Download - Bab 18
![Page 1: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/1.jpg)
Bab 18
Karakteristik Butir
![Page 2: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/2.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Bab 18Karakteritik Butir
A. Dasar
1. Butir Di Dalam Pengukuran
(a) Kedudukan Butir
• Pada umumnya, alat ukur (ujian atau survei) terdiri atas sejumlah butir
• Butir merupakan komponen dasar di dalam alat ukur dan pengukuran
• Sekor butir adalah komponen dasar di dalam pensekoran pada pengukuran
![Page 3: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/3.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakeritik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perangkat alat ukur dan butir
–
–
–
–
–
–
– –
–
Perangkat alat ukur
Perangkat alat ukur
–
–
–
– adalah butir
![Page 4: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/4.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Pembentukan Alat Ukur
Alat ukur biasanya dibentuk melalui perakitan butir-butir melalui tata cara tertentu
Butir dapat diambil dari
• Kumpulan butir yang sudah tersedia• Bank butir
Bank butir memiliki butir yang diseleksi dari kumpulan butir melalui prosedur tertentu
Hanya butir yang memenuhi persyaratan yang disimpan di dalam bank butir
Butir di dalam bank butir diadministrasi dan dipelihara menurut tata cara tertentu
![Page 5: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/5.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perakitan alat ukur dari kumpulan butir atau bank butir
Kumpulan butir
Bank butir
Seleksi berdasarkan karakteristik butir
Perangkat alat ukur
Perangkat alat ukur
![Page 6: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/6.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Sekor Satuan Butir dan Sekor Responden
Pensekoran• Perangkat alat ukur yang ditanggapi oleh para
responden menghasilkan sekor butir
Sekor satuan • Sekor satu butir dari satu responden
merupakan sekor satuan (komponen dasar)
• Nilai sekor satuan dapat terbentuk dari (a) sekor 1 untuk jawaban betul dan sekor 0 untuk jawaban salah, (b) sekor sesuai dengan nilai skala yang ditetapkan untuk tiap jawaban atau tanggapan
Sekor responden• Biasanya merupakan jumlah sekor satuan pada
responden bersangkutan• Di sini banyak digunakan sekor responden
berupa jumlah jawaban betul
![Page 7: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/7.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Proporsi Jawaban Betul
• Dalam hal jawaban betul (sekor 1) dan jawaban salah (sekor 0), dikenal proporsi jawaban betul
• Proporsi jawaban betul dilakukan pada butir tertentu, misalkan, pada butir ke-i
• Pada butir ke-i, kita kelompokkan responden berdasarkan sekor responden A. Seperti pada contoh 1, ada kelompok responden sekor 12, adalah kelompok responden sekor 11, dan seterusnya
• Pada butir ke-i, proporsi jawaban betul pada kelompok responden sekor A, adalah Pi (A), yakni proporsi menjawab betul di kelompok itu
• Misalkan pada butir ke-2, di kelompok responden sekor 7 ada 4 orang. Apabila 1 dari 4 responden itu menjawab betul, maka proporsi jawaban betul di kelompok itu adalah
P2 (7) = 1 / 4 = 0,25
Artinya 25% responden menjawab betul butir itu
![Page 8: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/8.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 1
Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-den ke-2 ponden A den ke-2 ponden A 1 1 12 19 1 8 2 1 12 20 1 8 3 1 11 21 1 8 4 1 11 22 1 8 5 1 11 23 0 8 6 1 10 24 0 7 7 1 10 25 0 7 8 1 10 26 0 7 9 1 10 27 1 7 10 1 10 28 0 6 11 0 10 29 0 6 12 1 9 30 0 5 13 1 9 14 1 9 15 1 9 16 0 9 17 1 9 18 1 9
![Page 9: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/9.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-2
Sekor Proporsi jawaban betul A P2 (A)
5 0 / 1 = 0,00 6 0 / 2 = 0,00 7 1 / 4 = 0,25 8 4 / 5 = 0,80 9 6 / 7 = 0,86 10 5 / 6 = 0,83 11 3 / 3 = 1,00 12 2 / 2 = 1,00
1,00,80,60,40,2
5 6 7 8 9 10 11 12A
P2 (A)
![Page 10: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/10.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 2
