![Page 1: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/1.jpg)
DTH1B3 - MATEMATIKA
TELEKOMUNIKASI I
Limit dan Kekontinuan
By : Dwi Andi Nurmantris
![Page 2: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/2.jpg)
CAPAIAN PEMBELAJARAN
Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi.
![Page 3: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/3.jpg)
MATERI PEMBELAJARAN
Limit Kekontinuan
![Page 4: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/4.jpg)
DEFINISI LIMIT
Perhatikan fungsi berikut ini.
1
1)(
3
X
Xxf
Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada
x = 1 karena dititik ini f(x) berbentuk
0/0. Tetapi kita dapat mengamati
nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 1.
![Page 5: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/5.jpg)
DEFINISI LIMIT
Dari tabel dan grafik tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan
bahwa f(x) mendekati 3 bilamana x mendekati 1. Dalam lambang
matematis kita tuliskan:
3
1
1lim
3
1
x
x
x 1
1)(
3
X
Xxf
Dibaca:
“limit dari ketika x cenderung
menuju ke nilai 1 adalah 3.”
![Page 6: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/6.jpg)
DEFINISI LIMIT
Lxfcx
lim
Artinya : bila x dekat tetapi
tidak sama dengan c, maka
f(x) dekat ke L .”
![Page 7: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/7.jpg)
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
c
1L
2L
c
●
º
f(x)
L
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri,
)(lim xfcx
Notasi
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan,
)(lim xfcx
Notasi
Lxfcx
)(lim
Lxfxfcxcx
)(lim)(lim
Jika :
maka :
Jika :
)(lim)(lim xfxfcxcx
maka : adatidak)(lim
xf
cx
![Page 8: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/8.jpg)
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
Contoh Soal
x
x
x 0lim.b
0Jika,1
0Jika,1)(
x
xxf
Carilah Limit dari fungsi berikut!
1lim2
x
x
x1lim
2
x
x
x
1lim1limlim222
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x 2lim.a
a.
2
![Page 9: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/9.jpg)
DEFINISI LIMIT Limit Kiri dan Limit Kanan
Contoh Soal
x
x
x 0lim.b
0Jika,1
0Jika,1)(
x
xxf
Carilah Limit dari fungsi berikut!
1lim0
x
x
x1lim
0
x
x
x
adatidaklimlimlim000
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x 2lim.a
b.
0
![Page 10: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/10.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
1. Substitusi Langsung (Coba cara ini pertama kali)
2. Jika cara substitusi langsung gagal, maka tulis
kembali dengan mencari fungsi yang setara dengan
fungsi aslinya, Kemudian gunakan cara subtitusi
langsung. Metoda ini meliputi… • Faktorisasi.
• Rasionalisasi/Mengalikan dengan bilangan sekawan.
• Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.
• Menggunakan fungsi identitas
• Cara lain yang legal
![Page 11: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/11.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI Teorema Substitusi
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka asalkan dalam kasus fungsi rasional, nilai
penyebut di c tidak nol.
cfxfcx
lim
![Page 12: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/12.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 1
Carilah Limit dari fungsi berikut!
3
2lim xx
82lim 33
2
x
x
Solusi
Metode Substitusi langsung
![Page 13: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/13.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 2
Carilah Limit dari fungsi berikut!
)3(
)9(lim
2
3
x
x
x
0
0
)3(
)9(lim
2
3
x
x
x
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
633
3
)3(
)3)(3(
)3(
)9(lim
2
3
x
x
xx
x
x
x
Metode Faktorisasi
![Page 14: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/14.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 3
Carilah Limit dari fungsi berikut!
2
22lim
2
y
y
y
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
0
0
22
222
2
22lim
2
y
y
y
Kalikan dengan bilangan sekawanrasionalisasi pembilang
Coret faktor yang sama
Lakukan Substitusi Langsung
![Page 15: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/15.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 4
Carilah Limit dari fungsi berikut!
23
523lim
2
2
xx
xx
x
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
?
?
23
523lim
2
2
xx
xx
x
23
523lim
2
2
xx
xx
x 2
2
/2/31
/5/23lim
xx
xx
x
3
001
003
/2/31
/5/23lim
2
2
x
Lakukan Substitusi Langsung
Bagi dengan variable pangkat tertinggi bagi dengan x2
![Page 16: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/16.jpg)
METODE MENCARI LIMIT FUNGSI
Contoh 5
Carilah Limit dari fungsi berikut!
