Bab 2

Landasan Teori

2.1. Pengertian Populasi

Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, baik hasil

menghitung maupun pengukuran, kuantitatif ataupun kualitatif,

daripada karakteristik tertentu mengenai sekumpulan obyek yang

lengkap dan jelas. Sampel adalah sebagian yang diambil dari populasi

dengan menggunakan cara-cara tertentu.

Untuk mendapatkan kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan

haruslah ditempuh cara-cara yang benar dalam setiap langkah, termasuk

cara-cara pengambilan sampel atau sampling. Dalam bab ini sampling yang

sederhana akan diuraikan seperlunya sesuai dengan tingkat uraian

statistika dalam modul ini.

Berdasarkan pada banyak objek yang ada didalam populasi, ada dua

macam ukuran populasi ialah:

a. Populasi Tak Hingga

Dengan ini dimaksudkan sebuah populasi yang di dalamnya terdapat

tak hingga banyak objek. Semua pengamatan mengenal proses yang

berjalan secara terus-menerus di bawah kondisi yang sama adalah

sebuah contoh macam populasi ini.

b. Populasi Terhingga

Populasi terhingga ini digolongkan semua populasi di mana terdapat

objek yang terhingga banyaknya. Jika di Indonesiasemuanya ada

21.500 perusahaan besar, maka populasi mengenai perusahaan

besaradalah terhingga. Demikian pula banyaknya kendaraan di

Indonesia, banyak pegawai yang bekerja di pabrik, jumlah pesanan

barang selama 10 tahun yang telah diterima sebuah perusahaan dan

lain-lain yang termasuk dalam contoh populasi terhingga.

2.2. Pengambilan Sampel

Berdasarkan jumlah sampel, pengambilan sampel dibedakan menjadi

dua, yaitu:

1. Pengambilan sampeldari populasi terhingga.

2. Pengambilan sampel dari populasi tak terhingga.

Seringkali peneliti tergoda dalam mengambil sampel dengan memilih

anggota populasi yang paling sesuai dengan keinginan si peneliti. Cara

kerja seperti itu dapat menimbulkan kesimpulan yang keliru tentang

populasi yang ingin diamati. Setiap prosedur sampling yang

menghasilkan kesimpulan yang konsisten menaksir lebih atau konsisten

menaksir kurang suatu parameter populasi dikatakan bias. Untuk

mencegah timbulnya bias dalam prosedur sampling sebaiknyalah

menggunakan sampel acak. Dalam artian bahwa pengamatan dilakukan

secara bebas satu sama lain dan acak.

Dalam mengambil sampel acak berukuran n dari suatu populasi f(x),

definisikanlah peubah acak xi, i = 1, 2, …, n, sebagai pengukuran atau

nilai sample ke i yang diamati. Peubah acak x1, x2, …, xn jadinya

merupakan suatu sample acak populasi f(x) dengan nilai numerik x1, x2,

…, xn, bila pengukuran dikerjakan dengan mengulangi percobaan n ke n

peubah acak X1, X2, …, Xn, bebas dan masing-masing berdistribusi f(x). ini

berarti bahwa X1, X2, …, Xn, masing-masing berdistribusi peluang f(x1),

f(x2), …, f(xn) dengan distribusi peluang gabungan.

Bila dari suatu pabrik dipilih secara acak n = 8 baterai kering yang

diproduksi dalam ketentuan (keadaan) yang sama, dan kemudian

umurnya dicatat, pengukuran pertama x1 menyatakan nilai x1,

pengukuran kedua x2 nilai x2 dan seterusnya, maka x1, x2, …, x8

merupakan nilai sample acak X1, X2, …, X8. Bila dianggap populasi umur

baterai berdistribusi normal, nilai yang mungkin untuk tiap x1, i = 1, 2, …,

8, akan tetap sama dengan populasi semula, dan karena itu xi akan

mempunyai disitribusi normal yang tepat sama dengan X.

