DINAMIKA KISI KRISTAL

(Getaran Dalam Zat Padat)

Oleh :

Ifatul Laili Sa’adah

Wiwin Susiati

Astuti Abdul Gani

Maria Lourdes S. Amaral

A. Getaran Elastik dan Rapat ModaGetar

• Padatan terdiri dari atom-atom yang diskrit. Atom tidaklah diam, tetapi berosilasi di sekitartitik setimbangnya sebagai akibat adanya energitermal.

• Gelombang elastik : gelombang yang merambatmempunyai panjang gelombang yang jauh lebihbesar dari pada jarak antar atomnya, sifat atomikdapat diabaikan dan padatan dapat dianggapsebagai medium kontinu.

• Misalnya gelombang suara (bunyi) elastik longitudinal merambat dalam suatu bidang isotropik, menurut hukumNewton mempunyai persamaan gerak:

• 𝜌𝐴𝑑𝑥𝜕2𝑢

𝑑𝑡2= 𝑆 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑆(𝑥) 𝐴

• Dimana u adalah simpangan terhadap titik setimbang dan S adalah tekanan.

• Rengangan dan tekanan S dihubungkan oleh hukum Hooke.𝑆 = 𝑌𝑢

• Bagian terkecilnya adalah : ∆𝑆 = 𝑆 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑆 = 𝜕𝑆𝜕𝑥𝑑𝑥

• sehingga persamaan gelombang 1 menjadi :𝜕2𝑢

𝑑𝑥2=𝜌𝜕2𝑢

𝑌𝑑𝑡2

• Solusi berbentuk propagasi Gelombang bidang : 𝑈 = 𝐴0𝑒

𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)

• Dimana masing-masing Ao, k, ω adalah amplitudo, bilangangelombang, dan frekuensi radial gelombang. 𝜕

2𝑢

𝑑𝑥2=𝜌𝜕2𝑢

𝑌𝑑𝑡2

• Disubsitusikan pada persamaan gelombangsehingga menjadi 𝜔 = 𝑉𝑠𝑘 dengan 𝑉𝑠 =

𝑌

𝑝

1/2

0k

=vs k

Gb. Kurva dispersi gelombang elastik

𝑈 = 𝐴0𝑒𝑖(𝑘𝑥)

• Karena rapat keadaan tergantung pada hubungan dispersi 𝑑𝜔

𝑑𝑘= 𝑣𝑠 maka 𝑔𝜔 = 𝐿

𝜋

1

𝑣𝑠

• Bahasan tiga dimensi kubik dengan rusuk L memberikansyarat bahwa 𝑒𝑖(𝑘𝑥𝐿+𝑘𝑦𝐿+𝑘𝑧𝐿) = 1 maka 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑘𝑧 =𝑛2𝜋

𝐿, 𝑚2𝜋

𝐿, 𝑙(2𝜋

𝐿)

• ruang k menunjukkanbahwasebuahtitikmempunyai volume (2π/L)3

• Semuamodagetardengan vector gelombangantara k dan (k + dk) terletak dalam elemen volume 4πk2dk yang dibataskanoleh bola berjari-jari k dan (k + dk).

• Sehingga 𝑑𝑁 = 4𝜋𝑘2𝑑𝑘

2𝜋/𝐿 3= 𝑉

𝑘2

2𝜋2𝑑𝑘 dengan V=L3

• 𝑔𝜔 dihubungkan dengan dipersi linier maka : 𝑔𝜔 = 𝑉2𝜋2𝜔2

𝑣𝑠3

• Dalam tiga dimensi nilai 𝑘 mengandung satu moda longitudinal dan dua moda transfersal sehingga hubungan dispersinya yaitu : 𝑔𝜔 = 𝑉 𝜔

2

2𝜋21

𝑣𝐿3 +

1

𝑣𝑇3

• Jika 𝑣𝐿 = 𝑣𝑇 maka persamaannya adalah 𝑔𝜔 = 3𝑉2𝜋2𝜔2

𝑣𝑠3

B. Kuantisasi Energi Getaran dalam Zat PadatHukum ekuipartisi menyatakan bahwa besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan kuadrat jarak ataumomentum, maka untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi yang sama, yaitu ½ k0T, dengan k0 adalahkonstanta Boltzmann. Hal ini berarti energi kinetik setiap atom gas memiliki energy ½ k0T. gas monoatomik memiliki 3 derajat kebebasan, sehinggapada suhu T energi dalam untuk gas sebanyak 1 kilomol adalah;

𝑈 = 𝑁𝐴3

2𝑘0𝑇 = (

3

2)RT

• sehingga kapasitas panas pada volume konstan 𝐶𝑉 =𝜕𝑈

𝜕𝑇 𝑉=3

2𝑅

CV= 12.47 J/0K kmol →He dan Ar pada suhu kamar.

• Memiliki energi potensial atom dalam gerakharmoniknya,sehingga energi total system atom dalam Kristal menurut hukum ekipartisi:𝑈 = 𝑁𝐴

3

2𝑘𝑜𝑇 +

3

2𝑘𝑜𝑇 = 3𝑅𝑇

sehingga 𝐶𝑉 =𝜕𝑈

𝜕𝑇 𝑉= 3𝑅

• Menurut eksperimen menunjukkan bahwa nilai 𝐶𝑉 menurun jika T menurun, dan T mendekati nol apabila T menuju 0 K.

