Download - Matematika Keuangan - Final_bab 1
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 1
BAB – I
BUNGA TUNGGAL
1.1 BEBERAPA ISTILAH DALAM PERDAGANGAN
Sebelum membahas cara-cara perhitungan yang berhubungan dengan bunga
tunggal, dan bunga majemuk terlebih dahulu diberikan istilah yang sering dijumpai
dalam bidang ekonomi, bidang keuangan dan perbankan, dan perdagangan.
1.1.1 Laba, Rugi, Pulang Pokok
Misalkan seseorang yang membeli suatu barang dengan harga x rupiah dan jika
barang itu dijual dengan harga y rupiah, maka ada tiga kemungkinan yang terjadi:
Jika x < y, maka dikatakan pedagang itu memperoleh laba.
Jika x > y, maka dikatakan pedagang itu merugi.
Jika x = y, maka dikatakan pedagang itu pulang pokok atau tidak rugi juga tidak untung.
1.1.2 Menyimpan dan Memanfaatkan Uang
Jika seseorang atau suatu badan usaha memiliki uang dalam jumlah yang banyak,
maka ia menghendaki agar uang itu dapat tersimpan dengan aman dan bila mungkin
dapat menjadi lebih banyak.
Untuk tujuan itu ada berbagai cara yang dapat dilakukan, diantaranya adalah:
1. Menyimpan uang di Bank dalam bentuk tabungan, misalnya Tabanas atau dalam
bentuk Deposito atau Giro. Kebanyakan masyarakat beranggapan bahwa menyimpan
uang di suatu Bank dapat terjamin keamanannya dan juga mendapatkan bunga atau
jasa. Besarnya jasa yang diperoleh akan tergantung besarnya uang yang disimpan
dan besarnya suku bunga yang diterapkan terhadap simpanan tersebut.
2. Memanfaatkan uang dalam kegiatan usaha perdagangan, misalnya adanya transaksi
jual-beli kendaraan bermotor, transaksi jual-beli rumah, transaksi jual-beli tanah dan
lain sebagainya.
Bunga Tunggal
2 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
3. Memanfaatkan uang dalam bentuk investasi tetap, misalnya pembelian mesin-mesin
peralatan, pembelian kendaraan niaga, rumah, tanah dan lain sebagainya.
4. Memanfaatkan uang yang diinvestasikan dalam jual beli efek atau surat-surat
berharga atau menyimpan di suatu perusahaan dalam bentuk Obligasi, Saham (baik
saham preferen maupun saham biasa).
1.1.3 Kredit, Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, dan Diskonto
Kredit adalah penyediaan sejumlah uang berdasarkan persetujuan pinjam-
meminjam antara seseorang atau badan usaha menurut aturan tertentu dengan
pembayaran bunga yang telah ditetapkan. Besarnya bunga dapat dihitung dengan aturan
bunga tunggal atau bunga majemuk. Dan pembayaran bunga dapat dilaksanakan pada
saat awal peminjaman (disebut diskonto) atau pada akhir peminjaman. Hal ini
bergantung pada perjanjian yang telah disepakati bersama.
1.1.4 Inflasi, Deflasi, Devaluasi, dan Revaluasi
Apabila arus uang yang beredar dalam masyarakat melampaui arus barang,
sedangkan alat-alat produksi telah dimanfaatkan sepenuhnya, maka penambahan
peredaran barang tidak mampu mengimbangi penambahan peredaran uang. Akibatnya
adalah harga cenderung naik. Keadaan demikian disebut inflasi dan pemerintah biasanya
melakukan tindakan devaluasi terhadap nilai uang yang beredar pada saat itu. Hal
sebaliknya, jika terjadi gejala-gejala kegiatan produksi yang anjlok dan kesempatan
bekerja berkurang, maka harga barang cenderung turun. Keadaan demikian disebut
deflasi dan pemerintah biasanya mengambil kebijaksanaan untuk mengadakan
revaluasi.
1.2 BUNGA TUNGGAL
1.2.1 Bunga (Jasa)
Di dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar suatu ucapan yang
berbunyi “Tuan X dapat pinjaman modal dari suatu Bank dengan bunga 2% per bulan”
atau “Tuan Y membeli kendaraan secara angsuran dengan suku bunga sebesar 15%” dan
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 3
lain sebagainya. Dalam masalah di atas kita menemukan sebuah istilah yang sudah
cukup dikenal dalam masyarakat yaitu kata bunga.
Secara matematika “bunga” dapat ditafsirkan sebagai suatu jasa yang berbentuk
uang yang diberikan oleh seseorang peminjam atau pembeli terhadap orang yang
meminjamkan modal atau penjual atas dasar persetujuan bersama.
1.2.2 Pengertian Bunga Tunggal
Misalkan seseorang meminjam uang pada sebuah Bank sejumlah Rp.