3
311
lim3
x
xx
Solusi
Metode Substitusi langsung gagal
Lakukan Substitusi Langsung
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3x
0
0
33
31
31
3
311
lim3
x
xx
Coret Faktor yang sama
![Page 17: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/17.jpg)
LATIHAN SOAL
3
6lim.1
2
3
x
xx
x
3
9lim.2
9
x
x
x
1,2
10,
0,
)(dimana,2
2
xx
xx
xx
xf)(lim.32
xfx
![Page 18: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/18.jpg)
SIFAT-SIFAT LIMIT
)(lim)(lim)()(lim.5 xgxfxgxfcxcxcx
)(lim)(lim)()(lim.4 xgxfxgxfcxcxcx
0)(limbila,)(lim
)(lim
)(
)(lim.6
xg
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
cx
n
cx
n
cxxfxf ))(lim())((lim.7
genapdan0)(limbila,)(lim)(lim.8 nxfxfxfcx
ncx
n
cx
kkcx
lim.1 cxcx
lim.2 xfkxkfcxcx
limlim.3
![Page 19: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/19.jpg)
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh 1
Carilah Limit dari fungsi berikut!
4
32lim x
x
Solusi
16232lim2lim22lim44
3
4
3
4
3
xxx
xxx
![Page 20: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/20.jpg)
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh 2
Carilah Limit dari fungsi berikut!
xxx
23lim 2
4
Solusi
xxxxxxxxxxx 4
2
44
2
4
2
4lim2lim32lim3lim23lim
404243lim2lim32
4
2
4
xx
xx
![Page 21: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/21.jpg)
TEOREMA LIMIT
TEOREMA APIT
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
Misal untuk x disekitar/menuju c dan
maka
)()()( xhxgxf
![Page 22: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/22.jpg)
SIFAT-SIFAT LIMIT
Contoh
Carilah Limit dari fungsi berikut!
Solusi
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
Karena 1)1
1sin(1
x
0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
222 )1(1
1sin)1()1(
x
xxx
Maka dengan teorema Apit
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
![Page 23: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/23.jpg)
KEKONTINUAN FUNGSI
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = c jika
(i) f(c) ada
ada)(lim xfcx
(ii)
(iii) )()(lim cfxfcx
Jika salah satu syarat tersebut tidak terpenuhi, maka f(x) tidak
kontinu di c.
![Page 24: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/24.jpg)
KEKONTINUAN FUNGSI
c
(i)
º
f(c) tidak ada
f(x) tidak kontinu di x=c
c
(ii)
1L
2L
Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=c
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c
![Page 25: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/25.jpg)
KEKONTINUAN FUNGSI
(iii)
c
●
º
f(c) f(c) ada )(lim xfcx
L
ada
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=c
cfxfcx
)(lim
![Page 26: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/26.jpg)
KEKONTINUAN FUNGSI
(iv)
c
f(c)
f(c) ada )(lim xfcx
ada
)()(lim cfxfcx
f(x) kontinu di x=c
![Page 27: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/27.jpg)
LATIHAN SOAL
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya
2
4)(
2
x
xxfa.
2,3
2,2
4)(
2
x
xx
xxfb.
2,1
2,1)(
2 xx
xxxfc.
![Page 28: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/28.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 1
Jika fungsi f(x) dan g(x) kontinu di c, maka demikian juga:
1. kf(x) 2. f (x)+ g(x) 3. f (x)- g(x) 4. f(x) · g(x) 5. f(x)/g(x) asalkan g(c) tidak nol
6. f(x)n
7. 𝑓(𝑥)𝑛 asalkan f(c) > 0 jika n genap
![Page 29: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/29.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 2 (Limit Komposit)
Jika
dan kontinu di g(c),
maka fungsi komposit f○g kontinu di c.
)(xg kontinu di c
)(xf
cgxgcx
)(lim
cgfxf
cgx
)(lim
)()(lim cgfxgfcx
![Page 30: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/30.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
Apakah kontinu di x = 2
solusi
Misalkan dan
fungsi kontinu di x=2
fungsi kontinu di x = g(2) = 4
63)( 2 xxxh
xxf )( 63)( 2 xxxg
)(xg
)(xf
Maka
fungsi kontinu di x = 2 63)( 2 xxxh
Contoh
![Page 31: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/31.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 3 (Kontinu kanan dan Kontinu Kiri)
Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=c jika
)()(lim cfxfcx
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=c jika
)()(lim cfxfcx
Fungsi f(x) kontinu di x=c jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=c
![Page 32: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/32.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 4 (Kekontinuan pada suatu interval)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x)
kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
![Page 33: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/33.jpg)
TEOREMA KEKONTINUAN
TEOREMA 5 (Kekontinuan nilai antara)
Jika f(x) kontinu pada [a, b]
dan jika w sebuah bilangan antara f(a) dan f(b), Maka:
terdapat sebuah bilangan c di antara a dan b
sedemikian sehingga f(c) = w.
![Page 34: DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Mampu memahami limit fungsi baik sifat-sifat limit fungsi dan memahami kekontinuan dari suatu fungsi. MATERI PEMBELAJARAN Limit Kekontinuan](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052310/6077937165105f537a25a9f2/html5/thumbnails/34.jpg)