dinamika model populasi spesies tunggal pada …repository.unugha.ac.id/372/1/35.pdf · dinamika...

DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA

LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA

TUNGGAL DISKRET

LAILATUL QODARIAH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Dinamika Model

Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda

Tunggal Diskret adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing

dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun

tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan

dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, September 2014

Lailatul Qodariah

NIM G5100016

ABSTRAK

LAILATUL QODARIAH. Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada

Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret. Dibimbing oleh

ELIS KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.

Dalam karya ilmiah ini dijelaskan tentang model populasi spesies tunggal

pada lingkungan tercemar. Dalam model ini dipelajari perilaku kestabilan

populasi spesies tunggal yang terkena efek polutan akibat pencemaran

lingkungan. Perilaku kestabilan yang dipelajari adalah perilaku kestabilan yang

dibatasi, yaitu perilaku kestabilan model ketika tidak ada penambahan polutan

eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan ketika ada penambahan polutan

eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada kondisi titik tetap tertentu, perilaku

kestabilan lokal ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz dan perilaku kestabilan

global dianalisis menggunakan fungsi Lyapunov. Mengubah nilai-nilai parameter

sistem seperti parameter penambahan polutan eksogen ke dalam lingkungan

tercemar akan memunculkan bifurkasi Hopf. Keberadaan bifurkasi Hopf dianalisis

menggunakan kriteria Liu yang berkaitan dengan kriteria Routh-Hurwitz. Model

populasi spesies tunggal pada karya ilmiah ini juga mempelajari efek waktu tunda

tunggal diskret sebagai realisasi bahwa penyerapan polutan oleh populasi dari

lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan

membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Panjang waktu tunda

ditentukan menggunakan kriteria Nyquist sebagai upaya mempertahankan

kestabilan model. Simulasi menggunakan software matematika digunakan sebagai

upaya mengilustrasikan hasil analisis model.

Kata kunci: bifurkasi Hopf, spesies tunggal, waktu tunda.

ABSTRACT

LAILATUL QODARIAH. The Dynamics of a Single-Species Population in a

Polluted Environment with Single Discrete Time Delay. Supervised by ELIS

KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.

This manuscript describes a single-species population model in a polluted

environment. This model describes the stability of a single-species population

behavior which is affected by the pollution effect. The focus of stability is

restricted, the stability of behavior when there is no additional of exogenous

pollutants into the polluted environment and the opposite condition, there is an

additional of exogenous pollutants into the environment. For a certain fixed point,

a condition of local stability behavior was determined by Routh-Hurwitz criterion

and the behavior of global stability was analyzed by Lyapunov function.

Changing the value of parameters system such as the parameter of additional of

exogenous pollutants into the polluted environment will trigger Hopf bifurcation

existence. The occurrence of Hopf bifurcation was analyzed by Liu criterion that

related to the Routh-Hurwitz criterion. A single-species population model in this

manuscript also describes the effect of a single discrete time delay as a realization

that the absorption of pollutants was not immediately absorbed by the population,

but needing a time to contaminate the population. Furthermore, the time delay was

estimated by using the Nyquist criterion in order to maintain the stability of the

model. Mathematical simulation using a software was used to illustrate the results

of models analysis.

Keywords: Hopf bifurcation, single-species, time delay

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

DINAMIKA MODEL POPULASI SPESIES TUNGGAL PADA

LINGKUNGAN TERCEMAR DENGAN WAKTU TUNDA

TUNGGAL DISKRET

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

LAILATUL QODARIAH

Judul Skripsi : Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan

Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret

Nama : Lailatul Qodariah

NIM : G54100016

Disetujui oleh

Elis Khatizah, MSi

Pembimbing I

Drs Ali Kusnanto, MSi

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang

dipilih dalam studi pustaka yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah

Dinamika Model Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan

Waktu Tunda Tunggal Diskret.

Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penyelesaian karya ilmiah ini khususnya Ibu Elis Khatizah, MSi dan Bapak

Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Bapak Dr Paian Sianturi yang

telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan

kepada Bapak Winardi dan Ibu Masyitoh selaku orangtua yang memberikan

dukungan, semangat, dan doa tanpa henti. Ungkapan terima kasih juga

disampaikan kepada adik, kakak, seluruh keluarga, serta teman-teman atas segala

doa, semangat, dan kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, September 2014

Lailatul Qodariah

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN viii

PENDAHULUAN

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 8

Model Matematika 8

Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

Tanpa Waktu Tunda 8

Model Matematika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret 15

Perkiraan Panjang Waktu Tunda 20

SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA 22

DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA 32

SIMPULAN 33

DAFTAR PUSTAKA 34

LAMPIRAN 36

RIWAYAT HIDUP 55

DAFTAR GAMBAR

1 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model = 0 23 2 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan <

0 24 3 Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan >

0 25 4 Kestabilan Global pada Titik Tetap

25 5 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

Berdasarkan Parameter q 26 6 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

Berdasarkan Parameter p 28 7 Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

Berdasarkan Parameter 29

DAFTAR LAMPIRAN

1 Penondimensionalan Model 36 2 Penentuan Titik Tetap untuk Model = 0 37 3 Penentuan Titik Tetap untuk Model > 0 37 4 Penentuan Nilai Eigen untuk Model = 0 39 5 Penentuan Nilai Eigen untuk Model > 0 41 6 Kestabilan Global 44 7 Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 44 8 Mencari Persamaan Karakteristik Model dengan Waktu tunda 47

9 Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda 48

10 Transformasi Laplace pada Model dengan Waktu Tunda 49

11 Kriteria Nyquist 51

12 Kode Program Bidang Solusi 53

13 Kode Program Bidang Fase 53

14 Kode Program Gambar Bidang Fase Kestabilan Global 54

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pencemaran lingkungan merupakan risiko yang timbul dari pesatnya

perkembangan industri saat ini. Kehadiran racun atau polutan yang merupakan zat,

bahan, atau unsur yang tercampur dalam lingkungan dengan kadar berlebih dapat

mengubah, menghalangi, atau mengganggu fungsi lingkungan. Hal ini merupakan

indikator terjadinya pencemaran lingkungan (Siahaan 2004). Fenomena

pencemaran ini akan menyebabkan berkurangnya daya dukung lingkungan yang

kemudian akan memengaruhi laju pertumbuhan spesies di lingkungan.