1.500.000,00 dan telah disepakati bahwa dalam jangka waktu satu tahun orang tersebut
harus mengembalikannya sejumlah Rp. 1.620.000,00. Uang Rp. 1.500.000,00 disebut
modal dan uang kelebihan sebesar Rp. 120.000,00 disebut bunga atau jasa atas
pinjaman modal itu. Besarnya bunga sering dinyatakan dalam % (dibaca persen) dan
disebut sebagai suku bunga yaitu menyatakan perbandingan antara bunga dengan modal
dalam satuan waktu tertentu (1 bulan atau 1 tahun). Dalam persoalan diatas suku bunga
per tahunnya dapat dinyatakan dengan:
%8%100000.500.1000.120 =x
Dalam bentuk yang lebih umum, jika suatu modal sebesar M0 dibungakan dengan
mendapat jasa modal sebesar B maka besarnya suku bunga persatuan waktu dapat
ditentukan dengan memakai rumus:
. . . (1)
Modal akhir dapat ditulis:
M = M0 + B
. . . (2)
%1000
xMBb =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+=
1001
100
01
001
bMM
atau
MbMM
Bunga Tunggal
4 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
dengan, M1 = besarnya uang yang dikembalikan setelah satu periode
M0 = besarnya modal yang dipinjamkan
b % = suku bunga persatuan waktu
Jika modal M0 dibungakan selama n periode (bulan atau tahun) dan suku bunga b% (per
bulan atau per tahun) dengan cara bunga tunggal, maka rumus menentukan besar modal
itu beserta bunganya adalah:
Untuk periode pertama:
( )bMMMbMBMM
+=+=+=
1.
01
0001
Untuk periode kedua:
( )bMMMbbMBMM
.21.)1(
02
0012
+=++=+=
Untuk periode ketiga:
( )bMMMbbMBMM
.31.).21(
03
0023
+=++=+=
Dan seterusnya untuk period ke – n adalah:
( )bnMM n .10 += . . . (3)
Atau
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10bnMM n . . . (4)
Selanjutnya rumus (3) atau (4) dapat diartikan bahwa:
M1 = M0 (1 + 1.b)
M2 = M0 (1 + 2.b)
M3 = M0 (1 + 3.b)
dst.
Seterusnya dapat dijelaskan bahwa:
M3 – M2 = M2 – M1 = M1 – M0 = B = b.M0
Secara umum dapat ditulis:
01 .MbBMM nn ==− − . . . (5)
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 5
Catatan: Rumus menentukan modal akhir dengan sistem suku bunga tunggal
merupakan bentuk barisan aritmetika dengan:
M0 = modal awal (suku pertama)
B = b.M0 = beda (bunga tetap sama besarnya setiap periode)
Mn = modal setelah periode ke-n
Jadi rumus (3) sama dengan:
bnaUn ).1( −+= . . . (6)
di mana:
a = suku awal (suku pertama)
b = beda
Un = suku ke - n
Contoh 1.
Modal sebesar Rp. 2.000.000,00 dipinjamkan dengan perjanjian bunga tunggal.
Hitunglah besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun dan lamanya
peminjaman adalah:
a. 8% dalam jangka waktu 1 tahun d. 12% dalam jangka waktu 6 bulan
b. 10% dalam jangka waktu 3 tahun e. 15% dalam jangka waktu 8 bulan
c. 11% dalam jangka waktu 5 tahun
Penyelesaian:
a. Suku bunga 8% per tahun, besarnya bunga dalam 1 tahun adalah:
00,000.160.00,000.000.2.100
8 RpRpxB ==
Modal seluruhnya:
M = Rp. 2.000.000,00 + Rp. 160.000,00
M = Rp. 2.160.000,00
b. Suku bunga 10% per tahun, besarnya bunga dalam 1 tahun adalah:
00,000.200.00,000.000.2.10010 RpRpxB ==
Bunga Tunggal
6 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
Jadi besarnya bunga dalam jangka waktu 3 tahun adalah:
B = 3 x Rp. 200.000,00 = Rp. 600.000,00
Modal seluruhnya:
M = Rp. 2.000.000,00 + Rp. 600.000,00
M = Rp. 2.600.000,00
Atau: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10bnMM
00,000.600.2.
)3,1(00,000.000.2100
10.3100,000.000.2
RpMM
M
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
c. Suku bunga 11% per tahun, besarnya bunga dalam 1 tahun adalah:
00,000.220.00,000.000.2.10011 RpRpxB ==
Jadi besarnya bunga dalam jangka waktu 5 tahun adalah:
B = 5 x Rp. 220.000,00 = Rp. 1.100.000,00
Modal seluruhnya:
M = Rp. 2.000.000,00 + Rp. 1.100.000,00
M = Rp. 3.100.000,00
Atau: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10bnMM
00,000.100.3.
)55,1(00,000.000.2100
11.5100,000.000.2
RpMM
M
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
d. Suku bunga 12% per tahun, besarnya bunga dalam 1 tahun adalah:
00,000.240.00,000.000.2.10012 RpRpxB ==
Jadi besarnya bunga dalam jangka waktu 6 bulan adalah:
B = 126 x Rp. 240.000,00 = Rp. 120.000,00
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 7
Modal seluruhnya:
M = Rp. 2.000.000,00 + Rp. 120.000,00
M = Rp. 2.120.000,00
Atau:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10pnMM
00,000.120.2.
