2 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1
dengan Metode Analitis 2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum:
)()(ygxfy =′ , f dan g fungsi sembarang.
b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:
1. Gantikan y atau gunakan: ′dxdyy =′
2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:
dxxfdyyg )()( =
3. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh:
∫∫ = dxxfdyyg )()(
c. Contoh soal:
1. Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari: 0=′+ yyx
2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 02 =−′ yyx
3. Cari penyelesaian dari PD berikut: 03 =+ ydxdyx
4. Cari penyelesaian PD orde-1 2 0=+′ yyx , dengan harga awal pada saat memiliki 2=x 1=y
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 1 dari 28)
d. Penyelesaian soal:
1. Gantikan y dengan ′dxdy
, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai:
x−dxdyy = atau dxxdyy −= , sehingga dapat diintegrasikan menjadi
∫ ∫−= dxxdyy
dan hasilnya adalah
Cxy+−=
22
22
dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
Cxy 222 =+
sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga . 0>C
2. PD dimaksud dapat ditulis sebagai ydxdyx =2 , dan dengan penulisan ulang
yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabel-variabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan
2xdx
ydy
=
bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai
∫∫ = 2xdx
ydy
menghasilkan
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 2 dari 28)
Cx
y +−=1ln
dan bentuk akhirnya:
xC eeCx
y /11exp −=
+−=
sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.
3. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi:
xdx
ydy 3−= , jika 0≠y
dan bentuk integrasinya adalah:
∫∫ −=xdx
ydy 3
dan hasilnya:
31lnln3lnx
xhy
=−=
dan
33 xK
xhy =
±=
Dalam hal ini, K merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, yaitu 0yy = pada saat 0xx = .
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 3 dari 28)
4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah
∫∫ −=xdx
ydy
21 , jika 0≠y
dan hasilnya:
xx
hy 1lnlnln 2/1 == −
atau
xKy =
Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat 2=x harga , akan diperoleh 1=y 2K=1 atau 2=K , sehingga hasil
akhirnya menjadi
xy 2=
e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (sesuai dengan yang diberikan):
1. xyy 2
−= , dengan primitif 2xKy =
2. 03 =− idtdit , dengan primitif 3/1tKi =
3. 03 =+ idtdit , dengan primitif 3/1−= tKi dengan 0≠t
4. 0sincos =+′ xyxy , dengan primitif xKy cos=
5. ( ) 01 2 =+− θθ tdtdt , dengan primitif 21 tK −=θ
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 28)
2.2. Persamaan Diferensial Homogen terhadap y dan x a. Bentuk Umum:
=′xyfy , f merupakan fungsi sembarang.
b. Metode dan Tahapan Penyelesaian:
1. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, xy
=u (atau ), sehingga
diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,
xuy =
2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:
txty +′=′
3. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan di atas dengan persamaan
y′( ) ( )tfxyf = , akan diperoleh persamaan dalam bentuk:
( )tftxt =+′
4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut:
( ) ttfdxdtx −= atau
( ) ttfdt
xdx
−= , jika ( ) ttf ≠
5. Jika fungsi F dimisalkan sebagai PRIMITIF dari ( )x ( ) ttf −1
, maka akan
diperoleh hasil integrasi sebagai berikut:
( ) ( )∫ −==
ttfdttF
hxln
yang berarti
( )xyFeKx =
atau dalam bentuk penjabaran parametrik
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 28)
( )
( )
=
=tF
tF
etKy
eKx , dengan K sebagai konstanta sembarang
c. Contoh soal:
1. Carilah ‘primitif’ dari: yxyxyx −+=′ 222
2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 222 yxyyx +=′
3. Cari penyelesaian dari PD berikut: ( ) ( )2222 55 yxxyyxy −=′−
d. Penyelesaian soal:
1. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda =) dibagi dengan , maka akan didapatkan PD dalam bentuk:
2x
xy
xyy −
+=′
21
yang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel y′ xy . Dengan memisalkan xty = , untuk mendapatkan txty +′=′ dan
ungkapan dari PDnya adalah , maka kesamaan kedua ungkapan yang didapatkan adalah sebagai berikut:
y′y′
21 tty +−=′
21 tttxt +−=+′
atau ( )21−=′ txt
sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH yang dimaksud adalah
( )21−= tdxdtx
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 28)
yang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut:
( ) ∫∫ =− x
dxtdt
21, jika 1≠t
yang hasilnya
xKt
ln1
1=
−−
atau
xKt
ln11 −=−
dengan K sebagai konstanta sembarang
Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalnya, yaitu xy , maka
persamaan di atas akhirnya menjadi PRIMITIF dari PD yang dimaksudkan:
xKxy
ln−=
x
Catatan: Jika harga 1=t , maka akan diperoleh suatu INTEGRAL yang SINGULAR, karena xy = .