Respon- Butir Sekor res- Respon- Butir Sekor res-den 2 4 6 ponden A den 2 4 6 ponden A 1 1 1 1 12 19 1 0 1 8 2 1 1 1 12 20 1 0 1 8 3 1 1 0 11 21 1 0 0 8 4 1 1 1 11 22 1 0 0 8 5 1 1 1 11 23 0 0 0 8 6 1 1 0 10 24 0 0 0 7 7 1 1 1 10 25 0 0 1 7 8 1 1 0 10 26 0 0 0 7 9 1 1 1 10 27 1 0 0 7 10 1 1 0 10 28 0 0 0 6 11 0 1 1 10 29 0 0 0 6 12 1 0 0 9 30 0 0 0 5 13 1 0 0 9 14 1 0 1 9 15 1 0 1 9 16 0 0 1 9 17 1 0 0 9 18 1 0 0 9
![Page 11: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/11.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-4
Sekor Proporsi jawaban betul A P4 (A)
5 0 / 1 = 0,00 6 0 / 2 = 0,00
7 0 / 4 = 0,00 8 0 / 5 = 0,00 9 0 / 7 = 0,00 10 6 / 6 = 1,00 11 3 / 3 = 1,00 12 2 / 2 = 1,00
1,00,80,60,40,2
5 6 7 8 9 10 11 12A
P4 (A)
![Page 12: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/12.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Proporsi jawaban betul untuk butir ke-6
Sekor Proporsi jawaban betul A P6 (A)
5 6 7 8 9 10 11 12
1,00,80,60,40,2
5 6 7 8 9 10 11 12A
P2 (A)
![Page 13: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/13.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 3
Respon- Butir Sekor res- den 1 2 3 4 5 6 7 8 ponden A
18 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 1 1 1 1 1 1 1 0 7 11 1 1 1 1 1 1 0 1 7 2 1 1 1 1 0 0 1 1 6 9 1 1 1 0 1 1 1 0 6 13 1 1 1 1 1 1 0 0 6 7 1 0 1 1 1 1 0 0 12 1 1 0 1 1 0 1 0 19 1 1 1 1 0 1 0 0 20 1 1 1 1 1 0 0 0 5 1 1 1 1 0 0 0 0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 14 0 1 1 1 1 0 0 0 16 1 1 1 0 1 0 0 0 18 1 1 1 0 0 0 0 0 15 1 1 1 0 0 0 0 0 17 1 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 6 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
![Page 14: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/14.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Sekor Proporsi jawaban betul pada butirResp A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 0 0 0,33 0,50 1,00 2 0 0 0 0 0,25 0,67 0,50 1,00 3 4 5 6 7 8
Buatlah grafik proporsi jawaban betul untuk setiap butir
![Page 15: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/15.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
B. Parameter Responden dan Parameter Butir
1. Parameter Responden
• Sekor responden mencerminkan kemampuan responden sehingga sekor responden dan kemampuan responden merupakan parameter responden
• Kemampuan responden merupakan suatu kontinum dari rendah ke tinggi
• Biasanya sekor responden tinggi menunjukkan kemampuan tinggi dan sekor responden rendah menunjukkan kemampuan responden rendah
• Biasanya, pada sekor responden tinggi atau kemampuan tinggi, proporsi jawaban betul juga tinggi
![Page 16: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/16.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Biasanya terjadi
Sekor Kemampuan Proporsi jawabanresponden responden betul tinggi tinggi tinggi . . . . . . . . . rendah rendah rendah
Pada karakteristik butir, proporsi jawaban betul dikenal sebagai probabilitas jawaban betul
• Sekor responden = kemampuan responden ()• Proporsi jawaban betul = probabilitas jawaban betul
P()
![Page 17: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/17.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Probabilitas Jawaban Betul
• Untuk butir ke-i, probabilitas jawaban betul berkaitan dengan dengan kemampuan responden
• Makin tinggi kemampuan responden , makin besar pula probabilitas jawaban betul
• Hubungan di antara probabilitas jawaban betul pada butir ke-i dengan kemampuan responden adalah
Pi () = f ()
Sebagai probabilitas: 0 Pi () 1
5 6 7 8 9 10 11 12
Pi ()
1,00,80,60,40,2
![Page 18: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/18.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Parameter Butir
(a) Taraf Sukar Butir
• Ada butir yang sukar, ada butir yang sedang, dan ada butir yang mudah
• Taraf sukar butir merupakan suatu kontinum dari mudah ke sukar
• Taraf sukar butir ke-i dinyatakan dengan bi
• Makin tinggi taraf sukar butir bi, diperlukan kemampuan responden yang makin tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul
> bi Pi () tinggi < bi Pi () rendah
• Kontinum taraf sukar berimpit dengan kontinum kemampuan responden