)06,1(00,000.000.2100
12.100,000.000.2 2
1
RpMM
M
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
e. Suku bunga 15% per tahun, besarnya bunga dalam 1 tahun adalah:
00,000.300.00,000.000.2.10015 RpRpxB ==
Jadi besarnya bunga dalam jangka waktu 8 bulan adalah:
B = 128 x Rp. 3000.000,00 = Rp. 200.000,00
Modal seluruhnya:
M = Rp. 2.000.000,00 + Rp. 200.000,00
M = Rp. 2.200.000,00
Atau:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10pnMM
00,000.200.2.
)1,1(00,000.000.2100
15.100,000.000.2 12
8
RpMM
M
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Contoh 2.
Seorang pedagang meminjam uang di Bank sebesar Rp. 200.000,00 dengan aturan
bunga tunggal dan suku bunga 2% per bulan. Berapakah besarnya uang yang harus
dikembalikan oleh orang itu kepada Bank jika: a. lamanya peminjaman 1 bulan
b. lamanya peminjaman 4 bulan
Bunga Tunggal
8 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
Penyelesaian:
a. Suku bunga 2% per bulan, maka besarnya bunga dalam 1 bulan adalah:
00,000.4.00,000.200.100
2 RpRpxB ==
Jadi uang yang harus dikembalikan = Rp. 200.000,00 + Rp. 4.000,00
= Rp. 204.000,00
b. Besarnya bunga dalam 4 bulan = 4 x Rp. 4.000,00 = Rp. 16.000,00
Jadi uang yang harus dikembalikan = Rp. 200.000,00 + Rp. 16.000,00
= Rp. 216.000,00
Atau: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
100.10pnMM
00,000.216.)08,1(000.200
1002.4100,000.200
RpMM
M
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Contoh 3.
Dalam jangka waktu satu tahun, Carli harus mengembalikan uang ke Bank sebesar Rp.
216.000,00, sedangkan uang semula yang dipinjam oleh Carli adalah Rp. 200.000,00.
Tentukan besarnya bunga dan suku bunga per tahunnya.
Penyelesaian:
Besarnya suku bunga dalam 1 tahun:
B = M – M0
B = Rp. 216.000,00 – Rp. 200.000,00 = Rp. 16.000,00
Besarnya suku bunga per tahun:
%1000
xMBb =
%8%100000.200
000.16== xb
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 9
Contoh 4.
Modal pinjaman sebesar Rp. 400.000,00 harus dikembalikan dalam jangka waktu satu
tahun. Jika jumlah uang yang dikembalikan itu besarnya sama dengan 45 kali modal
semula, berapakah besarnya suku bunga per tahun.
Penyelesaian:
Besarnya uang yang dikembalikan:
M = 45 x Rp. 400.000,00 = Rp. 500.000,00
Besarnya bunga:
B = M – M0
B = Rp. 500.000,00 – Rp. 400.000,00
B = Rp. 100.000,00
Jadi besarnya suku bunga per tahun:
%25%100000.400000.100
== xb
Contoh 5.
Dalam jangka waktu berapa tahunkah suatu modal harus dipinjamkan, agar uang yang
dikembalikan menjadi 3 kali modal semula? Diketahui suku bunga tunggal 4% per
bulan.
Penyelesaian:
Misalkan modal semula adalah M0 dan lamanya peminjaman adalah n bulan.
Besarnya bunga per bulan
01004 MxB =
Besarnya bunga dalam jangka waktu n bulan:
nxMxB 01004
=
Jumlah uang yang harus dikembalikan:
M = M0 + B
M = M0 + nxMx 01004
Bunga Tunggal
10 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
M = )100
41(0 nxM +
Karena M harus sama dengan 3 x M0, maka:
)100
41(.3 00 nxMM +=
)100
41(3 nx+=
2100
4=nx
n = 50
Jadi lamanya modal itu dipinjamkan adalah 50 bulan.
Contoh 6.
Suatu modal dipinjamkan dengan aturan bunga tunggal. Setelah 3 tahun modal itu
menjadi 35 kali modal semula. Tentukan besarnya suku bunga per bulan.
Penyelesaian:
Misalkan besarnya modal semula adalah M0 dan besarnya suku bunga per bulan adalah
b = p%.
Besarnya bunga dalam 3 tahun:
36100 0 xMxpB =
Besarnya uang setelah 3 tahun menjadi:
M = M0 + B
M = M0 + 36100 0 xMxp
M = )36100
1(0 xpM +
Karena M harus sama dengan 35 M0, maka:
)36100
1(0035 xpMM +=
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 11
)36100
1(35 xp
+=
85,1
32
10036
=
=
p
p
Jadi suku bunga per bulannya adalah b = 1,85%
Contoh 7.
Sebuah Modal sebesar Rp. M dibungakan secara bunga tunggal dengan suku bunga sebesar b% per bulan. Setelah tiga, empat dan lima bulan dibungakan maka modal itu masing-masing menjadi Rp. 1.404.719,47; Rp. 1.470.725,96; dan Rp. 1.536.732,45. Maka tentukan:
a. Besar Modal (M) b. Besar suku bunga (b%) c. Besar Modal itu setelah 10 bulan.
