Download - makalah vektor
2011
Oleh:
Muhammad Adib Achsan 08144100088
Tusiyamah 0814410059
Listiyana 0814410073
Materi vektor untuk SMA Kelas III
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 2
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
Standar kompetensi:
1. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi dasar:
3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan
masalah.
Indikator:
1. Menjelaskan vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah.
2. Mengenal vektor satuan.
3. Menentukan operasi aljabar vektor: jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan
lawan suatu vektor.
4. Menjelaskan sifat-sifat vektor secara aljabar dan geometri.
5. Menggunakan rumus perbandingan vektor
6. Menentukan hasil kali skalar dua vektor dibidang dan ruang.
7. Menjelaskan sifat-sifat perkalian skalar dua vektor.
A. VEKTOR DI R2
1. Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang atau nilai) saja atau
besaran yang tidak memiliki arah.
Misalnya: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa, dan sebagainya.
Besaran vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) juga memiliki
arah.
Misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik, dan
sebagainya.
2. Notasi Vektor
Vektor adalah suatu ruas garis berarah yang arah dan panjangnya tertentu. Panjang
tertentu itu disebut panjang (besar, nilai) vektor.
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 3
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
Vektor dinyatakan dengan huruf latin, misalnya 푢, 푢, u (huruf yang ditebalkan) atau u
(huruf yang dimiringkan). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis
dengan lambang u = 퐴퐵⃗
Panjang (besar nilai) vektor u denyatakan dengan |풖| dan vektor AB dinyatakan dengan
퐴퐵⃗ .
u = 퐴퐵⃗ (퐴퐵⃗ mewakili u)
u dibaca “vektor u”
퐴퐵⃗ dibaca “vektor AB”
퐴퐵⃗ = vektor yang pangkalnya A dan ujungnya B.
3. Penyajian Suatu Vektor
(i) Vektor u dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan, misalnya u = , atau u =
(a, b) dengan a = komponen mendatar dan b = komponen vertikal.
(ii) Vektor sebagai kombinasi vektor satuan. Vektor u dapat dibentuk menggunakan
vektor satuan i dan j, misalkan u = ai + bj
4. Panjang Vektor
Misalkan u = 푎푏 , maka panjang (besar, nilai) vektor u ditentukan dengan rumus:
|퐮| = √푎 + 푏 .
5. Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama, bila besar dan arahnya sama.
Misalkan u = 푎푏 dan v = 푐푑 . Jika u = v, maka |퐮| = |퐯| dan arah u = arah v, sehingga
a = c dan b = d.
6. Operasi Vektor
(i) Operasi Penjumlahan Vektor
Jumlah dua vektor u dan v adalah suatu vektor w yang dituliskan dengan diagonal
jajargenjang yang sisinya u dan v, ditulis w = u + v.
Penjumlahan Vektor Menurut Aturan Segitiga dan Jajargenjang
A
u
B
Gambar 1.1
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 4
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
Penjumlahan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.
Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 푎푏 + 푐푑 = 푎 + 푐
푏 + 푑
(ii) Elemen Identitas dan Invers Aditif
Vektor yang memiliki besar nol disebut vektor nol, ditulis 0. Vektor nol disebut
elemen identitas.
u + 0 = 0 + u = u
Misalnya u = 푎푏 dan 0 = 00 , maka u + 0 = 푎푏 + 0
0 = 푎푏
Jika u adalah sebarang vektor bukan vektor nol, maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi berlawanan arah.
u – u = u + (-u) = 0
(iii) Operasi Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v, ditulis u − v didefinisikan u + (-v).
Pengurangan Vektor Menggunakan Aturan Segitiga dan Jajargenjang
.
Pengurangan Vektor Menggunakan Bentuk Pasangan Bilangan.
Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 퐮 + (−퐯) = 푎푏 + −푐
−푑 = 푎 − 푐푏 − 푑
(iv) Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar
m u adalah suatu vektor yang panjangnya |푚| kali vektor u dan searah dengan u jika
m> 0 dan berlawanan arah dengan u, jika m < 0.