![Page 19: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/19.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Hubungan di antara kemampuan responden dan taraf sukar butir untuk butir ke-i
b > b; – b > 0
P() > 0,5
> b
b < b; – b < 0
P() < 0,5
< b
= b
b = b; P() = 0,5
![Page 20: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/20.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Probabilitas jawaban betul pada butir ke-i berhubungan dengan letak terhadap bi atau terhadap ( – bi) atau
Pi () = f ( – b)
Ini dikenal sebagai kararteristik butir satu parameter
Pi () = f (, bi)
Nilai taraf sukar butir ke-i ditentukan oleh
– bi = 0 atau bi =
pada saat Pi () = 0,5
bi
Pi ()1,0
0,5
![Page 21: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/21.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Makin sukar butir, maka makin ke kanan letak karakteristik butir seperti tampak pada diagram berikut
butir j lebih sukar dari butir iP()
bi bj
i j
1,0
0,5
P()
1,0
0,5
bi bj
ij
![Page 22: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/22.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Daya Beda Butir
Ada butir yang memiliki ciri
• dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan tinggi
• tidak dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan rendah
Butir demikian memiliki daya untuk membedakan responden berdasarkan kemampuan mereka
Butir memiliki parameter berupa daya beda butir
P()
Perbedaan besar
Banyak jawab salah
Banyak jawab betul
1,0
0,5
![Page 23: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/23.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Makin besar daya beda butir, maka makin curam lengkungan karakteristik butir, seperti tampak pada diagram berikut
P()
P()
1,0
1,0
0,5
0,5
b
b
1
1
2
2
Perbedaan kecil
Perbedaan besar
![Page 24: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/24.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Kecuraman pada lengkungan merupakan koefisien arah a pada fungsi a( b).Makin curam makin besar koefisien arah a
• Pada butir ke-i, daya beda butir dinyatakan sebagai koefisien arah yang menunjukkan kecuraman pada lengkungan yakni ai sehingga
Pi () = f (ai ( bi))
• Di sini terdapat dua parameter butir: bi dan ai dan ini dikenal sebagai karakteristik butir dua parameter
Pi () = f (, ai, bi)P()
1,0
0,5
1 bi 2
ji
aj > ai
![Page 25: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/25.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(c) Tingkat Kebetulan Betul pada Butir
• Pada butir pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul dicapai melalui terkaan
• Jawaban betul ini adalah kebetulan betul
• Tingkat kebetulan menjawab betul pada butir ke-i dinyatakan dengan parameter butir ci dan merupakan probabilitas jawaban betul minimum
Pi ()min = ci
P()1,0
ci
(1 ci)
bi
0,5(1ci)
0,5(1ci)
![Page 26: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/26.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Di sini, taraf sukar butir bi tidak diperoleh melalui probabilitas jawaban betul Pi() = 0,5 melainkan pada
Pi() = ci + 0,5 (1 ci)
= 0,5 (1 + ci)
• Bentangan Pi () tidak lagi dari 0 sampai 1,0 melainkan dari ci sampai 1,0 yakni selebar (1 ci) sehingga
f (ai ( bi)) menjadi (1 ci) f (ai( bi))
dan probabilitas jawaban betul menjadi
Pi () = ci + (1 ci) f (ai ( bi))
• Di sini terdapat tiga parameter butir ai, bi, dan ci sehingga dikenal sebagai karakteristik butir tiga parameter
Pi () = f (, ai, bi, ci)
![Page 27: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/27.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Tiga Model Karakteristik Butir
(a) Model satu parameter (1P)
Bentuk umum P() = f (, b)Bentuk khusus
Pi () = f ( bi)
bi = pada Pi () = 0,5
(b) Model dua parameter (2P)
Bentuk umum P() = f (, a, b) Bentuk khusus
Pi () = f (ai ( bi))
bi = pada Pi () = 0,5
![Page 28: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/28.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(c) Model tiga parameter (3P)
Bentuk umum P() = f (, a, b, c)Bentuk khusus
Pi () = ci + (1 ci ) f (ai( bi))
bi = pada Pi () = ci + 0,5 (1 ci) = 0,5 (1 + ci)
(d) Model Karakteristik Butir