Hujan asam adalah salah satu contoh fenomena lingkungan yang

menggambarkan adanya fenomena pencemaran udara. Hujan asam disebabkan

oleh jenis senyawa tertentu dari polusi udara yang bercampur dengan uap air,

seperti hujan atau kabut. Hujan asam ini kemudian jatuh ke bumi sebagai larutan

asam dengan komponen utamanya adalah oksidasi dari Sulfur dan Nitrogen.

Kedua komponen ini secara dominan dihasilkan dari pembangkit listrik

pembakaran batu bara, pelumeran tembaga, pabrik, dan emisi kendaraan bermotor.

Oksidasi ini berubah secara kimiawi pada atmosfer dan kembali ke bumi melalui

hujan, salju, kabut atau debu. Proses pengasaman lingkungan ini dapat mengubah

struktur ekologi sehingga memengaruhi komunitas ekologi (Van Lier dan

Irene1980).

Beberapa tahun terakhir, masalah polusi lingkungan ini menjadi perhatian

serius karena polusi dapat memengaruhi kelangsungan hidup jangka panjang dari

spesies dan keanekaragaman hayati dari habitat (Siahaan 2004). Oleh karena itu,

studi tentang efek dari polutan pada populasi dan penilaian risiko untuk populasi

menjadi cukup penting. Masalah memperkirakan efek dari polutan pada populasi

melalui model matematika merupakan cara yang efektif.

Penelitian terkait pendugaan efek polutan pada sistem ekologi menggunakan

model matematika dilakukan pertama kali oleh Hallam dan rekannya pada tahun

1983 (Hallam et al. 1983). Sejak itu banyak penelitian yang mempelajari efek dari

polutan pada lingkungan tercemar, termasuk Pal dan Samanta yang memaparkan

model populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan

mempertimbangkan adanya kontrol pencemaran pada populasi (Pal dan Samanta

2010).

Selanjutnya, dipahami bahwa banyak proses alami atau buatan manusia pada

sistem ekologi, pengobatan, proses kimia, dan proses lainnya merupakan proses

yang melibatkan waktu tunda. Waktu tunda sangat sering terjadi, hampir pada

semua kondisi, sehingga memedulikannya adalah memedulikan realitas (Kuang

1993). Mempertimbangkan waktu tunda dalam mempelajari efek polutan terhadap

populasi pada lingkungan tercemar juga dianggap perlu. Hal ini terjadi karena

polutan pada lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi,

melainkan membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi tersebut.

Dalam karya ilmiah ini, dianalisis model matematika populasi spesies tunggal

pada lingkungan tercemar tanpa waktu tunda dan model matematika populasi

spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret

2

yang disusun oleh Sharma dan Samanta (2013). Dari model ini akan dianalisis

karakteristik, kestabilan, dinamika, dan perkiraan panjang waktu tunda pada

populasi spesies tunggal yang dipengaruhi oleh lingkungan tercemar.

Tujuan Karya Ilmiah

Tujuan karya ilmiah ini adalah:

1. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf

pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar

tanpa waktu tunda Sharma dan Samanta (2013).

2. Menganalisis dinamika kestabilan dan menunjukkan adanya bifurkasi Hopf

pada model matematika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar

dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma and Samanta (2013).

3. Memperkirakan panjang waktu tunda pada model matematika populasi spesies

tunggal pada lingkungan tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret Sharma

dan Samanta (2013).

TINJAUAN PUSTAKA

Diberikan fungsi persamaan diferensial sebagai berikut.

( ) (1)

Persamaan (1) disebut sistem dimensi satu atau sistem orde satu dengan x(t)

adalah nilai real fungsi dari waktu dan f(x) adalah nilai real fungsi dari yang bergantung terhadap waktu. Persamaan (1) memunyai titik tetap jika

memenuhi ( ) . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan

(Tu 1994).

Persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial linear jika f merupakan

fungsi linear dan persamaan (1) dikatakan sistem persamaan diferensial taklinear

jika f merupakan fungsi taklinear. Untuk suatu sistem persamaan diferensial

taklinear, analisis kestabilannya dilakukan melalui pelinearan. Tahap pertama

dalam pelinearan terhadap persamaan (1) adalah mengasumsikan persamaan (1)

sebagai persamaan taklinear dengan turunan parsial dari persamaan (1) kontinu di

Rn. Menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh

( ), (2)

dengan

[

]

,

3

dan ( ) adalah suku berorde tinggi yang memiliki sifat ( ) (Tu

1994).

Persamaan (2) dapat dituliskan dalam bentuk

.

Misalkan matriks A berukuran , maka suatu vektor taknol x di Rn

disebut

vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A,

berlaku

(3)

Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk

mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran , maka persamaan (3)

dapat ditulis sebagai berikut.

( ) (4)

dengan I adalah matriks identitas, maka persamaan (4) akan memiliki solusi

taknol jika dan hanya jika

( ) ( ) , (5)

dengan ( ) merupakan persamaan karakteristik dari A (Meiss 2007).

(Giesl 2007; Meiss 2007) menjelaskan bahwa kestabilan titik tetap dapat

ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu yang

diperoleh dari persamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap

memunyai perilaku sebagai berikut.

1. Stabil, jika

a. ( ) untuk setiap i.

b. Terdapat ( ) untuk sembarang j dan ( ) , untuk setiap .

