created by firda

40
1 CREATED BY : FIRDAYANTY XI IPA 2 SMA Negeri 24 Kabupaten Tangerang Jl.Arwana Raya Pondok Permai kel.Kutabaru Kec.Pasar Kemis

Upload: ismann-maulanaa

Post on 18-Feb-2016

240 views

Category:

Documents


13 download

DESCRIPTION

soal mtk

TRANSCRIPT

Page 1: Created by Firda

1

CREATED BY FIRDAYANTY

XI IPA 2

SMA Negeri 24 Kabupaten Tangerang

JlArwana Raya Pondok Permai kelKutabaru

KecPasar Kemis

2

Daftar Isi

COVERhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1

DAFTAR ISIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

KUMPULANampPEMBAHASAN UN INTEGRALhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3

KUMPULANampPEMBAHASAN SELEKSI UNIVERSITAS NEGRERIhelliphellip 18

KUMPULANampPEMBAHASAN OLIMPIADEhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

3

Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional

(2000-2014)

1 Hasil dari int( )( )

A

( )

B ( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 20112012

Pembahasan

int( )( ) int( ) ( )

( )

2 Nilai dari int

A

B

C

D

E

Ujian Akhir Nasional 20022003

Pembahasan

int

int (

)

=

+

4

=(

) (

)

=

( )

)

=

3 Nilai a yang memenuhi int ( )

adalah hellip

A -2

B -1

C 2

D

E 1

Ujian Nasional tahun 2000

Pembahasan

int ( ) int ( ) ( )

( ) ]

( )

( )

4 Hasil dari int ( )

hellip

A

B

C

D

E

Ujian Nasional Tahun 2008

Pembahasan

int ( )

int( ) ( )

( ) ]

5

5 Diketahui int (

)

maka nilai (-2p) = hellip

A 8

B 4

C 0

D -4

E -8

Ujian Nasional Tahun 2009

Pembahasan

int (

) int

]

( )

6 Hasil int radic hellip

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

Ujian Nasional Tahun 2006

Pembahasan

int int

radic

( )

( )

int radic

( )

int

( )

( ) int( )

( )

( )

( )

( )

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 2: Created by Firda

2

Daftar Isi

COVERhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1

DAFTAR ISIhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 2

KUMPULANampPEMBAHASAN UN INTEGRALhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 3

KUMPULANampPEMBAHASAN SELEKSI UNIVERSITAS NEGRERIhelliphellip 18

KUMPULANampPEMBAHASAN OLIMPIADEhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 29

3

Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional

(2000-2014)

1 Hasil dari int( )( )

A

( )

B ( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 20112012

Pembahasan

int( )( ) int( ) ( )

( )

2 Nilai dari int

A

B

C

D

E

Ujian Akhir Nasional 20022003

Pembahasan

int

int (

)

=

+

4

=(

) (

)

=

( )

)

=

3 Nilai a yang memenuhi int ( )

adalah hellip

A -2

B -1

C 2

D

E 1

Ujian Nasional tahun 2000

Pembahasan

int ( ) int ( ) ( )

( ) ]

( )

( )

4 Hasil dari int ( )

hellip

A

B

C

D

E

Ujian Nasional Tahun 2008

Pembahasan

int ( )

int( ) ( )

( ) ]

5

5 Diketahui int (

)

maka nilai (-2p) = hellip

A 8

B 4

C 0

D -4

E -8

Ujian Nasional Tahun 2009

Pembahasan

int (

) int

]

( )

6 Hasil int radic hellip

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

Ujian Nasional Tahun 2006

Pembahasan

int int

radic

( )

( )

int radic

( )

int

( )

( ) int( )

( )

( )

( )

( )

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 3: Created by Firda

3

Kumpulan soal amp pembahasan Integral Ujian Nasional

(2000-2014)

1 Hasil dari int( )( )

A

( )

B ( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 20112012

Pembahasan

int( )( ) int( ) ( )

( )

2 Nilai dari int

A

B

C

D

E

Ujian Akhir Nasional 20022003

Pembahasan

int

int (

)

=

+

4

=(

) (

)

=

( )

)

=

3 Nilai a yang memenuhi int ( )

adalah hellip

A -2

B -1

C 2

D

E 1

Ujian Nasional tahun 2000

Pembahasan

int ( ) int ( ) ( )

( ) ]

( )

( )

4 Hasil dari int ( )

hellip

A

B

C

D

E

Ujian Nasional Tahun 2008

Pembahasan

int ( )

int( ) ( )

( ) ]