Selanjutnya model karateristik butir 1P, 2P, dan 3P ini ditentukan oleh bentuk
f (, bi)f (, ai, bi)f (, ai, bi , ci)
yang dipilih atau ditentukan bentuknya
![Page 29: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/29.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
C. Lengkungan Karateristik Butir
1. Model Ideal
(a) Model Skala Sempurna
Pi ()
Pi ()
bi
b1 b2 b3 b4
< bi Pi () = 0 ≥ bi Pi () = 1
![Page 30: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/30.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Model Jarak Laten
< bi Pi () = c
≥ bi Pi () = d
Pi ()
1,00d
0,75
0,50
0,25c
bi
![Page 31: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/31.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Model Linier
Pi () = ci + ai ( bi)
0 ≤ Pi () ≤ 1
Pada bi = 0 Pi () = ci + ai
Pada ci = 0 Pi () = ai ( bi)
Pi () Pi ()
1,0 1,0
0,5 0,5
bi bi
ci
![Page 32: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/32.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Model Nonlinier
(a) Data Empirik
• Sebagian besar data empirik menunjukkan lengkungan nonlinier
![Page 33: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/33.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh empirik lainnya
![Page 34: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/34.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
(b) Model Ojaif Normal
• Peningkatan P() terhadap peningkatan kemampuan dipandang sebagai berdistribusi probabilitas ojaif normal
• Lengkungan karakteristik butir menjadi berbentuk ojaif normal
(c) Model Logistik
• Perhitungan pada model ojaif normal cukup rumit sehingga dicarikan model serupa dengan perhitungan yang lebih sederhana
• Ditemukan bentuk yang mirip melalui pendekatan ke fungsi logistik sehingga menjadi model logistik
![Page 35: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/35.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakeristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Komparasi Model
Terdapat tiga macam model berupa model ideal, model linier, dan model nonlinier
• Model ideal
Ini adalah model terbaik atau sempurna karena secara jelas membagi dua responden menurut kemampuan mereka (batas jelas)
Sukar sekali untuk (praktis tidak dapat) menemukan butir seperti ini
1,0 1,0
P() P()
![Page 36: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/36.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Model linier
Ini adalah model yang cukup dilakukan melalui perhitungan yang sederhana
Sukar untuk (praktis tidak dapat) menemukan model linier
P() P()
![Page 37: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/37.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteritik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Model Nonlinier
Ini terletak di antara model ideal dan model linier dan paling sering ditemukan pada butir
Kita perlu menentukan model nonlinier yang bagaimana yang paling memadai
Biasanya model nonlinier berbentuk ojaif atau berbentuk lengkungan S
P() P()
![Page 38: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/38.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
D. Keterampilan Matematika
1. Fungsi Eksponensial
• Konstanta e dinamakan juga sebagai konstanta eksponensial, memiliki nilai tetap
e = 2,718281828 …
dapat diteruskan sampai tidak ada batas
• Di dalam pemakaian, e sering dibatasi sampai 2 atau 3 digit pecahan desimal
e = 2,72 atau e = 2,718
• Fungsi eksponensial menggunakan e dalam bentuk seperti
ex atau ef(x)
![Page 39: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/39.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai fungsi eksponensial ex dapat langsung ditemukan melalui kalkulator elektronik
Misalnya e0,5 dapat langsung ditemukan di dalam kalkulator Casio melalui
Terbaca bahwa hasilnya adalah 1,6487 …
AC bertujuan mengosongkan isi memori kalkulator
AC
Shiftex
0 5
=
![Page 40: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/40.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 4
Dengan kalkulator, carilah nilai berikut
e-1,5 = e-2,75 = e-1,0 = e-1,87 =
e0 = e0,5 =
e1,5 = e1,75 =
e2,0 = e2,25 =
e2,5 = e2,75 =
e2,9 = e3,0 =
