Download - Handout Matdas Pet
1
BAB I
SISTEM BILANGAN REAL DAN PERTIDAKSAMAAN
I.1 Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan real merupakan sistem bilangan yang memuat seluruh bilangan
rasional maupun bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat
dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat dengan penyebutnya tidak nol. Dengan
demikian, semua bilangan bulat termasuk bilangan rasional. Bilangan irrasional adalah
bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat. Sebagai
contoh, 2 dan 5 merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, sistem bilangan real
memuat semua bilangan yang terletak pada garis bilangan (seperti yang sudah kita kenal
sejak kita di sekolah dasar). Sistem bilangan real selanjutnya dinotasikan dengan simbol ℜ
dan notasi a∈ℜ menyatakan bahwa bilangan a merupakan bilangan real.
Seperti sudah kita ketahui, setiap dua bilangan real selalu dapat dijumlahkan dan
dikalikan dan hasilnya juga berupa bilangan real. Terhadap dua operasi ini, sistem bilangan
real mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
Untuk setiap , ,a b c∈ℜ berlaku sifat :
I. Terhadap operasi penjumlahan ”+”
1. ( ) ( )a b c a b c+ + = + + (sifat assosiatif )
2. a b b c+ = + (sifat komutatif)
3. 0 0a a a+ = + = ( 0 sebagai elemen netral terhadap operasi penjumlahan ”+”)
4. ( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = ( a− merupakan invers penjumlahan a )
II. Terhadap operasi perkalian ”.”
1. ( . ). .( . )a b c a b c= (sifat assosiatif)
2. . .a b b a= (sifat komutatif)
3. .1 1.a a a= = ( 1 sebagai elemen netral terhadap operasi perkalian ”.”)
4. Jika 0a ≠ maka 1a
ada dan 1 1. . 1a aa a= = ( 1
a merupakan invers perkalian a )
III. Terhadap operasi penjumlahan ”+” dan perkalian ”.”
1. .( ) ( . ) ( . )a b c a b a c+ = + (sifat distributif kiri)
2. ( ). ( . ) ( . )a b c a c b c+ = + (sifat distributif kanan)
2
Selanjutnya, untuk memudahkan penulisan, .a b cukup ditulis dengan ab dan untuk
kesepakatan, operasi perkalian lebih kuat dibandingkan dengan operasi penjumlahan. Hal
ini berarti bahwa,
.( ) ( . ) ( . )a b c a b a c+ = +
mempunyai arti yang sama dengan
( )a b c ab ac+ = + .
Selain sifat-sifat di atas, juga perlu dikenalkan penulisan yang berlaku pada sistem
bilangan real.
1. suku
.........n
na a a= + +
2. 1.a ab b=
3. faktor
..........n
n
a a a=
Sifat-sifat lain yang berlaku di dalam sistem bilangan real :
I. 1. ( 1)a a− = −
2. ( ) ( )a b a b ab− = − = −
3. ( )( )a b ab− − = −
4. ( )a a− − =
II. 1. 0 0, untuk setiap 0aa= ≠
2. tidak terdefinisikan0a
3. 1, untuk setiap 0a aa= ≠
4. a c ad bcb d bd
++ = asalkan , 0b d ≠ .
5. . asalkan , 0a c ac b db d bd
= ≠
6. jika , 0 maka ac ab cbc b
≠ =
III. 1. m n m na a a +=
3
2. ( )m n mna a=
3. 1mma
a− =
IV. Jika dan 0 maka ac bc c a b= ≠ =
Relasi Urutan di dalam Sistem Bilangan Real dan Sifat-Sifatnya
Bilangan real dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok bilangan positif (>0),
negatif (<0) dan nol (0). Bilangan real a dikatakan kurang dari b ( a b< ) jika a b− negatif
atau dengan kata lain b a− positif.
NOTASI :
a b< : a kurang dari b ( b lebih dari a )
a b≤ : a kurang dari atau sama dengan b ( b lebih besar atau sama dengan a)
a b≥ : a lebih dari atau sama dengan b
Sifat relasi urutan :
Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku :
1. Jika a b≤ maka a c b c+ ≤ +
2. Jika dan maka a b b c a c≤ ≤ ≤
3. a. Jika a b≤ dan 0c > maka ac bc≤
b. Jika a b≤ dan 0c < maka ac bc≥
4. a. Jika 0a > maka 1 0a>
b. Jika 0 a b< ≤ maka 1 1b a≤
5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu :
, atau a b a b a b< = >
6. Jika , 0a b ≥ maka
2 2a b a b a b≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Notasi:
Himpunan semua bilangan real antara a dan b ditulis dengan notasi :
{ | }x a x b∈ℜ < < atau ( , )a b
4
Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk b ditulis dengan notasi :
{ | }x a x b∈ℜ < ≤ atau ( , ]a b
Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk a ditulis dengan notasi :
{ | }x a x b∈ℜ ≤ < atau [ , )a b
Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk a dan b ditulis dengan notasi :
{ | }x a x b∈ℜ ≤ ≤ atau [ , ]a b
Himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a ditulis dengan notasi :
{ | }x x a∈ℜ > atau ( , )a ∞
Himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a ditulis dengan notasi
{ | }x x a∈ℜ ≥ atau [ , )a ∞
Himpunan semua bilangan real yang lebih kecil dari a ditulis dengan notasi :
{ | }x x a∈ℜ < atau ( , )a−∞
Himpunan semua bilangan real yang lebih kecil atau sama dengan a ditulis dengan notasi :
{ | }x x a∈ℜ ≤ atau ( , ]a−∞
Himpunan yang tidak mempunyai anggota (disebut himpunan kosong) dinotasikan dengan
{ } atau ∅
Catatan :
Tanda ”∞ ” dibaca ”tak berhingga” (Bilangan ∞ tidak termasuk dalam bilangan real)
I.2 Pertidaksamaan
Berikut ini adalah contoh pertidaksamaan :
1. 2 5 9x + <
2. 23 1 3x x+ ≥ +
3. 3 3 1 7x< − + ≤
4. 12x x< +
5. 21
xx
<+
Secara umum pertidaksamaan memuat variabel ( , , ...x y z dan seterusnya ) dan tanda
, , atau≤ ≥ < > .
5
Penyelesaian pertidaksamaan
Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah himpunan semua bilangan real yang
memenuhi pertidaksamaan. Penyelesaian pertidaksamaan dapat dicari dengan
menggunakan sifat-sifat bilangan real.
Contoh :
1. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 5 9x + <
2 5 92 5 ( 5) 9 ( 5)2 41 1.2 .42 2
2
xxx
x
x
+ <+ + − < + −<
<
<
Himpunan penyelesaian (HP) : { | 2}x x∈ℜ <
2. Penyelesaian dari pertidaksamaan 23 1 3x x+ ≥ +
2
2
2
2
2
3 1 33 1 33 1 33 1 3 3 33 2 0(3 2)( 1) 0
x xx x x xx xx xx xx x
+ ≥ +
+ − ≥ + −
− + ≥
− + − ≥ −
− − ≥+ − ≥
Perhatikan bahwa (3 2)( 1) 0x x+ − ≥ akan dipenuhi jika 3 2x + dan 1x − keduanya
bernilai 0≥ atau keduanya bernilai 0≤ .
Perhatikan pula bahwa 3 2x + akan bernilai nol jika 23
x = − . Jika 23
x > − maka 3 2x +
bernilai positif dan jika 23
x < − maka 3 2x + bernilai negatif.
Lebih lanjut, 1x − akan bernilai nol untuk 1x = . Jika 1x > maka 1x − bernilai positif
dan jika 1x < maka 1x − bernilai negatif.
Berdasarkan keterangan di atas kita dapat merangkum dalam garis bilangan sebagai
berikut :
6
Dari garis bilangan ketiga terlihat bahwa (3 2)( 1)x x+ + bernilai positif untuk nilai-nilai x
yang kurang dari 23
− ( 23
x < − ) atau untuk nilai-nilai x yang lebih dari 1 ( 1x > ). Untuk
23
x = − dan 1x = , (3 2)( 1)x x+ + bernilai 0. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan
23 1 3x x+ ≥ + adalah :
HP = 2{ | atau 1}3
x x x∈ℜ ≤ − ≥
Penyelesaian pertidaksamaan 3, 4 dan 5 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan !
I.3 Harga Mutlak
Harga mutlak dari bilangan real x (dinotasikan dengan |x| ) didefinisikan sebagai berikut :
2 jika 0| |
jika 0x x
x xx x
≥⎧= = ⎨− <⎩
Dari definisi terlihat bahwa nilai |x| menjalani nilai positif atau nol.
Sifat harga mutlak:
Jika 0a > maka :
a. | |x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤
b. | | ataux a x a x a≥ ⇔ ≤ − ≥
23−
1
23− 1
+ + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +
3 2x +
1x +
(3 2)( 1)x x+ + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +
7
Latihan soal :
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :
1. 3 2 0x x x+ + ≤
2. 12 3
xx
<+
3. 2 5 01
xx+
>+
4. 2 3 6 54
x x+≤ −
5. | 6 | 9x + <
6. | 2 | | 5 2 |x x− > −
7. | 2 1|x x+ ≤
8
BAB II
FUNGSI
II.1 Sistem Koordinat
Sistem koordinat digunakan untuk menentukan posisi suatu titik di dalam ruang.
Pada pembahasan di dalam matematika dasar ini hanya dikhususkan pada ruang dimensi 2
dan sistem koordinat yang dipakai adalah sistem koordinat kartesius. Pada sistem koordinat
kartesius, terdapat dua sumbu (garis) acuan yaitu sumbu X (horisontal) dan sumbu Y
(vertikal) yang keduanya saling tegak lurus dan berpotongan di titik O sebagai titik origin.