Diketahui: M3 = Rp. 1.404.719,47
M4 = Rp. 1.470.725,96
M5 = Rp. 1.536.732,45
Ditanya: a. Modal awal
b. Besar suku bunga
c. M10
Penyelesaian:
a. Untuk bunga tunggal:
Mn = M0 (1 + nb)
M3 = M0 (1 + 3b)
M4 = M0 (1 + 4b)
M5 = M0 (1 + 5b)
B = M4 – M3 = M5 – M4 = bM0
= Rp. 1.470.725,96 – Rp. 1.404.719,47 = Rp. 1.536.732,45 – Rp.
1.470.725,96
= Rp. 66006,49 = Rp. 66006,49
B = Rp. 66.006,49 = bM0
M3 = M0 + 3bM0
1.404.719,47 = M0 + 3 (66.006,49)
Bunga Tunggal
12 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
M0 = 1.404.719,47 – 198.019,47
M0 = Rp. 1.206.700,00
b. Besar suku bunga:
B = bM0
%5,47
5,469998%100700.206.1
47,006.66
%1000
=
==
=
b
xb
xMBb
c. M10 = M0 (1 + 10.b)
M10 = 1.206.700,00 [1 + 10 (0.0547)]
M10 = 1.206.700,00 (1 + 0,547)
M10 = 1.206.700,00 (1,547)
M10 = Rp. 1.866.764,90
1.3 BUNGA TUNGGAL EKSAK DAN BUNGA TUNGGAL BIASA
Bunga Tunggal Eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan
bahwa satu tahun terdiri atas 365 hari untuk tahun biasa dan satu tahun terdiri atas 366
hari untuk tahun kabisat (tahun yang habis dibagi oleh 4).
Bunga Tunggal Biasa adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan
bahwa satu tahun terdiri atas 360 hari.
Perhitungan bunga tunggal eksak dipergunakan rumus:
1. 0100365MxpxtB = untuk tahun biasa . . . (7)
2. 0100366MxpxtB = untuk tahun kabisat . . . (8)
Perhitungan bunga tunggal biasa
3. 0100360MxpxtB = . . . (9)
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 13
Contoh 8.
Modal sebesar Rp. 500.000,00 dipinjamkan selama 40 hari dengan suku bunga 18% per
tahun. Tentukan besarnya bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa, jika modal itu
dipinjamkan: a. Pada tahun 1999
b. Pada tahun 2004
Penyelesaian:
a. Tahun 1999 bukan merupakan tahun kabisat, sehingga bunga tunggal eksaknya
dihitung berdasarkan 1 tahun = 365 hari.
Rumus: 0100365MxpxtB =
Bunga tunggal eksak = 00,000.500.10018
36540 Rpxx
B = Rp. 9.863,01
Rumus: 0100360MxpxtB =
Bunga tunggal biasa = 00,000.500.10018
36040 Rpxx
B = Rp. 10.000,00
b. Tahun 2004 merupakan tahun kabisat, sehingga bunga tunggal eksaknya dihitung
berdasarkan 1 tahun = 366 hari.
Rumus: 0100366MxpxtB =
Bunga tunggal eksak = 00,000.500.10018
36640 Rpxx
B = Rp. 9.836,07
Rumus: 0100360MxpxtB =
Bunga tunggal biasa = 00,000.500.10018
36040 Rpxx
= Rp. 10.000,00
Bunga Tunggal
14 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
1.4 WAKTU EKSAK DAN WAKTU RATA-RATA
Setelah kita mengetahui bahwa masalah yang terjadi pada bunga tunggal eksak,
di mana perbedaan 1 hari antara tahun kabisat dan tahun biasa akan menghasilkan besar
perolehan bunga berbeda, ini berarti bahwa kita harus dapat menentukan banyaknya hari
secara tepat, khususnya untuk menentukan banyaknya hari antara 2 (dua) tanggal yang
berbeda. Untuk menentukan banyaknya hari di antara 2 tanggal, kita akan menggunakan
dua metode perhitungan, yaitu waktu eksak dan waktu rata-rata.
Waktu Eksak memakai dasar perhitungan bahwa banyaknya hari dalam satu bulan
sesuai dengan banyaknya hari dalam 1 bulan yang telah dijalani.
Waktu Rata-rata memakai dasar perhitungan bahwa banyaknya hari dalam satu bulan
sama dengan 30 hari.
Menghitung Waktu Eksak
Untuk menentukan banyaknya hari antara dua tanggal dengan waktu eksak dapat
dipakai dua cara perhitungan sebagai berikut:
Cara 1:
a. Hitunglah banyaknya hari sisa pada bulan permulaan peminjaman (awal),
banyaknya hari pada bulan yang bersangkutan – tanggal peminjaman.
b. Hitunglah banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya sesuai dengan
banyaknya hari.
c. Hitunglah banyaknya hari pada bulan terakhir, yaitu sama dengan batas
tanggal peminjaman.
d. Banyaknya hari yang dicari sama dengan jumlah hari dari perhitungan a, b
dan c.