Tujuan utama memilih sampel acak adalah untuk mendapatkan

keterangan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui. Misalkan

kita ingin menarik kesimpulan mengenai proporsipenduduk di Indonesia

yang menyenangi kopi robusta. Akan mustahil menanyai semua orang

Indonesia dan kemudian menghitung parameter p yang menggambarkan

proporsi yang sebenarnya. Sebagai gantinya, diambil sampel acak yang

banyak kemudian dihitung proporsi p pada sampel yang menyenangi

kopi robusta. Nilai p ini kemudian dipakai untuk menarik kesimpulan

mengenai proporsi p yang sesungguhnya.

Bidang statistik pada dasarnya berkenaan dengan prediksi. Sebagai

contoh, berdasarkan pendapat beberapa orang yang diwawancarai

dijalan, bahwa pada pemilihan mendatang 60% dari para pemilih di

Jakarta akan memilih calon tertentu. Dalam kasus ini kita berhadapan

dengan suatu sample acak pendapat dari popuolasi berhingga yang amat

besar. Sebagai ilustrasi kedua dapat kita katakana bahwa biaya rata-rata

membuat rumah di Bandung adalah antara 20 dan 25 juta rupiah,

berdasarkan taksiran 3 orang pemborong yang dipilih secara acak dari 30

orang pemborong yang sekarang membangun dikota itu.

Populasi yang disampel disini juga berhingga tetapi amat kecil.

Akhirnya, mesin pelayan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan

240 ml minuman secangkir. Seorang karyawan perusahaan menghitung

rataan 40 cangkir minuman yang dikeluarkan mesin tadi dan

memperoleh x= 236 ml dan berdasarkan hasil ini memutuskan bahwa

mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata-rata isi = 240 ml.

Ke 40 cangkir minuman merupakan suatu sample dari populasi tak

berhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin

tadi.

Pada tiap contoh diatas kita menghitung suatu statistik dari sampel yang

dipilih dari populasi dan dari statistik ini kita membuat berbagai

pernyataan yang mungkin benar atau tidak mengenai nilai parameter

populasi. Karyawan perusahaan memutuskan bahwa mesin pelayan

minuman itu rata-rata isinya 240 ml kendatipun rataan sample 236 ml,

karena dia tahu dari teori sampling bahwa nilai sample seperti itu

kemungkinannya muncul besar. Memang, kalau dia melakukan

pengujian seperti itu, katakanlah setiap jam, maka dia mengharapkan

nilai xnaik turun disekitar = 240 ml. Hanya bila nilai xamat berbeda

dengan 240 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan

memperbaiki mesin tersebut.

Distribusi peluang x disebut distribusi sampel dari rataan dan galat baku

rataan adalah simpangan baku dari distribusi sampelx. distribusi sampel

suatu statistik akan tergantung pada ukuran populasi, ukuran sampel

dan metode memilih sampel.

2.3. Alasan Sampling

Untuk melakukan analisis statistik diperlukan data, karenanya data perlu

dikumpulkan. Bergantung pada berbagai faktor, untuk ini kadang-

kadang dilakukan sensus, kadang-kadang dilakukan sampling. Sensus

terjadi apabila setiap anggota tau karakteristik yang ada di dalam

populasi dikenai penelitian.Jika tidak, maka sampling yang ditempuh,

yaitu sampel diambil dari populasi dan datanya dikumpulkan. Ada

berbagai alasan mengapa sensus tidak dapat dilakukan, antara lain:

Ukuran Populasi

Telah kita kenal bahwa ada dua macam ukuran populasi ialah

terhingga dan tak hingga.Dalam hal populasi tak hingga, ialah

populasi berisikan tidak terhingga banyak objek, sudah jelas sensus tak

mungkin dilakukan.Juga mengingat populasi tak hingga pada

dasarnya hanya konseptual sukarlah untuk melakukan sensus

terhadapnya.Meskipun kita mempunyai populasi terhingga, sensus

belum tentu selalu bisa dilaksanakan.Dalam praktek, populasi

terhingga sering dianggap sebagai populasi tak hingga, jika di

dalamnya sudah cukup terlalu banyak anggota tau obyek.Anggapan

demikian sering membuat teori sampling dan analisis menjadi lebih

sederhana.