2. Bagilah semua suku dengan , maka akan didapatkan PD Homogen dalam
bentuk seperti di bawah ini:
yx
+=
+=′
xy
yx
yxyxy
21
2
22
Dengan memisalkan xty = , maka kesamaan kedua ungkapan yang
didapatkan adalah sebagai berikut:
y′
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 28)
+=+′=′
tttxty 1
21
atau jika disederhanakan akan menjadi
ttt
tdxdtx
211
21 −
=
−=
2
Pisahkan variabel-variabelnya, kemudian integralkan
∫∫ =− x
dxtdtt
212
, jika 1±≠t
sehingga
xht ln1ln
2=
−−
atau
xKt =− 21
atau juga
xKt −=− 12
Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai yang sesungguhnya ( xy ), akan
diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut:
0xKxy 22 =+−
Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila 0≠K maupun 0=K , yang memiliki persamaan-persamaan garis simetri
atau yang sebanding dengan x±=y 1±=t .
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 28)
Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan
menggunakan KOORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat yang sesuai, yaitu
( )θfr = . Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitungannya
lebih panjang dan tidak praktis.
3. Coba kita gunakan KOORDINAT POLAR berikut:
=
=
θ
θ
sin
cos
ry
rx
dan bentuk diferensiasinya secara berturut-turut adalah:
θθθ
θθθ
drdrdy
drdrdx
cossin
sincos
−=
−=
dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut:
( ) ( )dxyxxdyyxy 55 −=− 2222
dan, dengan melakukan penyusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut:
( ) ( ) θθθθθθθ drdr 3344 cossincossin4cossin +=−
dengan penyederhanaan, selanjutnya diperoleh:
( ) θθθθθ drdr cossin4cossin 22 =−
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 28)
dalam hal ini, PD dalam r dan θ yang memiliki KONFIGURASI TERPISAH adalah sebagai berikut:
θθθ d
rdr
2cos2sin2
−=
sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut:
θ2cosKr =
e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (perhatikan PRIMITIF yang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!):
1. yxyx −=′ , dengan primitif xKxy
2
2 +=
2. 222 yxyxyx ++=′ , dengan primitif ( )xKxy lntan=
3. ( )xyexyyx −−=−′ 1 , dengan primitif ( )xCxy += 1ln dan ( ) 01 >+ xC
4. 044 222 =++′ yxyx , dengan primitif xK
xxyln2
+−= dan
bilamana solusi mencapai SINGULAR? 5. ( ) yxyyx 222 =′− , dengan primitif 022 =−+ yKyx dan
bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR?
6. ( ) yxyyx 344 2=′+ , dengan primitif θ
θ2cos
sinKx = dalam
koordinat CARTESIAN atau 14 −
=t
tKr dan bilamana solusi-solusi
tersebut mencapai SINGULAR?
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 10 dari 28)
2.3. Persamaan Diferensial LINIER order 1 a. Bentuk Umum:
( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′
dengan a , b , merupakan fungsi-fungsi dalam c x .
( )xa dan b disebut KOEFISIEN ( )x( )xc disebut SUKU RUAS KANAN
Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh:
( ) ( ) 0=+′ yxbyxa
yang (seharusnya) IDENTIK dengan PD yang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH.
b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penyelesaian:
Teorema Dasar
SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order-1 merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUKU RUAS KANAN dan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD secara lengkap.
1. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap
dengan RUAS KANANnya, adalah 0y
2. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi yang tak dikenal sebagai: zyy += 0
3. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 11 dari 28)
( ) [ ] ( )[ ] ( )xczyxbzyxa =++′+′ 00
4. Karena y adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga
harus dipenuhi: 0
( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′ 00
5. Setelah dilakukan penyederhanaan, akan diperoleh persamaan
( ) ( ) 0=+′ zxbzxa
Sehingga akan diperoleh , sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUKU RUAS KANAN.
z
c. Contoh soal:
Selesaikan PD Linier berikut:
EiRdtdiL =+
L , R , dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan KONDISI AWAL pada saat 0=t , harga 0=i .