Posisi suatu titik A dinyatakan dengan pasangan berurutan ( , )x y dengan | |x menyatakan
jarak titik A terhadap sumbu Y dan | |y menyatakan jarak titik A terhadap sumbu X. Titik
origin O dinyatakan dengan O(0,0). Sebarang titik di sumbu X dinyatakan dalam bentuk
( ,0)x dan sebarang titik di sumbu Y dinyatakan dalam bentuk (0, )y . Jika x bernilai
positif berarti titik A terletak di sebelah kanan sumbu Y dan jika x bernilai negatif maka
titik A terletak di sebelah kiri sumbu Y. Jika y bernilai positif berarti titik A terletak di
atas sumbu X dan jika y bernilai negatif berarti titik A terletak di bawah sumbu X. Posisi
di sebelah kanan sumbu Y dan di atas sumbu X disebut kuadaran I, posisi di sebelah kiri
sumbu Y dan di atas sumbu X disebut kuadran II, posisi di sebelah kiri sumbu Y dan di
bawah sumbu X disebut kuadaran III dan posisi di sebelah kanan sumbu Y dan di bawah
sumbu X disebut kuadaran IV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut :
X titik O
kuadran I
kuadran III
kuadran II
kuadran IV
Y
9
II.2 Fungsi
Yang dimaksud dengan fungsi (pemetaan) f dari himpunan A ke himpunan B
adalah relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
B . Selanjutnya, fungsi f dari A ke B dinotasikan dengan
:f A B→ .
Himpunan A dan B berturut-turut disebut domain dan kodomain fungsi f .
Domain fungsi f dinotasikan dengan fD . Jika tidak ada pembatasan domain suatu
fungsi, maka domain dari fungsi tersebut adalah daerah terbesar di mana fungsi masih bisa
terdefinisikan.
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut daerah hasil
dari f (range fungsi f ) dan dinotasikan dengan fR . Jadi,
{ ( ) | }f fR f x x D= ∈
Untuk memperjelas keterangan di atas, perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh :
1. Diberikan {1, 2,3}A = dan { , , }B a b c= . Relasi f dengan pengawanan sebagai
berikut :
merupakan fungsi. Daerah hasil f adalah { , }fR a c= . Mengapa ?
1
2
3
b
a
c
f
10
2. Diberikan {1, 2,3}A = dan { , , }B a b c= . Relasi f dengan pengawanan sebagai
berikut
bukan fungsi. Mengapa ?
3. Diberikan (0,5)A = dan B = ℜ . Relasi f dari A ke B dengan pengawanan
sebagai berikut : 2( ) 2x f x x→ =
merupakan fungsi. Daerah hasilnya adalah { | 0 50}fR x x= ∈ℜ < < . Mengapa ?
4. Diberikan (0,5)A = dan B = ℜ . Relasi f dari A ke B dengan pengawanan
sebagai berikut :
( )x f x→ sedemikian sehingga 2( ( ))f x x=
bukan merupakan fungsi. Mengapa ?
5. Pengawanan f dari himpunan A ke himpunan B dengan definisi
( ) 1x f x x→ = −
merupakan fungsi dengan domain { | 1}fD x x= ∈ℜ ≥ dan daerah hasil
{ | 0}fR x x= ∈ℜ ≥ . Mengapa ?
Fungsi injektif, fungsi surjektif dan fungsi bijektif
Diberikan fungsi :f A B→ .
1. Jika setiap anggota B mempunyai kawan di A maka f disebut fungsi surjektif
(onto).
1
2
3
b
a
c
f
11
2. Jika setiap anggota di daerah hasil f di B mempunyai kawan yang tunggal di A
maka f disebut fungsi injektif (1-1).
3. Jika setiap anggota B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi
bijektif (korespondensi 1-1).
Operasi Fungsi
Diberikan sebarang bilangan real k dan dua fungsi f dan g. Jumlahan f g+ , selisih f g− ,
hasil kali skalar k f , hasil kali .f g dan hasil bagi /f g berturut-turut didefinisikan
sebagai berikut :
1. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +
2. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −
3. ( )( ) ( )k f x k f x=
4. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x=
5. ( )( / )( )( )
f xf g xg x
= asalkan ( ) 0g x ≠
Domain masing-masing fungsi pada poin 1 sampai dengan poin 4 di atas sama dengan
irisan domain f dan domain g yaitu :
.f g f g kf f g f gD D D D D D+ −= = = = ∩
sedangkan
/ ( ) { | ( ) 0}f g f gD D D x g x= ∩ − =
Fungsi Invers
Diberikan fungsi :f A B→ yang merupakan fungsi bijektif. Fungsi invers dari f
(dinotasikan dengan 1f − ) adalah fungsi bijektif kebalikan f yang memetakan dari B ke A
atau 1 :f B A− → . Dengan kata lain, domain dari fungsi invers 1 :f B A− → adalah daerah
hasil (range) fungsi :f A B→ . Sebaliknya, domain fungsi :f A B→ adalah daerah hasil
(range) fungsi 1 :f B A− → .
Sebagai catatan, terkadang kita harus membatasi domain suatu fungsi agar fungsi
tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers.
12
Contoh : (Tentukan domain masing-masing fungsi sebagai latihan)
1. Fungsi :f ℜ→ℜ dengan 1( )2
xf x −= merupakan fungsi bijektif. Fungsi 1 :f − ℜ→ℜ
dengan 1( ) 2 1f x x− = + merupakan fungsi invers f .
2. Fungsi invers 2( )y f x x= = adalah fungsi 1( )y f x x−= =
3. Fungsi invers 1( )2 3xy f xx+
= =+
adalah fungsi 1 1 3( )1 2
xy f xy
− −= =
− +
4. Fungsi invers ( ) 2xy f x= = adalah fungsi 1 2( ) logy f x x−= =
5. Fungsi invers ( ) siny f x x= = adalah fungsi 1( ) arcsiny f x x−= =
Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi dari dua fungsi f dan g (dinotasikan dengan f g ) didefinisikan sebagai
berikut :
( )( ) ( ( ))f g x f g x=
dengan domain f g adalah { | ( ) }f g fD x g x D= ∈ℜ ∈ .
Contoh :
Diberikan fungsi f dengan ( )f x x= dan fungsi g dengan ( ) 2 1g x x= + . Komposisi
f g adalah ( )( ) ( ( )) ( ) 2 1f g x f g x g x x= = = + dengan
{ | ( ) 0}
{ | 2 1 0}{ | 2 1}
1{ | }2
f gD x g x
x xx x
x x
= ∈ℜ ≥
= ∈ℜ + ≥= ∈ℜ ≥ −
= ∈ℜ ≥ −
Perhatikan bahwa jika suatu fungsi f dikomposisikan dengan fungsi inversnya yaitu 1f − maka diperoleh :
1 1( )( ) ( )( )f f x f f x x− −= =
Dengan kata lain 1 1f f f f− −= merupakan fungsi identitas yang memetakan x ke
dirinya sendiri.
13
II.3 Grafik Fungsi
Grafik fungsi f adalah kumpulan titik-titik ( , )x y dengan ( )y f x= untuk seluruh x
di dalam domain f. Jadi, grafik fungsi f adalah himpunan
{( , ( )) | }fx f x x D∈
Perhatikan bahwa titik ( , )x y berada di grafik fungsi f jika dan hanya jika ( )y f x= .
Contoh :
Titik (1,2) berada di grafik fungsi f dengan 2( ) 1y f x x= = + sebab 22 1 1= + . Sementara
titik (- 4,10) tidak berada di grafik fungsi f sebab 2( 4) 1 17 10− + = ≠ .
Secara visual, grafik fungsi f dapat dinyatakan sebagai berikut :
Macam-Macam Fungsi dan Grafiknya
I Fungsi polinomial (suku banyak)
Yang dimaksud dengan fungsi suku banyak berderajat n adalah fungsi dengan
bentuk : 2
0 1 2( ) ... , 0nn ny f x a a x a x a x a= = + + + + ≠
Jika 1n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi linear.
Jika 2n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi kuadrat.
Jika 3n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi pangkat tiga
1. Fungsi linear
Secara umum, fungsi linear mempunyai persamaan :
( )y f x mx c= = +
X
Y
( )y f x=
0x
0 0( )y f x= 0 0( , ( ))x f x
14
dan mempunyai grafik yang berupa garis lurus dengan kemiringan (gradien) m.
Dalam hal 0m = , fungsi linear menjadi berbentuk ( )y f x c= = dan disebut fungsi
konstan. Grafik fungsi konstan ini sejajar dengan sumbu X.
Jika diketahui suatu garis lurus mempunyai gradien m dan melalui titik 0 0( , )x y
maka persamaan fungsi linear garis tersebut adalah :
Garis lurus yang melalui dua titik 0 0( , )x y dan 1 1( , )x y mempunyai gradien :
Dengan demikian, dengan diketahuinya dua titik yang dilalui, persamaan suatu garis selalu
bisa dicari.