Stabil asimtotik jika ( ) untuk setiap i. Stabil asimtotik terbagi

menjadi dua, yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. Titik dikatakan

titik tetap stabil asimtotik lokal jika hanya berlaku untuk nilai-nilai state

awal di sekitar titik tetap, sedangkan titik dikatakan titik tetap stabil

asimtotik global jika berlaku untuk semua nilai-nilai state awal, semua

state akan bergerak menuju satu titik tetap yang sama.

2. Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga ( ) .

3. Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif

( untuk i dan j sembarang). Sadel hiperbolik, jika ( ) , untuk

setiap i.

Dalam permasalahan tertentu, tidak mudah menentukan kestabilan titik tetap

dengan hanya menggunakan tanda bagian real nilai eigen. Oleh karena itu,

diperlukan metode penentuan kestabilan titik tetap lain yang dapat menentukan

tanda bagian real nilai eigen suatu persamaan karakteristik. Salah satu metode

yang dapat digunakan adalah metode kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu suatu

metode untuk menunjukkan kestabilan dengan tidak harus menghitung akar-akar

persamaan karakteristik secara langsung. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

terdapat pada teorema berikut.

4

Teorema Routh-Hurwitz Criterion 1: Misalkan bilangan-bilangan

real, jika . Semua nilai dari persamaan karakteristik

( )

, (6)

memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap i=1,2,…,k,

determinan dari matriks Mi

[ ]

adalah positif. Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz dalam teorema 1, untuk

suatu k, disebutkan bahwa titik tetap stabil asimtotik lokal jika dan

hanya jika

,

Untuk kasus k = 3, kondisi Routh-Hurwitz disajikan pada teorema berikut.

Teorema Routh-Hurwitz Criterion 2: Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real

dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik

(7)

adalah negatif jika dan hanya jika A, B, C positif dan AB > C (Fisher 1990).

Bukti:

Routh – Hurwitz criterion 2: Misalkan A, B, C adalah bilangan real, bagian

real nilai eigen dari persamaan polinomial karakteristik

3

2

adalah negatif jika dan hanya jika A, C positif dan AB > C.

Dari persamaan 3

2 maka .

Menurut teorema Routh – Hurwitz criterion 2 persamaan karakteristik

3

2 memunyai bagian real nilai eigen negatif jika

| | | | | | positif, sehingga

| | | | | |

| | |

|

|

|

5

| | |

|

|

|

( ) karena maka

Routh – Hurwitz criterion 2 terbukti

Kestabilan dapat bersifat lokal dan bersifat global. Kestabilan lokal mudah

ditentukan dengan pendekatan linear. Sedangkan kestabilan global cukup sulit

ditentukan. Menggunakan fungsi Lyapunov adalah salah satu metode yang dapat

digunakan dalam menentukan kestabilan global. Verhulst (1990) menjelaskan

bahwa fungsi Lyapunov dari suatu sistem persamaan diferensial bersifat tidak

tunggal. Misal diberikan fungsi dan titik kestabilan

persamaan (1). Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi ketiga

pernyataan berikut.

1. Fungsi V kontinu dan memunyai turunan parsial pertama yang kontinu

Pada E.

2. Fungsi ( ) untuk dengan , dan ( ) = 0 dengan (dengan titik tetap merupakan titik minimum global).

3. Fungsi ( ) untuk setiap .

L o ’ (2009) memberikan fungsi Lyapunov yang memenuhi ketiga

pernyataan di atas.

1. Fungsi Lyapunov logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk sistem Lokta-

Volterra

( ) ∑

(

)

2. Fungsi Lyapunov kuadratik umum (common quadratic Lyapunov functions)

( ) ∑

( )

3. Fungsi Lyapunov kuadratik gabungan (composite quadratic Lyapunov

function)

( ) [∑

]

Titik kestabilan sistem persamaan (1) dikatakan memiliki kestabilan global

jika terdapat fungsi Lyapunov V dengan titik tetap sehingga,

1. * | + untuk suatu k > 0, merupakan himpunan terbatas.

2. ( ) untuk setiap .

6

3. Terdapat M himpunan invarian terbesar dalam { | ( ) }, maka

setiap solusi x(t) menuju ke M untuk .

Persamaan diferensial dengan waktu tunda merupakan salah satu bentuk

persamaan diferensial dimana turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa

waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai dari fungsi waktu yang

dibutuhkan suatu proses. Bentuk umum persamaan diferensial dengan waktu

tunda untuk ( ) , yaitu

( ) ( ( ) ( )), (8)

Dengan positif yang merepresentasikan lama waktu tunda. Pada persamaan (8), f

adalah fungsi bentuk ke Bentuk persamaan diferensial dengan

waktu tunda kontinu, yaitu

( ) ( ( ) ∫ ( ) ( )

), (9)

dan persamaan diferensial dengan waktu tunda diskret, yaitu

( ) ( ( ) ( )), (10)

untuk , dan . Persamaan (8) disebut persamaan diferensial dengan waktu tunda berbentuk

linear jika f merupakan fungsi linear dan persamaan (8) disebut persamaan

diferensial dengan waktu tunda berbentuk taklinear jika f merupakan fungsi

taklinear. Persamaan diferensial dengan waktu tunda yang berbentuk taklinear,

memerlukan pelinearan agar dapat diselesaikan secara eksplisit. Menggunakan

transformasi koordinat berikut.

,

dengan merupakan titik tetap persamaan diferensial waktu tunda taklinear.

Diperoleh

( ) ( ), (11)

adalah perpindahan jarak sangat kecil dari titik tetap diantara ( ) .

Menggunakan ekspansi Taylor disekitar titik tetapnya, diperoleh

,

dengan ( ) (

)

dan ( ) (

)

merupakan matriks Jacobi x yang dievaluasi pada titik tetapnya dan merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetapnya.

7

Misalkan matriks berukuran , maka suatu vektor taknol A di Rn

disebut vektor eigen dari , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen

dari , berlaku

(12)

Dengan solusi dan vektor A disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen. Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang

berukuran , maka persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut.

