Download - 1720-heru-che-MTK2_1
Matematika
Terapan
dan Pemodelan
(RK 1441):
Konsep
Dasar
Pemodelan
Dr. Heru
SetyawanJurusan
Teknik Kimia FTI‐ITS
http://www.its.ac.id/personal/material.php?id=heru‐che
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Materi
Pokok
Formulasi matematika persoalan‐persoalanTeknik KimiaPenyelesaian PD biasa dengan deretFungsi‐fungsi khususPenyelesaian analitik PD parsial
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Daftar
Pustaka
Rice, R.G. and Duong, D.Do., Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, John Willey, New York, 1995.Mickley, H.S., Sherwood, T.S. and Reed, C.E., Applied mathematics in Chemical Engineering, Mc.Graw Hill, New York, 1984.Jenson, V.G. and Jeffrey, G.V., Mathematical Methods in Chemical Engineering, Academic Press, London, 1977.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Penilaian
Kehadiran 10%Tugas 30%Quiz I & II 30%UAS 30%
100%
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Produksi
Toluene dari
n-heptane
PLANT
CH3 CH2 CH2 CH2 CH2 CH2 CH3 →C6 H5 CH3 + 4H2
Reaksi dehidrogenasi pada katalis Cr2 O3 :
• Berapa suhu reaktor?• Bagaimana menentukan ukuran reaktor?• Bagaimana mengetahui kebutuhan panas/energi?• Bagaimana memisahkan produk?• Dan lain lain
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Proses
Problem-Solving Rekayasa
Mendefinisikanmasalah
Modelmatematika
Hasil
angkaatau
grafik
Implementasi
DATATEORI
Alat
problem-solving:Komputer, statistika,
metoda
numerik, grafik, dll.
Interface masyarakat: penjadwalan,
optimisasi, komunikasi, interaksi
publik, dll.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Model Matematika
Sederhana
Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika.
• Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem
• Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan
• Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem• Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= penggerak
fungsi parameter, ,bebasvariabel bebas tak
Variabel f
Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk:
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Model Matematika
Sederhana
Hukum Newton II (tentang gerak): laju perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya resultante yang bekerja padanya.
• a = variabel tak bebas yang mencerminkan perilaku sistem• F = fungsi penggerak• m = parameter yang mewakili sifat sistem
Untuk kasus sederhana seperti ini tidak ada variabel bebas karena kita tidak memprediksi bagaimana percepatan berubah dalam waktu atau ruang.
dalam format persamaan diatas:
maF =
mFa =
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Karakteristik
Tipikal
Model Matematika
Fisik
Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematika.Model matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan pengaruh relativitas yang pengaruhnya kecil ketika dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia.Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatasdapat digunakan untuk menghitung percepatan.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Model Yang Lebih
Kompleks
FA
FB
Gaya-gaya yang bekerja pada benda jatuh
Berapa kecepatan akhir batu jatuh bebas?
Dalam hukum Newton II:
Percepatan, a Laju perubahan percepatan, dv/dt
Fdtdvm =AB FFF +=
mgFB =
vCF DA −=vCmg
dtdvm D−=
vmCg
dtdv D−=
( ) ( )[ ]tmC
D
DeCgmtv −−= 1
dibagi m
v = 0 pada t = 0
• t = variabel bebas• CD , m = parameter• g = fungsi penggerak
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Tipe-Tipe
Model
Model FisikRealisasi fisik seperti apa adanya.Biasanya berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebihsederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkandan diwakili.Contoh:
Berukuran lebih kecil: Model skala pesawat terbang, kapal, saluranairBerukuran sama tetapi konstruksinya sederhana: Perancangan ataudesain mobilPeralatan proses ukuran laboratorium atau pilot plant
Model Konseptualrealisasi fisik seperti apa adanya, tetapi merupakan saran atau usulan pernyataan realisasi fisik.Realisasi fisik dari saran adalah sebuah kalimat yang dinyatakandalam bahasa yang sesuai.Jika menggunakan bahasa matematika, kalimat tersebut disebut persamaan.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Model Proses
Konseptual
Model
Variabel
input
Variabel
output
Variabel
internal
PernyataanParameter prosesParameter non‐proses
• Dalam model proses konseptual terdapat pernyataan yang mengandung parameter-parameter;
• Setiap pernyataan:• merupakan model dari sebuah sub-fenomena.• menyatakan hubungan antara input dan output sub-fenomena yang
menjadi pertanyaan.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Hubungan
Proses
dan
Model Proses
Besaran
dan
pernyataan Parameter
proses
Parameternon‐proses
Model proses
Fenomena
proses
Peralatan
proses
Sifat
fisika Besaran
lain
Proses
Ruang
model
Ruang
fisik
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Manfaat
Model Matematika
Riset dan pengembangan: menentukan mekanismekinetika kimia dan parameter‐parameter dari data reaksilaboratorium atau pilot plant; mengeksplorasi pengaruhkondisi operasi yang berbeda untuk optimisasi dan studipengendalian; membantu dalam perhitungan scale‐up.Desain: Mengeksplorasi ukuran dan susunan peralatanproses untuk unjuk kerja dinamis; mempelajari interaksibermacam‐macam bagian proses, khususnya ketikadigunakan recycle bahan atau integrasi panas; mengevaluasi proses alternatif dan struktur pengendalidan strategi; mensimulasikan start‐up, shutdown, dansituasi dan prosedur darurat.Operasi pabrik: troubleshooting masalah pengendali danproses; membantu dalam start‐up dan training operator; mempelajari pengaruh dari dan kebutuhan untukproyek ekspansi (menghilangkan bottleneck); mengoptimalkan operasi pabrik.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Model teoritis: dikembangkan menggunakanprinsip kimia dan fisika.Model empiris: diperoleh dari analisa matematika(statistika) data operasi proses.Model semiempiris: mongkompromikan antara (a) dan (b), dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen atau plant.