Jika diberikan dua garis 1l dan 2l dengan gradien berturut-turut 1m dan 2m maka:
1. 1l sejajar dengan 2l jika dan hanya jika 1 2m m=
2. 1l tegak lurus 2l jika dan hanya jika 1 2. 1m m = −
Contoh :
Grafik berikut adalah grafik fungsi: 32( ) 1, ( ) dan ( )y f x x y f x x y f x x= = + = = + = = −
3l
2l
1l
1 2 31 2
1 1,m m mm m
= = − = −
0 0( )y y m x x− = −
1 0 0 1
1 0 0 1
y y y ymx x x x− −
= =− −
15
-1 -0.5 0.5 1X
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
Y
2. Fungsi Kuadrat
Secara umum, fungsi kuadrat mempunyai persamaan : 2( ) , 0y f x ax bx c a= = + + ≠
dan grafik berupa parabola. Grafik fungsi kuadrat akan memotong sumbu X jika fungsi
kuadrat 2( )y f x ax bx c= = + + mempunyai akar atau terdapat nilai 1x dan 2x ( 1x dan 2x
boleh sama) sehingga 1 2( ) ( ) 0f x f x= = . Jika 1x dan 2x tersebut ada (real) maka 1x dan
2x disebut akar-akar (real) dari 2( )y f x ax bx c= = + + . Akar-akar tersebut dapat dicari
dengan cara memfaktorkan yaitu 2( )y f x ax bx c= = + + diubah menjadi berbentuk :
16
1 1 2 2( )( )a x b a x b+ +
Jadi, pemfaktoran 2( )y f x ax bx c= = + + ke bentuk 1 1 2 2( )( )a x b a x b+ + harus memenuhi :
1. 1 2a a a=
2. 1 2 2 1a b a b b+ =
3. 1 2b b c=
Selain dengan cara memfaktorkan, rumus ”ABC” juga bisa digunakan untuk mencari akar-
akar suatu persamaan kuadrat. Ingat kembali rumus ”ABC” berikut : 2
1,24
2b b acx
a− ± −
=
Dengan melihat rumus di atas, dapat dimengerti bahwa :
1. Jika 2 4 0b ac− = maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar (real) yang sama
sehingga grafik parabola menyinggung sumbu X di tepat satu titik 1 2x x= .
2. Jika 2 4 0b ac− > maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar (real) yang
berbeda sehingga grafik parabola memotong sumbu X di dua titik 1x dan 2x .
3. Jika 2 4 0b ac− < maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar (real) sehingga
grafik parabola tidak memotong sumbu X. Jadi, parabola berada di atas sumbu X
(fungsi f merupakan fungsi definit positif) atau di bawah sumbu X (fungsi f
merupakan fungsi definit negatif).
Perhatikan pula bahwa grafik parabola akan menghadap ke atas jika 0a > dan akan
menghadap ke bawah jika 0a < . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh:
Grafik berikut adalah grafik fungsi: 2 2 2( ) 2 , ( ) 5 10 dan ( ) 10y f x x y f x x y f x x= = = = + = = −
17
-4 -2 2 4X
-10
10
20
30
40
50
60
Y
Grafik berikut adalah grafik fungsi: 2 2 2( ) 2 , ( ) 5 10 dan ( ) 10y f x x y f x x y f x x= = − = = − + = = − −
-4 -2 2 4X
-60
-40
-20
Y
3. Fungsi Pangkat Tiga
Secara umum, fungsi pangkat tiga mempunyai persamaan : 3 2( ) , 0y f x ax bx cx d a= = + + + ≠
Berikut adalah grafik fungsi 3 2( ) 2 1y f x x x= = + + dan 3( )y f x x= =
-2 -1 1 2X
-2
2
4
Y
18
II. Fungsi Pecah Rasional
Fungsi pecah rasional yang dibahas di sini adalah fungsi pecah rasional sederhana
dengan bentuk ( ) ax by f xcx d
+= =
+.
Grafik fungsi pecah rasional paling sederhana 1yx
= diperlihatkan pada gambar berikut :
-10 -5 5 10X
-10
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
Y
Grafik fungsi pecah rasional 2 31
xyx+
=−
diperlihatkan pada gambar berikut :
-10 -5 5 10X
-40
-20
20
40
Y
III. Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial secara umum mempunyai persamaan :
( ) , 0, 1xy f x a a a= = > ≠ .
Grafik fungsi eksponensial ( ) 2xy f x= = diperlihatkan pada gambar berikut:
19
-3 -2 -1 1 2 3X
2
4
6
8
Y
IV. Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma secara umum mempunyai persamaan :
( ) log , 0, 1ay f x x a a= = > ≠ .
Fungsi logaritma merupakan invers fungsi eksponensial. Ingat kembali bahwa logay x=
berarti yx a= .
Grafik fungsi logaritma 3( ) logy f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :
5 10 15 20 25X
-6
-4
-2
2
Y
V. Fungsi Trigonometri
Ingat kembali bahwa fungsi trigonometri menggambarkan perbandingan sisi-sisi
segitiga siku-siku (perhatikan gambar di bawah).
20
1. Fungsi sinus ( ) siny f x x= =
Perhatikan grafik fungsi ( ) siny f x x= = dan ( ) 2siny f x x= = berikut:
1 2 3 4 5 6X
-2
-1
1
2
Y
Di bawah ini adalah grafik fungsi ( ) siny f x x= = dan ( ) sin 2y f x x= =
1 2 3 4 5 6X
-1
-0.5
0.5
1
Y
X
Y
θ
x
y r
2 2 2
sin
cos
tan
r x yyrxryx
θ
θ
θ
= +
=
=
=
21
2. Fungsi cosinus ( ) cosy f x x= =
Grafik fungsi ( ) cosy f x x= = dan cos( )2
y x π= + diperlihatkan pada gambar berikut :
1 2 3 4 5 6X
-1
-0.5
0.5
1
Y
Berikut grafik fungsi ( ) cosy f x x= = dan cos( )y x= −
1 2 3 4 5 6X
-1
-0.5
0.5
1
Y
3. Fungsi tangen ( ) tany f x x= =
Grafik fungsi ( ) tany f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :
-3 -2 -1 1 2 3X
-40
-20
20
40
Y
22
Hubungan antar fungsi trigonometri : 2 21.sin cos 1x x+ =
2.sin 2 2sin cosx x x= 2 2
2
2
3.cos 2 cos sin2cos 11 2sin
x x xx
x
= −
= −
= −
14.seccos
xx
=
15.cossin
ec xx
=
16.cottan
g xx
=
2 27.1 tan secx x+ =
VI. Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri merupakan fungsi invers fungsi trigonometri. Yang termasuk
fungsi siklometri di antaranya adalah :
1. Fungsi arcsin ( ) arcsin( )y f x x= = (berarti sinx y= )
Grafik fungsi ( ) arcsin( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut
-1 -0.5 0.5 1X
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Y
23
2. Fungsi arccos ( ) arccos( )y f x x= = (berarti cosx y= )
Grafik fungsi ( ) arccos( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :
-1 -0.5 0.5 1X
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Y
3. Fungsi arctan ( ) arctan( )y f x x= = (berarti tanx y= )
Grafik fungsi ( ) arctan( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :
-3 -2 -1 1 2 3X
-1
-0.5
0.5
1
Y
24
BAB III
LIMIT DAN KEKONTINUAN
III.1. Limit
Jika diberikan fungsi ( ) 3y f x x= = maka untuk nilai-nilai x tertentu nilai
( ) 3y f x x= = dapat kita lihat pada tabel berikut :
x ( ) 3y f x x= =
0,80 2,4
0,85 2,55
0,9 2,7
0,95 2,85
0,99 2,97
0,9999 2,9997
1 3
1,0001 3,0003
1,001 3,003
Perhatikan bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, nilai 3x semakin dekat ke 3 atau
ditulis
1lim3 3x
x→
=
Perhatikan fungsi sin( ) xy f xx
= = dan grafiknya berikut ini :
-6 -4 -2 2 4 6X
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
25
Untuk 0x = nilai sin xx
tidak terdefinisi sebab 00
tidak terdefinisi. Akan tetapi untuk
nilai-nilai x yang dekat dengan 0, terlihat bahwa nilai sin xx
dekat dengan 1. Dalam hal ini
dikatakan bahwa nilai sin xx
dekat dengan 1 untuk nilai x yang dekat dengan 0 atau ditulis
0
sinlim 1x
xx→
= .
Secara umum, keadaan di mana jika nilai x yang dekat dengan c berakibat nilai
( )f x dekat dengan L ditulis dengan :
lim ( )x c
f x L→
= .
Secara matematis, lim ( )x c
f x L→
= jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan 0ε >
terdapat bilangan 0δ > sehingga untuk | |x c δ− < berakibat | ( ) |f x L ε− < .
Sifat-sifat limit:
Jika lim ( )x c
f x L→
= dan lim ( )x c
g x M→
= maka :
1. lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x L M→ → →
+ = + = +
2. lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x L M→ → →
− = − = −
3. lim ( ) lim ( )x c x c
k f x k f x kL→ →
= =
4. lim( ( ). ( )) lim ( ).lim ( ) .x c x c x c
f x g x f x g x L M→ → →
= =
5. lim ( )( )lim , asalkan 0
( ) lim ( )x c
x cx c
f xf x L Mg x g x M
→
→→
= = ≠
6. ( )lim( ( )) lim ( ) , asalkan untuk 0, 0 n
n n
x c x cf x f x L n L
→ →= = < ≠
Limit kiri dan limit kanan.
Perhatikan gambar berikut :
26
-1 -0.5 0.5 1X
-1
-0.5
0.5
1
Y
Dari grafik fungsi | |( ) xy f xx
= = di atas terlihat bahwa untuk nilai x yang dekat
dengan 0 dan lebih dari 0 (ditulis 0x +→ ), nilai | |( ) xy f xx
= = sama dengan 1. Akan
tetapi untuk nilai x yang dekat dengan 0 dan kurang dari 0 (ditulis 0x −→ ) nilai
| |( ) xy f xx
= = sama dengan -1. Jadi limit kiri 0
lim ( ) 1x
f x+→
= tidak sama dengan limit kanan
0lim ( ) 1x
f x−→
= − . Dalam hal ini dikatakan bahwa 0
lim ( )x
f x→
tidak ada. Limit fungsi
0lim ( )x
f x→
juga dikatakan tidak ada jika nilai 0
lim ( ) ( )x
f x→
= ∞ −∞ .