Cara 2:
Dengan memakai tabel, yaitu dibuat tabel untuk bulan Januari sampai dengan bulan
Desember. Untuk bulan Januari diberi nomor 1 s/d 31.
Untuk bulan Februari diberi nomor dari 32 s/d 59 (tahun biasa) dan 60
(tahun kabisat)
Untuk bulan Maret diberi nomor dari 60 s/d 87
Dan seterusnya
Untuk bulan Desember diberi nomor dari 335 s/d 365
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 15
Contoh 9.
Tentukan waktu eksak dari tanggal 26 Mei 1989 sampai dengan tanggal 9 Juli 1989.
Penyelesian:
Cara 1 : Waktu eksak dari tanggal 26 Mei 1989 sampai dengan 9 Juli 1989 adalah:
(31 – 26) + 30 + 9 = 44 hari
Cara 2 : Dari tabel tampak bahwa 26 Mei mempunyai nomor 146 dan 9 Juli
mempunyai nomor 190, sehingga waktu eksaknya adalah:
190 – 146 = 44 hari
Contoh 10.
Tentukan waktu eksak dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari
1990.
Penyelesaian:
Cara 1 : Waktu eksak dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan 8 Februari 1990
adalah:
(31 – 6) + (30 + 31 + 31) + 8 = 125 hari.
Cara 2 : Pada tabel, tanggal 6 Oktober 1989 bernomor 279 dan tanggal 8 Februari
1990 bernomor 39 + 365 = 404 (harus ditambah 365, sebab adanya
perbedaan 1 tahun), sehingga waktu eksaknya:
404 – 279 = 125 hari.
Menghitung Waktu Rata-rata
Untuk menentukan banyaknya hari antara dua tanggal dengan waktu rata-rata,
dapat dilakukan dengan dua cara pula.
Cara 1 :
a. Hitunglah banyaknya hari sisa pada bulan permulaan peminjaman
(awal), yaitu 30 – tanggal peminjaman.
b. Hitunglah banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya, di mana untuk 1
bulan dihitung 30 hari.
Bunga Tunggal
16 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
c. Hitunglah banyaknya hari pada bulan terakhir, yaitu sama dengan batas
tanggal peminjaman.
d. Banyaknya hari yang dicari sama dengan jumlah hari dari perhitungan a,
b dan c.
Cara 2 :
a. Tuliskan tanggal, bulan, tahun pada awal dan akhir perjanjian dalam
urutan yang dibalik, yaitu tahun, bulan, tanggal.
b. Banyaknya hari yang dicari dapat ditentukan dari selisih antara tahun,
bulan, tanggal akhir tahun dengan tahun, bulan, tanggal permulaan.
Dalam bentuk yang sederhana perhitungan waktu rata-rata dengan cara 2 ini
dapat disajikan sebagai berikut:
tahun, bulan, tanggal akhir : y2 m2 d2
tahun, bulan, tanggal awal : y1 m1 d1 ( - )
(y2 – y1) (m2 – m1) (d2 – d1)
Contoh 11.
Tentukanlah waktu rata-rata dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan tanggal 17 Juli
1989.
Penyelesaian:
Cara 1:
Waktu rata-rata dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan tanggal 17 Juli 1989 adalah:
(30 – 12) + 30 + 17 = 65 hari
Cara 2:
17 Juli 1989 ditulis : 1989 7 17
12 Mei 1989 ditulis : 1989 5 12
_____________________________________________ ( - )
0 2 5
0 2 5 menunjukkan bahwa dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan 17 Juli 1989
terdiri atas 0 tahun 2 bulan dan 5 hari. Jadi waktu rata-ratanya adalah:
(0 x 360) + (2 x 30) + (5 x 1) = 65 hari.
tahun bulan tanggal
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 17
Contoh 12.
Tentukan waktu rata-rata dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari
1990.
Penyelesaian:
Cara 1:
Waktu rata-rata dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari 1990
adalah: (30 – 6) + (30 + 30 + 30) + 8 = 122 hari
Cara 2:
8 Februari 1990 ditulis : 1990 2 8
6 Oktober 1989 ditulis : 1989 10 6
___________________________________________________ ( - )
1 - 8 2
1 -8 2 menunjukkan bahwa dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan 8 Februari
1990 terdiri atas 1 tahun kurang 8 bulan ditambah 2 hari. Jadi waktu rata-ratanya adalah:
(1 x 360) - (8 x 30) + (2 x 1) = 122 hari.
1.5 DISKONTO
Dalam praktek sering terjadi bunga atas pinjaman dibayarkan terlebih dulu pada
saat awal peminjaman, sehingga besarnya uang yang diterima oleh peminjam merupakan
selisih antara besarnya pinjaman dengan besarnya bunga. Sedangkan besarnya uang
yang harus dikembalikan harus sesuai dengan besarnya pinjaman berdasarkan
perjanjian. Bunga yang dibayar di muka itu disebut diskonto.
Contoh 13.
