-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
1/42
BAB 3 VEKTOR DI R2 DAN R3
Dr. Ir. AbdSurhim, M
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
2/42
KERANGKA PEMBAHASAN
1.Defnii "e#$%r di R& dan R'
&.Hail Kali S(alar
'.Hail Kali Silan)*.Gari dan Bidan) di R'
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
3/42
3.1 DEFINISI VEKTOR DI RDAN R3Notasi dan Operasi
Vektor besaran yang mempunyai arah
Notasi vektor
Notasipanjang vektor adalah
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
( )321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccck c jcic
c
c
c
c =++=
=
=
3
2
1
c
c
c
c
2
3
2
2
2
1 cccc ++=
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
4/42
"EKT+R GE+METRI
"e#$%r memili#i Arah
Bearan
"e#$%r -u)a memili#i E#%r e#$%r $i$i# a/al, mial A
0-un) e#$%r $i$i# $erminal a#hir2,mial B
N%$ain3a e#$%r 3an) memili#i$i$i# a/al A dan $i$i# a#hir B
"e#$%r
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
5/42
OPERASI VEKTOR
1.Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sam
2.Perkalian vektor
a)dengan scalar
b)dengan vektor lain
Hasil kali titik (Dot Product)
Hasil kali silang (Cross Product)
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
6/42
PENJUMLAHAN VEKTOR
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
u
v vu +
u
u v
vu +
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
7/42
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR
Perkalian vektor dengan skalark,
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnyak kali
panjang vektor dengan arah
Jikak > 0 searah dengan
Jikak < 0
berlawanan arah dengan
u
u2−
u ( )uk
u
u
u
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
8/42
ANA4ISIS +PERASI "EKT+R
Secara analitis, kedua operasi pada vektor di atas dapatdijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama,maka
dan Misalkan
( )3211 ,aaaa = ( )321 ,, bbbb =
( )332211 ,,.1 babababa +++=+
( )332211 ,,.2 babababa −−−=−
( )321 ,,.3 kakakaak =
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
9/42
R0ANG D0A R&2
K%m5%nen v adalah #%%rdina$ v 1,v &2 di $i$i# a#hir dan di$uli v 6 v 1,v &2
"e#$%r / di$uli w 6 w1,w&2
Keduan3a e#ialen -i#a
v 1 6 /1 dan v & = w&
v + w 6 v 1 7 /1, v & + w&2
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
10/42
R0ANG TIGA R'2
R' da5a$men-adi R& -i#adila#u#an5er)eeran #e#anan a$au #e#iri
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
11/42
8+NT+H WARNA RGB REGREEN, B40E2
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
12/42
8+NT+H
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
13/42
TRANS4ASI S0MB0
Peramaa$ranlain3
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
14/42
8+NT+H
Si$em #%%rdina$9 xy di$ranlai#an un$u# mem5er%leh#%%rdina$9 x’y : 3an) aaln3a memili#i #%%rdina$9 xy k,l
1. Ten$u#an #%%rdina$9 x’y : dari $i$i# $erebu$ den)an #%P&,;2
&. Ten$u#an #%%rdina$9 xy dari $i$i# $erebu$ den)an #%%rdina$9 x
S+40SI
'. Peramaan $ranlain3a x’ = 2 – 4 = -2, y’ =
*. Peramaan $ranlain3a x = -1 + 4 = 3, y = 5
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
15/42
N+RMA "EKT+R
N+RMA "EKT+R u 6 5an-an) e#$%r u dandin%$ai#an den)an
Den)an $e%ri P3$ha)%ra, n%rma e#$%r uudan uu1,u&,u'2
(R2 )
(R3 )
"e#$%r SAT0AN 6 e#$%r 3an) n%rman3a ama de
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
16/42
8+NT+H AP4IKASIGPS (GLOBAL POSITIONINGSYSTEMS)
GPS men)iden$if#ai #%%rdina$n3a TITIK =t men))una#an i$em e)i$i)a dan men)hem5a$ a$eli$. ?ara# ini dihi$un)#an men))u#e(e5a$an (aha3a e#i$ar ;.*@ -ari9-ari bude$i#2 dan /a#$u in3al ber-alan dari a$eli$$erebu$. Seba)ai (%n$%h, TITIK menerima aa$ t dan a$eli$ men)han$ar#an in3al 5ad
ma#a -ara# 3an) di$em5u$ %leh in3al adala
Sa$eli$ -u)a men)irim#an #%%rdina$n3a =;,3
/a#$u $erebu$, ehin))a
Peramaann3a men-adi
Karena ada e a" #a"e$%" a'
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
17/42
3.2 ASIL KALI SALAR(PERKALIAN DOT)
Misalkan , adalah vektor pada ruang yang sama, maka hkali titik antara dua vektor:
dengan
: panjang
: panjang
α : sudut keduanya
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
18/42
Ilustrasi dot product vektor A dan B
α cos B A B A =•
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
19/42
Contoh 2 :
Tentukan hasil kali titik dari dua vektor
dan
Jawab :
Karena tanα =1 , artinya= 450
= 4
ia ˆ2= jib ˆ2ˆ2 +=
α cosbaba =•
2
182=
Ingataturancosinus
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
20/42
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 =b2 +c2 – 2bc cosα ac
bα
α
a
b
a
b
ab −
α cos2222
babaab −+=−
b−
Selanjutnyadapatditulis
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
21/42
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
=θ cosba
−−+
222
2
1 abba
α cos1. baba =•22
2
2
1
2
....2n
aaaa ++=
22
2
2
1
2
....3n
bbbb +++=
( ) ( ) ( ) 22222112 ....4 nn abababab −++−+−=−
nnnn
nn
ababab
aaabbb
2...22
......