Secara umum,
Metode menghitung limit
1. Limit fungsi berbentuk fungsi pecah rasional di x c→
Jika 0 1
0 1
...( )...
nn
mm
a a x a xy f xb b x b x+ + +
= =+ + +
maka
0 1 0 10 1
0 1 0 1
... ...lim , asalkan ... 0... ...
n nmn n
mm mx cm m
a a x a x a a c a c b b c b cb b x b x b b c b c→
+ + + + + += + + + ≠
+ + + + + +
Jika 0 1 ... 0mmb b c b c+ + + = (yang berarti 0 1 ... ( )( )m l
mb b x b x b x x c+ + + = − ) maka :
lim ( )x c
f x+→
disebut limit kanan di x c=
dan
lim ( )x c
f x−→
disebut limit kiri di x c=
Dalam hal lim ( ) lim ( )x c x c
f x f x L+ −→ →
= = maka dikatakan lim ( )x c
f x→
ada dan lim ( )x c
f x L→
=
27
a. Jika 0 1 ... 0nna a c a c+ + + = maka berarti 0 1 ... n
na a x a x+ + + dapat
difaktorkan menjadi
0 1 ... ( )( )n kna a x a x a x x c+ + + = −
untuk suatu polinomial ( )a x sehingga diperoleh :
0 1
0 1
... ( )( )( )... ( )( )
n kn
m lm
a a x a x a x x cy f xb b x b x b x x c+ + + −
= = =+ + + −
sehingga
0 1
0 1
... ( )lim... ( )
nn
mx cm
a a x a x a xb b x b x b x→
+ + +=
+ + +untuk k l= .
b. Jika 0 1 ... 0nna a c a c+ + + ≠ maka
0 1
0 1
...lim...
nn
mx cm
a a x a xb b x b x→
+ + += ±∞
+ + +
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini :
Contoh : 3 2 2 2
22 2 2
2x 4 2 (2 1)( 2) (2 1) 9lim lim lim3 10 ( 5)( 2) ( 5) 7x x x
x x x x xx x x x x→ → →
− + − + − += = =
+ − + − +.
Catatan : 2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +
2. Limit fungsi berbentuk fungsi pecah rasional di x →∞
Perhatikan bahwa 1lim 0, bilangan positifnxn
x→∞= . Dengan mengingat fakta
tersebut dan dengan mengalikan 0 1
0 1
...( )...
nn
mm
a a x a xy f xb b x b x+ + +
= =+ + +
dengan 1/1/
k
k
xx
,
maks{ , }k m n= diperoleh :
Jika 0 1
0 1
...( )...
nn
mm
a a x a xy f xb b x b x+ + +
= =+ + +
maka
28
0 1
0 1
/ jika ...lim 0 jika ...
jika
n mnn
mxm
a b m na a x a x m nb b x b x
m n→∞
=⎧+ + + ⎪= >⎨+ + + ⎪∞ <⎩
Contoh : 2
2
2 2lim3 5 3x
xx x→∞
−=
− + +
Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsi 2
2
2( )3 5
xy f xx x
= =− + +
berikut :
-100 -50 50 100X
-0.85
-0.75
-0.7
-0.65
-0.6
-0.55
Y
3. Limit Fungsi Trigonometri
Berikut diberikan 2 limit trigonometri :
a. 0 0
sinlim lim 1sinx x
x xx x→ →
= =
b. 0 0
tanlim lim 1tanx x
x xx x→ →
= =
Perhatikan gambar fungsi ( )sin
xy f xx
= = berikut :
-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75X
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
Y
29
Perhatikan pula gambar fungsi tan( ) xy f xx
= = dan ( )tan
xy f xx
= =
-3 -2 -1 1 2 3X
-20
-10
10
20
Y
dan
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
Dengan menggunakan dua limit tersebut, dapat kita hitung limit trigonometri yang lain.
Contoh :
0 0
0
0 0 0
sin 3 sin 3 3 21.lim lim . .tan 2 tan 2 3 2
sin 3 2 3lim . .3 tan 2 2
sin 3 2 3lim .lim .lim3 tan 2 2
3 31.1.2 2
x x
x
x x x
x x x xx x x x
x x xx x x
x x xx x x
→ →
→
→ → →
=
=
=
= =
30
2 2
2
2
2 2
2
2
02
2
02
2.lim limcos sin( )
limsin( ( ))
limsin( )
1
x x
x
x
x xx x
xx
xx
π π
π
π
π π
π
π
π
π
π
→ →
− →
− →
− −=
−−
=− −−
=− −
= −
4. Limit Bilangan Alam
Bilangan alam 2,71828...e ≈ dapat diperoleh dengan menggunakan limit berikut ini : 1
0lim(1 ) x
xx e
→+ =
Dengan melihat bentuk limit di atas, mudah dimengerti bahwa : 1
0
1
1
lim(1 )
lim(1 )
lim (1 )
x
xx
xx
xx
x
x e
e
e
−
→
→∞
−
→−∞
− =
+ =
− =
Perhatikan grafik fungsi 1
( ) (1 ) xy f x x= = + berikut ini :
2 4 6 8 10X
1.5
2.5
3
3.5
4
Y
Terlihat bahwa untuk nilai x yang dekat dengan 0 nilai 1
( ) (1 ) xy f x x= = + dekat ke
bilangan e.
Contoh : 2 2
2 2
12
2 2
.2
2 0
1.lim( 1) lim(1 ( 2))
lim (1 ( 2))
x x
x
x x
x
x x
x
− −
−
→ →
− →
− = + −
= + −
31
( )
1 12
1
.2 .2
2 0 02
0
2
misalkan : 2 maka
lim (1 ( 2)) lim(1 )
lim(1 )
x u
u
x u
u
x u
x u
u
e
−
− → →
→
− =
+ − = +
= +
=
Secara umum,
Pada contoh limit 2 2
2 2
2 2lim( 1) lim(1 ( 2))x x
x xx x− −
→ →− = + − di atas, kita dapat misalkan
( ) 2f x x= − dan 2( )2
g xx
=−
sehingga
2 2
2lim ( ) ( ) lim( 2). 22x x
f x g x xx→ →
= − =−
sehingga 2
2lim ( ) ( ) 2
2lim( 1) x x c
f x g x
xx e e− →
→− = = .
0
12.limx
x
ax→
−
Misalkan 1xa y− = maka 1xa y= + sehingga log(1 )ax y= + . Lebih lanjut, untuk 0x →
juga diperoleh : 01 1 0xy a a= − → − = . Jadi,
0 0 0
0
1 1lim lim limlog(1 ) log(1 )
11lim log(1 )
x
a ax y y
a
y
a yx y y
y
yy
→ → →
→
−= =
+ +
=+
Jika lim ( ) 0x c
f x→
= dan lim ( ) (atau - )x c
g x→
= ∞ ∞ maka :
( )lim ( ) ( )( )lim 1 ( ) x c
f x g xg x
x cf x e →
→+ =
32
1
1
0
0
0
1
lim log(1 )
1
log lim(1 )
1 log lnlog
1log(1 )lim
y
y
a
y
a
y
ea
a
y
y
y
a ae
yy
→
→
→
=+
=+
= = =
=+
Catatan :
Perhatikan bahwa jika perhintungan limit menghasilkan bentuk-bentuk (tak tentu) di
bawah ini, berhati-hatilah sebab:
Bentuk 00
tidak terdefinisi, tidak sama dengan 0.
Bentuk ∞∞
tidak sama dengan 1, tidak sama dengan ∞ .
Bentuk ∞−∞ tidak sama dengan 0.
Bentuk 1∞ tidak sama dengan 1.
Bentuk 0.∞ tidak sama dengan 0.
Bentuk 00 tidak sama dengan 0.
Bentuk 0∞ tidak sama dengan 1.
Limit dengan bentuk-bentuk tak tentu di atas lebih lanjut dibahas pada Bab V.
III.2. Kekontinuan
Gambar 1
-1 -0.5 0.5 1X
-1
-0.5
0.5
1
Y= » x »x
33
Pada gambar 1 terlihat grafik | |( ) xy f xx
= = tidak kontinu di 0x = . Dari gambar terlihat
0lim ( )x
f x→
tidak ada sebab limit kiri tidak sama dengan limit kanan.
Gambar 2 :
-6 -4 -2 2 4 6X
50
100
150
Y= » x − 2»x2
Pada gambar 2 terlihat grafik fungsi 2
| 2 |( ) xy f xx−
= = tidak di kontinu di 0x = . Terlihat
pula 2 20 0
| 2 | | 2 |lim limx x
x xx x+ −→ →
− −= = ∞ .
Gambar 3 :
-2 -1 1 2X
1
2
3
4
5
6
7
Y= x3 − 1x− 1
Grafik di atas adalah grafik fungsi 3 1( )
1xy f xx−
= =−
. Fungsi tersebut tidak kontinu di
1x = sebab untuk 1x = nilai 3 1( )
1xy f xx−
= =−
tidak terdefinisi meskipun
3 32
11 1
1 1lim lim lim( 1) 31 1 xx x
x x x xx x+ − →→ →
− −= = + + =
− −.
34
Jika untuk 1x = nilai fungsi 3 1( )
1xy f xx−
= =−
didefinisikan sama dengan 3a ≠ maka
3 1( )1
xy f xx−
= =−
tetap tidak kontinu di 1x = . Jika untuk 1x = nilai fungsi
3 1( )1
xy f xx−
= =−
didefinisikan sama dengan 3a = maka 3 1( )
1xy f xx−
= =−
menjadi
kontinu di 1x = .
