ฅ
Yang menghasilkan าง๐ฅ =๐๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ
๐๐๐ฆ๐๐ฅ
, เดค๐ฆ =1
2๐๐๐ฆ2๐๐ฅ
๐๐๐ฆ๐๐ฅ
Contoh - 4
Carilah posisi sentroid dari daerah yang dibatasi oleh y=e2x, sumbu-x, sumbu-y, dan ordinat di x=2
Jawaban:
Langkah pertama dicari าง๐ฅ
าง๐ฅ =๐๐๐ฅ๐ฆ๐๐ฅ
๐๐๐ฆ๐๐ฅ
, yang kemudian dihitung kedua integral
secara terpisah.
Contoh - 4
Misalkan, าง๐ฅ =๐ผ1
๐ผ2
Maka ๐ผ1 = 02๐ฅ๐2๐ฅ๐๐ฅ = ๐ฅ
๐2๐ฅ
2โ
1
2 ๐2๐ฅ๐๐ฅ
0
2
๐ผ1 =๐ฅ๐2๐ฅ
2โ๐2๐ฅ
40
2
๐ผ1 = ๐4 โ๐4
4โ โ
1
4
๐ผ1 =3๐4
4+1
4=3๐4 + 1
4
Contoh - 4
Maka ๐ผ2 = 02๐2๐ฅ๐๐ฅ =
๐2๐ฅ
2 0
2
=๐4
2โ
1
2=
๐4โ1
2
Sehingga าง๐ฅ =๐ผ1
๐ผ2=
3๐4+1
4.
2
๐4โ1=
3๐4+1
2 ๐4โ1=
3 54,60 +1
2 54,60โ1=
163,8+1
109,2โ2=
164,8
107,2
าง๐ฅ = 1,537
Kemudian dicari เดค๐ฆ
เดค๐ฆ =02 12๐ฆ2๐๐ฅ
02๐ฆ๐๐ฅ
=๐ผ3๐ผ2
Contoh - 4
๐ผ3 = เถฑ0
2 1
2๐ฆ2๐๐ฅ
๐ผ3 =1
2เถฑ0
2
๐ฆ2๐๐ฅ =1
2เถฑ0
2
๐4๐ฅ๐๐ฅ =1
2
๐4๐ฅ
20
2
=1
8๐8 โ 1
เดค๐ฆ =๐ผ3๐ผ2=
18๐8 โ 1
12๐4 โ 1
=1
4๐4 โ 1 =
1
454,60 + 1 = 13,90
Maka sentroidnya adalah di าง๐ฅ = 1,537 dan เดค๐ฆ = 13,90
Pusat Massa Suatu Benda Putar
Akan dicari posisi pusat massa (centre of gravity) dari suatu benda yang terbentuk apabila bentuk bidang yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu-x, dnaordinat-ordinat di x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu-x
Jika diambil cakram-cakram elementer danmenjumlahkan seluruh momen volumenya (ataumomen massanya) terhadap OY, maka kita dapatmenghitung าง๐ฅ.
าง๐ฅ =๐๐๐ฅ๐ฆ2๐๐ฅ
๐๐๐ฅ๐ฆ2๐๐ฅ
, sedangkan เดค๐ฆ = 0
Contoh - 5
Carilah posisi pusat massa dari benda yang terbentuk apabila bentukbidang yang dibatasi oleh kurva x2 + y2 = 16, sumbu-x, dan ordinat-ordinatdi x=1 dan x=3 diputar mengelilingi sumbu-x
๐ผ1 = เถฑ1
3
๐ฅ 16 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ = เถฑ1
3
16๐ฅ โ ๐ฅ3 ๐๐ฅ = 8๐ฅ2 โ๐ฅ4
41
3
๐ผ1 = 72 โ81
4โ 8 โ
1
4= 64 โ 20 = 44 โด ๐ผ1 = 44
Contoh - 5
๐ผ2 = เถฑ1
3
16 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ = 16๐ฅ โ๐ฅ3
31
3
๐ผ1 = 48 โ 9 โ 16 โ1
3= 23
1
3โด ๐ผ2 = 23
1
3
าง๐ฅ =๐ผ1๐ผ2=44
1.3
70=132
70= 1,89
Jadi าง๐ฅ = 1,89 dan เดค๐ฆ = 0
Panjang Kurva
Akan dicari panjang busur suatu kurva y=f(x) diantara x=a dan x=b
Misalkan P adalah titik (x,y) dan Q adalah suatu titik pada kurva di dekat P. misalkan ๐ฟ๐ฅ= panjang busur kecil PQ.