5

5 Diketahui int (

)

maka nilai (-2p) = hellip

A 8

B 4

C 0

D -4

E -8

Ujian Nasional Tahun 2009

Pembahasan

int (

) int

]

( )

6 Hasil int radic hellip

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

Ujian Nasional Tahun 2006

Pembahasan

int int

radic

( )

( )

int radic

( )

int

( )

( ) int( )

( )

( )

( )

( )

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 4: Created by Firda

4

=(

) (

)

=

( )

)

=

3 Nilai a yang memenuhi int ( )

adalah hellip

A -2

B -1

C 2

D

E 1

Ujian Nasional tahun 2000

Pembahasan

int ( ) int ( ) ( )

( ) ]

( )

( )

4 Hasil dari int ( )

hellip

A

B

C

D

E

Ujian Nasional Tahun 2008

Pembahasan

int ( )

int( ) ( )

( ) ]

5

5 Diketahui int (

)

maka nilai (-2p) = hellip

A 8

B 4

C 0

D -4

E -8

Ujian Nasional Tahun 2009

Pembahasan

int (

) int

]

( )

6 Hasil int radic hellip

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

Ujian Nasional Tahun 2006

Pembahasan

int int

radic

( )

( )

int radic

( )

int

( )

( ) int( )

( )

( )

( )

( )

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 5: Created by Firda

5

5 Diketahui int (

)

maka nilai (-2p) = hellip

A 8

B 4

C 0

D -4

E -8

Ujian Nasional Tahun 2009

Pembahasan

int (

) int

]

( )

6 Hasil int radic hellip

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

Ujian Nasional Tahun 2006

Pembahasan

int int

radic

( )

( )

int radic

( )

int

( )

( ) int( )

( )

( )

( )

( )

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 6: Created by Firda

6

7 Hasi lint (

)

A 9

B 9

C 8

D

E 3

Ujian Nasional 2010

Pembahasan

int |

|

dan|int

|

int (

)

= |

|

= (

) (

)

= (

) (

)

= 9

8 Hasilint radic

A

( )radic C

B

( )radic C

C

( )radic C

D

( )radic C

E

( )radic C

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

Pilihfungsi u = g(x) sehinggaint f(g(x))g dx=int f(u)du

Tentukanint f(u)du

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 7: Created by Firda

7

int radic

Misal u = 3x2 + 5 du = 6x dx sehingga

int radic = int

=

=

=

( ) radic

9 Hasildariint

( )

A

( )

B

( )

C

( )

D

( )

E

( )

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

Missal U = 3x2 ndash 2x + 7 du = (6x ndash 2) dx = 2 (3x ndash 1) dx

Maka integral di atasmenjadi int

( ) =

int

=

int

=

(

)

=

=

( )

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 8: Created by Firda

8

10 Nilai dari int ( )

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 2012

Pembahasan

int ( )

= (

)

= (

) (

)

= (

) (

)

=

=

=

=

11 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 9: Created by Firda

9

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

12 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 10: Created by Firda

10

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

14 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 11: Created by Firda

11

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

15 Hasildariint ( )( )

A -58

B -56

C -28

D -15

E -14

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

int ( )( )

= int ( )

= int ( )

= |

|

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 12: Created by Firda

12

= ( )

( ) ( )

= 8 ndash 30 ndash 36

= - 58

16 Hasildariint ( )

A

( ) radic

B

( ) radic

C

( ) radic

D

( ) radic

E

( ) radic

Ujian Nasional 2013

Pembahasan

Missal u = (42 + 3) du = 8x dx = 4 2x dx maka

int ( )

=

int

=

(

)

=

(

)

=

(

)

=

=

( )

=

( ) radic

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 13: Created by Firda

13

17 Hasilint radic

A

( )radic

B

( )radic

C

( )radic

D

( )radic

( )radic

E

( )radic

radic

Ujian Nasional 2009

Pembahasan

int radic = int ( )

=

int( )

( )

=

int

=

=

=

( )radic

18 Diketahui int ( )

Nilai p uang memenuhi dalah

A

B

C

D

E

Ujian Nasional 20082009

Pembahasan

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 14: Created by Firda

14

int ( )

int ( ) ( )

( ) +

( )

( )

19 Hasil int

radic

A -12

B -4

C -3

D 2

E

Ujian Nasional 20072008

Pembahasan

int

radic

int frasl

( )frasl

]

( frasl

frasl )

20 Nilai yang memenuhi persamaan int ( )

adalahhellip

A -2

B -1

C 0

D

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 15: Created by Firda

15

E 1

Ujian Nasional 2011

Pembahasan

int ( )

int ( )

int

|

|

|( ) |

( ) (a )

(a )