Secara matematis, suatu fungsi ( )y f x= dikatakan kontinu di x c= jika :
Contoh :
Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi 2 3 0
( ) 0 42 8 4
x xy f x ax b x
x x
⎧ + ≤⎪= = + < <⎨⎪− + ≥⎩
kontinu di setiap bilangan real (kontinu pada ℜ )
Perhatikan gambar fungsi dengan definisi di atas sebagai berikut :
-4 -2 2 4 6 8 10X
-10
-5
5
10
15
Y
Pada gambar terlihat bahwa untuk nilai 0x ≤ grafik fungsi berupa potongan parabola dan
selalu kontinu di setiap titik, untuk 4x ≥ , grafik fungsi berupa garis lurus dan jelas kontinu
di setiap titik. Untuk nilai 0 4x< < , fungsi didefinisikan sebagai fungsi linear yang jelas
1. lim ( )x c
f x→
ada
2. ( )f c ada
3. lim ( ) ( )x c
f x f c→
=
35
kontinu di setiap titik. sehingga fungsi akan kontinu di seluruh titik jika fungsi tersebut
kontinu di titik-titik 0x = dan 4x = .
Fungsi akan kontinu di 0x = jika 0
lim ( ) (0)x
f x f→
= dan ada. Perhatikan bahwa
2 2
0 0lim ( ) lim( 3) (0) 0 3 3x x
f x x f− −→ →
= + = = + =
dan
0 0lim ( ) lim ( ) .0x x
f x ax b a b b+ +→ →
= + = + =
sehingga agar 0
lim ( ) (0)x
f x f→
= maka haruslah 3b = .
Fungsi akan kontinu di 4x = jika 4
lim ( ) (4)x
f x f→
= dan ada. Perhatikan bahwa
4 4lim ( ) lim ( 2 8) (4) 2.4 8 0x x
f x x f+ +→ →
= − + = = − + =
dan
4 4lim ( ) lim ( ) 4x x
f x ax b a b− −→ →
= + = +
sehingga agar 4
lim ( ) (4)x
f x f→
= maka haruslah 4 0a b+ = . Tetapi karena 3b = maka
haruslah 4 3 0a + = atau 3 / 4a = − . Jadi persamaan fungsi untuk 0 4x< < adalah : 34( ) 3y f x x= = − +
sehingga grafik menjadi :
-4 -2 2 4 6 8 10X
-10
-5
5
10
Y
36
BAB IV
DERIVATIF DAN DIFERENSIAL
IV.1 Derivatif
Derivatif fungsi ( )y f x= di titik x c= dinotasikan dengan '( )f c didefinisikan sebagai :
0
( ) ( )'( ) limh
f c h f cf ch→
+ −= .
Perhatikan gambar berikut :
Terlihat bahwa : ( ) ( ) gradien garis f c h f c ABh
+ −= sehingga
0
( ) ( )'( ) limh
f c h f cf ch→
+ −=
menjadi gradien garis AB untuk A dekat dengan B. padahal jika A dekat dengan B maka
garis AB akan menjadi garis singgung kurva di titik c. Jadi,
0
( ) ( )'( ) limh
f c h f cf ch→
+ −= = gradien singgung kurva di titik x c=
Secara umum, derivatif fungsi ( )y f x= di sebarang titik x dinotasikan dan
didefinisikan sebagai:
Secara geometris, derivatif di atas merupakan gradien garis singgung kurva di sebarang
titik x .
c c+h
( )f c
( )f c h+
A
B
( )y f x=
0
( ) ( )'( ) ' limh
dy f x h f xf x ydx h→
+ −= = =
37
Contoh :
Derivatif fungsi ( ) 4 3y f x x= = + dapat dicari dengan menggunakan definisi
derivatif sebagai berikut :
0
0
0
0
( ) ( )'( ) ' lim
(4( ) 3) (4 3)lim
4 4 3 4 3lim
4lim 4
h
h
h
h
dy f x h f xf x ydx h
f x h xh
x h xh
hh
→
→
→
→
+ −= = =
+ + − +=
+ + − −=
= =
Derivatif fungsi 214( ) 1y f x x= = + di titik 1x = dapat dicari sebagai berikut :
1 01
2 21 14 4
0
2 2 21 14 4
0
2
0
0
0
( ) ( )'(1) ' lim
( (1 ) 1) ( .1 1)lim
(1 2.1. ) 1 .1 1lim
1 2lim41 2 (1 )lim41 1lim 2(1 )4 2
x hx
h
h
h
h
h
dy f x h f xf ydx h
f hh
h hh
h hh
h hh
h
= →=
→
→
→
→
→
+ −= = =
+ + − +=
+ + + − −=
+=
+=
= + =
Di atas sudah dijelaskan bahwa '(1) 1f = merupakan gradien garis singgung kurva 21
4( ) 1y f x x= = + di titik 1x = . Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi
214( ) 1y f x x= = + dan garis singgung kurva di titik 1x = .
-4 -2 2 4X
-1
1
2
3
4
5
Y
38
Sifat-Sifat Derivatif :
1. Jika ( ) , konstany f x k k= = maka ' '( ) 0dy y f xdx
= = =
2. Jika ( ) ny f x x= = maka 1' '( ) ndy y f x n xdx
−= = = untuk n bilangan rasional
3. Jika ( ) ( )y f x k u x= = maka ' '( ) '( )dy y f x k u xdx
= = =
4. Jika ( ) ( ) ( )y f x u x v x= = ± maka ' '( ) '( ) '( )dy y f x u x v xdx
= = = ±
5. Jika ( ) ( ). ( )y f x u x v x= = maka ' '( ) '( ). ( ) '( ). ( )dy y f x u x v x v x u xdx
= = = +
6. Jika ( )( )( )
u xy f xv x
= = maka 2
'( ). ( ) '( ). ( )' '( )( ( ))
dy u x v x v x u xy f xdx v x
−= = =
Aturan Rantai
Jika fungsi dan f g keduanya mempunyai turunan maka fungsi komposisi f g juga
mempunyai turunan dan turunannya adalah :
atau jika ( )y f u= dan ( )u g x= maka
Contoh :
Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif dan aturan rantai akan dicari derivatif fungsi 3 7(3 3 7)y x x= − + . Perhatikan bahwa 3 7(3 3 7)y x x= − + dapat dinyatakan dalam bentuk
7( )y f u u= = dengan 3( ) 3 3 7u g x x x= = − + . Menurut aturan rantai dan sifat derivatif
diperoleh :
.dy dy dudx du dx
=
dengan
67dy df udu du
= =
( ) '( ) '( ( )). '( )f g x f g x g x=
.dy dy dudx du dx
=
39
dan
227 3du dg xdx dx
= = −
sehingga
6 2 3 6 2. 7 (27 3) 7(3 3 7) (27 3)dy dy du u x x x xdx du dx
= = − = − + −
Derivatif fungsi invers
Jika fungsi ( )y f x= mempunyai invers ( )x g y= dan ( )y f x= mempunyai derivatif pada
(a, b) maka ( )x g y= juga mempunyai derivatif pada (a, b) dan
1dydxdx dy
=
Rumus-rumus dasar derivatif :
1. Derivatif fungsi trigonometri
a. Jika ( ) siny f x x= = maka ' '( ) cosdy y f x xdx
= = =
b. Jika ( ) cosy f x x= = maka ' '( ) sindy y f x xdx
= = = −
c. Jika ( ) tany f x x= = maka 22
1' '( ) seccos
dy y f x xdx x
= = = =
d. Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain derivatifnya diserahkan kepada
pembaca sebagai latihan (Petunjuk : gunakan sifat-sifat derivatif dan
hubungan antar fungsi trigonometri !)
2. Derivatif fungsi siklometri
a. ( ) arcsiny f x x= =
Jika ( ) arcsiny f x x= = maka ( ) sinx g y y= = . Derivatif fungsi
( ) sinx g y y= = adalah :
cosdx ydy
=
sehingga derivatif dari ( ) arcsiny f x x= = adalah
1 1cos
dydxdx ydy
= =
40
Perhatikan bahwa 1 1cos
dydxdx ydy
= = masih sebagai fungsi dari y .
Bagaimana mencari derivatif dydx
dalam fungsi x ? Perhatikan bahwa
( ) sinx g y y= = . Perhatikan pula gambar berikut:
Dari gambar terlihat bahwa :2
21cos 11
xy x−= = − sehingga
2
1 1 1cos 1
dydxdx y xdy
= = =−
Dengan cara yang sama seperti langkah di atas diperoleh :
b. ( ) arccosy f x x= = mempunyai derivatif : (buktikan !)
2
11
dydx x
−=
−
c. ( ) arctany f x x= = mempunyai derivatif : (buktikan !)
2
11
dydx x
=+
3. Derivatif fungsi eksponensial ( ) xy f x a= =
Jika ( ) xy f x a= = maka dydx
dapat dicari dengan menggunakan definisi derivatif :
y
x
1
21 x−
41
0
0
0
0
( ) ( )'( ) lim
lim
1lim
1lim
ln
h
x h x
h
hx
h
hx
h
x
dy f x h f xf xdx h
a ahaa
h
aah
a a
→
+
→
→
→
+ −= =
−=
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
4. Derivatif fungsi logaritma ( ) logay f x x= =
Jika ( ) logay f x x= = maka ( ) yx g y a= = . Derivatif fungsi ( ) xx g y a= = adalah :
lnydx a ady
=
sehingga
1 1 1ln lny
dydxdx a a x ady
= = =
IV.2 Diferensial
Perhatikan kembali definisi derivatif! Jika ( )y f x= mempunyai derivatif maka
derivatifnya adalah :0
'( ) limx
yf xx→
= dengan ( ) ( )y f x x f x= + − (pada pembahasan
sebelumnya digunakan h sebagai ganti x ). Jadi, untuk x yang cukup kecil mendekati
nol (tetapi tidak sama dengan nol) diperoleh :
sehingga
sehingga
Besaran '( ).y f x x≈ inilah yang dinamakan diferensial y.