Jika m∈ {푏푖푙푎푛푔푎푛 푟푒푎푙} dan u = 푎푏 maka mu = m 푎푏 = 푚푎
푚푏
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 5
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
휃
휃
7. Sifat-sifat Operasi Vektor
(i) Sifat komutatif: u + v = v + u
(ii) Sifat asosiatif: (u + v) + w = u + (v + w)
(iii) Ada elemen identitas terhadap penjumlahan u + 0 = 0 + u = u
(iv) Sifat tertutup: hasil penjumlahan berupa vektor lagi.
(v) Ketidaksamaan segitiga: |퐮 + 퐯| ≤ |퐮| + |퐯|
(vi) 1u = u
(vii) 0u = 0 atau m0 = 0
(viii) Jika m0 = 0, maka m = 0 atau u = 0
(ix) (mn)u = m(nu)
(x) |푚퐮| = |푚||퐮|
(xi) (-m)u = -(mu) = m(-u)
(xii) Sifat distributif: (m + n)u = mu + nu
(xiii) Sifat distributif: m(u + v) = mu + mv
(xiv) u + (-1)u = u + (-u) = 0
8. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
(i) Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u + v = 푎 + 푐푏 + 푑
dan besarnya |퐮 + 퐯| = (푎 + 푐) + (푏 + 푑)
(ii) Jika u = 푎푏 dan v = 푐푑 , maka u - v = 푎 − 푐푏 − 푑
dan besarnya |퐮 − 퐯| = (푎 − 푐) + (푏 − 푑)
(iii) |퐮 + 퐯| = |퐮| + |퐯| + 2|퐮||퐯|푐표푠휃
(iv) |퐮 − 퐯| = |퐮| − |퐯| − 2|퐮||퐯|푐표푠휃
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 6
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
∝ 훽
훼 훽
훽 = arah vektor hasil penjumlahan
퐮 + 퐯푠푖푛훼 =
퐮sin (훼 − 훽) =
퐯푠푖푛훽
0A = a dan 0B = b adalah vektor – vektor posisi
= 퐴0⃗ + 0퐵⃗
= b - a
퐴퐵⃗ = 퐴0⃗ + 0퐵⃗
9. Arah Suatu Vektor hasil Penjumlahan dan Pengurangan Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan
퐮 퐯 = 퐮 ( )
= 퐯
훽 = arah vektor hasil penjumlahan
Arah Suatu Vektor Pengurangan
10. Vektor Posisi
Jika A = (a1, a2) dan B = (b1, b2), maka:
퐴퐵⃗ = 퐛 − 퐚 =푏ퟏ푏ퟐ
−푎ퟏ푏ퟐ =
푏ퟏ − 푎ퟏ푏ퟐ − 푎ퟐ
11. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bidang dalam Bentuk Vektor dan Koordinat
Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk vector ditentukan oleh rumus:
Jika 0 adalah suatu titik yang diketahui P adalah titik pada ruas garis AB, sehingga AP :
PB = m:n, maka:
0푃⃗ =푛0퐴⃗ + 푛0퐵⃗푚 + 푛 ↔ 퐏 =
푛퐚+ 푚퐛푚 + 푛
o Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB, maka:
0푃⃗ =12 0퐴⃗ + 0퐵⃗ ↔ 퐏 =
12
(퐚 + 퐛)
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 7
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
Pembagian ruas garis dalam bidang dalam bentuk koordinat ditentukan oleh rumus:
o Jika A(x1, y1), B(x2, y2), dan P(xp, yp) terletak pada ruas garis AB, sehingga AP:PB =
m:n, maka:
푥 = dan 푦 =
o Jika titik P titik tengah ruas garis AB, maka:
푥 = (푥 + 푥 ) dan 푦 = (푦 + 푦 )
B. VEKTOR DI R3
1. Sistem Koordinat dalam Ruang
Pada sistem koodinat dalam ruang sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z berpotongan di titik O (0,0) dan saling tegak lurus. Sumbu OX ke kanan, sumbu OY ke belakang, dan sumbu OZ ke atas masing-masing adalah sumbu negative. Posisi titik P (x1, y1, z1) terletak di kuadran pertama, dengan x1 adalah jarak P ke bidang YOZ, y1 adalah jarak P ke bidang XOZ, dan z1 adalah jarak P ke bidang XOY.