(a )

a2

a

21 Nilai dari int ( )

A 12

B 14

C 16

D 18

E 20

UN2012C61

Pembahasan

int ( )

=

( )

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 16: Created by Firda

16

=

+ -

+

=

+ -

+

=

(

)

=

= 12

22 Nilai dariint ( )

A

B

C

D

E

UN2012E81

Pembahasan

int ( )

=

|

= (

( ) ( )) (

( ) ( ) )

= (

) =

23 Hasil dariint

radic

A radic +C

B radic +C

C radic +C

D

radic +C

E

radic +C

UN2009P03

Pembahasan

Misal u=

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 17: Created by Firda

17

int ( )

int( )

int

radic

radic

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 18: Created by Firda

18

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral SNMPTNSejenisnya

(2000-2014)

1 Jika a

0

b

0

3 2

21 0badan4dx)3x2(

10

3dxx

makanilai 22 bab2a hellip

A 20

B 45

C 40

D 25

E 15

SNM-PTN IPA 2010

Pembahasan

a

0

103

a

0103

21 1a

10

3ax

10

3dxx 3

535

32

bb

bxxdxx0

0

2 4434)32(

2 Jika

2

1

2

x33

31 dx

dx

dy4makaxy

A

B

C

D

E

SNM-PTN IPA 2012

Pembahasan

2xxxxdx

dyxx

dx

dyxxy 44222

2

2213

31

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 19: Created by Firda

19

2

1

2

1

13

3122

2

1

2

1

222

2

1

44

2

244

xxdxxx

dxxxdxxxdxdx

dy

3

2

0

2 =dx 7 +3x - 3x

hellip

A 16

B 10

C 6

D 13

E 22

UMB 2010

Pembahasan

2

0

2 dx 7 +3x - 3x = 2

0

11

11312

123 7x + x-x

= 2

0

2

233 7x + x-x

= 7(0) + (0)-(0)7(2) + (2)-(2) 2

2332

233

= 0 + 0-014 + (4)-823 = 8 ndash 6 + 14 = 16

4 Jika int ( )

maka int ( )

A 6

B 3

C 0

D -1

E -6

SNMPTN 2010

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 20: Created by Firda

20

Pembahasan

Misalkan Untuk x=1u=4 dan untuk x=4u=1

int ( ) int ( ) int ( )

5 Hasil dariint ( )

A ( )

( )

B ( )

( )

C ( )

( )

D ( )

( )

E ( )

( )

SIMAKUI2008

Pembahasan

int ( )

int ( )

( )

( )

( )

( )

6 Jika Pada interval diketahui int ( )

maka int ( ) ( )

hellip

A F(b) ndashF(a) D f(b) ndashf(a)

B ( ) ( ) ( ) ( )

E

( ) ( )

C ( ) ( )

UM UNDIP 2009

Pembahasan

Karena ( )

( ) maka int ( ) ( ) int ( ) ( )

( )

+

( ) ( )

7 Hasil substitusi pada int

radic

A int ( )

radic

B int

radic

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 21: Created by Firda

21

C int ( )

radic

D int ( )

E int ( )

radic

SNMPTN 2009 KODE 176

Pembahasan

int

radic int

( )

int

int

radic

8 Nilai )1(sin 2 dxxx

A ndashcos (x2

+ 1) + C C -

cos (x

2 + 1) + CE 2 cos (x

2 + 1) +

B cos (x2

+ 1) + C D 2

1cos (x

2 + 1) + C

SPMB 2007

Pembahasan

Misalnya 12 xu maka xdxdu 2

1 sehingga

duudxxx sin2

1)1(sin 2

Cu cos2

1

=-

cos (x

2 + 1) + C

9

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxxx

A 4

1 B

8

1 C

D

4

1 E

8

3

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

2π2sin

2

1

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 22: Created by Firda

22

Misalnya 3

π22 xu maka dxdu 2

π3

π2

6

π2

6

π

ux dan

3

π2

3

π2020 ux

dxxx

3

πcos

3

πsin

6

π

0

dxx

6

π

03

π22sin

2

1

duu

π

3

π2

sin4

1 π

3

π2cos

4

1u

3

π2coscosπ

4

1

10Diketahui ( ) dan ( ) adalah anti turunan ( ) Jika ( ) ( )

maka adalah

A 10

B 6

C 5

D 4

E 3

SNMPTN 2011 Matematika IPA (P599)

Pembahasan

int ( )

[ ( )]

( ) ( )

( ) ( )

int ( )

int ( )

+

( ( )

( ) ) ( ( )

( ) )