'( ) yf xx
≈
'( ).y f x x≈
( ) ( ) ( ) '( ).f x x f x y f x f x x+ ≈ + = +
42
Diferensial ini diaplikasikan dalam perhitungan di antaranya seperti pada contoh
berikut :
Contoh :
Hitunglah nilai pendekatan dari 4,001 .
Sebelumnya, perhatikan bahwa secara intuisi 4,001 pasti dekat dengan 4 2= . Berapa
kira-kira nilai 4,001
Jawab:
Pertama-tama bentuk fungsi 12( )y f x x x= = = . perhatikan pula bahwa 4,001 bisa kita
dekati dengan 4 dengan selisih 0,001x = . Ambil 4 0,001x x+ = + . Jadi dalam hal ini
4x = . Selanjutnya, tentukan derivatif dari 12( )y f x x x= = = yaitu
12
1 1' '( )2 2
y f x xx
−= = = ..................**)
Substitusikan 4x = ke **) diperoleh :
1 1 1' '( )42 2 4
y f xx
= = = =
sehingga diperoleh :
1'( ). .(0,001) 0,000254
y f x x≈ = =
Jadi,
4,001 4 2 0,00025 2,00025y≈ + = + =
43
BAB V
APLIKASI DERIVATIF
V.1 Derivatif Sebagai Gradien Garis Singgung Kurva
Pada awal Bab IV sudah disinggung bahwa derivatif suatu fungsi ( )y f x= di titik
x c= yaitu '( )f c dapat dipandang sebagai gradien garis singgung kurva di titik x c=
tersebut. Pada Bab II telah disinggung bahwa fungsi linear dengan gradien m dan melalui
titik 0 0( , )x y mempunyai persamaan :
0 0( )y y m x x− = − .
Garis singgung kurva ( )y f x= di titik x c= jelas melalui titik ( , ( ))c f c dan mempunyai
gradien '( )m f c= . Oleh karena itu garis singgung kurva ( )y f x= di titik
x c= mempunyai persamaan :
Contoh :
Garis singgung kurva ( ) siny f x x x= = − di titik 6
x π= mempunyai gradien
1 16 6 2 2'( ) cos( ) 1 3 1 1 3m f π π= = − = − = − +
dan melalui titik 16 6 6 6 2 6( ,sin ) ( , )π π π π π− = − sehingga persamaan garis singgung yang melalui
titik 16 2( , )π − adalah ;
1 12 2 6( 1 3)( )y x π+ = − + −
Berikut grafik fungsi ( ) siny f x x x= = − dan garis singgung kurva di titik 16 2( , )π −
-3 -2 -1 1 2 3X
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6Y
( ) '( )( )y f c f c x c− = −
44
Bagaimana cara mencari persamaan garis singgung jika diketahui garis
singgungnya melalui satu titik 1 1( , )x y yang berada di luar kurva?
Misalkan garis singgung kurva ( )y f x= menyinggung kurva di titik 0 0( , )x y maka berarti
garis singgung melalui titik 1 1( , )x y dan 0 0( , )x y . Akibatnya, gradien garis singgung
kurvanya adalah : (perhatikan kembali Bab II)
1 0
1 0
y ymx x−
=−
..............................1)
Di sisi lain, gradien garis singgung kurva di titik 0 0( , )x y dapat dicari dengan
menggunakan derivatif yaitu
0'( )m f x= ...............................2)
Dari persamaan 1) dan 2) di atas diperoleh :
1 00
1 0
'( )y y f xx x−
=−
.......................3)
Dengan menyelesaikan persamaan 3) dan mensubstitusi ke fungsi ( )y f x= kita akan
dapatkan semua titik 0 0( , )x y . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung kurva 2( ) 1y f x x= = + yang melalui titik (0,0) .
Penyelesaian :
Terlebih dulu perhatikan bahwa titik 1 1( , ) (0,0)x y = tidak berada di kurva
2( ) 1y f x x= = + sebab
20 1 1 0+ = ≠
(Ingat kembali arti suatu titik berada di kurva ( )y f x= !). Selanjutnya, misalkan garis
singgung kurva tersebut menyinggung kurva di titik 0 0( , )x y maka kita peroleh gradien
garis singgung kurva
0 0
0 0
00
y ymx x
−= =
−
Karena gradien garis singgung kurva di titik 0x x= adalah 0
0 0'( ) 2 2x x
f x x x=
= = maka
haruslah
200 0 0
0
2 2y x y xx
= ⇔ = ..........................*)
45
Jadi, titik 0 0( , )x y akan berada sekaligus di kurva dan di garis singgung yang melalui titik
(0,0) jika 0 0( , )x y memenuhi 20 02y x= . Karena 0 0( , )x y berada di kurva 2( ) 1y f x x= = +
berarti diperoleh : 2 2
0 0 0 01 dan 2y x y x= + =
Jadi, 2 2 2
0 0 0
0 0
1 2 11 atau 1
x x xx x
+ = ⇔ =⇔ = = −
Untuk 0 1x = diperoleh 2 20 0 02 1 2y x x= = + = sehingga garis singgung melalui titik (1, 2)
dan mempunyai gradien 00 0
0
2 2 ( '( ) 2 2.1)1
ym f x xx
= = = = = = sehingga mempunyai
persamaan :
2 2( 1) 2y x y x− = − ⇔ =
Untuk 0 1x = − diperoleh 2 20 0 02 1 2y x x= = + = sehingga garis singgung melalui titik
( 1, 2)− dan mempunyai gradien 00 0
0
2 2 ( '( ) 2 2.( 1))1
ym f x xx
= = = − = = = −−
sehingga
mempunyai persamaan :
2 2( 1) 2y x y x− = − + ⇔ = −
Untuk semakin jelasnya perhatikan gambar grafik 2( ) 1y f x x= = + berikut garis
singgungnya di titik (1,2) dan (-1,2) :
-4 -2 2 4X
-5
5
10
15
Y
46
V.2 Aturan L’Hospital (untuk menyelesaikan limit dengan bentuk tak tentu)
Definisi (bentuk tak tentu)
Hasil bagi ( )( )
f xg x
disebut bentuk tak tentu tipe 00
atau ∞∞
di c jika
lim ( ) lim ( ) 0 (atau lim ( ) dan lim ( ) )x c x c x c x c
f x g x f x g x→ → → →
= = = ±∞ = ±∞
Contoh :
1. sin xx
mempunyai bentuk tak tentu tipe 00
di 0x =
2. 2 5 6
2x x
x− +−
mempunyai bentuk tak tentu tipe 00
di 2x =
3. 2 32
xx+−
mempunyai bentuk tak tentu tipe ∞∞
di x →∞
Bagaimana jika kita menemui bentuk-bentuk tak tentu tersebut ? Perhatikan metode
perhitungan limit dengan bentuk tak tentu 00
dan ∞∞
.
Contoh :
Perhatikan kembali contoh bentuk tak tentu di atas.
1.0 0
sin coslim lim 11x x
x xx→ →
= =
ATURAN L’HOSPITAL Jika
i. fungsi f dan g masing-masing mempunyai derivative pada interval terbuka yang memuat c kecuali mungkin di c
ii. '( ) 0g x ≠ untuk setiap x c≠
iii. ( )( )
f xg x
berbentuk tak tentu (tipe 00
atau ∞∞
)
maka ( ) '( )lim lim( ) '( )x c x c
f x f xg x g x→ →
=
47
2. 2
2 2
5 6 2 5lim lim 12 1x x
x x xx→ →
− + −= = −
−
3. 2 3 2lim lim 22 1x x
xx→∞ →∞
+= =
−
Aturan L’Hospital berlaku hanya untuk bentuk tak tentu tipe 00
dan ∞∞
. Bagaimana
untuk bentuk-bentuk tak tentu yang lain seperti :
Jika ditemui bentuk-bentuk tak tentu seperti di atas, ubahlah terlebih dulu bentuk-bentuk
tersebut menjadi berbentuk tak tentu tipe 00
atau ∞∞
. Bagaimana caranya ?
1. ( ). ( )f x g x berbentuk 0.∞
Ubah bentuk ( ). ( )f x g x menjadi 1( ). 1( )
f xg x
sehingga bentuk 0.∞ menjadi 00
atau ubah bentuk ( ). ( )f x g x menjadi 1( ). 1( )
g xf x
sehingga bentuk 0.∞ menjadi ∞∞
.
Contoh :
0lim cosx
x ec x→
( berbentuk 0.∞ ). Perhatikan :
0 0 0lim cos lim lim1 sincosx x x
x xx ec xxec x
→ → →= = . Limit dengan bentuk terakhir ini (
0lim
sinx
xx→
)
berbentuk 00
sehingga kita bisa gunakan aturan L’Hospital.
atau
10 0 0
cos coslim cos lim lim1x x x
ec x ec xx ec xxx−→ → →
= = . Limit dengan bentuk terakhir ini ( 10
coslimx
ec xx−→
)
berbentuk ∞∞
sehingga kita bisa gunakan aturan L’Hospital.
0 00. , , 0 , ,1 ,∞∞ ∞−∞ ∞
48
2. ( ) ( )f x g x− berbentuk ∞−∞ .
Contoh :
0
1 1limsinx x x→
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
(berbentuk ∞−∞ ). Perhatikan :
0 0
1 1 sinlim limsin sinx x
x xx x x x→ →
−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
. Limit dengan bentuk terakhir ini (0
sinlimsinx
x xx x→
− ) berbentuk
00
sehingga kita bisa gunakan aturan L’Hospital.