Masalah Biaya

Adalah wajar bahwa makin banyak objek yang kita teliti makin banyak

pula biaya yang diperlukan.Bagaimanapun juga, jika hanya tersedia

biaya terbatas, sampling satu-satunya pilihan, terkecuali jika ukuran

populasi sedikit sekali sehingga dengan biaya tersebut sensus bisa

dilaksanakan.Perlu diingat bahwa biaya diperlukan bukan saja hanya

untuk pengumpulan data, tetapi juga untuk analisis, diskusi,

perhitungan-perhitungan, gaji ahli dan ongkos konsultasi.

Masalah Waktu

Sensus memerlukan waktu yang lebih lama jika dibandingkan dengan

sampling.Dengan demikian sampling dapat memberikan dengan lebih

cepat.Dalam hal ini diinginkan kesimpulan yang segera, maka sampling

benar-benar terasa faedahnya.Jelaslah pula bahwa menganalisis data

hasil sampling, selain daripada menghemat biaya seperti tertera diatas,

juga menghemat waktu karena dapat dilakukan dalam waktu yang

singkat.

Percobaan yang Sifatnya Merusak

Jika penelitian terhadap objek yang sifatnya merusak, maka jelas

sampling harus dilakukan.Tidak mungkin jika sensus dilakukan untuk

mengetahui kekuatan daya letak granat yang dihasilkan, kemanjuran

obat yang dihasilkan, kekuatan ban mobil yang dihasilkan, keadaan

darah seorang pasien dan masih banyak contoh lagi. Kalau semua

granat atau ban mobil dicoba, adakah granat tersisa untuk keperluan

perang, adakah ban mobil untuk dijual? Jika darah pasien semuanya

dikeluarkan untuk diperiksa, adakah orang yang bersedia untuk

diperlakukan demikian.

Masalah Ketelitian dalam Penelitian

Salah satu segi agar kesimpulan cukup dapat dipertanggungjawabkan

ialah masalah ketelitian.Data harus benar dan pengumpulanya harus

dilakukan dengan benar dan teliti.Demikian pula pencatatan dan

penganalisisannya.Pengalaman menyatakan bahwa makin banyak

objek yang harus diteliti, makin kurang ketelitian yang dihasilkan.

Petugas, peneliti, pencacah akan merasa bosan untuk melakukan

tugasnya yang itu-itu juga yang jumlahnya sangat banyak. Kebosanan

pada waktu melakukan wawancara, akan timbul kalau yang diteliti

terlalu banyak. Karenanya akan diperoleh data yang tidak dapat

dipercaya kebenarannya. Kesalahan akan lebih besar terjadi ketika

mencatat dan menyalin data dari formulir isian hasil sensus daripada

hasil sampling.Umumnya, menguasai objek yang sedikit hasilnya lebih

baik daripada menguasai objek terlalu banyak.

Faktor ekonomis

Dengan faktor ekonomis diartikan, apakah kegunaan dari hasil

penelitian sepadan dengan biaya, waktu dan tenaga yang telah

dikeluarkan. Jika tidak, mengapa harus dilakukan sensus, yang jelas

akan memakan biaya, waktu dan tenaga yang banyak? Faktor

ekonomis ini sering dilupakan, karenanya perlu mendapat perhatian

sewajarnya.

Demikianlah, telah diuraikan beberapa alasan yang menyebabkan

perlunya diadakan sampling untuk suatu penelitian. Bahwa alasan-alasan

sampling itu tidaklah perlu semuanya terjadi pada suatu keadaan yang

bersamaan dan pula tidak semua sama pentingnya dalam beberapa

persoalan yang sedang ditinjau. Tetapi seringkali paling sedikit satu di

antaranya perlu dipertimbangkan.