Penyelesaian:
Fungsi yang melibatkan konstanta-konstanta RE merupakan SOLUSI KHUSUS
dari persamaan secara lengkap.
INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUKU RUAS KANANnya adalah:
−= tLRCi exp
Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah:
−+= tLRC
REi exp
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 12 dari 28)
Dengan menerapkan KONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh:
CRE
+=0
sehingga
REC −=
dan, solusi akhirnya adalah
−−= tLR
REi exp1
e. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi khusus dan solusi umumnya sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!):
1. xxyy sincos +=+′ , dengan solusi khusus xy sin= dan solusi umumnya xeKxy −+= sin
2. xxxxyxy sincossincos +=+′ , dengan solusi khusus dan solusi umumnya adalah xKxy cos+=
3. ( ) xexyyx 1−=−′ , dengan primitif xKey x += 4. xxxyxy cosh2sinh2 −=−′ , dengan primitif
2
cosh xeKxy +=
xy =
f. Metode VARIASI KONSTANTA dan Tahapan Penyelesaian:
1. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut,
( ) ( ) ( )xcyxbyxa =+′
dan bentuk PD di atas, jika TIDAK menyertakan SUKU RUAS KANAN:
( ) ( ) 0=+′ yxbyxa
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 13 dari 28)
2. Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir
dapat disusun ulang menjadi:
( )( )dxxaxb
ydy
−=
3. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS KANAN dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) ( )( )
−== ∫ dx
xaxbKxzKy exp
4. Definisikan suatu FUNGSI (yang menggantikan tetapan K dengan suatu fungsi dalam variabel x , ), sehingga diperoleh PRIMITIF yang berbentuk
persamaan berikut:
( )xK ( )xy
( ) ( ) ( )xzxKxy =
sehingga turunannya dapat dituliskan sebagai:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xzxKxzxKxy ′+′=′
5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } (xcxzxKxbxzxKxzxKxa = )+′+′
atau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } (xcxzxbxzxaxKxzxKxa = )+′+′
6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah 1 di atas!):
( ) ( ) ( ) ( ) 0=+′ xzxbxzxa
yang berarti bahwa
( ) ( )( ) ( )xzxaxcxK =′
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 14 dari 28)
7. Solusi atau primitif dari dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil
akhir dari solusi
( )xK
( ) ( ) ( )xzxKxy =
dapat diketahui.
g. Contoh soal:
1. Selesaikan PD Linier berikut: 32 xyyx =−′
Penyelesaian:
PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 02 =−′ yyx
Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga
xdx
ydy 2= , jika 0≠y
jika diintegrasikan,
∫∫ =xdx
ydy 2
sehingga dihasilkan,
2lnln2ln xxhy
==
dan, 2xKy =
⇒ Asumsikan, bahwa K adalah fungsi dari x , sehingga hasil turunan dari (atau sama dengan y′ ) adalah:
xKxKy 22 +′=′
⇒
⇒
y
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 15 dari 28)
⇒ Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh:
3223 22 xxKxKxK =−+′
Perhatikan, bahwa term perkalian dengan K ternyata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh:
33 xxK =′
atau 1=′K
Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah:
λ+= xK , λ merupakan konstanta integrasi
Kemudian, jika kita substitusikan K ke dalam persamaan 2xKy = di
atas, akan diperoleh sebagai solusi umum:
( ) xxxxy λλ +=+= 32
⇒
⇒
⇒
2. Selesaikan PD Linier berikut:
xxyy 2sintan =−′
Penyelesaian:
PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 0tan =− xydxdy
Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka
dxxx
ydy ∫∫ −=
cossin
sehingga dihasilkan,
xhy coslnln =
⇒
⇒
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 16 dari 28)
dan, xKy cos=
Asumsikan, bahwa ( )xKK = , sehingga hasil turunan dari persamaan di
atas adalah: xKxKy sincos −′=′
Substitusikan ke dalam PD Linier asalnya, akan diperoleh:
xxxKxKxK 2sintancossincos =+−′
Perhatikan, bahwa term faktor K ternyata saling menihilkan, sehingga:
xxxxK cossin22sincos ==′
atau xK sin2=′
Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara:
λ+−=
= ∫x
dxxK
cos
sin2
Kemudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan K di atas ke dalam persamaan xKy cos= , diperoleh solusi unum berikut:
xxy coscos2 2 λ+−=
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
3. Selesaikan persamaan diferensial berikut:
( ) 112 =+−′ yxxy
Penyelesaian:
PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: ⇒
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 17 dari 28)
( ) 012 =+−′ yxxy
Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh:
12 −
−=xdxx
ydy
Kemudian integrasikan:
dxxx
ydy ∫∫ −
−=12
sehingga dihasilkan
1lnln 221 −−= x
hy
atau
12 −=
x
Ky
Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga x , yang lebih besar dari 1 ataupun lebih kecil dari 1.