Untuk bentuk tak tentu 0 00 , ,1 ,∞ ∞ , perhatikan tabel berikut :
Bentuk
tak tentu ( )( )g xf x
( )f x
( )g x
( )ln ( )
( ) ln ( )
g xf xg x f x=
00 0 0 0.∞
1∞ 1 ∞ .0∞ 0∞ ∞ 0 0.∞
Perhatikanlah bentuk pada kolom terakhir. Semua ( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x= berbentuk
0.∞ . Gunakanlah cara seperti pada poin 1 untuk menyelesaikannya. Perhatikan bahwa
hasil yang didapatkan adalah hasil untuk ( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x= . Misalkan ( )lim ln ( ) lim ( ) ln ( )g x
x c x cf x g x f x L
→ →= = maka berarti ( )lim ( )g x L
x cf x e
→= .
Contoh : 2
0lim x
xx
→ (berbentuk 00 ). Misalkan 2
0lim x
xy x
→= diperoleh :
2
02
0 0
ln ln lim
ln lim ln lim(2 ln )
x
xx
x x
y x
y x x x→
→ →
=
⇔ = =
Perhatikan bahwa :
0lim(2 ln )x
x x→
berbentuk 0.∞ sehingga 0
lim(2 ln )x
x x→
dapat diubah menjadi :
49
0 0
lnlim(2 ln ) 2 lim 1x x
xx xx
→ →= berbentuk ∞
∞. Gunakan aturan L’Hospital didapat
0 0 02
1ln2 lim 2lim lim( 2 ) 01 1x x x
x x xx x
→ → →= = − =
−. Jadi, 2
0 0ln lim ln lim(2 ln ) 0x
x xy x x x
→ →= = = sehingga
2 0
0lim 1x
xy x e
→= = =
Catatan :
Untuk satu soal limit, aturan L’Hospital bisa digunakan lebih dari satu kali (berulang)
asalkan kondisi sehingga aturan L’Hospital berlaku tetap dipenuhi.
V.3 Fungsi naik fungsi turun
Definisi : (fungsi naik fungsi turun)
1. Fungsi f dikatakan naik pada interval I jika untuk setiap 1 2x x< berlaku
1 2( ) ( )f x f x< .
2. Fungsi f dikatakan turun pada interval I jika untuk setiap 1 2x x< berlaku
1 2( ) ( )f x f x>
Bagaimana mencari daerah di mana fungsi f naik atau turun? Berikut satu dalil yang
berguna untuk mengetahui kapan fungsi naik atau turun.
Contoh :
1. Tentukan daerah di mana fungsi ( ) siny f x x x= = + naik dan fungsi
( ) siny f x x x= = + turun untuk 2 2xπ π− ≤ ≤ !
Penyelesaian:
Derivatif ( ) siny f x x x= = + adalah :
Jika fungsi ( )y f x= terdefinisi dan kontinu pada [ , ]a b dan mempunyai
derivatif pada ( , )a b maka :
1. Jika '( ) 0f x > untuk setiap ( , )x a b∈ maka f naik pada [ , ]a b .
2. Jika '( ) 0f x < untuk setiap ( , )x a b∈ maka f turun pada [ , ]a b .
50
' '( ) 1 cosy f x x= = + .
Perhatikan bahwa ' '( ) 1 cosy f x x= = + bernilai 0 hanya untuk x π= dan x π= − . Untuk x
yang lain dengan 2 2xπ π− ≤ ≤ , nilai ' '( ) 1 cosy f x x= = + selalu positif. Jadi, fungsi
( ) siny f x x x= = + selalu naik pada interval 2 2xπ π− ≤ ≤ .
Pada gambar berikut diperlihatkan grafik fungsi ( ) siny f x x x= = + (hitam) dan
grafik fungsi derivatif ' '( ) 1 cosy f x x= = + (putus-putus).
-6 -4 -2 2 4 6X
-6
-4
-2
2
4
6
Y
2. Tentukan daerah di mana fungsi 3 213( )y f x x x= = − naik dan fungsi
3 213( )y f x x x= = − turun!
Penyelesaian :
Derivatif 3 213( )y f x x x= = − adalah :
2' '( ) 2y f x x x= = −
Samakan 2' '( ) 2y f x x x= = − dengan 0 diperoleh : 20 2 0 ( 2) 0 atau 2x x x x x x= − ⇒ = − ⇒ = =
Perhatikan bahwa grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berupa parabola menghadap ke atas. Untuk x
di sebelah kanan 2 atau di sebelah kiri 0 grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berada di atas sumbu
X (nilai 2' '( ) 2y f x x x= = − positif) dan untuk nilai x yang berada di antara 0 dan 2 grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berada di bawah sumbu X (nilai 2' '( ) 2y f x x x= = − negatif). Jadi,
Untuk x di sebelah kanan 2 atau di sebelah kiri 0 grafik 3 213( )y f x x x= = − naik dan untuk
nilai x yang berada di antara 0 dan 2 grafik 3 213( )y f x x x= = − turun.
Pada gambar berikut diperlihatkan grafik fungsi 3 213( )y f x x x= = − (hitam) dan
grafik fungsi derivatif 2' '( ) 2y f x x x= = − (putus-putus).
51
-6 -4 -2 2 4 6X
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Y
Definisi (titik kritis) :
Titik ( , ( ))c f c disebut titik kritis jika '( ) 0f c = atau '( )f c tidak ada.
Contoh :
Diberikan fungsi 2( ) 2y f x x x= = − . Titik 2(1,1 2.1) (1, 1)− = − merupakan titik kritis sebab
1 1'(1) '( ) (2 2) 2.1 2 0
x xf f x x
= == = − = − = .
Tes derivatif (turunan) pertama
Diketahui fungsi f kontinu pada [ , ]a b dan ( , ( ))c f c , ( , )c a b∈ titik kritis f. Jika untuk
suatu 0δ >
1. '( ) 0f x > untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x < untuk c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c
merupakan titik maksimum (lokal)
2. '( ) 0f x < untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x > untuk c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c
merupakan titik minimum (lokal)
3. '( ) 0f x > ( atau '( ) 0f x < ) untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x > ( atau '( ) 0f x < ) untuk
c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c merupakan bukan titik maksimum/minimum (lokal).
Titik maksimum/minimum lokal disebut titik ekstrem. Titik ekstrem suatu fungsi
dapat juga ditentukan dengan derivatif tingkat 2 fungsi tersebut.
Tes derivatif (turunan) kedua
Diketahui fungsi f mempunyai derivatif sampai tingkat 2 pada ( , )a b , ( , ( ))c f c , ( , )c a b∈
merupakan titik kritis f dan ''( )f c ada.
1. Jika ''( ) 0f c < maka ( , ( ))c f c merupakan titik maksimum lokal.
2. Jika ''( ) 0f c > maka ( , ( ))c f c merupakan titik minimum lokal.
52
Contoh :
Tentukan nilai ekstrem fungsi 3 2( ) 3y f x x x= = − + .
Penyelesaian :
Derivatif pertama dan kedua dari 3 2( ) 3y f x x x= = − + adalah : 2' '( ) 3 6y f x x x= = − + dan '' ''( ) 6 6y f x x= = − +
Samakan 2' '( ) 3 6y f x x x= = − + dengan 0 diperoleh : 23 6 0 3 ( 2) 0 0 atau 2x x x x x x− + = ⇒ − − = ⇒ = =
Selanjutnya, karena :
1. 0
''(0) ( 6 6) 6 0x
f x=
= − + = > maka f mencapai minimum lokal di 0x =
2. 2
''(2) ( 6 6) 6 0x
f x=
= − + = − < maka f mencapai maksimum lokal di 2x =
Perhatikan grafik fungsi 3 2( ) 3y f x x x= = − + berikut :
-6 -4 -2 2 4 6X
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Y
V.4 Fungsi Cembung/Cekung ke Bawah
Definisi (Cembung/cekung ke Bawah) :
1. Fungsi f dikatakan cembung ke bawah pada interval [ , ]a b jika grafik f selalu
berada di atas garis singgungnya pada interval ( , )a b
2. Fungsi f dikatakan cekung ke bawah pada interval [ , ]a b jika grafik f selalu berada
di bawah garis singgungnya pada interval ( , )a b
53
Contoh fungsi cembung ke bawah :
3.5 4.5 5 5.5 6
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Contoh fungsi cekung ke bawah :
3.5 4.5 5 5.5 6
-2
2
4
6
Bagaimana mencari daerah di mana suatu fungsi mempunyai grafik cembung/cekung ke
bawah ? Perhatikan dalil berikut :
Diketahui fungsi f kontinu pada [ , ]a b dan mempunyai derivatif
tingkat 2 pada interval ( , )a b
1. Jika ''( ) 0f x > untuk setiap ( , )x a b∈ maka f cembung ke
bawah pada [ , ]a b .
2. Jika ''( ) 0f x < untuk setiap ( , )x a b∈ maka f cekung ke
bawah pada [ , ]a b .
54
Contoh :
Perhatikan gambar fungsi 3 213( )y f x x x= = − dan derivatif keduanya '' ''( ) 2 2y f x x= = − .
Untuk nilai-nilai x di sebelah kiri 1, fungsi '' ''( ) 2 2y f x x= = − bernilai negatif dan di
sebelah kanan 1, fungsi '' ''( ) 2 2y f x x= = − bernilai positif. Grafik fungsi 3 21
3( )y f x x x= = − cekung ke bawah untuk nilai-nilai x di sebelah kiri 1 dan cembung ke
bawah untuk nilai-nilai x di sebelah kanan 1.
-10 -5 5 10X
-30
-20
-10
10
20
Y
Perhatikan gambar fungsi ( ) siny f x x= = dan derivatif keduanya '' ''( ) siny f x x= = − .