C. Model Eintein tentang 𝑪𝑽 zat padat

Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagaiberikut:• Atom Kristal merupakan osilator independen yang masing-

masing memiliki frekuensi sama energy diskrit.𝜀𝑛 = 𝑛ℏ𝜔 dengan n=0,1,2,3,....• Sebaran energi osilator pada harga energy yang

diperbolehkan mengikuti distribusi Boltzmann𝑓 𝜀𝑛 = 𝑒

− 𝜀𝑛 𝑘𝑜𝑇

Jika disubstitusikan dua persamaan diatas maka :

𝜀 =ℏ𝜔

𝑒 ℏ𝜔 𝑘𝑜𝑇−1

klasik

kuantum

ℇ

0 T

Gb. Perbandingan energi kuantum rata-rata osilator dan energi klasik kristal untuk satu derajat kebebasan

• Apabila zat padat sebanyak 1 kmol dan setiap atom mempunyi 3 derajat kebebasan maka energi totalnya 𝐸 = 3𝑁𝐴 ℇ=3𝑁𝐴

ℏ𝜔𝐸

𝑒ℏ𝜔𝐸/𝑘0𝑇−1dimana 𝜔𝐸 adalah frekuensi einstein

• Kapasitaspanaspada volume konstan𝐶𝑉 =𝜕𝐸

𝜕𝑇 𝑉=

3𝑅𝜃𝐸

𝑇

2 𝑒 𝜃𝐸 𝑇

𝑒 𝜃𝐸 𝑇−12

Dimana θE = (ħωE/ko) adalah suatu karakteristik Einstein. Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut:• Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T >>θE, bentuk 𝑒𝜃𝐸/𝑇dapat

diekspansikan dalam deret pangkat θE/T, sehingga menghasilkan𝐶𝑉≅ 3𝑅 seperti hasil teori klasik.

• Pada suhu yang sangat rendah, dimana T <<θE, bentuk 𝑒𝜃𝐸/𝑇 jauhlebih besar dari pada satu (1), sehingga𝐶𝑉 ≅ 3𝑅

𝜃𝐸

𝑇

2𝑒−𝜃𝐸/𝑇

• Fungsi ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengancepat sekali, yakni secara eksponensial. Jadi CV 0 saat T 0. Hal ini sesuai dengan eksperimen.

• Saat mendekati nol mutlak, penurunan CV model Einstein yang secara eksponensial di atas ternyata jauh lebih cepatdaripada yang terjadi secara eksperimen, yakni CV ~ T3. Hal ini merupakan kelemahan yang mendasar model Einstein.

• Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalahsebagai berikut:

a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna yang memerlukan energi rata-rata sebesar koT, sehingga 𝐶𝑉 ≅3𝑅.

b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi) dalam tingkat dasar sehingga CV = 0.

D. Model Debye Tentang Cv Zat PadatDebye memodelkan getaran kisi dengan mengambil anggapansebagai berikut:1. Atom Kristal merupakan osilator yang berkaitan erat satu

sama lain, dengan daerah frekuensi ω = 0 sampai suatufrekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah modagetar yang diperkenankan. Dengan demikian pada Kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapatmoda kisi bersama.

2. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh modabersama. Oleh karena itu moda kisi mempunyai hubungandispersi linier kontinu persamaan dan persamaan rapatkedaan yang sama dengan bahasan gelombang elastik.

• Setiap modus getaran merupakan osilator harmonik tunggalekivalen yang mempunyai energi rata-rata seperti osilatormodel eisntein. Oleh karena itu energi total getaran seluruhkisi adalah:

• E = ε ω g ω dω =3V

2π2vs3 ω

2 ℏω

eℏω/koTdω

• Frekuensi batas bawah tentunya adalah ω = 0. Sedangkanatas yang ditetapkan oleh Debye dengan batasan bahwajumlah derajat kebebasan untuk keseluruhan padatan, sehingga:

• 0ωD g ω dω = 3NA

• Dimana frekuensi atas ωD disebut frekuensi Debye.

• Hasil integrasi di atas, setelah mensubtitusikan persamaan 𝑔𝜔 =3𝑉

2𝜋2𝜔2

𝑣𝑠3memberikan nilai ωD = vs 6π2n 1/3 dimana n = NA / V

adalah konsentrasi atom dalam padatan.• Energi total dapat dituliskan kembali menjadi:

E =3V

2π2vs3

0

ωDℏω

eℏω/koTdω

Dan kapasitas panas pada volume konstan

CV =𝜕U

𝜕TV

=3V

2π2vs3

ℏ3

koT2

0

ωDω4eℏω/koT

(eℏω/koT−1)2dω

• Apabila x = (ħω/koT) dan suhu Debye didefinisikan sebagai θD = (ħω/koT), maka persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk

CV = 9RT

θD

3

0

θD/Tx4ex

ex − 1 2dx

• Ungkapan CV di atas menunjukkan hal-hal sebagai berikut:a. Pada suhu tinggi, T >>θD, di dapatkan CV ≅ 3R yang sesuai

dengan hukum Dulong-Petit. Dalam keadaan demikian, setiap moda getar tereksitasi penuh, dan memiliki energiklasik rata-rata ε = koT.

b. Pada suhu rendah, T <<θD, dengan menggunakanhubungan analitik 0

~ x4ex

ex−1 2dx =

4

15π2 didapatkan CV=

12π2

5RT

θD

3

Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasilpengamatan. Dalam keadaan demikian, hanya sedikit modagetar tereksitasi yakni moda getar yang memiliki energikuantum ħω.

TERIMA KASIH