Kasus #1: 1>x
Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:
12 −=
x
Ky
Turunan dari fungsi apabila K adalah fungsi dari x , adalah sbb:
( )32211 −
−−
′=′
x
xK
x
Ky
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 18 dari 28)
⇒ Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh:
( )( ) 1
11
11 22
322=
−+−
−−
−
′
x
Kxxx
xK
x
K
atau
( ) 111
122
2 =−
+−
−−′x
xK
x
xKxK
Sehingga diperoleh fungsi K ′ dalam x , sebagai berikut:
1
12 −
=′x
K
Dan, primitifnya adalah:
λ+−+= 1ln 2xxK
Solusi akhirnya menjadi:
1
1ln
2
2
−
+−+=
x
xxy
λ, jika 1>x
Kasus #2: 1<x
Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:
21 x
Ky−
=
Dengan metode yang sama seperti pada kasus #1 di atas, diperoleh:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 19 dari 28)
( )32211 x
xK
x
Ky−
+−
′=′
dan
λ+−=−
−= ∫ xx
dxK arcsin1 2
Sehingga solusi akhirnya adalah sbb:
21
arcsin
x
xy−
+−=
λ, jika 1<x
⇒
h. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi kuncinya untuk mempermudah mencari penyelesaian!):
1. 1sincos =+′ xyxy
(kunci: x
K 2cos1
=′ dan xxy cossin λ+= )
2. xyyx ln=−′
(kunci: 2lnxxK =′ dan xxy λ+−−= 1ln )
3. tidtdit sin2 =+
(kunci: ttK sin=′ dan 2sincos
tttti λ++−
= )
4. ( ) ( )1ln11 ++=+′+ xyyx
(kunci: ( 1ln1 ++ )=′ xK dan ( )1
1ln+
++=x
xy λ )
5. xyyx arctan=+′
(kunci: xK arctan=′ dan ( )x
xx
xy λ++−= 21ln
21arctan )
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 20 dari 28)
2.4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI a. Bentuk Umum:
( ) ( ) myxbyxay =+′
dengan a merupakan fungsi (sembarang) dalam x , ( )xaa =
b merupakan fungsi (sembarang) dalam x , ( )xbb =
m merupakan tetapan bilangan nyata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan 1 (nilai-nilai yang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER).
Jika , akan diperoleh persamaan-persamaan yang jelas lebih mudah untuk
diselesaikan.
0>m
b. Metode Penyelesaian:
1. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, yaitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor , sehingga my
( ) ( )xby
xayy
mm =+′
−11
2. Lakukan substitusi fungsi yang dicari, yang didefinisikan sebagai:
11 −= myz
3. Karena y merupakan fungsi dari x , maka turunan dari fungsi adalah: z
( ) myymz′
−=′ 1
4. Sehingga, solusi dari PD yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 21 dari 28)
( ) ( )xbzxamz
=+−
′1
Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder 1. c. Contoh soal:
Selesaikan PD berikut, yang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI: 223 yxyyx =+′
Penyelesaian:
Persamaan di atas memiliki harga 2=m . Bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: 2y
22
3 xyy
yx=+
′
Dimisalkan,
yz 1
=
dengan turunannya terhadap variabel , z
2yyz′
−=′
sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel : z
23 xzzx =+′−
sebagai PD Linier berorder 1, dengan solusi sebagai berikut:
( ) 21 xxz λ+=
Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut:
( ) 211
xxy
λ+=
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 22 dari 28)
d. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penyelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncinya.