Panjang Kurva
Maka:
๐ฟ๐ 2 โ ๐ฟ๐ฅ 2 + ๐ฟ๐ฆ 2 โด๐ฟ๐ 2
๐ฟ๐ฅ 2โ 1 +
๐ฟ๐ฆ 2
๐ฟ๐ฅ 2
๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅ
2
โ 1 +๐ฟ๐ฆ
๐ฟ๐ฅ
2
โด๐ฟ๐
๐ฟ๐ฅโ 1 +
๐ฟ๐ฆ
๐ฟ๐ฅ
2
Jika ๐ฟ๐ฅ โ 0๐๐
๐๐ฅ= 1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2โด ๐ = ๐
๐1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2. ๐๐ฅ
Contoh - 6
Carilah panjang dari kurva y=10 cosh๐ฅ
10diantara x=-1 dan x=2
Jawaban:
y=10 cosh๐ฅ
10๐ = 1โ
21 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2. ๐๐ฅ
๐๐ฆ
๐๐ฅ= sinh
๐ฅ
10โด 1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
= 1 + ๐ ๐๐โ2๐ฅ
10= ๐๐๐ โ2
๐ฅ
10
โด ๐ = เถฑโ1
2
๐๐๐ โ2๐ฅ
10. ๐๐ฅ = เถฑ
โ1
2
cosh๐ฅ
10๐๐ฅ = 10 sinh
๐ฅ
10 โ1
2
Contoh - 6
๐ = 10 (sinh 0,2 โ sinh(โ0,1)) sinh โ๐ฅ = โsinh ๐ฅ๐ = 10 (sinh 0,2 + sinh 0,1) = 10(0,2013 + 0,1002)
๐ = 10 0,3015 = 3,015 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐
Panjang Kurva โ Persamaan Parametrik
Daripada dilakukan proses perubahan variable integral seperti yang dilakukan sebelumnya jika kurva dinyatakan dalam persamaan parametrik, dapat dibuat suatu bentuk kurva yang akan memudahkan pekerjaan.
Misalkan ๐ฆ = ๐ ๐ก , ๐ฅ = ๐น(๐ก)
Seperti sebelumnya:
๐ฟ๐ 2 = ๐ฟ๐ฅ 2 + ๐ฟ๐ฆ 2
Bagi kedua sisi dengan ๐ฟ๐ก 2
โด๐๐
๐๐ก
2=
๐๐ฅ
๐๐ก
2+
๐๐ฆ
๐๐ก
2
Panjang Kurva โ Persamaan Parametrik
Jika t 0, ini mejadi:
๐๐
๐๐ก
2=
๐๐ฅ
๐๐ก
2+
๐๐ฆ
๐๐ก
2
๐๐
๐๐ก=
๐๐ฅ
๐๐ก
2+
๐๐ฆ
๐๐ก
2โด ๐ = ๐ก=๐ก1
๐ก=๐ก2 ๐๐ฅ
๐๐ก
2+
๐๐ฆ
๐๐ก
2. ๐๐ก
Contoh 7
Carilah panjang dari kurva ๐ฅ = 2๐๐๐ 2๐, ๐ฆ = 2๐ ๐๐3๐ di antara titik-titik yang berkorespondensi dengan =0 dan =/2
Ingatlah ๐ = 0๐/2 ๐๐ฅ
๐๐
2+
๐๐ฆ
๐๐
2. ๐๐
Kita memiliki ๐๐ฅ
๐๐= 6๐๐๐ 2๐ โ sin ๐ = โ6๐๐๐ 2๐ sin ๐
๐๐ฆ
๐๐= 6๐ ๐๐2๐ cos ๐
โด๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 36 ๐๐๐ 4๐ ๐ ๐๐2 ๐ + 36๐ ๐๐4๐๐๐๐ 2๐
Contoh 7
โด๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 36 ๐๐๐ 4๐ ๐ ๐๐2 ๐ + 36๐ ๐๐4๐๐๐๐ 2๐
๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 36 ๐ ๐๐2๐ ๐๐๐ 2 ๐ ๐๐๐ 2๐ + ๐ ๐๐2๐
๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 36 ๐ ๐๐2๐ ๐๐๐ 2 ๐
โด๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 6 sin ๐ cos ๐ = 3 sin 2๐
Contoh 7
โด ๐ = เถฑ0
๐/2
3 sin 2๐ ๐๐ = 3 โcos 2๐
20
๐/2
๐ = 31
2โ โ
1
2= 3 ๐ ๐๐ก๐ข๐๐
Luas Permukaan Benda Putar
Jika busur suatu kurva diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka putaran ini akan membentuk suatu permukaan.
Carilah luas permukaan benda-putar yang terjadi jika busur suatu kurva y=f(x) diantara x=x1 dan x=x2 diputar satu putaran penuh mengelilingi sumbu-x.
Luas Permukaan Benda Putar
Jika kita memutar sebuah elemen busur kecil dengan panjang ๐ฟ๐ satuan, maka putaran ini akan membentuk pita tipis dengan luas A.