(

)

x 2

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 23: Created by Firda

23

11 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

12 Jikaint

radic

= maka int

radic

radic

= Untuk nilai k=hellip

A -3

B -2

C -1

D 1

E 2

UM UGM 2009 ndash KODE 921

Pembahasan

int radic

radic

=

int radic

radic

= int

radic

int (radic

radic

+ int

radic

= int

radic

Integral suku pertama di ruas kiri bernilai 4 sehingga

k ndash 4 = - 3

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 24: Created by Firda

24

k = 1

13 int radic

A 18

B 20

C 22

D 24

E 26

SPMB Matematika IPA 2006

Pembahasan

Misal

int radic

int ( )

int

+

+

+

+

(

) +

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 25: Created by Firda

25

14 Hasil dari 12 2 dxxx

A Cx 122

3 2 D Cxx 12)12(3

2 22

B Cx

122

3

2 E Cxx 12)12(

6

1 22

C Cx

123

2

2

UMPTN IPA TAHUN 2000

Pembahasan

Misalnya u = 2x2 + 1 maka x

dx

du4 atau duxdx

4

1 sehingga

duuudxxx 4

112 2 Cuu

12

1

1

4

1 Cuu

6

1

Cxx 12)12(6

1 22

15 Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi

radic garis garis dan sumbu x

Jika garis memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang

luasnya sama maka c =

A 2

B radic

C

D

E radic

SPMB Matematika IPA 2002

Pembahasan

Daerah D dibatasi oleh garis fungsi

radic dan

Garis x = c membagi daerah D menjadi dua bagian maka

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 26: Created by Firda

26

int

radic int

radic

int

radic

int

radic

[ radic ]

[ radic ]

( radic ) ( radic ) ( radic ) ( radic )

radic radic

radic

radic

16Hasil dari

1

1

2 )6( dxxx

A ndash4 B 2

1 C 0 D

2

1 E

2

14

SPMB IPA TAHUN 2005

Pembahasan

1

1

2 )6( dxxx

1

1

23 )6( dxxx

1

1

34 24

1

xx

2

4

12

4

1= -2 -2 = -4

Perhatikan gambar berikut

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 27: Created by Firda

27

17 Pada interval 0 le x le c luas daerah di bawah kurva y = -xsup2 dan di atas garis y = -3x sama

dengan luas daerah di atas y = -xsup2 dan di bawah garis y = -3x Nilai c = hellip

a

b

c

d

e

(SBMPTN 15 ndash Kode 502)

Jawab

Cari absis titik potong kedua kurva

Sketsa

Diketahui L1 = L2 Jadi nilai c yang memenuhi (sesuai gambar) adalah 4frac12

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 28: Created by Firda

28

Perhatikan gambar berikut

18 Misalkan A(t) menyatakan luas daerah di bawah kurva vbnfd

Jika titik sehingga maka perbandingan luas

trapesium ABPQ DCPQ = hellip

A 21

B 61

C 31

D 81

E 91

SBM-PTN Tahun 2013

Jawab

Untuk bisa mengetahui perbandingan luas trapesium ABPQ DCPQ dibutuhkan

nilai Dari data yang diberikan

Dari gambar terlihat bahwa panjang AB = b CD = b dan PQ = b4

Jadi luas trapesium ABPQ DCPQ = 3 1

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 29: Created by Firda

29

Kumpulan amp Pembahasan Soal Integral OLIMPIADE

(2000-2015)

1

OSN Tahun 2000

Jawab

misal y = x3

maka

sehingga

Jadi integral bisa ditulis menjadi

Hasil ini sedikit sulit karena masing mengandung variabel x dan y Akan tetapi dari

pemisalan sebelumnya kita tahu bahwa y = x3

= y sehingga bentuk integral bisa ditulis

menjadi

Sekarang kita gunakan integral parsial sehingga

sekarang kita substitusikan ke dalam rumus integral parsial

Dengan mengganti y dengan x

3 maka diperoleh

2 Tentukan hasil dari intradic ( )

OLIMPIADE MTK PROVRIAU

Jawab int( radic radic )

= int(

)

= int

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 30: Created by Firda

30

= (

)

(

)

ndash (

)

(

)

+ C

=

3 Tentukan int( )( )

(OLIMPIADE TINGKAT KABJAMBI)

Jawab

= int(( )( )

) int

( )

dx

= int( )

= int )

=

4 Tentukan int radic

( OLIMPIADE TINGKAT SMA tahun 2003)

Jawab u = radic

maka

-3

Sehingga int radic

int( ) ( )

int( )

(radic

)

(radic

)

( ) radic( )

+C

( ) radic( )