Klasifikasi
Model matematika
Pembedaan model teoritis-empiris didasarkan pada tujuan penggambaran pernyataan dan bukan pada kedalaman pengetahuan.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Perbandingan
Model Teoritis
dan
Empiris
Teoritismencoba menggambarkan meknisme dari sebuah fenomena(menggambarkan hubungan sebab‐akibat dari suatu mekanisme).Karena keterbatasan pengetahuan tentang fisika ruang‐waktu, gambaran hubungan sebab‐akibat ini dibatasi pada tingkat penggambaran yang sangat kasar. Contoh: dalam rekayasa proses digunakan aksioma kontinum dan bukan teori kuantum.membutuhkan pemahaman tentang mekanisme sehinggamembutuhkan sangat banyak pengetahuan (pemahaman) dan sangat banyak kerja untuk mengembangkan.dapat digunakan untuk mengekstrapolasi dengan resiko yang lebih kecil dibandingkan dengan pernyataan empiris.
Empiristidak mencoba menggambarkan mekanisme.tidak didasarkan pada teori yang menyatakan mekanisme tersebut.didasarkan pada data yang diperoleh melalui pengalaman (percobaan dan pengamatan) tanpa interpretasi eksplisit tentang data melalui sebuah teori.mengkorelasikan data empirismenggunakan metoda statistika.lebih mudah untuk mengembangkan daripada pernyataan teoritis.hanya dapat digunakan untuk ekstrapolasi dengan resiko yang sangat besar karena model empiris tidak memberikan implikasi apapun tentang keabsahannya diluar kisaran data dimana data tersebut didasarkan.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Ilustrasi
Model Teoritis
dan
Empiris
Penentuan faktor friksi f untuk aliran fluida incompressible dalam pipa. Aliran laminar:Dari persamaan konservasi memontum dan persamaan fluida Newtonian:
2100 Re Re16
<=f
525,0 103 Re 3000 Re079,0 ×<<= −fAliran turbulent:
102 103 104 105 1060.001
0.01
0.1
Fakt
or fr
iksi
, f
Bilangan Reynolds, Re102 103 104 105 106
0.01
0.1
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Rangkuman
Model yang sering digunakan dalam teknik kimia:Model fisik: realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili. Model konseptual: saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika.
Model matematika hanyalah merupakan suatu pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut.Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Soal
1.
Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda:a.
Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah
formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya
karena komputer dan metoda numerik menfasilitasi
penyelesaian problema teknik kimia.
b.
Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari
fakta bahwa sebagian besar hukum‐hukum fisika didasarkan
pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran.
c.
Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk
tujuan prediksi.
2.
Dean (Ph.D. Thesis, University of London, 1974) mengukur variasi
kecepatan garis pusat uc
dalam daerah masuk aliran udara diantara
dua pelat sejajar yang skemanya ditunjukkan pada gambar dibawah.
x
y uc
Daerah
masuk
Daerah
terkembang
penuh
2Lu0
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Soal
Hasil pengukuran, yang dinyatakan sebagai jarak tak berdimensi x/L
dan kecepatan pusat tak berdimensi uc
/u0
, ditunjukkan pada tabel
dibawah.
a.
Buat grafik x/L
lawan uc
/u0
berdasarkan data yang disajikan
pada tabel diatas.b.
Cari persamaan yang pas yang menghubungkan uc
/u0
sebagai
fungsi x/L
untuk data tersebut. Dapatkah data tersebut diwakili
oleh satu persamaan? Jika tidak, berikan saran agar semua data
terwakili!c.
Termasuk klasifikasi yang manakah persamaan yang diperoleh
pada (b) diatas?
x/L 18 29 40 55 65 78 90 100 115 150 uc/u0 1,062 1,082 1,11 1,125 1,15 1,16 1,165 1,138 1,13 1,12
Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS
Soal
3.
Data berikut dilaporkan untuk kesetimbangan uap‐cair untuk
campuran biner benzene dan toluene:
dimana x
dan y
berturut‐turut mewakili fraksi mol benzene dalam
cairan dan uap.a.
Tunjukkan bagaimana data ini dapat diplotkan untuk
menghasilkan garis lurus jika volalitas relatif adalah konstan.
Jika benzene dan toluene dianggap mengikuti hukum Raoult,
volatilitas relatif α dapat dianggap konstan dan hubungan
antara x
dan y
bisa dinyatakan sebagai:
b.
Paskan garis lurus terbaik dengan titik‐titk pada suatu grafik
dengan (i) pengamatan visual garis lurus melalui titik‐titik dan
(ii) metoda rata‐rata.
c.
Tentukan volatilitas relatif rata‐rata campuran dengan
menggunakan garis lurus yang diperoleh.
d.
Termasuk tipe persamaan yang manakah persamaan diatas?
Diskusikan!
x 0,167 0,333 0,500 0,667 0,833 y 0,320 0,550 0,710 0,830 0,930
( )xxy
11 −+=
αα