Download - Created by Firda
1
CREATED BY FIRDAYANTY
XI IPA 2
SMA Negeri 24 Kabupaten Tangerang
JlArwana Raya Pondok Permai kelKutabaru
KecPasar Kemis
2
Daftar Isi
COVERhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1
DAFTAR ISIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2
KUMPULANampPEMBAHASAN UN INTEGRALhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3
KUMPULANampPEMBAHASAN SELEKSI UNIVERSITAS NEGRERIhelliphellip 18
KUMPULANampPEMBAHASAN OLIMPIADEhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
3
Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional
(2000-2014)
1 Hasil dari int( )( )
A
( )
B ( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 20112012
Pembahasan
int( )( ) int( ) ( )
( )
2 Nilai dari int
A
B
C
D
E
Ujian Akhir Nasional 20022003
Pembahasan
int
int (
)
=
+
4
=(
) (
)
=
( )
)
=
3 Nilai a yang memenuhi int ( )
adalah hellip
A -2
B -1
C 2
D
E 1
Ujian Nasional tahun 2000
Pembahasan
int ( ) int ( ) ( )
( ) ]
( )
( )
4 Hasil dari int ( )
hellip
A
B
C
D
E
Ujian Nasional Tahun 2008
Pembahasan
int ( )
int( ) ( )
( ) ]
5
5 Diketahui int (
)
maka nilai (-2p) = hellip
A 8
B 4
C 0
D -4
E -8
Ujian Nasional Tahun 2009
Pembahasan
int (
) int
]
( )
6 Hasil int radic hellip
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
Ujian Nasional Tahun 2006
Pembahasan
int int
radic
( )
( )
int radic
( )
int
( )
( ) int( )
( )
( )
( )
( )
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
2
Daftar Isi
COVERhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1
DAFTAR ISIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2
KUMPULANampPEMBAHASAN UN INTEGRALhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3
KUMPULANampPEMBAHASAN SELEKSI UNIVERSITAS NEGRERIhelliphellip 18
KUMPULANampPEMBAHASAN OLIMPIADEhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29
3
Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional
(2000-2014)
1 Hasil dari int( )( )
A
( )
B ( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 20112012
Pembahasan
int( )( ) int( ) ( )
( )
2 Nilai dari int
A
B
C
D
E
Ujian Akhir Nasional 20022003
Pembahasan
int
int (
)
=
+
4
=(
) (
)
=
( )
)
=
3 Nilai a yang memenuhi int ( )
adalah hellip
A -2
B -1
C 2
D
E 1
Ujian Nasional tahun 2000
Pembahasan
int ( ) int ( ) ( )
( ) ]
( )
( )
4 Hasil dari int ( )
hellip
A
B
C
D
E
Ujian Nasional Tahun 2008
Pembahasan
int ( )
int( ) ( )
( ) ]
5
5 Diketahui int (
)
maka nilai (-2p) = hellip
A 8
B 4
C 0
D -4
E -8
Ujian Nasional Tahun 2009
Pembahasan
int (
) int
]
( )
6 Hasil int radic hellip
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
Ujian Nasional Tahun 2006
Pembahasan
int int
radic
( )
( )
int radic
( )
int
( )
( ) int( )
( )
( )
( )
( )
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
3
Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional
(2000-2014)
1 Hasil dari int( )( )
A
( )
B ( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 20112012
Pembahasan
int( )( ) int( ) ( )
( )
2 Nilai dari int
A
B
C
D
E
Ujian Akhir Nasional 20022003
Pembahasan
int
int (
)
=
+
4
=(
) (
)
=
( )
)
=
3 Nilai a yang memenuhi int ( )
adalah hellip
A -2
B -1
C 2
D
E 1
Ujian Nasional tahun 2000
Pembahasan
int ( ) int ( ) ( )
( ) ]
( )
( )
4 Hasil dari int ( )
hellip
A
B
C
D
E
Ujian Nasional Tahun 2008
Pembahasan
int ( )
int( ) ( )
( ) ]
5
5 Diketahui int (
)
maka nilai (-2p) = hellip
A 8
B 4
C 0
D -4
E -8
Ujian Nasional Tahun 2009
Pembahasan
int (
) int
]
( )
6 Hasil int radic hellip
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
Ujian Nasional Tahun 2006
Pembahasan
int int
radic
( )
( )
int radic
( )
int
( )
( ) int( )
( )
( )
( )
( )
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
4
=(
) (
)
=
( )
)
=
3 Nilai a yang memenuhi int ( )
adalah hellip
A -2
B -1
C 2
D
E 1
Ujian Nasional tahun 2000
Pembahasan
int ( ) int ( ) ( )
( ) ]
( )
( )
4 Hasil dari int ( )
hellip
A
B
C
D
E
Ujian Nasional Tahun 2008
Pembahasan
int ( )
int( ) ( )
( ) ]
5
5 Diketahui int (
)
maka nilai (-2p) = hellip
A 8
B 4
C 0
D -4
E -8
Ujian Nasional Tahun 2009
Pembahasan
int (
) int
]
( )
6 Hasil int radic hellip
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
Ujian Nasional Tahun 2006
Pembahasan
int int
radic
( )
( )
int radic
( )
int
( )
( ) int( )
( )
( )
( )
( )