( )radic( )

Jadi int radic

=

( ) radic( )

( )radic( )

5 Tentukan int

radic

(OSN TAHUN 2005)

Penyelesaian

Dari gambar disamping x

Tan t = radic

radic radic

= 2 tan t

sehinggaint

radic int

( )

2

=int int

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 31: Created by Firda

31

= 8int( )

= 8(int int )

ltmisalkan u = tan tgt

= 8 (tan t +

) + C

= 8 (radic

( )radic

)

= 4radic

( )radic + C

Jadi int

radic adalah 4radic

( )radic + C

6 Tentukan integral tentu int

dapat dihitung dengan pendekatan luas jika

diketahui nilai pers

(OLIMPIADE TINGKAT PROVSUMATERA UTARA)

Pembahasan

Integral nilai dibagi menjadi n sama besar

sehingga panjangnya masing-masing

Nilai tengah interval Dx memenuhi

(

)hellipx1 = (

)

Berarti int ( ) (

) dengan nilai Dx dan f(xi)maka integral tentu diatas

dapat memenuhi

int ( )

sum ( )

sum (

)

(

)sum

(

( ))

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 32: Created by Firda

32

(

(

))

(

(

))

( )

7 Find result of int( )

(Olimpyc of German)

radic

8 int( ) ( )

(SCIENCE OLYMPIC OF INTEGRATION)

Solutin suppose U

du = 4

soint( ) ( )

=int

=int

=int

( )

9 Tentukan nilai dari

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 33: Created by Firda

33

10 Tentukan

penyelesaian

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u Secara umum pedomannya

adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana Untuk kasus ini

Ppilihlah

Karena memilih berarti

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 34: Created by Firda

34

11 Tentukan

(OLIMPIADE INDONESIA PINTAR)

Lakukan permisalan dan

Substitusikan ke rumus integral parsial

Untuk menyelesaikan bentuk diatas kita perlu melakukan substitusi biasa Kita

misalkan

Lanjutkan substitusi

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 35: Created by Firda

35

12 tentukan nilai dari

(OSN THN 2000)

Misalkan sehingga dan sehingga

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

13 int ( )( )

Penyelesaian

int( )( ) int( )

[

]

= (

( ) ( ) ) (

( ) ( ) ( ))

(

) (

)

(

) (

)

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 36: Created by Firda

36

(

) (

)

14 int

dx =

(INTEGRAL SOLLUTION OF OLYMPIC)

sollution

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

int

int

( ) int

( )

( ) int

)

( ) int

( ) int

( )

lang ( )

rang usedlangint

rang

( ) ( ) radic

arctg

(

)

radic

15 Tentukan volume bangun ruang yang dibentuk oleh perputaran daerah yang

dibatasi oleh grafik

Dan sumbu-x (0 le x le π) dengan pusat putaran sumbu-x

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 37: Created by Firda

37

(OLIMPIADE UGM)

Pembahasan

Dari persegi panjang biru di atas dengan mudah kita dapat memperoleh jari-jari dari bangun

ruang adalah

Sehingga volume dari benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut

Jadi volume benda putar yang terbentuk adalah 2π satuan volume

16 Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = x2 -

x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

(OSN Tahun 2006)

Jawab

12 xyy

x 0

1

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 38: Created by Firda

38

Diputar mengelilingi sumbu-x

Menghitung Volume Benda Putarnya

1

1

22 1V dxx

1

0

24 122 dxxx

][2 10

3

325

51 xxx

]1[21526

32

51 sv

17 Volume benda putar bila daerah yang di-batasi kurva 2

1

2xy xy2

1 dan 4x

diputar 360o mengelilingi sumbu x adalah

(OSN TAHUN 2010)

Jawab

12 xyy

x

1 0

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 39: Created by Firda

39

y

x 0

1 -3 2 -1

12 xy

3 xy

dxyy 2

2

2

4

0

1 )()( V

dxxx 2

2

12

4

0

)()2( V

dxxx 2

41

4

0

4 4

0

3

12122 xx

444162121

32

31 26)2(16

satuan volum

18 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 xy dan 3 xy

diputar mengelilingi sumbu x adalah hellipsatuan volum

(OSN 2011)

Jawab

xy21

xy 2

2

x 0 4

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h

Page 40: Created by Firda

40

dxyy 2

2

2

2

1

1 )()(

V

dxxx 222

2

1

)1()3(

V dxxxxx )12(96 24

2

1

2

dxxxx 4

2

1

2 86

2

1

5

5

123

3

1 83 xxxx )132()12(8)14(3)18(5

1

3

1

52

51

31 233338339

h