2. Vektor Basis dalam Ruang
Vector satuan dalam arah sumbu X disebut i Vector satuan dalam arah sumbu Y disebut j Vector satuan dalam arah sumbu Z disbeut k Tripel i, j, dan k merupakan kumpulan vector basis. Dalam bentuk komponen vector-vector satuan dinyatakan sebagai:
i = 100
, j = 010
, dan k = 001
3. Vektor Baris dan Vektor Kolom
Jika p sebarang vector titik P (x1, y1, z1) dan p = 푂푃⃑ maka p = x1i + y1j + z1k Vector p = x1i + y1j + z1k dapat dinyatakan dalam vector baris, yaitu p = (x1, y1, z1) Vector p = x1i + y1j + z1k dapat dinyatakan dalam vector kolom, yaitu2
p = 푥푦푧
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 8
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
4. Vektor Posisi dari Suatu Titik
Misalkan P Suatu titik dan O adalah titik pusat, maka 푂푃⃑ adalah vector posisi dari titik P
(i) Jika P (xp, yp) maka vector posisi dari titik P adalah 푂푃⃑ = p = 푥푦
(ii) Jika P (xp, yp, zp) maka vector posisi dari titik P adalah 푂푃⃑ = p = 푥푦푧
(iii) 퐴퐵⃑ = 퐴푂 ⃑+ 푂퐵⃑
= 푂퐵⃑ + 푂퐴⃑ = b – a
Jika A (a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3), maka 퐴퐵⃑ = 푏 − 푎푏 − 푎푏 − 푎
5. Kesamaan Vektor
Dua vector u dan v dikatakan sama ditulis u = v, jika benar dan arah kedua vector itu sama.
Misalkan u = 푎푎푎
dan v = 푏푏푏
, maka u = v jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 b3
6. Operasi penjulaman, pengurangan, dan perkalian vector dengan bilangan real
(a) Jika u = 푎푎푎
, v = 푏푏푏
, dan m (bilangan real) atau m scalar, maka
(i) Operasi penjumlahan vector
u + v = 푎푎푎
+ 푏푏푏
= 푎 + 푏푎 + 푏푎 + 푏
(ii) Operasi pengurangan vector
u - v = 푎푎푎
- 푏푏푏
= 푎 − 푏푎 − 푏푎 − 푏
(iii) Operasi Perkalian Vektor dengan Bilangan real (Skalar)
mu = m 푎푎푎
= 푚푎푚푎푚푎
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 9
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
(b) Sifat-sifat Operasi Vektor
Jika u, v, dan w adalah vector; m dan n adalah scalar, maka berlaku sifat-sifat : (i) Komutatif penjumlahan : u + v = v + u
(ii) Asosiatif penjumlahan : (u + v) + w = u + (v + w)
(iii) Komutatif perkalian : mu = um
(iv) Asosiatif perkaliabn (mn) u = m (nu)
(v) Distributif : (m + n) = mu + nu
m (u + v) = mu + mv
7. Hubungan antara Vektor
(a) Jika vector u dan v koliner segaruis maka u = mv atau titik A, B, dan C dikatakan koliner jika
퐴퐵⃑ = 푚 퐵퐶 ⃑, dengan m adalah scalar atau bilangan real.
(b) Vektor u dan v yang bukan vektor nol dan tidak kolinear dikatakan koplanar (sebidang)
dengan vektor w, jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n, sedemikian hingga
w =mu+nv
(c) Jika vektor u, v, dan w bukan vektor nol, tidak kolinear, dan tidak koplanar, maka hanya ada
satu cara untuk menyatakan setup p dalam bentuk lu + mv + nw, dengan 1, m, dan n
bilangan real.