Seseorang meminjam uang di Bank sebesar Rp. 2.000.000,00 dengan perjanjian
diskonto 9% dalam waktu satu tahun. Berapakah besarnya uang yang diterima oleh
sipeminjam tersebut?
Penyelesaian:
Besarnya bunga berdasarkan diskonto 9%:
0100365MxpxtB = (waktu 1 tahun = 365 hari)
Bunga Tunggal
18 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
00,000.180.00,000.000.2.100
9 RpRpxB ==
Jadi besarnya uang yang diterima oleh orang tersebut dari Bank adalah:
Rp. 2.000.000,00 – Rp. 180.000,00 = Rp. 1.820.000,00
Contoh 14.
Pak Kadir meminjam uang di Bank dengan diskonto 20% selama satu tahun. Jika uang
yang diterima pak Kadir pada saat awal peminjaman adalah Rp. 400.000,00, berapakah
besarnya uang yang dipinjam oleh pak Kadir?.
Penyelesaian:
Misalkan besarnya pinjaman itu M0 dengan diskonto 20% akan memberikan bunga
sebesar:
0100365MxpxtB =
00 51
10020 MMxB ==
Besarnya uang yang diterima:
000.500
000.40054
000.40051
0
0
00
=
=
=−
M
M
MM
Jadi besarnya uang yang dipinjam oleh pak Kadir adalah Rp. 500.000,00
Contoh 15.
Modal sebesar Rp. M dibungakan sejak tanggal 5 Agustus 2007 dengan bunga tunggal
sebesar p % per tahun. Setelah 100 hari modal itu beserta bunga menjadi Rp. 577.925,34
sedangkan setelah dibungakan selama 290 hari modal itu beserta bunga menjadi
Rp.602.381,08.
Maka tentukan:
a. Modal awal
b. Besar suku bunga
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 19
c. Besar modal akhir jika selama waktu bunga 290 hari digunakan waktu rata-rata dan
tentukan tanggal jatuh tempo.
Diketahui : Mn = Rp. 577.925,34 untuk 100 hari
Mn = Rp. 602.381,08 untuk 290 hari
Awal perjanjian tanggal 5 Agustus 2007
Ditanya :
a. Modal awal
b. Besar suku bunga
c. Mn untuk waktu rata-rata (n = 290 hari) dan tanggal jatuh tempo.
Penyelesaian:
)1(;100365 00 BMMpxtxMB n +==
Untuk t = 100 hari:
365100365100
00pxMBpxxMB =→=
pM
pM
pM
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
36510,749.942.210
365365
34,925.577365
134,925.577
0
0
0
. . . (I)
Untuk 290 hari:
)1(;100366 00 BMMpxtxMB n +==
366029
100366290
00pxMBpxxMB =→=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
366029108,381.607 pM o
pM
pM
293660753.714.204.2
3660293660
08,381.602
0
0
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
. . . (II)
Bunga Tunggal
20 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
Persamaan (II) = (I), sehingga diperoleh:
pp +=
+ 36510,749.942.210
293660753.714.204.2
%35,8314.042.267.3971.624.912.3
==
pp
00,000.565.35,8365
10,749.942.210
0
0
RpM
M
=+
=
Untuk waktu 290 hari (waktu rata-rata):
)1(;100
35,8360290
00 BMMxxMB n +==
10,004.38.
067263888,000,000.565RpB
xB==
10,004.603.
10,004.3800,000.565RpM
M
n
n
=+=
Dan tanggal jatuh tempo adalah:
Agustus ’07 = (30 – 5) 25 September ‘07 30 Oktober ‘07 30 Nopember ‘07 30 Desember ‘07 30 Januari ‘08 30 Februari ‘08 30 Maret ‘08 30 April ‘08 30 Mei ‘08 25
Jumlah 290 hari
Pada tanggal 25 Mei 2008
Contoh 16.
Sebuah modal sebesar Rp. 3.750.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal sebesar p %
per tahun mulai dari tanggal 12 Januari 2004 sampai dengan 25 Juli 2004. Pada akhir
jatuh tempo modal akhir adalah Rp. 3.929.123,98 maka tentukan besar suku bunga jika
berdasarkan waktu exact.
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 21
Diketahui : M0 = Rp. 3.750.000,00
Waktu: 12 Januari 2004 s/d 25 Juli 2004 (exact)
Mn = Rp. 3.929.123,98
Ditanya : Besar suku bunga (p %)
Penyelesaian:
Hari Bunga dapat ditentukan dengan:
Januari (31 – 12) 19 Februari 29 Maret 31 April 30 Mei 31 Juni 30 Juli 25
Jumlah 195 hari
Mn = M0 + B
B = Mn – M0
0100366MxpxtB =
B = 3.929.123,98 – 3.750.000,00
= Rp. 179.123,98
195179.123,98 3.750.000,00100 366
p x x=
6.555.937.668 = 731.250.000 p
%8,97p
8,9653000.250.731668.937.555.6
=
==p
Contoh 17.