e3,75 = e4,0 =
![Page 41: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/41.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
2. Fungsi Logaritma
• Logaritma berkaitan dengan pangkat dan akar pada bilangan, misalnya
32 = 9
• Pangkat
Pangkat bersangkutan dengan pertanyaan
32 = ? ? = 32
• Akar
Akar bersangkutan dengan pertanyaan
?2 = 9 ? = √9
![Page 42: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/42.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Logaritma
Logaritma bersangkutan dengan pertanyaan
3? = 9 ? = 3log 9
Di sini, 3 dinamakan basis logaritma
Kalau basis logaritma adalah 10, biasanya 10 itu tidak perlu ditulis
10? = 100 ? = log 100
Kalau basis logaritma adalah e, maka logaritma ini dinamakan logaritma naturalis dan ditulis sebagai ln
e? = 1,6487 ? = ln 1,6487
![Page 43: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/43.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Nilai logaritma dapat langsung dihitung pada kalkulator elektronik
Perhitungan log (yakni basis 10)
Misalnya untuk log 25pada kalkulator Casio
Hasilnya adalah 1,3979 …
Ini berarti bahwa 101,3979… = 25
AC
log 2 5
=
![Page 44: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/44.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 5
Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai log sebagai berikut
log 15 = log 27,5 =
log 50,5 = log 58 =
log 75 = log 83 =
log 100 = log 118 = log 1350 = log 2750 =
log 0,75 = log 0,025 = log 0,50 = log 0,95 =
log e = log =
![Page 45: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/45.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Perhitungan ln (yakni basis e)
Misalnya ln 2,75pada kalkulator Casio
Hasilnya adalah 1,0116 …
Contoh 6
Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai
ln 0,75 = ln 0,90 = ln 1,25 =
ln 15 = ln 20 = ln 27,5 =
ln 50 = ln 75 = ln 150 =
AC
ln 2
=
7 5
![Page 46: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/46.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
3. Diferensial
Di dalam matematika, diferensial adalah bilangan yang sangat kecil mendekati ke 0
x = x2 – x1
Jika x2 x1 maka x 0
x 0 ini dikenal sebagai diferensial dx
Cara yang sama berlaku untuk variabellainnya, misalnya, y
y 0 dikenal sebagai dy
x1 x2
![Page 47: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/47.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
4. Hasibagi (quotient) diferensial
Pembagian di antara dy dan dx dikenal sebagai hasilbagi diferensial
atau juga sebagai y’
Kalau y = f (x), maka hasilbagi diferensial menjadi
atau juga sebagai f’(x)
Dengan demikian, hasilbagi diferensial adalah hasilbagi dari bilangan sangat kecil yang mendekati 0
Terdapat sejumlah rumus untuk menghitung hasilbagi diferensial
dxdy
dxxdf )(
![Page 48: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/48.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Hasilbagi diferensial (dikenal juga sebagai turunan pertama) bergantung kepada fungsi yang dideferensialkan
• Beberapa rumus umum
a = konstanta
dxdv
dxdu
dxvud
dxdua
dxaud
xdxxdx
dxxd
xdxxde
dxde
nnxdxdx
dxda
xx
nn
)()(
sincoscossin
ln
)(
1
10 1
![Page 49: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/49.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 7
xxdxdx
dxdx
dxdy
xxyd
xxdxd
dxdx
dxdy
xyc
xdxdx
dxdy
xyb
xdxdy
xya
41223
23
4042
2
123
3
4
324
24
334
4
34
4
3
4
)(
)(
)(
)(
![Page 50: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/50.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus selanjutnya
dxdu
dxd
dxud
keTurunan
dxdu
duudf
dxudf
vdxdvu
dxduv
dxvud
dxdvu
dxduv
dxuvd
2
2
2
2
)()(
)(
![Page 51: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/51.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 8
124126
12234121
1
123231
123
42018
2234121
123231
123
24
35
22
2432
22
224
242
2
24
35
2432
224
242
224
xxxxx
xxxxxxx
xdxxdxx
dxxxdx
dxdy
xxxyb
xxx
xxxxxxdxxdxx
dxxxdx
dxdy
xxxya
)())(())((
)(
)()()()(
)(
))(())((
)()()()(
))(()(
![Page 52: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/52.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 9
436
412
23
412
412
2323
22
2
3
24
233
323
24
24
23
23
24
24
24