(d) Vektor u, v, dan w yang bukan vektor nol adalah tidak koplanar, jika dan hanya jika
memenuhi syarat “Jika lu + mv + nw = 0, maka l = 0, m = 0, dan n = 0”.
8. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat
(a) Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Sebuah titik P disebut membagi AB di dalam dengan perbandingan m: n, jika AP : PB =m : n, .dengan m > 0 dan n> 0 Sebuah titik P disebut membagi AB di luar dengan perbandingan m: n, jika AP : PB = m :-n dengan m>0 dan n>0. Pada Gambar 1.14(a), AP : PB = 1: 1 dan AP : A B = 1: 2 Pada Gambar 1.14(b), AP : PB = 2: 1 dan A P : AB = 2: 3 Pada Gambar 1.14(c), AP : PB = 2:-I atau -2 : 1 dan AP : AB = 2 : 1 Pada Gambar 1.14(d), AP : PB = -1 : 4 dan AP : AB =-1 : 3
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 10
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
Pada Gambar 1.14(e), AP : PB = m: n dan AP : AB = m : (m + n)
(b) Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Ruang dalam Bentuk Vektor
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n, maka
풑 = 풎풃 풏풂
a vektor posisi titik A(x1, y1, z1) b vektor posisi titik B(x2, y2, z2)
p vektor posisi titik P(xp, yp, zp)
Gambar 1.15
Dalam hal khusus, P sebagai titik tengah dari AB, maka m: n = 1: I dan p= ퟏퟐ(a+b).
(c) Rumus Pembagian dalam Bentuk Koordinat
Bila P(xp, yp, zp) membagi garis yang menghubungkan A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2) dengan perbandingan m: n, maka koordinat P adalah:
푥 =푚푥 + 푛푥푚 + 푛
,푦 = 푚푦 + 푛푦푚 + 푛
푑푎푛 푧 = 푚푧 + 푛푧푚 + 푛
9. Panjang Vektor dalam Ruang
(a) Misalkan vektor u = li + mj + nk atau u = 푙푚푛
, maka :
(i) panjang (besar) vektor u, ditulis |푢| ditentukan oleh rumus |푢| = √푙 + 푚 + 푛
(ii) panjang vektor satuan dari u adalah 1, vektor satuan biasa disebut dengan e tentukan oleh rumus
푒 = | | =√
푙푚푛
(iii) besar sudut-sufut antara u dengan sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z yang dinyatakan dengan , β, dan γ ditentukan dengan rumus kosinus arahnya :
cos훼 = | | =√
cos β =푚|푢| =
푚√푙 + 푚 + 푛
cos γ =푛
|푢| =푚푛
√푙 + 푚 + 푛
(b) Bila A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2), maka 퐴퐵⃑ mewakili vektor 푥 − 푥푦 − 푥푧 − 푧
, maka jarak antara
A dan B adalah :
|퐴퐵|⃑ = (x − x ) + (y − y ) + (z − z )
Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika Sekolah II Page 11
Materi vektor untuk SMA Kelas III 2011
PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR PADA VEKTOR LAIN
Bila a diwakili oleh 푂퐴⃑, b diwakili oleh 푂퐵⃑, θ sudut antara a dan b, A’ adalah proyeksi ortogonal A pada 푂퐵⃑ yang diwakili oleh c, maka:
(i) proyeksi skalar a pada b adalah |푐|yang ditentukan oleh rumus |푐| = .| |
(j) proyeksi vektor a pada b adalah c yang ditentukan oleh rumus |푐| = .| | 푏
Sudut antara vektor-vektor a dan b dapat diketahui:
(i) jika |푐| > 0, maka 0< θ <
(ii) jika |푐| = 0, maka θ =
(iii) jika |푐|< 0, maka < 0 < 휋