2.4. Rancangan Sampling

Jika untuk penelitian ternyata sampling telah disepakati selanjutnya

sampling dengan baik. Beberapa yang perlu diperhatikan dengan ini

antara lain:

Rumuskan persoalan yang ingin diketahui.

Tentukan dengan jelas batas populasi mengenai persoalan yang ingin

diketahui itu.Sering kesimpulan tidak benar karena telah dibuat

berdasarkan sampel yang diambil dari populasi yang salah.

Didefinisikan dengan jelas dan tepat segala data dan istilah yang

diperlukan.

Tentukan unit sampling yang diperlukan.

Unit sampling adalah satuan yang terkecil yang menjadi anggota

populasi.

Tentukan dan rumuskan cara-cara pengukuran dan penilaian yang

akan dilakukan.

Kumpulkan, jika ada, segala keterangan tentang hal yang ingin diteliti

yang pernah dilakukan masa lampau misalnya mengenai presentasi

rata-rata dan ukuran lainnya.

Tentukan ukuran sampel berapa unit sampling yang harus diambil

dari populasi jangan sampai sampel berukuran terlalu kecil sehingga

kesimpulan tidak memuaskan dan pula terlalu besar dan

menyebabkan biaya terlalu banyak.

Tentukan cara sampling yang mana yang akan ditempuh agar sampel

yang diperoleh representatif.

Tentukan cara pengolahan data yang mana akan dilakukan, apakah

wawancara langsung, dengan daftar isian, meneliti langsung atau

mengumpulkan dari sumber-sumber yang sudah ada.

Tentukan metode analisis mana yang akan digunakan.

Sediakan biaya dan minta bantuan ahli baik berbentuk pembantu

tetap ataupun hanya sebagian konsultan.

2.5. Distribusi Sampling

Sebagaimana kita ketahui, bahwa data statisitik diperolah dengan cara

populasi dan sampel. Cara yang paling sering digunakan adalah sampel,

karena cara ini lebih mudah digunakan dibandingkkan cara populasi.

Pada hakekatnya sampel merupakan sebagian yang diambil dari

populasi, sehingga sampel dan populasi merupakan dua bagian yang

tidak dapat dipisahkan. Tujuan dari pengambilan data dengan cara

populasi ataupun sampel adalah untuk memperoleh suatu kesimpulan

sebagai keputusan akhir dari data yang diperoleh.

Untuk memperoleh kesimpulan yang dapat dipertanggungjawabkan,

maka haruslah ditempuh cara-cara yang benar dan tepat dalam setiap

langkahnya termasuk cara pengambilan sampel atau sampling. Sampel

yang diambil adalah sampel acak, dari sampel tersebut diperoleh nilai

statistik untuk kemudian diolah dan dianalisis pada akhirnya diambil

suatu kesimpulan, untuk itu diperlukan sebuah teori yang dikenal

dengan nama distribusi sampling. Distribusi sampling ini adalah suatu cara

pengolahan data, dimana data diperoleh dengan cara sampel atau

sampling.

Salah satu statistik inprensial adalah mengambil kesimpulan tentang suatu

hal yang di selidiki dari bahan-bahan yang diperoleh (sampel) dari

kesimpulan yang diperoleh hendak digeneralisasikan pada jumlah bahan

yang lebih besar bagi populasi kiranya tidak perlu ditekankan bahwa

kebanyakan penelitian tidak memiliki bahan sebanyak-banyaknya untuk

mengambil kesimpulan tentang suatu objek penyelidikan kecuali makan

waktu yang sangat lama, meminta tenaga yang sedikit dan biaya yang

cukup besar. Oleh sebab itu, penyelidikan dengan ukuran sampel yang

besar tidak dapat di laksanakan dan tidak ada gunanya.