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
5
5 Diketahui int (
)
maka nilai (-2p) = hellip
A 8
B 4
C 0
D -4
E -8
Ujian Nasional Tahun 2009
Pembahasan
int (
) int
]
( )
6 Hasil int radic hellip
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
Ujian Nasional Tahun 2006
Pembahasan
int int
radic
( )
( )
int radic
( )
int
( )
( ) int( )
( )
( )
( )
( )
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
6
7 Hasi lint (
)
A 9
B 9
C 8
D
E 3
Ujian Nasional 2010
Pembahasan
int |
|
dan|int
|
int (
)
= |
|
= (
) (
)
= (
) (
)
= 9
8 Hasilint radic
A
( )radic C
B
( )radic C
C
( )radic C
D
( )radic C
E
( )radic C
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du
Tentukanint f(u)du
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
7
int radic
Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga
int radic = int
=
=
=
( ) radic
9 Hasildariint
( )
A
( )
B
( )
C
( )
D
( )
E
( )
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx
Maka integral di atasmenjadi int
( ) =
int
=
int
=
(
)
=
=
( )
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
8
10 Nilai dari int ( )
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 2012
Pembahasan
int ( )
= (
)
= (
) (
)
= (
) (
)
=
=
=
=
11 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
9
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
12 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
10
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
14 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
11
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
15 Hasildariint ( )( )
A -58
B -56
C -28
D -15
E -14
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
int ( )( )
= int ( )
= int ( )
= |
|
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
12
= ( )
( ) ( )
= 8 ndash 30 ndash 36
= - 58
16 Hasildariint ( )
A
( ) radic
B
( ) radic
C
( ) radic
D
( ) radic
E
( ) radic
Ujian Nasional 2013
Pembahasan
Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka
int ( )
=
int
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
=
( )
=
( ) radic
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
13
17 Hasilint radic
A
( )radic
B
( )radic
C
( )radic
D
( )radic
( )radic
E
( )radic
radic
Ujian Nasional 2009
Pembahasan
int radic = int ( )
=
int( )
( )
=
int
=
=
=
( )radic
18 Diketahui int ( )
Nilai p uang memenuhi dalah
A
B
C
D
E
Ujian Nasional 20082009
Pembahasan
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
14
int ( )
int ( ) ( )
( ) +
( )
( )
19 Hasil int
radic
A -12
B -4
C -3
D 2
E
Ujian Nasional 20072008
Pembahasan
int
radic
int frasl
( )frasl
]
( frasl
frasl )
20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )
adalahhellip
A -2
B -1
C 0
D
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
15
E 1
Ujian Nasional 2011
Pembahasan
int ( )
int ( )
int
|
|
|( ) |
( ) (a )
(a )
(a )
a2
a
21 Nilai dari int ( )
A 12
B 14
C 16
D 18
E 20
UN2012C61
Pembahasan
int ( )
=
( )
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
16
=
+ -
+
=
+ -
+
=
(
)
=
= 12
22 Nilai dariint ( )
A
B
C
D
E
UN2012E81
Pembahasan
int ( )
=
|
= (
( ) ( )) (
( ) ( ) )
= (
) =
23 Hasil dariint
radic
A radic +C
B radic +C
C radic +C
D
radic +C
E
radic +C
UN2009P03
Pembahasan
Misal u=
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
17
int ( )
int( )
int
radic
radic
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
18
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya
(2000-2014)
1 Jika a
0
b
0
3 2
21 0badan4dx)3x2(
10
3dxx
makanilai 22 bab2a hellip
A 20
B 45
C 40
D 25
E 15
SNM-PTN IPA 2010
Pembahasan
a
0
103
a
0103
21 1a
10
3ax
10
3dxx 3
535
32
bb
bxxdxx0
0
2 4434)32(
2 Jika
2
1
2
x33
31 dx
dx
dy4makaxy
A
B
C
D
E
SNM-PTN IPA 2012
Pembahasan
2xxxxdx
dyxx
dx
dyxxy 44222
2
2213
31
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
19
2
1
2
1
13
3122
2
1
2
1
222
2
1
44
2
244
xxdxxx
dxxxdxxxdxdx
dy
3
2
0
2 =dx 7 +3x - 3x
hellip
A 16
B 10
C 6
D 13
E 22
UMB 2010
Pembahasan
2
0
2 dx 7 +3x - 3x = 2
0
11
11312
123 7x + x-x
= 2
0
2
233 7x + x-x
= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2
2332
233
= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16
4 Jika int ( )
maka int ( )
A 6
B 3
C 0
D -1
E -6
SNMPTN 2010
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
20
Pembahasan
Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1
int ( ) int ( ) int ( )
5 Hasil dariint ( )
A ( )
( )
B ( )
( )
C ( )
( )
D ( )
( )
E ( )
( )
SIMAKUI2008
Pembahasan
int ( )
int ( )
( )
( )
( )
( )
6 Jika Pada interval diketahui int ( )
maka int ( ) ( )
hellip
A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)
B ( ) ( ) ( ) ( )
E
( ) ( )
C ( ) ( )
UM UNDIP 2009
Pembahasan
Karena ( )
( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )
( )
+
( ) ( )
7 Hasil substitusi pada int
radic
A int ( )
radic
B int
radic
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
21
C int ( )
radic
D int ( )
E int ( )
radic
SNMPTN 2009 KODE 176
Pembahasan
int
radic int
( )
int
int
radic
8 Nilai )1(sin 2 dxxx
A ndashcos (x2
+ 1) + C C -
cos (x
2 + 1) + CE 2 cos (x
2 + 1) +
B cos (x2
+ 1) + C D 2
1cos (x
2 + 1) + C
SPMB 2007
Pembahasan
Misalnya 12 xu maka xdxdu 2
1 sehingga
duudxxx sin2
1)1(sin 2
Cu cos2
1
=-
cos (x
2 + 1) + C
9
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxxx
A 4
1 B
8
1 C
D
4
1 E
8
3
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
2π2sin
2
1
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
22
Misalnya 3
π22 xu maka dxdu 2
π3
π2
6
π2
6
π
ux dan
3
π2
3
π2020 ux
dxxx
3
πcos
3
πsin
6
π
0
dxx
6
π
03
π22sin
2
1
duu
π
3
π2
sin4
1 π
3
π2cos
4
1u
3
π2coscosπ
4
1
10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )
maka adalah
A 10
B 6
C 5
D 4
E 3
SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)
Pembahasan
int ( )
[ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
int ( )
int ( )
+
( ( )
( ) ) ( ( )
( ) )
(
)
x 2
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
23
11 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
12 Jikaint
radic
= maka int
radic
radic
= Untuk nilai k=hellip
A -3
B -2
C -1
D 1
E 2
UM UGM 2009 ndash KODE 921
Pembahasan
int radic
radic
=
int radic
radic
= int
radic
int (radic
radic
+ int
radic
= int
radic
Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga
k ndash 4 = - 3
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
24
k = 1
13 int radic
A 18
B 20
C 22
D 24
E 26
SPMB Matematika IPA 2006
Pembahasan
Misal
int radic
int ( )
int
+
+
+
+
(
) +
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
25
14 Hasil dari 12 2 dxxx
A Cx 122
3 2 D Cxx 12)12(3
2 22
B Cx
122
3
2 E Cxx 12)12(
6
1 22
C Cx
123
2
2
UMPTN IPA TAHUN 2000
Pembahasan
Misalnya u = 2x2 + 1 maka x
dx
du4 atau duxdx
4
1 sehingga
duuudxxx 4
112 2 Cuu
12
1
1
4
1 Cuu
6
1
Cxx 12)12(6
1 22
15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi
radic garis garis dan sumbu x
Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang
luasnya sama maka c =
A 2
B radic
C
D
E radic
SPMB Matematika IPA 2002
Pembahasan
Daerah D dibatasi oleh garis fungsi
radic dan
Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
26
int
radic int
radic
int
radic
int
radic
[ radic ]
[ radic ]
( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )
radic radic
radic
radic
16Hasil dari
1
1
2 )6( dxxx
A ndash4 B 2
1 C 0 D
2
1 E
2
14
SPMB IPA TAHUN 2005
Pembahasan
1
1
2 )6( dxxx
1
1
23 )6( dxxx
1
1
34 24
1
xx
2
4
12
4
1= -2 -2 = -4
Perhatikan gambar berikut
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
27
17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama
dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip
a
b
c
d
e
(SBMPTN 15 ndash Kode 502)
Jawab
Cari absis titik potong kedua kurva
Sketsa
Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
28
Perhatikan gambar berikut
18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd
Jika titik sehingga maka perbandingan luas
trapesium ABPQ DCPQ = hellip
A 21
B 61
C 31
D 81
E 91
SBM-PTN Tahun 2013
Jawab
Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan
nilai Dari data yang diberikan
Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4
Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
29
Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE
(2000-2015)
1
OSN Tahun 2000
Jawab
misal y = x3
maka
sehingga
Jadi integral bisa ditulis menjadi
Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari
pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3
= y sehingga bentuk integral bisa ditulis
menjadi
Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga
sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial
Dengan mengganti y dengan x
3 maka diperoleh
2 Tentukan hasil dari intradic ( )
OLIMPIADE MTK PROVRIAU
Jawab int( radic radic )
= int(
)
= int
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
30
= (
)
(
)
ndash (
)
(
)
+ C
=
3 Tentukan int( )( )
(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)
Jawab
= int(( )( )
) int
( )
dx
= int( )
= int )
=
4 Tentukan int radic
( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)
Jawab u = radic
maka
-3
Sehingga int radic
int( ) ( )
int( )
(radic
)
(radic
)
( ) radic( )
+C
( ) radic( )
( )radic( )
Jadi int radic
=
( ) radic( )
( )radic( )
5 Tentukan int
radic
(OSN TAHUN 2005)
Penyelesaian
Dari gambar disamping x
Tan t = radic
radic radic
= 2 tan t
sehinggaint
radic int
( )
2
=int int
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
31
= 8int( )
= 8(int int )
ltmisalkan u = tan tgt
= 8 (tan t +
) + C
= 8 (radic
( )radic
)
= 4radic
( )radic + C
Jadi int
radic adalah 4radic
( )radic + C
6 Tentukan integral tentu int
dapat dihitung dengan pendekatan luas jika
diketahui nilai pers
(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)
Pembahasan
Integral nilai dibagi menjadi n sama besar
sehingga panjangnya masing-masing
Nilai tengah interval Dx memenuhi
(
)hellipx1 = (
)
Berarti int ( ) (
) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas
dapat memenuhi
int ( )
sum ( )
sum (
)
(
)sum
(
( ))
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
32
(
(
))
(
(
))
( )
7 Find result of int( )
(Olimpyc of German)
radic
8 int( ) ( )
(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)
Solutin suppose U
du = 4
soint( ) ( )
=int
=int
=int
( )
9 Tentukan nilai dari
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
33
10 Tentukan
penyelesaian
Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya
adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini
Ppilihlah
Karena memilih berarti
Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
34
11 Tentukan
(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)
Lakukan permisalan dan
Substitusikan ke rumus integral parsial
Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita
misalkan
Lanjutkan substitusi
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
35
12 tentukan nilai dari
(OSN THN 2000)
Misalkan sehingga dan sehingga
Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial
13 int ( )( )
Penyelesaian
int( )( ) int( )
[
]
= (
( ) ( ) ) (
( ) ( ) ( ))
(
) (
)
(
) (
)
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
36
(
) (
)
14 int
dx =
(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)
sollution
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
int
int
( ) int
( )
( ) int
)
( ) int
( ) int
( )
lang ( )
rang usedlangint
rang
( ) ( ) radic
arctg
(
)
radic
15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang
dibatasi oleh grafik
Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
37
(OLIMPIADE UGM)
Pembahasan
Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun
ruang adalah
Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut
Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume
16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -
x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o
(OSN Tahun 2006)
Jawab
12 xyy
x 0
1
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
38
Diputar mengelilingi sumbu-x
Menghitung Volume Benda Putarnya
1
1
22 1V dxx
1
0
24 122 dxxx
][2 10
3
325
51 xxx
]1[21526
32
51 sv
17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2
1
2xy xy2
1 dan 4x
diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah
(OSN TAHUN 2010)
Jawab
12 xyy
x
1 0
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
39
y
x 0
1 -3 2 -1
12 xy
3 xy
dxyy 2
2
2
4
0
1 )()( V
dxxx 2
2
12
4
0
)()2( V
dxxx 2
41
4
0
4 4
0
3
12122 xx
444162121
32
31 26)2(16
satuan volum
18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy
diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum
(OSN 2011)
Jawab
xy21
xy 2
2
x 0 4
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h
40
dxyy 2
2
2
2
1
1 )()(
V
dxxx 222
2
1
)1()3(
V dxxxxx )12(96 24
2
1
2
dxxxx 4
2
1
2 86
2
1
5
5
123
3
1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5
1
3
1
52
51
31 233338339
h