1. 3yxyy =+′
(kunci: 212
2 1++
=xe
y xλ )
2. ( )yxyy +=′ 1
(kunci: 1
1+−
= − xey xλ
3. yyxy =′−2
(kunci: ( )21 xy λ+= )
4. xyyyx =+′ 22
(kunci: 212
2 1++
=xe
y xλ)
5. 6yxyy =−′
(kunci: 515
5 1+−
=− xe
y xλ)
6. 0tan 2 =++′ yxyy
(kunci: λ+
=xxy
sincos )
7. Carilah KURVA INTEGRAL yang melalui titik 1,1 == yx dari PD yang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut:
3yxyyx =+′
(kunci: 22
21xx
yλ+
= , dan 1−=λ )
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 23 dari 28)
2.5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI a. Bentuk Umum:
( ) ( ) ( )xcyxbyxay ++=′ 2
dengan a , b , dan merupakan fungsi-fungsi dalam c x .
b. Metode Penyelesaian:
1. PD yang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFIK , sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi yang akan
dicari berbentuk: 1y
zyy += 1
2. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi:
( )( ) ( )( ) ( )xczyxbzyxazy ++++=′+′ 12
11
3. Karena y merupakan SOLUSI SPESIFIK (khusus) dari Persamaan RICCATI,
maka: 1
( ) ( ) ( )xcyxbyxay ++=′ 1211
4. Melalui penyederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah 2 dan 3) di atas akan menghasilkan:
( ) ( ) ( )[ ] zxbyxazxaz ++=′ 12 2
yang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan 2=m .
5. Langkah-langkah selanjutnya adalah sesuai dengan penyelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-2A.4 di atas.
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 24 dari 28)
c. Contoh soal:
Selesaikan PD berikut yang berbentuk Persamaan RICCATI:
2122
++
+−=′ xy
xxyy
Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFIK . xy =1
Penyelesaian:
Periksa terlebih dahulu bahwa xy =1 merupakan SOLUSI SPESIFIK, yaitu
dengan memisalkan: zxy +=
sehingga turunanya: zy ′+=′ 1
kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas.
Setelah disederhanakan, akan diperoleh:
02 =+−′ zzzx
Untuk penyelesaiannya, bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: 2z
112 =+′
zzzx
Kemudian, misalkan:
zu 1
=
sehingga
2zzu′
−=′
dan 1=+′− uux
mengarah pada solusi PD Linier, dalam , sebagai berikut: u
1+= xKu
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 25 dari 28)
atau, solusi yang dikembalikan dalam variabel : y
11
++=
xKxy
d. Tugas dan soal-soal latihan:
Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, yang disertakan pula persamaan atau solusi kuncinya.
a. 025 4223 =+−+′ xyxyyx , dimisalkan 21 xy =
(kunci: x
xxy+
+=λ
32 )
b. xxxy
xxy
xxy 3
22
cossin4sin21
cossin
sincos +
−+=′ , dengan pemisalan integral
spesifiknya adalah x
y 21cos2
1=
(kunci: xx
ysin1
1cos2
12 λ−
+−=
c. ( ) ( ) xxxyxyy 32 cossincos2cos =++′− , dengan xy cos1 =
(kunci: xxxy
sincoscos−
+=λ
)
d. ( )( )xxx eeyeyy 432 5125 +++=′ , dengan xey −=1
(kunci: xxx
eeey 32
1−
+−= −λ)
e. 42
41x
yy =+′ , dengan pemisalan 212
11xx
y +=
(kunci: ( )11
211
122 −++=
− xexxxy
λ)
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 26 dari 28)
[P-2.1] PROYEK #1: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order 1
Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order 1 di bawah ini:
a. xyedxdy −=
b. 2yxyy −=′
c. xxxy
xxy
xx
dxdy
3
22
cossin4sin21
cossin
sincos +
−+=
secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [ ]1,0 dengan harga awal . ( ) 10 =y
Format jawaban:
Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman 1 sampai dengan 26). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI yang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut.
Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-KUTTA order 2 titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab 2 (halaman 8 sampai 12).
Formula Runge-Kutta order-2 titik-tengah:
( )ii yxfhk ,1 =
++=
21
22 , kyhxfhk ii
21 kyy ii +=+
Formula Runge-Kutta order-2 nilai rerata:
( )ii yxfhk ,1 =
( )12 , kyhxfhk ii ++=
( )2121
1 kkyy ii ++=+
Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel yang berbentuk
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 27 dari 28)
seperti di bawah ini:
Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 TITIK-TENGAH
ix iy 1k 2k ( )ixy*
0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...
dan, seperti di bawah ini:
Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 KELANDAIAN RERATA
ix iy 1k 2k ( )ixy*
0,0 1 .... ... ... 0,1 .... .... ... ... 0,2 .... .... ... ... 0,3 .... .... ... ... 0,4 .... .... ... ... 0,5 .... .... ... ... 0,6 .... .... ... ... 0,7 .... .... ... ... 0,8 .... .... ... ... 0,9 .... .... ... ... 1,0 .... .... ... ...
Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis (halaman 28 dari 28)