( ) (13)

I adalah matriks identitas, maka persamaan (13) akan memiliki solusi taknol jika

dan hanya jika

( ) ( ) , (14)

dengan ( ) merupakan persamaan karakteristik dari (Lakshamanan dan

Senthilkumar 2010).

Sharma dan Samanta (2013) menjelaskan secara umum, jika merupakan

titik tetap bersifat stabil yang memiliki bagian real nilai eigen negatif dengan akar

persamaan karakteristik (14) adalah Analisis kestabilan titik tetap berdasarkan nilai waktu tunda dapat dilakukan dengan memperhatikan kestabilan

titik tetap dan kondisi transversalitas, yaitu kondisi yang dapat mengubah sifat

kestabilan bila melewati suatu titik kritis pada garis imajiner dan akar

persamaan karakteristik (14) akan bergerak menuju bidang imajiner yang positif

ketika nilai waktu tunda melebihi titik kritis Kondisi untuk transversalitas

adalah sebagai berikut.

.

/

karena 0 ( )

1

.

Dengan demikian, titik tetap memunyai batasan kestabilan menurut waktu

tunda sebagai berikut.

1. stabil untuk , 2. tidak stabil untuk , dan

3. mengalami bifurkasi Hopf pada saat . Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu

sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem

dinamika tersebut. Bifurkasi adalah perubahan jumlah titik tetap (titik kestabilan)

dan perubahan kestabilan dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika

terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Sedangkan bifurkasi Hopfadalah

kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis

yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa saat kesetimbangan mengalami

perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Dalam

bifurkasi Hopf terdapat keadaan terisolasi, artinya orbit (lintasan) di sekelilingnya

tidak tertutup. Orbit (lintasan) ini bergerak secara spiral menuju atau menjauhi

limit cycle. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan

limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil.

8

HASIL DAN PEMBAHASAN

Model Matematika

Pal dan Samanta (2010) memodelkan populasi spesies tunggal pada

lingkungan tercemar dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol

berupa input polutan eksogen pada populasi, kemudian mempertimbangkan

adanya efek waktu tunda diskret bagi polutan dalam mencemari lingkungan

tercemar. Kemudian, Sharma dan Samanta (2013) dengan menggunakan model

dasar yang sama seperti Pal dan Samanta, mempertimbangkan kembali adanya

efek waktu tunda tunggal diskret bagi polutan pada lingkungan tercemar dalam

mencemari populasi dengan mempertimbangkan keberadaan fungsi kontrol

berupa input polutan eksogen dalam lingkungan yang tercemar.

Model Matematika Populasi Spesies Tunggal

pada Lingkungan Tercemar Tanpa Waktu Tunda

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model populasi spesies tunggal pada

lingkungan tercemar Sharma dan Samanta (2013), untuk melihat dinamika

pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar. Modelnya

sebagai berikut.

( )

( ) ( )

( ) ( )

Asumsi yang dipakai pada model adalah

A1. Ada polutan yang diberikan pada lingkungan dan organisme hidup, yang

kemudian polutan tersebut masuk ke dalam lingkungan dan tubuh organisme

hidup tersebut.

A2. Untuk tingkat pertumbuhan populasi, diasumsikan bahwa tingkat kelahiran

adalah ( ) dan tingkat kematian adalah ( ), dengan

( ) ( ) ( ) ,

dan semua parameter positif.

Persamaan (16) dengan banyak parameter ditransformasikan ke bentuk yang

lebih sederhana dengan cara penondimensionalan model. Skala parameter yang

digunakan, yaitu

9

Melalui penondimensionalan ini, sistem persamaan (15) dapat dituliskan menjadi

( )

( ) ( )

( ) ( )

dengan

( ) ( ).

(Lampiran 1)

Tabel Notasi

Notasi Definisi

n(t) konsentrasi biomassa populasi pada waktu t

c(t) konsentrasi polutan pada populasi pada waktu t

s(t) konsentrasi polutan pada lingkungan pada waktu t

X merepresentasikan konsentrasi biomassa populasi

Y merepresentasikan konsentrasi polutan pada populasi

Z merepresentasikan konsentrasi polutan pada lingkungan

k tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena

adanya asupan populasidari lingkungantercemar

r tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena

adanya sekresi

m tingkat pengurangan polutan di dalam tubuh populasi karena

adanya metabolisme

h tingkat pengurangan polutan pada lingkungan secara alami

oleh lingkungan

tingkat pengurangan polutan pada lingkungan karena

kaitannya dengan konsentrasi polutan pada populasi

f tingkat pengurangan konsentrasi biomassa populasi karena

kompetisi antarspesies

u(t) tingkat input polutan eksogen yang diasumsikan fungsi

smooth bounded taknegatif pada waktu t

a

merepresentasikan tingkat pengurangan polutan pada

lingkungan karena adanya asupan populasi dari lingkungan

tercemar dan tingkat pengurangan konsentrasi biomassa

populasi karena kompetisi antarspesies

p tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak

ada polutan dalam populasi

q tingkat pengurangan polutan pada tubuh populasi melalui

sekresi, metabolisme, atau pengurangan konsentrasi

10

biomassa populasi akibat kompetisi antarspesies

d tingkat pengurangan polutan pada populasi yang

berhubungan dengan sekresi dan kematian populasi

( ) merepresentasikan penambahan input polutan eksogen ke

dalam lingkungan pada waktu t

Penentuan Titik Tetap Model Populasi Spesies Tunggal

pada Lingkungan Tercemar

Dalam penentuan titik tetap model populasi spesies tunggal pada lingkungan

tercemar tanpa waktu tunda, terdapat dua kasus, yaitu kasus pertama

merepresentasikan tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam

lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan ( ) ,

sehingga mengubah sistem persamaan (16) menjadi Model

( )

( ) ( )

( )

kasus kedua merepresentasikan ada penambahan input polutan eksogen ke dalam

lingkungan tercemar pada waktu t yang dilambangkan dengan ( ) .