Populasi adalah seluruh penduduk yang dimaksudkan untuk diselidiki

disebut populasi atau universum, populasi dibatasi sebagai jumlah

penduduk atau individual yang paling sedikit mempunyai satu sifat yang

sama. Istilah penduduk pada hakekatnya bukan saja yang berwujud

manusia. Akan tetapi sejumlah binatang diantaranya: kambing, kelinci,

tikus dan barang-barang dagangan, batu dan sebagainya.

Adapun sifat yang sama itu dapat merupakan sifat dasar bawaan kodrat,

seperti, misalnya orang-orang yang lahir di indonesia, jenis kelamin,

orang yang rambutnya keriting, tikus yang berwarna putih dan batu

karang. Akan tetapi disamping itu sifat yang dipersoalkan dapat juga

bukan sifat bawaan, seperti: anak-anak yang sedang bermain, murid-

murid dari suatu tingkat sekolah, orang-orang dalam suatu jabatan

tertentu, tanaman-tanaman akulasi, benih-benih yang dikawinkan silang

atau benda-benda awal yang telah dirubah sifat kodratnya.

Sampel adalah sebagian dari populasi, artinya jumlah penduduk yang

jumlahnya kurang dari jumlah populasi. Sampel harus mempunyai

paling sedikit satu sifat yang sama, baik sifat kodrat maupun sifat

pengususan. Proporsi sampel yang kita selidiki tergantung pada faktor-

faktor yang dipertimbangkan. Misalnya: jika ada pengetahuan, bahwa

keadaan populasi adalah homogen, mengambil yang terlalu besar,

hampir tidak ada gunanya. Untuk menyelidiki bagaimana keadaan air

dalam seluruh kolam renang tidak perlu orang mengambil sampel atau

contoh sepuluh drum air.

Dalam distribusi sampling akan dipelajari adalah parameter sebuah

populasi dimisalkan diketahui dari sebuah populasi dapat diambil lebih

dari suatu sebuah sampel jika populasinya berukuran tak hingga jelaslah

ada banyak tak hingga pula sampel yang dapat diambil untuk populasi

yang berukuran terhingga objeknya, misalnya: maka pengambilan sampel

yang dilakukan dengan pengembalian secara teoritis yang akan diperoleh

sebanyak tak hingga sebuah sampel yang masing-masing mempunyai

berukuran n.

Dari sebuah populasi dapat diambil lebih dari satu buah sampel, maka

kita harus memperhatikan sebuah sampel yang mungkin dapat diambil

dari populasi tersebut. Apakah sampel mewakili populasi atau memiliki

ciri-ciri dari sebuah populasi karena nol ini merupakan masalah yang

sangat penting dan frinsipil dalam tata kerja penyelidikan ilmiah. Jika

syarat-syarat tertentu tidak dipenuhi, maka sukar untuk

dipertanggungjawabkan mengambil kesimpulan untuk penyelidikan

terhadap sampel untuk digeneralisasikan pada populasi.

2.5.1. Macam-Macam Distribusi Sampling

Distribusi Rata-Rata

Distribusi sampel pertama yang penting yang akan dibahas ialah dari

rataan x. Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi

normal dengan rataan dan variansi2. Tiap pengamatan Xi, i = 1, 2,

…, n, dari sample acak tersebut akan berdistribusi normal yang sama

dengan populasi yang diambil sampelnya._X =

nX...XX n21

berdistribusi normal dengan rataan

x =n

... n21

dan variansi

2

2222x n

...

Bila populasi yang disampel tidak diketahui distribusinya, berhingga

atau tidak, maka dsitribusi sampel x masih akan berdistribusi hampir

normal dengan rataan dan variansin

2 asal saja ukuran sampelnya

besar. Hampir normal untuk x umumnya cukup baik bila n 30,

terlepas dari bentuk populasi. Bila n < 30, hampirannya hanya akan

baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila

populasinya diketahui normal, maka distribusi sampel x akan tepat

berdsitribusi normal, dan ukuran sampelnya tidaklah menjadi soal.