11
22
2
2
1
22
2
2
1
−−−−+++++++=
nbabababa +++=• ...2211
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
22/42
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contohsebelumnya
=2 (2) + 0 (2)
= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :
1.
2.
3.
2211 bababa +=•
nnbabababa +++=• ...2211
abba •=•
( ) ( ) ( )cabacba •+•=+•
( ) Rk bk abak bak ∈•=•=• dimana,
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
23/42
PROYEKSI ORTOGONAL
Karena
6 ; #aluru2
a proycb
=
a
b
w
cwa += ( ) bcwba •+=•bcbw •+•=
2
bk
bbk
=
•=
bk c = bahwaterlihat
2b
bak
•=
Jadi
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
24/42
Jadi,
rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 :
Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
−−
=
3
4
2
u
−=
4
3
1
v
bb
baaoy
b 2Pr
•=
Jawab:
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
25/42
Jawab :
−−
=
−−=
−
−+−+−=
−−++
−
•
−−
=
•=
4
3
1
4
3
1
2626
4
3
1
26
)12()12(2
4
3
1
)4(314
3
1
3
4
2
Pr
222
2 v
v
vwwoyv
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
26/42
?ARAK ANTARA TITIK DANGARIS ?ara# D2 an$ara $i$i# P;=;,3;2 dan )ari a= 7 b3 7 ( 6 ;
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
27/42
3.3ASIL KALI SILANGHasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurusterhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
B B B A A A
k ji
= B x AC =
k B B
A A j
B B
A Ai
B B
A A ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32 +−=
Contoh :
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
28/42
Tentukan ,
dimana
Jawab :
vuw ×=
321
321
ˆˆˆ
vvv
uuuk ji
w =
( )2,2,1 −=u )1,0,3(=v
103
221
ˆˆˆ
−=k ji
( ) +−−= î)2(01.2 ( ) +−− ĵ1.1)2(3 ( ) k ̂2.30.1 −
k ji ˆ6ˆ7ˆ2 −−=
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
29/42
Beberapa sifat Cross Product :
a.
b.
c. ( )2222
vuvuvu •−=×
( ) 0=• v xuu
( ) 0=• v xuv
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
30/42
Dari sifat ke-3 diperoleh
α sin, ⋅⋅= vuv xu Jadi
( ) 2222
vuvuvu •−=×
( )222
cosα ⋅⋅−⋅= vuvu
( )α 22222 cos⋅⋅−⋅= vuvu
( )α 222 cos1−⋅= vu
α 222 sin⋅⋅= vu
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
31/42
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebuadalah
α
u
v
α sinv
u
α sinGenjan!ajaran#$as ⋅⋅== vuv xu
vu ×=2
1seitia#$as
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
32/42
Contoh :
Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)
B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segit ABC !
Jawab :
Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)
= (3, 2, 2)
= C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)
= (1, 4, 5)
AB
AC
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
33/42
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC ×%41
223
ˆˆˆ k ji
= k ji ˆ10ˆ13ˆ2 +−=
10016&42
1++= Luas
2732
1=
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
34/42
ORIENTASI PADA TITIK B = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah
= BA ba −
= BC bc −
=× BC BA
322
223
ˆˆˆ
−
−−−
k ji
jk i ˆ10ˆ13ˆ2 −+−=
== BC x BA2
110016&4
2
1++
2732
1=
INTERPRETASI GE+METRIK DARI DETERMINAN
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
35/42
INTERPRETASI GE+METRIK DARI DETERMINAN
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
36/42
B0KTI 1
4ua -a-aran )en-an) e#$%r R& 3an) $erle$di R' adalah * 6 u1,u&,;2 dan + 6 v 1,v &,;2
a#$an3a bah/a , ma#a luan3a men-adi
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
37/42
B0KTI &
4ua -a-aran )en-an) di ba)ian ala adalah
Tin))in3a adalah 5r%3e#i u $erhada5
"%lumen3a
TERB,KTI
3 -
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
38/42
3.-GARIS DAN BIDANG D
R3
Dalam )e%me$ri anali$i# ebuah )ari di R& da5a$di5eif#ai den)an memberi#an )radien dan a$$i$i# in$ere5in3a
Miri5 den)an i$u, di R' -u)a da5a$ di5eif#ai de
memberi#an in#lanai #e(enderun)an2 dan a$u$i$i#n3a
In#lanai dari ebuah bidan) un$u# menen$u#ane#$%r bu#an n%l diebu$ NORMAL& an/ TEGAKL,R,S DENGAN BIDANG
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
39/42
N+RMA49TITIK
Peramaan bidan) 3an) melalui $i$memili#i e#$%r bu#an n%l eba)aiN+RMA4
Bu#$in3a Ti$i# di bidan) $erebu$ me#$%r 3an) +RT+G+NA4 $erhada5ehin))a
Karena , ma#a
Ini diebu$ BENT0K NORMAL0TITIKPERSAMAAN BIDANG
Ben$u# umumn3a
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
40/42
8+NT+H
Temu#an 5eramaan bidan) melalui $i$i# 1,C2 dan $e)a# luru n 6 *,&,9
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
41/42
SP4 DA4AM BIDANG R'
?i#a ada ' bidan) R',
ma#a 5eramaanbidan)n3amemben$u# SP4
Kemun)#inan%luin3a
-
8/17/2019 Alin 03 Vektor Di r2 Dan r3 (Pertemuan 7-9.5)
42/42
8+NT+H Temu#an 5eramaan bidan) melalui $i$i# , , dan . S%luin3a
Hailn3a adalah , , , dan
?i#a , ma#a 5eramaann3a adalah
S%lui 4AIN
dan
=
a"a*