Selanjutnya kasus kedua ini akan disebut sebagai Model .

Analisis Titik Tetap untuk Model

Titik tetap Model diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan

berikut.

( ) ( ) ( )

( )

Diperoleh titik tetap ( ) ( ). (Lampiran 2)

11

Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model

Pelinearan Model menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut.

(

( )

( ) ( ) )

Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks

Jacobi Model yang dievaluasi pada titik tetap tersebut.

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap ( ) substitusikan

( ) ke dalam persamaan matriks Jacobi Model . Diperoleh

( ) (

)

Selanjutnya penyelesaian persamaan karakteristik ( ( ) )

menghasilkan nilai eigen untuk matriks ( ), yaitu

Parameter p dan q diasumsikan bernilai positif, sehingga , dan

. Dari nilai eigen yang diperoleh, disimpulkan bahwa kestabilan

bersifat sadel hiperbolik karena bagian real nilai eigen pertama bernilai positif dan

bagian real kedua nilai eigen selanjutnya bernilai negatif serta nilai eigen yang

diperoleh merupakan nilai eigen taknol (Meiss 2007).

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap ( ) Substitusikan

( ) ke dalam persamaan matriks Jacobi Model , diperoleh

( ) (

( )

)

Selanjutnya, penyelesaian persamaan karakteristik ( ( ) ) 0,

menghasilkan nilai eigen untuk matriks ( ), yaitu

( ) √( ) ( )( )

( )

Jika ( ) dan ( )( ) , maka bagian real

nilai eigen kompleks akan bernilai negatif. Dari nilai eigen yang diperoleh,

disimpulkan bahwa kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal (Giesl 2007).

(Lampiran 4)

12

Analisis Titik Tetap untuk Model > 0

Diberikan Model sebagai berikut.

( )

( ) ( )

( )


berikut.

( ) ( ) (20)

( )

Diperoleh titik tetap Model yaitu .

/

(

)

dengan

( )

( )

( )

( )

* ( ) +*( )( ) +

( )

(Lampiran 3)

Analisis Kestabilan Titik Tetap untuk Model > 0

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap .

/ substitusikan

.

/ ke dalam persamaan matriks Jacobi Model , diperoleh

.

/

(

)

13

Selanjutnya penyelesaian persamaan karakteristik ( .

/ )

menghasilkan nilai eigen untuk matriks .

/, yaitu

Jika , maka komponen nilai eigen akan bernilai positif dan

kestabilan titik tetap bersifat tidak stabil, karena tidak semua bagian real nilai

eigen bernilai negatif. Sedangkan jika maka komponen nilai eigen

akan bernilai negatif dan kestabilan titik tetap bersifat stabil asimtotik

lokal, karena semua bagian real nilai eigen bernilai negatif (Giesl 2007).

Untuk menganalisis kestabilan titik tetap (

) Substitusikan

(

) ke dalam persamaan matriks Jacobi Model .Diperoleh

( ) (

(

) ( )

)

Untuk menyederhanakan ( ), dimisalkan

(

) ( )

( ) (

)

Selanjutnya, dilakukan penyelesaian terhadap persamaan karakteristik

( ( ) ) , yaitu

,

dengan

(Lampiran 5)

Karena semua parameter diasumsikan positif, jika dan maka menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem bersifat stabil asimtotik

lokal (Fisher 1990).

Verhulst(1990) menjelaskan titik tetap (

) tidak selalu

memiliki kestabilan global, terdapat kondisi yang harus dipenuhi agar titik tetap

(

) memiliki kestabilan global, yaitu jika X(t), Y(t), dan Z(t)

dibatasi. Misalkan terdapat nilai dan dengan i = 1, 2, 3. Sehingga

14

( ) , ( ) , dan ( ) Menggunakan fungsi

Lyapunov yang bersifat definit positif pada titik tetap (

) dapat

ditentukan batas titik tetap (

) yang harus dipenuhi agar memiliki

kestabilan global. Pal dan Samanta (2010) menggunakan fungsi Lyapunov berikut

pada model spesies tunggal pada lingkungan tercemar

( ) (

)

(

)

(

)

Turunan dari fungsi Lyapunov terhadap t, diperoleh

(

) ( )( )(

) ( )(

)

( ( ) )( )(

) ( )(

)

(

) ( ) (

) ( )

( ) (

)( ) (

)( )

dengan

( ) (

)

( ) ( ( ) )

Untuk memenuhi kondisi kestabilan global, turunan dari fungsi Lyapunov

terhadap t harus memiliki sifat definit negatif, oleh karena itu

harus memenuhi

,

Titik tetap (

) memiliki kestabilan global jika memenuhi batas

berikut.

( ) (

) * ( ) +

( )

(

) (

)( )

(Lampiran 6)

Analisis Bifurkasi Hopf untuk Model > 0

Pada titik tetap (

) bifurkasi Hopf tidak dapat terlihat secara

eksplisit dari parameter yang terdapat pada Model . Sehingga diasumsikan

adalah salah satu dari semua parameter yang terkait pada Model > 0. Jika

nilai parameter terjadi saat bifurkasi Hopf di titik tetap (

) ,

maka dengan kondisi , Liu (1994) membuktikan bahwa syarat perlu dan

cukup agar terjadi bifurkasi Hopf, yaitu

( ) (

) ( )

( )

15

Dengan demikian, titik tetap (

) mengalami bifurkasi Hopf pada

Model Matematika Populasi SpesiesTunggal Pada

Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda Tunggal Diskret

Selanjutnya akan dibahas model populasi spesies tunggal pada lingkungan

tercemar dengan waktu tunda tunggal diskret. Model ini menggambarkan

pertumbuhan populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar dengan ada

penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar pada waktu t

dan efek penundaan yang membuat model lebih mempertimbangkan realitas.