Untuk N yang cukup besar dibandingkan n, maka berlaku hubungan:

_x =

_x =

n

Dari uraian diatas didapat, jika sampel acak berukuran n diambil dari

sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata dan simpangan

baku , maka distribusi rata-rata sampel mempunyai rata-rata dan

simpangan baku seperti rumus diatas jika (n/N) 5%. σx dinamakan

kekeliruan standar rata-rata atau kekeliruan bakurata-rata atau pula

galat baku rata-rata. Ini merupakan ukuran variasi rata-rata sampel

sekitar rata-rata populasi . σx mengukur besarnya perbedaan rata-

rata yang diharapkan dari sampel ke sampel.

Jika sebuah populasi mempunyai rata-rata dan simpangan baku

yang besarnya terhingga, maka untuk ukuran sampel acak n cukup

besar, distribusi rata-rata sampel mendekati disitribusi normal

dengan rata-rata μx = dan simpangan baku σx = σ√n. Terlihat bahwa

dalil diatas berlaku untuk sembarang bentuk atau model populasi

asalkan simpangan bakunya terhingga besarnya. Jadi bagaimanapun

model populasi sampel, asal saja variansi terhingga, maka rata-rata

sampel akan mendekati distribusi normal. Pendekatan kepada normal

ini makin baik jika ukuran sampel n makin besar. Biasanya untuk n

30 pendekatan ini sudah mulai berlaku. Apabila populasi yang

disampel sudah berdistribusi normal, maka rata-rata sampel juga

berdistribusi normal meskipun ukuran sampel n < 30.

Distribusi normal yang didapat dari distribusi rata-rata perlu

distandarkan agar daftar distribusi normal baku dapat digunakan.

Untuk ini digunakan transformasi:

z =_

_

x

x

Distribusi Proporsi

Uraian untuk proporsi sejalan dengan untuk distribusi rata-rata.

Misalkan populasi diketahui berukuran N yang didalamnya didapat

peristiwa A sebanyak Y diantara N. Maka didapat parameter proporsi

peristiwa A sebesar

Ny . Dari populasi ini diambil sampel acak

berukuran n dan dimisilkan didalamnya ada peristiwa A sebanyak x.

Sampel ini memberikan statistik proporsi peristiwa A =x/n. Jika

sebuah sampel yang mungkin diambil dari populasi itu maka didapat

sekumpulan harga-harga statistik proporsi. Dari kumpulan ini kita

dapat menghitung rata-ratanya, diberi simboln

x .

Untuk ini ternyata bahwa, jika ukuran populasi kecil dibandingkan

dengan ukuran sampel, yakni (n/N) > 5% maka,

n

x

n-Nn-N

nnx

1

dan jika ukuran populasi besar dibandingkan dengan ukuran sample,

yakni (n/N) 5% maka:

nx

1NnN

n1

nx

nx dinamakan kekeliruan bakuproporsi atau galat bakuproporsi.

Untuk ukuran sample n cukup besar, berlakulah sifat berikut, Jika dari

populasi yang berdistribusi binom dengan parameter untuk

peristiwa A, 0 < < 1, diambil sample acak berukuran n dimana

statistik proporsi untuk peristiwa A = (x/n), maka untuk n cukup

besar, distribusi proporsi (x/n) mendekati distribusi normal.

Seperti dalam distribusi rata-rata, disinipun akan digunakan n 30

untuk memulai berlakunya sifat diatas. Untuk perhitungan, daftar

distribusi normal baku dapat digunakan dan untuk itu diperlukan

transformasi:

z =

nx

nx

Jika perbedaan antara proporsi sample yang satu dengan yang lainnya

diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka

berlaku:

dn

x karenan

x

mengandung faktor dengan = parameter populasi, maka untuk

rumus diatas berlaku jika parameter sudah diketahui besarnya. Jika

tidak, dapat ditempuh cara konservatifdengan mengambil harga

kekeliruan baku atau galat yang terbesar, yakni (1 - ) = 41 .