Maka ๐ฟ๐ด โ 2๐๐ฆ. ๐ฟ๐
Dengan membagi kedua sisi dengan x
kita peroleh ๐๐ด
๐๐ฅ= 2๐๐ฆ
๐๐
๐๐ฅ
Seperti yang telah kita lihat sebelumnya ๐๐
๐๐ฅ= 1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
Luas Permukaan Benda Putar
โด๐๐ด
๐๐ฅ= 2๐๐ฆ 1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
Sehingga ๐ด = ๐ฅ1๐ฅ2 2๐๐ฆ 1 +
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
Contoh 8
Carilah luas permukaan yang terbentuk jika busur dari parabola y2=8x di antara x=0 dan x=2 diputar mengelilingi sumbu-x
Jawaban
๐ด = เถฑ0
2
2๐๐ฆ 1 +๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
. ๐๐ฅ
๐ฆ2 = 8๐ฅ โด 2 2๐ฅ1/2 โด๐๐ฆ
๐๐ฅ= 2๐ฅ1/2 โด
๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
=2
๐ฅ
โด 1 +๐๐ฆ
๐๐ฅ
2
= 1 +2
๐ฅ=๐ฅ + 2
๐ฅ
Contoh 8
โด ๐ด = เถฑ0
2
2๐2 2 ๐ฅ1/2๐ฅ + 2
๐ฅ. ๐๐ฅ
๐ด = เถฑ0
2
4 2. ๐. ๐ฅ1/2๐ฅ + 2 1/2
๐ฅ1/2๐๐ฅ
๐ด = 4 2. ๐เถฑ0
2
๐ฅ + 2 1/2 ๐๐ฅ
๐ด = 4 2. ๐๐ฅ + 2 3/2
3/20
2
Contoh 8
๐ด =4 2. ๐
38 โ 2 2
๐ด =8๐
38 2 โ 4 =
8๐
37,314
๐ด = 19,5๐ ๐ ๐๐ก๐ข๐๐2
Luas Permukaan Benda-Putar โ Persamaan Parametrik
Telah dilihat bahwa jika kita memutar sebuah busur kecil s, maka luas A dari pita tipis yang terbentuk diberikan oleh:
๐ฟ๐ด โ 2๐๐ฆ. ๐ฟ๐
Jika dibagi semua sisi dengan , maka didapatkan๐ฟ๐ด
๐ฟ๐โ 2๐๐ฆ.
๐ฟ๐
๐ฟ๐
Dan jika 0, ini menjadi:๐๐ด
๐๐โ 2๐๐ฆ.
๐๐
๐๐
Luas Permukaan Benda-Putar โ Persamaan Parametrik
Ketika membahas tentang panjang kurva, maka:
๐๐
๐๐=
๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
โด๐ฟ๐ด
๐ฟ๐= 2๐๐ฆ
๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
โด ๐ด = เถฑ๐1
๐2
2๐๐ฆ๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
. ๐๐
Contoh 9
Carilah luas permukaan yang dihasilkan ketika kurva x=a(- sin ), y=a(1 -cos) antara =0 dan = diputar mengelilingi sumbu-x sampai satu putaran penuh.
Disini ๐๐ฅ
๐๐= ๐ 1 โ cos ๐ โด
๐๐ฅ
๐๐
2= ๐2 1 โ 2 cos ๐ + ๐๐๐ 2๐
๐๐ฆ
๐๐= ๐ sin ๐ โด
๐๐ฆ
๐๐
2
= ๐2๐ ๐๐2๐
โด๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= ๐2 1 โ 2 cos ๐ + ๐๐๐ 2๐ + ๐ ๐๐2๐
Contoh 9
โด๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 2๐2 1 โ cos ๐ ๐ก๐๐ก๐๐๐ cos ๐ = 1 โ 2๐ ๐๐2๐
2
๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
= 4๐2๐ ๐๐2๐
2
Diselesaikan integralnya dan dicari luas permukaan yang terbentuk
๐ด = เถฑ0
๐
2๐๐ฆ๐๐ฅ
๐๐
2
+๐๐ฆ
๐๐
2
. ๐๐
Contoh 9
๐ด = 2๐เถฑ0
๐
๐ 1 โ ๐๐๐ ๐ . 2๐ sin๐
2. ๐๐ = 2๐เถฑ
0
๐
๐ 2๐ ๐๐2๐
2. 2๐ sin
๐
2. ๐๐
๐ด = 8๐๐2เถฑ0
๐
1 โ ๐๐๐ 2๐
2. sin
๐
2. ๐๐
๐ด = 8๐๐2เถฑ0
๐
๐ ๐๐๐
2โ ๐๐๐ 2
๐
2sin
๐
2. ๐๐
๐ด = 8๐๐2 โ2 cos๐
2+2๐๐๐ 3๐/2
30
๐
๐ด = 8๐๐2 0 โ โ2 + 2/3
๐ด = 8๐๐2 4/3 =32๐๐2
3๐ ๐๐ก๐ข๐๐2
Aturan-Aturan Pappus
Ada dua aturan yang bermanfaat dan perlu diketahui:
1. Jika busur dari suatu kurva bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu dalam bidang tersebut, maka luas permukaan yang terbentuk akan sama dengan panjang kurva tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya
2. Jika suatu bentuk bidang diputar mengelilingi sebuah sumbu putar dalam bidang tersebut, maka volume yang terbentuk akan sama dengan luas bentuk tersebut dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh sentroidnya.