Konsep penundaan ini terjadi karena penyerapan polutan oleh populasi dari

lingkungan tercemar tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan

membutuhkan waktu hingga akhirnya mencemari populasi. Berikut ini adalah

sistem persamaan modelnya

( )

( ) ( ) ( )

( )

dengan nilai awal ( ) ( ) dan ( ) ( ) untuk ( ) , -

Semua parameter yang digunakan dalam persamaan (21) sama seperti yang

digunakan pada Model kecuali parameter yang merupakan konstanta

positif waktu tunda. merepresentasikan waktu yang diperlukan polutan untuk

mencemari populasi.

Analisis Titik Tetap dan Kestabilan Model Populasi Spesies

Tunggal pada Lingkungan Tercemar dengan Waktu Tunda

Tunggal Diskret

Titik tetap Model yaitu .

/ dan

(

) memiliki

kestabilan bersifat asimtotik lokal. Khusus titik tetap (

) kestabilan tidak hanya bersifat stabil asimtotik lokal, tetapi juga memiliki

kestabilan bersifat asimtotik global yang telah dianalisis menggunakan fungsi

Lyapunov, sehingga model dengan waktu tunda memiliki kestabilan yang sama

pula, karena titik tetap yang memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik akan

membuat semua turunan waktu menghilang secara bersamaan yang dinotasikan

dengan ( ) ( ) (Lakshamanan dan Senthilkumar 2010). Dalam

menganalisis lebih lanjut dinamika kestabilan sistem persamaan (21), akan

16

digunakan titik tetap (

), yang memiliki kestabilan bersifat stabil

asimtotik lokal dan global.

Dilakukan transformasi koordinat pada sistem (21) agar sistem tetap berpusat

pada kesetimbangan titik tetap (

) Transformasi koordinat yang

dilakukan sebagai berikut.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

dengan u(t), v(t), dan w(t) adalah perpindahan jarak titik tetap sangat kecil dari

titik tetap yang berada diantara ( ). Selanjutnya dilakukan pelinearan terhadap sistem persamaan (21). Dihasilkan dua

matriks Jacobi sebagai berikut.

(

( )

( ) ( ) ) (

)

merupakan matriks Jacobi X,Y,Z yang dievaluasi pada titik tetapnya dan merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetapnya. Dengan

demikian, diperoleh

( ) (

(

) ( )

).

Misalkan

(

) ( )

( ) (

),

dan

( ) (

)

Misalkan

maka

( ) (

).

17

Penggunaan ekspansi Taylor, pada pelinearan sistem persamaan (21) diperoleh

( ( )

( )

( )) (

)( ( )

( )

( )) (

)( ( )

( )

( ))

(Lampiran 7)

Selanjutnya, diasumsikan solusi sistem persamaan yang menggambarkan

perpindahan jarak sangat kecil karena adanya penundaan. Solusi sistem ini adalah

fungsi eksponensial seperti pada persamaan diferensial biasa, yaitu

( )

( )

( )

dengan ( ) , diperoleh persamaan karakteristik

( )

, (22)

dimana

(23)

(Lampiran 8)

Analisis Bifurkasi Hopf Model dengan Waktu Tunda Tunggal

Diskret

Asumsikan persamaan karakteristik (22) memiliki solusi imajiner murni

berbentuk . Dengan dipertimbangkan adanya bifurkasi Hopf pada titik

tetap (

). Kemungkinan adanya perubahan kestabilan pada

dapat terjadi karena adanya perubahan nilai parameter sehingga terjadi

perubahan kestabilan bersifat stabil jika ( ) dan bersifat tidak stabil jika

( ) . Oleh karena itu digunakan nilai eigen dengan dalam

melakukan analisis adanya bifurkasi Hopf.

Substitusikan nilai eigen pada persamaan (22) dan pisahkan antara bagian

real dan bagian imajiner, diperoleh

( ) ( )

(24)

( ) ( )

Eliminasi dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan bagian real

dan bagian imajiner, diperoleh

(25)

18

dimana

Misalkan , diperoleh

(26)

Klaim 1

Untuk , maka persamaan (26) tidak memiliki akar positif.

( )

selanjutnya ( )

, atau

, (27)

kemudian, diperoleh

√

Jika maka

sehingga (

) Hal ini

menunjukkan bahwa tidak ada satupun dari yang bernilai positif

dan ( ) menunjukkan bahwa persamaan (26) tidak memiliki akar

yang positif. Sehingga tidak ada sedemikian sehingga membuat nilai eigen dari

persamaan (26) adalah positif. Oleh karena itu, hanya mungkin jika setiap

bagian real nilai eigen persamaan (22) negatif ketika waktu tunda Titik

tetap (

) memenuhi ( ) ( ) pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990) dan

memenuhi yang memiliki bagian real nilai eigen negatif pada

waktu tunda dan titik tetap (

) pada persamaan diferensial

dengan waktu tunda memiliki kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika

waktu tunda .

Klaim 2

Untuk maka ( ) ( ) sehingga persamaan

(26) memiliki setidaknya satu akar positif.

Jika maka ( )

dan

( )

sehingga persamaan (25) memiliki akar positif pada solusi berbentuk akar

imajiner . Dari persamaan (24), diperoleh

(

( )

)

19

ketika , maka persamaan (22) akan memiliki akar berbentuk imajiner

( ) ( ) ( ) dengan kondisi sebagai berikut.

( ) dan ( ) .

Untuk mengetahui kurva berada pada keadaan stabil, dilakukan identifikasi

kondisi tranversalitas sebagai berikut.

(

)

Dari persamaan (22), diperoleh

( )

(( ) ) ( )

dan

(

)

( )

( )

(Lampiran 9)

Substitusikan pada persamaan (29), maka diperoleh bagian real dan

bagian imajiner sebagai berikut.