Ali meminjam uang kepada Budi pada tanggal 18 Maret 2006 sebesar Rp. 2.575.000,00
dengan suku bunga 13,25% per tahun. Budi melunasi hutangnya beserta bunga pada
akhir perjanjian sebesar Rp. 2.781.582,02. Tentukan tanggal jatuh tempo bila waktu
bunga berdasarkan waktu exact dan waktu rata-rata.
Bunga Tunggal
22 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
Diketahui : M0 = Rp. 2.575.000,00
Tanggal peminjaman 18 Maret 2006
Mn = Rp. 2.781.582,02
Suku bunga 13,25%
Ditanya : Tanggal jatuh tempo jika waktu exact dan waktu rata-rata
Penyelesaian:
Mn = M0 + B ; B = Mn – M0 ; B = p x L x M0
B = 2.781.582,02 – 2.575.000,00
= Rp. 206.582,02
a. Waktu Exact
00,000.575.2365100
25,1302,582.206 xtx=
7.540.243.730 = 34.118.750 t
hari221t
220,9999750.118.34
730.243.540.7
=
==t
Jadi tanggal jatuh tempo dapat ditentukan dengan:
Maret ‘06 = (31 – 18) 13 April ‘06 30 Mei ‘06 31 Juni ‘06 30 Juli ‘06 31 Agustus ‘06 31 September ‘06 30 Oktober ‘06 25
Jumlah 221 hari
Yaitu pada tanggal 25 Oktober 2006
b. Waktu Rata-rata
00,000.575.2360100
25,1302,582.206 xtx=
7.436.952.720 = 34.118.750 t
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 23
hari218t
217,9726750.118.34
720.952.436.7
=
==t
Jadi tanggal jatuh tempo dapat ditentukan dengan:
Maret = (30 – 18) 12 April 30 Mei 30 Juni 30 Juli 30 Agustus 30 September 30 Oktober 26
Jumlah 218 hari
Yaitu pada tanggal 26 Oktober 2006
Contoh 18.
Sebuah modal sebesar Rp. 4.250.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal sebesar p %
per tahun mulai dari tanggal 18 Januari 2004 sampai dengan 25 Juli 2004. Pada akhir
jatuh tempo modal akhir adalah Rp. 4.453.007,17 maka tentukan besar suku bunga jika
berdasarkan waktu exact.
Diketahui : M0 = Rp. 4.250.000,00
Waktu: 18 Januari 2004 s/d 25 Juli 2004 (exact)
Mn = Rp. 4.453.007,17
Ditanya : Besar suku bunga (p %)
Penyelesaian:
Jadi tanggal jatuh tempo dapat ditentukan dengan:
Januari ‘04 = (31 – 18) 13 Februari ‘04 29 Maret ‘04 31 April ‘04 30 Mei ‘04 31 Juni ‘04 30 Juli ‘04 25
Jumlah 189 hari
Bunga Tunggal
24 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
Selanjutnya kita tentukan besar suku bunga:
Mn = M0 + B
B = Mn – M0
0100366MxpxtB =
B = 4.453.007,17 – 4.250.000,00
= Rp. 203.007,17
189203.007,17 4.250.000,00100 366
p x x=
7.430.062.422 = 803.250.000 p
%9,25p
9,24999000.250.803422.062.430.7
=
==p
Contoh 19.
Ali meminjam uang kepada Budi pada tanggal 21 Maret 2006 sebesar Rp. 2.780.000,00
dengan suku bunga 14,25% per tahun. Budi melunasi hutangnya beserta bunga pada
akhir perjanjian sebesar Rp. 3.015.519,32. Tentukan tanggal jatuh tempo bila waktu
bunga berdasarkan waktu exact dan waktu rata-rata.
Diketahui : M0 = Rp. 2.780.000,00
Tanggal peminjaman 21 Maret 2006
Mn = Rp. 3.015.519,32
Suku bunga 14,25%
Ditanya : Tanggal jatuh tempo jika waktu exact dan waktu rata-rata
Penyelesaian:
Mn = M0 + B
B = Mn – M0
B = p x L x M0
B = 3.015.519,32 – 2.780.000,00
B = Rp. 235.519,32
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 25
a. Waktu Exact
00,000.780.2365100
25,1432,519.235 xtx=
8.596.455.180 = 39.615.000 t
hari217t
217,000004000.615.39
180.455.596.8
=
==t
Jadi tanggal jatuh tempo dapat ditentukan dengan:
Maret ‘06 = (31 – 21) 10 April ‘06 30 Mei ‘06 31 Juni ‘06 30 Juli ‘06 31 Agustus ‘06 31 September ‘06 30 Oktober ‘06 24
Jumlah 217 hari
Yaitu pada tanggal 24 Oktober 2006
b. Waktu Rata-rata
00,000.780.2360100
25,1432,519.235 xtx=
8.478.695.520 = 39.615.000 t
hari215t
214,027000.615.39
520.695.478.8
=
==t
Jadi tanggal jatuh tempo dapat ditentukan dengan:
Maret ‘06 = (30 – 21) 9 April ‘06 30 Mei ‘06 30 Juni ‘06 30 Juli ‘06 30 Agustus ‘06 30 September ‘06 30 Oktober ‘06 26
Jumlah 215 hari
Yaitu pada tanggal 26 Oktober 2006
Bunga Tunggal
26 M a t e m a t i k a K e u a n g a n
SOAL - SOAL
1. Tentukanlah besarnya bunga tunggal dari suatu modal Rp. 500.000,00, bila suku bunga
per tahun dan jangka waktu peminjamannya adalah: a. 12,5% dalam jangka waktu 3 tahun. b. 18% dalam jangka waktu 10 bulan
2. Seseorang menabung uang di Bank sebesar Rp. 400.000,00 dan Bank itu memberikan
bunga tunggal sebesar 15% per tahun. Berapakah jumlah uang dari orang tersebut setelah 4 tahun?