24
xdxyd
xxdxdy
xxyb
exx
xxe
dxxxd
xxded
dxdy
eya
xx
xx
xx
xx
)(
)(
)(
)()()(
)(
![Page 53: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/53.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
5. Hasilbagi diferensial sebagai sudut garis singgung
y ----- berkaitan dengan besarnya sudut x Jika x 0 maka B bergerak ke A
dymaka ----- merupakan sudut pada garis
dx singgung di titik A
y
x
y
x
Garis singgung
A
B
C
![Page 54: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/54.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
6. Titik Minimum, Titik Maksimum, dan Titik Balik
Pada titik minimum dan maksimum garis singgung menajdi horizontal sehingga sudut singgung menjadi nol
Pada titik minimum atau titik maksimum, karena sudut singgung adalah noi, maka
dy ------ = 0 dx
y
x
y
x
![Page 55: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/55.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Titik Balik adalah titik ketika grafik membalik, misalnya, dari melengkung ke kanan membalik menjadi melengkung ke kiri
Pada titik balik, garis singgung horizontal sehingga sudut singgung menjadi 0 yakni
dy ----- = 0 dx
y
x
![Page 56: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/56.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
7. Integrasi
Di dalam matematika, integrasi adalah proses penjumlahan sedjumlah bilangan yang sangat kecil mendekati 0
Notasi integrasi adalah ∫, misalnya, ∫ydx
Luas yang sangat kecil adalah y dxJumlah dari semua luas y dx dari x1 sampai x2 adalah luas seluruh gambar
x1 x2x
y
dx
y
2
1
x
x
ydx
![Page 57: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/57.jpg)
-----------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
-----------------------------------------------------------------------------
Integrasi pada distribusi probabilitas normal baku
Integrasi ini menghasilkan luas pada histogram distribusi probabilitas normal baku
Luas ini bergantung kepada letak z1 dan nilainya dijadikan tabel fungsi distribusi bawah untuk berbagai nilai z1 (lihat tabel)
dzedzznz
z z
z
21 1
1
21
2110
),;(
–∞
z1
z1
z
![Page 58: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/58.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 10
Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku
Dapat juga dicari pada program komputer tentang statistika seperti Minitab
Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z1 = – 1,13
-1,13
-1,13
n (z; 0, 1)
z
131
131 1292010,
, ,),;( dzzn
![Page 59: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/59.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
8. Perhitungan integral
Secara umum integrasi adalah kebalikan dari hasilbagi diferensial
Hasilbagi diferensial dan integral
C = suatu konstanta (karena hasilbagi dife- rensial konstanta sama dengan 0)
C dapat ditentukan kemudian
11
1
1
1
nCnxdxxydx
nnxdxdx
dxdy
xy
nn
nn
n
![Page 60: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/60.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
Contoh 11
Tampak di sini bahwa jika hasilbagi diferensial diintegralkan maka hasilnya kembali asal
Asal adalah y = x4 dan setelah didiferensial serta diintegralkan maka hasilnya kembali ke y = x4
CxCxdxxdxxydx
xy
xdxdx
dxdy
xy
44
33
3
34
4
4444
4
4
![Page 61: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/61.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Integral definit
Integral definit adalah integral yang diberi batas nilai dari sesuatu ke sesuatu
Misalkan integrasi dilakukan dari x1 sampai ke x2 maka bentuknya adalah
Contoh 12
)()(| 11
12
1 2
1
2
1
nnxx
nx
x
n
nxnxnxydx
xy
5154852
56
5
5562
56
2
4 ,| xdxx
![Page 62: Bab 18](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062816/56814c1f550346895db92228/html5/thumbnails/62.jpg)
------------------------------------------------------------------------------Karakteristik Butir
------------------------------------------------------------------------------
• Rumus umum beberapa integral
• Diferensial diintegral akan kembali asal sehingga jika y didiferensialkan dan kemudian diintegralkan maka hasilnya akan kembali ke y
Cxxdx
Cedxe
nCnxdxx
Caxadx
xx
nn
ln
11
1
Cydxdxdy