(

)

( ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

)

(

)

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

0 ( )

1

Jika adalah akar positif dari persamaan (26), maka yang

merupakan akar dari persamaan (25) adalah akar positif, sehingga kondisi

tranversalitas terpenuhi, yaitu

.

/

karena 0 ( )

1

.

20

Kondisi ini menunjukkan bahwa terjadi kondisi tidak stabil ketika ,

sehingga terjadi bifurkasi Hopf pada titik kritis , yang merupakan nilai positif

terkecil dari Titik tetap

(

) memenuhi (

) ( ) pada kriteria Routh-Hurwitz persamaan (22) (Fisher 1990)

dan memenuhi dan kondisi tranversalitas .

/

sehingga titik tetap (

)pada persamaan diferensial dengan waktu

tunda memiliki kestabilan bersifat tidak stabil ketika waktu tunda (Sharma

dan Samanta 2013).

Menggunakan Klaim 1 dan Klaim 2, titik tetap (

) memenuhi

( ) ( ) pada kriteria Routh-

Hurwitz (Fisher 1990) dan memenuhi kemudian memenuhi

dan kondisi tranversalitas .

/

sehingga titik tetap

(

) pada persamaan diferensial dengan waktu tunda memiliki

kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal ketika waktu tunda dan

bersifat tidak stabil ketika waktu tunda (Sharma dan Samanta

2013).Dengan

(

( )

)

Titik tetap (

) menunjukkan adanya bifurkasi Hopf pada , merupakan nilai parameter yang membuat titik tetap

(

)

mengalami bifurkasi Hopf (Sharma dan Samanta 2013).

Perkiraan Panjang Waktu Tunda

Mempertimbangkan bahwa sistem persamaan diferensial Model dan

setiap nilai real merupakan fungsi kontinu yang didefinisikan pada [– ] dari

suatu kondisi awal [– ]. Dapat dilakukan perkiraan panjang waktu tunda untuk

mempertahankan kestabilan suatu sistem.

Pelinearan sistem persamaan dengan waktu tunda tunggal diskret pada titik

tetap (

) diperoleh

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

21

( ) ( ) ( )

dengan,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Transformasikan persamaan (30) menggunakan transformasi Laplace,

diperoleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (31)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dengan ( ) ∫ ( )

dan ( ) ( ) ( ) adalah hasil transformasi

Laplace dari ( ) ( ) ( ) Gunakan persamaan (31) dan persamaan (23), diperoleh

( ( )

) ( ) ( ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) (Lampiran 10)

Invers transformasi Laplace dari ( ) akan memunyai terminologi

eksponensial yang meningkat terhadap waktu, jika ( )memiliki kutub dengan

bagian real positif. Titik tetap (

) stabil asimtotik lokal jika

memenuhi syarat cukup dan perlu untuk setiap kutub dari ( ) yaitu memiliki

bagian real negatif (Erbe et al. 1986).

Kriteria Nyquist merupakan kriteria penguat kestabilan yang fokus pada

pemaksimuman nilai frekuensi dari akar persamaan karakteristik berbentuk

imajiner murni (Nyquist 1932).

(Erbe et al. 1986) menjelaskan kriteria Nyquist. Jika adalah panjang

busur lingkaran sepanjang suatu kurva yang melingkari separuh lingkaran pada

bagian kanan, kemudian kurva ( )akan mengelilingi nilai awalsebanyak selisih

banyaknya kutub dan banyaknya nol pada kurva separuh lingkaran bagian kanan,

maka dapat ditunjukkan titik tetap (

) memiliki stabil asimtotik

lokal bila memenuhi kondisi berikut.

( ) ( ) ( ) ( )

dengan ( ) ( )

.

Menggunakan lema Butler, kestabilan titik tetap yang bersifat stabil asimtotik

lokal dipertahankan dengan memastikan bagian real bernilai negatif secara

kontinu. Lema ini menyatakan bahwa titik tetap (

) harus

memenuhi ( ) ( ) kemudian

bagian real dari solusi persamaan (22) memiliki nilai negatif ketika ,

22

dengan adalah nilai waktu tunda paling kecil dimana ada suatu solusi

bagian real bernilai nol (Freedman dan Rao 1983).

Menggunakan persamaan (32), persamaan (33), dan persamaan (24), diperoleh

( ) ( ) (34)

( ) ( ) (35)

Menggunakan persamaan (34) dan persamaan (35), diperoleh

[| | √| | ( | |)], (36)

Dengan Dan

* √

+ (37)

dengan

| | )

)

jadi, kestabilan sistem terjadi ketika , dengan merupakan waktu

maksimum bagi sistem bersifat stabil asimtotik lokal.

(Lampiran 10)

SIMULASI MODEL TANPA WAKTU TUNDA

Dinamika populasi spesies tunggal pada lingkungan tercemar untuk kurun

waktu tertentu dapat ditunjukkan melalui kurva bidang solusi dan bidang fase.

Proses komputasi untuk menghasilkan kurva bidang solusi dan bidang fase ini

menggunakan bantuan software matematika dengan terlebih dahulu memberikan

nilai untuk parameter dan nilai awal untuk masing-masing variabel.

Asumsikan bahwa tingkat kematian populasi spesies tunggal pada lingkungan

tercemar adalah positif atau ( ) agar tidak terjadi kepunahan

pada populasi. Asumsi ini memberikan syarat yang berarti

bahwa tingkat pertumbuhan populasi spesies tunggal pada kondisi populasi tidak

terkena polutan harus positif. Dengan demikian, batas konsentrasi polutan yang

terdapat pada populasi pada waktu t adalah ( )

. Dalam simulasi ini,

asumsi tersebut harus dipenuhi oleh setiap titik tetap. Khusus untuk titik tetap

.

/ nilai-nilai parameter yang digunakan harus terlebih dahulu

memenuhi dua kondisi parameter batas keberadaan titik tetap .