Untuk nilai-nilai x antara 0 dan π , fungsi '' ''( ) siny f x x= = − bernilai negatif dan di
antara π dan 2π , fungsi '' ''( ) siny f x x= = − bernilai positif. Grafik fungsi
( ) siny f x x= = cekung ke bawah untuk nilai-nilai x antara 0 dan π dan cembung ke
bawah untuk nilai-nilai x di antara π dan 2π .
1 2 3 4 5 6X
-1
-0.5
0.5
1
Y
Definisi (Titik Belok) :
Titik ( , ( ))c f c disebut titik belok jika di x c= terjadi perubahan grafik fungsi f dari
cembung ke cekung ke bawah atau sebaliknya.
55
V.5 Melukis Grafik Fungsi
Untuk melukis grafik suatu fungsi dengan akurat perlu diperhatikan beberapa hal sebagai
berikut :
1. Domain fungsi
2. Daerah di mana fungsi naik atau turun
3. Titik ekstrem dan jenisnya
4. Daerah di mana fungsi cembung atau cekung ke bawah
5. Titik belok (jika ada)
6. Asimtot-asimtot (dijelaskan di bawah ini)
7. Titik-titik bantu yang diperlukan
Definisi (Asimtot) :
Yang dimaksud dengan asimtot adalah garis yang hanya didekati oleh kurva dan tidak
pernah dipotong oleh kurva.
Macam-macam asimtot :
1. Asimtot tegak
Garis x a= disebut asimtot tegak jika x a→ berakibat lim ( )x a
f x→
= ±∞
2. Asimtot datar
Garis y b= disebut asimtot datar jika x →±∞ berakibat lim ( )x
f x b→±∞
=
3. Asimtot miring (jika ada)
Jika asimtot miringnya ada maka asimtot miringnya adalah garis y mx n= + dengan
( )limx
f xmx→±∞
= dan ( )lim ( )x
n f x mx→±∞
= −
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − .
Penyelesaian :
1. Domain fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − adalah seluruh bilangan real atau fD =ℜ .
2. Derivatif pertama dan kedua 3 2( ) 6y f x x x= = − adalah : 2' '( ) 3 12y f x x x= = − dan '' ''( ) 6 12y f x x= = − .
56
Perhatikan bahwa nilai x yang memenuhi 2' '( ) 3 12 0y f x x x= = − = dapat dicari sebagai
berikut : 2' '( ) 3 12 0 3 ( 4) 0 0atau 4y f x x x x x x x= = − = ⇒ − = ⇒ = =
2' '( ) 3 12y f x x x= = − bernilai positif untuk 4x > atau 0x < dan 2' '( ) 3 12y f x x x= = − bernilai negatif untuk 0 4x< < . Jadi, grafik 3 2( ) 6y f x x x= = −
naik untuk 4x > atau 0x < dan grafik 3 2( ) 6y f x x x= = − untuk 0 4x< < .
3. Perhatikan bahwa di titik 0x = terjadi perubahan tanda (dari kiri ke kanan) untuk
2' '( ) 3 12y f x x x= = − dari positif ke negatif atau dari grafik naik terus turun. Jadi, titik
0x = adalah titik maksimum (lokal). Di titik 4x = terjadi perubahan tanda (dari kiri ke
kanan) untuk 2' '( ) 3 12y f x x x= = − dari negatif ke positif atau dari grafik turun terus
naik. Jadi, titik 0x = adalah titik minimum (lokal).
4. Karena '' ''( ) 6 12 0y f x x= = − > untuk 2x > dan '' ''( ) 6 12 0y f x x= = − < untuk 2x <
maka grafik f cembung ke bawah untuk 2x > dan cekung ke bawah untuk 2x < .
5. Karena pada titik 2x = ( ''(2) 0f = ) terjadi perubahan kurva dari cekung ke cembung ke
bawah berarti titik 2x = merupakan titik belok.
6. Asimtot tidak ada
7. Ambil titik bantu, misalnya :
0 (0) 0 diperoleh titik (0,0)x y f= ⇒ = = →
1 (1) 5 diperoleh titik (1, 5)x y f= ⇒ = = − → −
3 (3) 27 diperoleh titik (3, 27)x y f= ⇒ = = − → −
Dengan memperhatikan hal-hal di atas grafik fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − dapat digambar
sebagai berikut :
0
42'( ) 3 12f x x x= −
+ + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +
57
-6 -4 -2 2 4 6X
-80
-60
-40
-20
Y
V.6 Terapan Masalah Ekstrem
Berikut contoh-contoh masalah ekstrem :
1. Seorang petani hendak memagari sebagian kebunnya yang salah satu sisi kebun
sudah berupa tembok permanen. Jika bahan pagar yang tersedia hanya cukup
untuk membuat pagar sepanjang 20 meter, tentukan ukuran pagar (lahan yang
dipagari berbentuk persegi empat) sehingga luas lahan dalam pagar maksimum !
Perhatikan gambar berikut :
2. Seorang peternak hendak membuat kurungan kelinci terbuka (tanpa alas dan tutup)
berbentuk segi empat. Jika bambu yang tersedia hanya cukup untuk membuat
tembok
agar luas maksimum ? x ?
y ?
58
kurungan dengan keliling 10 meter, tentukan ukuran kurungan agar banyaknya
kelinci yang bisa ditampung maksimum ! Perhatikan gambar berikut :
3. Diketahui dua bilangan x dan y. Jika jumlah bilangan pertama ditambah 3 kali
bilangan kedua harus 60, tentukan x dan dan y sehingga hasil kalinya maksimum !
4. Sebuah kaleng bervolume 1 liter hendak dibuat dari bahan logam. Tentukan ukuran
kaleng agar bahan yang digunakan minimum !
5. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi miring 10 cm. Tentukan panjang
sisi-sisi siku-sikunya sehingga segitiga mempunyai luas yang maksimum.
Penyelesaian :
1. Pertama-tama, perhatikan bahwa pagar yang dibuat berbentuk huruf ”U” dengan
keliling 20 meter sehingga didapatkan :
202 20 ( 20 2 atau )2
yx y y x x −+ = = − =
Karena yang akan dimaksimumkan adalah luas maka bentuk fungsi luas (bisa
berupa fungsi ataux y ). 2( ) (20 2 ) 2 20L x xy x x x x= = − = − +
Derivatifkan ( )L x diperoleh :
'( ) 4 20 dan ''( ) 4L x x L x= − + = −
Samakan '( ) 4 20L x x= − + dengan 0 diperoleh :
'( ) 4 20 0 5L x x x= − + = ⇒ =
Karena ''( ) 4L x = − maka ''(5) 4 0L = − < . Jadi, ( )L x mencapai maksimum di 5x = dan
10y = dengan luas 250m .
x?
y?
59
Perhatikan grafik fungsi luas ( )L x dan '( )L x sebagai berikut :
2 4 6 8 10X
-20
-10
10
20
30
40
50
LHxL dan L'HxL
Penyelesaian nomor 2 dan seterusnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
60
BAB VI
DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN
Pada bab ini dibahas pendekatan suatu fungsi dengan fungsi suku banyak berderajat n.
Deret Taylor
Deret Taylor fungsi f di sekitar x = c adalah sungsi suku banyak :
2 3''( ) '''( ) ( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ...2! 3! !
nnf c f c f cf x f c f c x c x c x c x c
n= + − + − + − + + − +
Deret Mac Laurin
Deret MacLaurin merupakan kejadian khusus dari deret Taylor di mana c = 0. Jadi, deret
Taylor di sekitar 0x c= = disebut deret MacLaurin. Dengan demikian deret Mac Laurin
mempunyai bentuk sebagai berikut :
2 3''(0) '''(0) (0)( ) (0) '(0) ... ...2! 3! !
nnf f ff x f f x x x x
n= + + + + + +
Contoh :
1.Tentukan deret Taylor dari ( ) lny f x x= = di sekitar 1x = . Selanjutnya, dengan deret
tersebut hitunglah ln1,02
Penyelesaian :
2
43
11
( ) ln (1) ln1 01'( ) '(1) 1
1''( ) '''(1) 1
2.1'''( ) (1) 2.1
( 1) ( 1)!( ) (1) ( 1) ( 1)!n
n n nn
f x x f
f x fx
f x fx
f x fx
nf x f nx
−−
= = =
= =
−= = −
= =
− −= = − −
Jadi, deret Taylor fungsi ( ) lny f x x= = di sekitar 1x = adalah :
2 3
12 3 4
''(1) '''(1) (1)ln (1) '(1)( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) ...2! 3! !
1 2.1 3.2.1 ( 1) ( 1)!0 1.( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) ...2! 3! 4! !
nn
nn
f f fx f f x x x xn
nx x x x xn
−
= + − + − + − + + − +
− − − −= + − + − + − + − + − +
61
Dengan deret di atas kita dapatkan :
2 3
2 3 4
1
2
''(1) '''(1)ln1,02 (1) '(1)(1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) ...2! 3!
(1) (1,02 1) ...!
1 2.1 3.2.10 1.(1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) ...2! 3! 4!
( 1) ( 1)!(1,02 1) ...!1 2.10,02 (0,02)
2!
nn
nn
f ff f
fn
nn
−
= + − + − + − +
+ − +
− −= + − + − + − + −
− −+ − +
−= + +
13 43.2.1 ( 1) ( 1)!(0,02) (0,02) ... (0,02) ...
3! 4! !
nnn
n
−− − −+ + +
Dengan melihat contoh di atas, buktikan deret MacLaurin fungsi-fungsi berikut :
2 3 4 51 1 ...1
x x x xx
= + + + + +−
2 3 4 5
1 ...2! 3! 4! 5!
x x x x xe x= + + + + + +
3 5 7 9
sin ...3! 5! 7! 9!x x x xx x= − + − + +