3. Sebuah mobil sedan harganya Rp. 10.000.000,00. Untuk pembelian mobil sedan itu
ditetapkan uang mukanya adalah Rp. 8.000.000,00 dan sisanya boleh dilunasi dalam jangka waktu 10 bulan sebesar Rp. 2.300.000,00. Jika diterapkan aturan suku bunga tunggal, berapakah besarnya suku bunga per tahun dalam persoalan tersebut.
4. Badu menyimpan uang di Bank sebesar Rp. 600.000,00 dengan perjanjian bunga tunggal
2% per bulan. Dalam jangka waktu berapakah uang Badu itu akan menjadi Rp. 780.000,00.
5. Modal pinjaman sebesar Rp. 800.000,00 harus dilunasi dalam jangka waktu 10 bulan. Jika
uang yang dikembalikan itu besarnya 89 kali modal semula berapakah suku bungan per
tahun? 6. Modal sebesar M0 dipinjamkan dengan suku bunga tunggal 5% per bulan. Dalam jangka
waktu berapa tahunkah modal itu harus dipinjamkan, agar uang yang dikembalikan nantinya menjadi dua kali semula?
7. Modal sebesar Rp. 105.000,00 dipinjamkan dengan aturan bunga tunggal pada awal tahun
1990. Hitunglah besarnya bunga tunggal eksak, jika diketahui: a. Suku bunga 5% per tahun selama 73 hari. b. Suku bunga 8% per tahun selama 146 hari. 8. Modal I sebesar Rp. 800.000,00 dibungakan 8% selama 125 hari. Modal II sebesar Rp.
1.000.000,00 dibungakan 8% selama 80 hari. Hitunglah jumlah bunga tunggal biasa untuk kedua modal itu.
9. Suatu pinjaman besarnya Rp. 1.800.000,00. Hitunglah besarnya bunga tunggal biasa jika:
a. Suku bunga 2 ½% setahun, dipinjamkan dari tanggal 20 Juli 2001 sampai dengan 7 Desember 2001.
b. Suku bunga 5% setahun, dipinjamkan dari tanggal 14 Agustus 2002 sampai dengan 1 Januari 2003.
Bunga Tunggal
M a t e m a t i k a K e u a n g a n 27
10. Seseorang meminjam uang di Bank dengan diskonto 25% dalam jangka waktu satu tahun. Jika orang itu menghendaki uang yang diterima pada awal peminjaman sebesar Rp. 600.000,00, berapakah besarnya uang pinjaman yang harus dikembalikan?
11. Ali meminjam uang kepada Budi pada tanggal 16 Maret 2006 sebesar Rp. 2.575.700,00
dengan suku bunga tunggal 14,25% per tahun. Budi melunasi hutangnya beserta bunga pada akhir perjanjian sebesar Rp. 2.793.911,19. Tentukan tanggal jatuh tempo bila waktu bunga berdasarkan waktu exact dan waktu rata-rata.
12. Modal sebesar Rp. M dibungakan sejak tanggal 5 Agustus 2007 dengan bunga tunggal
sebesar p % per tahun. Setelah 100 hari modal itu beserta bunga menjadi Rp. 577.925,34 sedangkan setelah dibungakan selama 290 hari modal beserta bunga menjadi Rp. 602.381,08. Tentukan: a. Modal awal b. Besar suku bunga c. Besar modal akhir jika waktu 290 hari dibungakan dengan waktu rata-rata dan tanggal
jatuh tempo. 13. Sebuah Modal sebesar Rp. M dibungakan secara bunga tunggal dengan suku bunga
sebesar b % per bulan. Setelah empat, lima dan enam bulan dibungakan maka modal itu masing-masing menjadi Rp. 13.070.448,16; Rp. 13.649.110,20; dan Rp. 14.227.772,24. Maka tentukan: a. Besar Modal (M) b. Besar suku bunga (b %) c. Besar Modal itu setelah 10 bulan.
14. Sebuah Modal sebesar Rp. M dibungakan secara bunga tunggal dengan suku bunga
sebesar b % per bulan. Setelah tiga. empat, dan lima bulan dibungakan maka modal itu masing-masing menjadi Rp. 18.262.500,00; Rp. 19.350.000,00; dan Rp. 20.437.500,00. Maka tentukan: a. Besar Modal (M) b. Besar suku bunga (b %) c. Besar Modal itu setelah 15 bulan.