Download - Logika bag-3-
![Page 1: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/1.jpg)
LOGIKA MATEMATIKA
BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN
SIMPULAN
![Page 2: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/2.jpg)
HUKUM ALJABAR PROPOSISI
(ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan:
Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel
kebenaran)
Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain
menggunakan tabel kebenaran)
Membuktikan kesahan suatu argumen
![Page 3: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Hukum Idempoten (Idem)
o ( p v p ) p
o ( p p ) p
2. Hukum Assosiatif (As)
( p v q ) v r p v ( q v r )
( p q ) r p ( q r )
3. Hukum Komutatif (Kom)
( p q ) ( q p )
( p v q ) ( q v p )
4. Hukum Distributif (Dist)
( p v q ) r ( p r ) v ( q r )
( p q ) v r ( p v r ) ( q v r )
![Page 4: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/4.jpg)
5. Hukum Identitas (Id)
o p v F p
o p v T T
o p F F
o p T p
6. Hukum Komplemen (Komp)
o p v ~ p T
o p ~ p F
o ~(~ p) p
o ~(T) F dan ~ (F) T
7. Transposisi (trans)
o p q ~ q ~ p
8. Hukum Implikasi (imp)
o p q ~ p v q
![Page 5: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/5.jpg)
9. Hukum Ekivalensi (Eki)
p q ( p q ) ( q p )
p q ( p q ) v ( ~ p ~ q )
10. Hukum Eksportasi (Eks)
o p ( q r ) ( p q ) r
11. Hukum de Morgan (DM)
~ ( p q ) ~ p v ~ q
~ ( p v q ) ~ p ~ q
![Page 6: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/6.jpg)
CONTOH SOAL
1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
menggunakan aturan penggantian.
Penyelesaian:
p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r) (Imp)
≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r) (Dist)
≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (Imp)
Terbukti
![Page 7: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/7.jpg)
2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu
kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian
Penyelesaian:
((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek
(((-p) v (-q)) ⇒(-((-p) v (-q)))) ∧ ((-((-p) v (-q))) ⇒ ((-p) v (-q)))
(eki)
(-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) ∧ (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q)))
(Imp, DM)
((-(-p) ∧ -(-q)) v (-(-p) ∧ -(-q))) ∧ (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q)))
(DM, komp)
((p ∧ q) v (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (komp, idem)
(p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (idem)
((p ∧ q) ∧ (-p)) v ((p ∧ q)∧(-q)) (dist)
(p ∧ (-p) ∧ q) v (p ∧ (q ∧ (-q))) (Kom, Ass)
![Page 8: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/8.jpg)
(F ∧ q) v (p ∧ F) (Komp)
F v F (Komp)
F ( Idem)
Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi
![Page 9: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/9.jpg)
3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturanpenggantian
p ⇒ q
-q / ∴ -p
Penyelesaian
Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu
((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p)
Perhatikan bahwa ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) ek
-((p ⇒ q) ∧ (-q)) v (-p) (Imp)
(-(p ⇒ q) v –(-q)) v (-p) (DM)
(-(p ⇒ q) v q) v (-p) (Komp)
(-(-p v q) v q) v (-p) (Imp)
((-(-p) ∧ (-q)) v q ) v (-p) (DM)
((p ∧ (-q)) v q ) v (-p) (Komp)
((p v q) ∧ ((-q) v q)) v (-p) (Dist)
![Page 10: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/10.jpg)
((p v q) ∧ T ) v (-p) (Komp)
(pv q) v (-p) (ident)
p v (q v (–p)) (Ass)
p v ((-p) v q) (Kom)
(p v (-p)) v q (Ass)
T v q (komp)
T (Ident)
Jadi argumen sah.
![Page 11: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/11.jpg)
ATURAN PENYIMPULAN
1. Modus Ponens (MP)
p ⇒ q
p
∴ q
2. Modus Tollens (MT)
p ⇒ q
-q
∴ -p
3. Silogisme (Sil)
p ⇒ q
q ⇒ r
∴ p ⇒r
![Page 12: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/12.jpg)
4. Distruktif Silogisma (DS)
p v q
-p
∴ q
5. Konstruktif Delema (KD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
p v r
∴ q v s
6. Distruktif Delema (DD)
(p⇒q) ∧ (r⇒s)
-q v -s
∴ -p v -r
![Page 13: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/13.jpg)
7. Simplifikasi (Simp)
p ∧ q
∴ p
8. Adisi (Ad)
p
∴ p v q
9. Konjungsi (Konj)
p
q
∴ p ∧ q
![Page 14: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/14.jpg)
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan
penyimpulan
1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Penyelesaian:
1. a b
2. c d
3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
4. (a b ) ( c d ) 1,2 Conj
5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl
6.~ a v ~c 4,5 DD
(Argumen sah)
![Page 15: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/15.jpg)
ATURAN BUKTI BERSYARAT (ABB)
Catatan
1. ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen
merupakan implikasi
2. Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik
antiseden dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan) dan konsekuennya menjadi
konklusi argumen
![Page 16: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/16.jpg)
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB
1. (a v b) ⇒ (c ∧ d)
2. (d v e) ⇒ f / ∴ a ⇒ f
3. a / ∴ f (asumsi)
4. a v b (3 Ad)
5. (c ∧ d) (1,4 MP)
6. d (5 simp)
7. d v e (6 ad)
8. f (2,7 MP)
9. a ⇒ f 3 s.d 8 ABB
![Page 17: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/17.jpg)
BUKTI TAK LANGSUNG
Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru
(premis tambahan)
Dengan menggunakan aturan penyimpulan dan hukum
penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi
Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan
prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma
![Page 18: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/18.jpg)
CONTOH SOAL
Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan BTL
1. a v (b ∧ c)
2. a⇒ c / ∴ c
3. -c (asumsi)
4. -a (2,3 MT)
5. -a v b ( 4 Ad)
6. a ⇒ b (5 Imp)
7. (a v b) ∧ (a v c) ( 1 Dist)
8. a v c (7 Simp)
9. c v a (8 Kom)
10. -c ⇒ a ( 9 imp)
11. a (10,3 MP)
![Page 19: Logika bag-3-](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022071700/55979e721a28abd8488b4781/html5/thumbnails/19.jpg)
12. a ∧ -a (11,4 Konj)
13. a v c ( 11 Ad)
14. c ( 13,4 DS)