Distribusi Simpangan Baku

Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N. diambil sampel-

sampel acak berukuran n, lalu untuk tiap sampel dihitung simpangan

bakunya, yaitu S. dari kumpulan ini sekarang dapat dihitung rata-

ratanya, diberi simbol s dan simpangan bakunya diberi simbol s .

Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka

distribusi simapangan baku, untuk n besar, biasanya n>100, s

sangat mendekati distribusi normal dengan:

n2s

=simapangan baku populasi. Transformasi yang diperlukan untuk

membuat distribusi menjadi normal adalah

s

-sz

.

untuk populasi yang tidak berdistribusi normal dan untuk sample

berukuran kecil, n < 100, rumus-rumusnya sangat sulit dan karena

penggunaannya tidak banyak, maka tidak dibahas dalam modul ini.

Distribusi Median

Distribusi median dan juga distribusi statistik lainya, seperti distribusi

kuartil dan distribusi desil tidak akan digunakan disini. Karenanya

tidak akan dibicarakan lebih lanjut, kecuali distribusi median. Inipun

hanya akan disebutkan hasilnya.

Jika populasi berdistribusi normal atau hampir normal, maka untuk

sampel acak berukuran n > 30, distribus median akan mendekati

distribusi normal dengan rata-rata me dan simpangan baku me .

Dengan me dann

2533,1me

, dengan dan merupakan

parameter populasi.

Distribusi Selisih dan Jumlah Rata-Rata

Misalnya kita mempunyai dua populasi masing-masing berukuran N1

dan N2. Populasi kesatu mempunyai rata-rata 1 dan simpangan baku

1 sedangkan populasi kedua mempunyai rata-rata 2 dan

simpangan baku 2 . Dari setiap populasi secara independent kita

ambil sampel-sampel acak berukuran n1dari populasi kesatu dan

berukuran n2 dari populasi kedua.

Kumpulan selisih rata-rata sampel akan membentuk distribusi selisih

rata-rata. Dari kumpulan ini, kita dapat menghitung rata-ratanya,

diberi simbol yx dan menghitung simapangan bakunya diberi

simbol yx ternyata bahwa untuk N dan N2 cukup besar sampel-

sampel acak diambil secara independent.Satu sama lain didapat

hubungan:

21 xy

21y nn

22

21

x

juga dapat diambil selisih rata-rata_

j

_

j xy . Dalam hal ini berlaku

rumus:

__xy

= 12

_xy

=2

22

1

21

nn

__yx

atau _xy

besarnya sama dan dinamakan dengan kekeliruan

baku selisih rata-rata atau galat baku selisih rata-rata.

Selanjutnya, untuk ukuran-ukuran sample yang cukup besar, maka

selisih rata-rata__yx akan mendekati distribusi normal dengan rata-

rata dan simpangan baku seperti persamaan berikut:

___yx

= 21

__yx

=2

22

1

21

nn

untuk membuat distribusi normal ini menjadi dsitribusi normal baku

digunakan transformasi:

z =

__yx

21

__yx

Apabila dari dua kumpulan rata-rata sample_

ix dengan i = 1, 2, …, k

dan j

_y dengan j = 1, 2, …, r, maka akan diperoleh jumlah ratar-rata

sample_

ix + j

_y dengan i = 1, 2, …, k dan j = 1, 2, …, r. Seperti diatas,

dari kumpulan ini dapat dihitung rata-ratanya, diberi simbol __yx

dan simpangan bakunya, dan diberi symbol __yx

. Untuk sample-

sample acak yang independent, berlaku:

__yx

= 21

__yx

=2

22

1

21

nn

Distribusi jumlah rata-rata ini, untuk sample-sample berukuran cukup

besar, akan mendekati distribusi normal dengan parameter rata-rata

dan simpangan baku seperti berikut:

__yx

= 21

__yx

=2

22

1

21

nn

Untuk membuatnya menjadi normal baku perlu digunakan

transformasi:

Z=

__yx

21

__yx

Distribusi Selisih Proporsi

Selisih proporsi

2

j

1

i

ny

nx dapat dibentuk sehingga didapat

kumpulan selisih proporsi. Dari kumpulan ini dapat dihitung rata-

ratanya, diberi simbol sp dan simpangan bakunya diberi simbol sp ,

dengan dengan sp

2

j

1

i

ny

nx = selisih proporsi antara sampel kesatu

dan proporsi sampel kedua, ternyata untuk ini berlaku:

21 sp

21

sp nn2211 11

Untuk ukuran sampel n1 dan n2 cukup besar biasanya n1> 30 dan n2>

30, maka distribusi selisih proporsi ini akan mendekati distribusi

normal dengan parameter, agar supaya distribusi normal ini menjadi

distribusi normal baku maka diperlukan transformasi:

sp

21

2ny

nx

z

Misalkan ada dua populasi masing-masing berdistribusi binom,

keduanya maka berukuran cukup besar. Didalam kedua populasi itu

ada peristiwa A dengan 1 untuk kesatu dan untuk 2 untuk kedua

populasi ini, secara indenpendent diambil sampel-sampel acak

berukuran n1 dari populasi kesatu dan berukuran n2 dari populasi

kedua.untuk peristiwa A, didapat kumpulan proporsi:

.r,.....,2,1J,nY

Kdan,....,2,1I.nx

2

j

1

i

dengan x1= adanya peristiwa A dalam sampel yang diambil dari

populasi kedua, k dan r masing-masing banyak sampel yang

mungkin diambil dari populasi ke satu dan kedua.

Msp = 21

Msp = 2

22

1

11

nn1

nn1

spny

nx

z21

21

Tabel 3.2.1 Distribusi Selisih Proporsi

K N 1-n x S S2 X2

1

2

3

x

Untuk:

1. Rata-Rata ( x )

Merupakan rata-rata dari data yang dikelompokan dalam sub grup,

dengan rumus:

nxx

2. Rata-rata dari Rataan Data xMerupakan rata-rata dari rataan data yang dikelompokan dalam sub

grup dengan rumus:

kxx

3. Simpangan Baku

Seperti biasa kita mempunyai populasi berukuran N diambil sampel

acak berukuran n, lalu untuk setiap sampel dihitung simpangan

bakunya yaitu s. kumpulan ini sekarang dapat di hitung rata-ratanya,

diberi simbol s dan simpangan bakunya diberi simbol x . Jika

populasi berdistribusi normal atau hampir normal maka distribusi

simpangan baku, untuk n besarnya, biasanya n > 100 sangat

mendekati distribusi normal. Menyatakan besarnya perpancaran

data-data yang diperoleh dari perhitungan:

1n

xxfis 21

untuk n < 30

4. Nilai Chi-Square

2

22 s1nx

Hasil yang diterapkan dari distribusi statisik atau dalam hal ini

adalah distribusi yang menyangkut sampling baik terhadap distribusi

sampling rata-rata dan proporsi adalah terbentuknya suatu distribusi

normal. Sehingga distribusi ini mengikuti sifat-sifat kurva normal

misalnya kita menghitung mean dan distribusi mean, maka mean dari

mean itu akan mendekati mean dari populasi yang kita ambil

sampelnya syarat utama agar dapat ditarik suatu generelasisasi adalah

bahwa yang kita gunakan dalam penyelidikan harus menjadi cermin

dari populasi.

Dalam istilah teknis statistik dikatakan: sampel harus mewakili

populasi, atau sampel harus merupakan populasi dalam bentuk kecil

(miniature population) kalau tidak demikian secara ilmiah tidak ada

hak bagi kita untuk mengambil kesimpulan lain yang hanya berlaku

bagi sampel itu sendiri.