/ yaitu

dan Kondisi merepresentasikan bahwa tingkat

pengurangan polutan pada lingkungan tercemar harus lebih kecil daripada

23

penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar untuk

memperoleh kestabilan bersifat stabil asimtotik lokal. Kondisi

merepresentasikan bahwa tingkat pengurangan polutan pada lingkungan tercemar

harus lebih besar daripada penambahan input polutan eksogen ke dalam

lingkungan tercemar untuk memperoleh kestabilan bersifat tidak stabil.

Selanjutnya, untuk titik tetap (

) nilai-nilai parameter yang

digunakan harus terlebih dahulu memenuhi dua kondisi parameter batas

keberadaan titik tetap (

) yaitu dan Kondisi

merepresentasikan bahwa kemampuan populasi mengurangi polutan

yang berasal dari lingkungan tercemar harus lebih besar daripada pengurangan

polutan secara alami oleh alam. Representasi kondisi untuk titik tetap

(

) sama seperti kondisi untuk .

/.

Tabel 1 Nilai parameter yang digunakan pada pada Model dan Model

dengan

Parameter Nilai

p 2.28

q 2.92

a 4.14

d 0.54

h 0.2

Tabel 2 Nilai parameter yang digunakan Model dan

Parameter Nilai

p 2.28

q 2.92

a 4.14

d 0.54

h 0.1

Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model

Untuk mengamati dinamika Model = 0 pada bidang solusi, digunakan nilai

parameter pada Tabel 1 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 2, dan Z(0) = 0.2.

Dihasilkan titik tetap ( , , ) dengan nilai eigen 2 28 - 292, dan

- 2 , sehingga titik tetap bersifat tidak stabil. Dihasilkan pula titik tetap

(2 28 , , ) dengan nilai eigen -2 28 - 1 5 dan = -9.639,

sehingga titik tetap bersifat stabil asimtotik lokal.

24

Gambar 1 Bidang solusi Model

Gambar 1 menunjukkan dinamika Model yaitu kondisi model ketika

tidak ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada

model ini, konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi menurun.

Pengurangan ini dapat mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan

tercemar yang ditandai dengan meningkatnya konsentrasi biomassa populasi.

Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan

<

Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai

parameter pada Tabel 2 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan

Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap ( ,4 28 ,12 5 ) dengan nilai eigen -2 92

- 1 dan -2 sehingga titik tetap adalah stabil asimtotik lokal.

Gambar 2 Bidang solusi pada Model dan

Gambar 2 menunjukkan dinamika Model dan yaitu kondisi

model ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan

tercemar dan pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada

penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model

25

ini, terjadi peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi.

Peningkatan tersebut mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah.

Hal ini menggambarkan bahwa keberadaan populasi pada lingkungan tercemar

terancam punah.

Dinamika Populasi Spesies Tunggal untuk Model > 0 dengan

>

Untuk mengamati dinamika model ini pada bidang solusi, digunakan nilai

parameter pada Tabel 1 dengan = 1.25 serta nilai awal X(0) = 1, Y(0) = 1, dan

Z(0) = 5. Dihasilkan titik tetap ( ,2 14 ,6 25 ) dengan nilai eigen -2 92 ,

- 2 dan 139 sehingga titik tetap bersifat tidak stabil. Dan

dihasilkan pula titik tetap ( 432,1 847,4 596) dengan nilai eigen yang

diperoleh adalah = -0.008 + 0.157 I, = -0.003 – 0.157 I, dan - 893

sehingga titik tetap bersifat stabil asimtotik lokal.

Gambar 3 Bidang solusi pada Model dan

Gambar 3 menunjukkan dinamika Model > 0 dan yaitu kondisi

ketika ada penambahan input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar dan

pengurangan polutan pada lingkungan tercemar lebih besar daripada penambahan

input polutan eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Pada model ini, terjadi

perubahan kestabilan yang ditandai dengan adanya osilasi kemudian menuju titik

tetap 432,1 847,4 596 .

Kestabilan Global pada Titik Tetap

Dalam melihat dinamika populasi spesies tunggal pada titik tetap melalui

bidang fase, digunakan nilai parameter pada Tabel 1 dan = 1.25, serta nilai awal

( X(0), Y(0), Z(0) ) = (2,1,3), (4,3,5), (6,4,8), (5,3,8), (7,8,4).

26

Gambar 4 Bidang fase yang menunjukkan kestabilan global

Gambar 4 menunjukkan untuk semua titik awal akan bergerak menuju satu

titik tetap yang sama, yaitu titik tetap 432,1 847,4 596 yang berbentuk

spiral.

Titik tetap merupakan titik tetap yang memiliki kestabilan yang

tetap, yaitu selalu bersifat tidak stabil dan bersifat stabil asimtotik lokal.

Sedangkan titik tetap merupakan titik tetap yang dapat berubah sesuai

dengan perubahan nilai parametertingkat pengurangan polutan pada tubuh

populasi melalui sekresi, metabolisme, atau pengurangan polutan lainnya (q), nilai

parameter tingkat pertumbuhan alami populasi dalam keadaan tidak ada polutan

dalam populasi (p), dan nilai parameter penambahan polutan eksogen ke dalam

lingkungan tercemar ( ). Pada simulasi karya ilmiah ini akan dibahas perubahan

kestabilan titik tetap dan .

Dinamika Populasi Spesies Tunggal pada Lingkungan Tercemar

Berdasarkan Parameter q

Tabel 4 Pengaruh perubahan nilai parameter q terhadap bifurkasi Hopf

No q Kestabilan Titik Tetap

.

1 < 2.90 Tidak stabil Stabil asimtotik lokal

2 2.90-2.91 Tidak stabil Tidak stabil

3 Tidak stabil Stabil asimtotik lokal

27

Gambar 5 Bidang solusi dan bidang fase q = 2.92



Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperkecil

parameter q. Parameter q merepresentasikan kemampuan populasi mengurangi

konsentrasi polutan pada tubuhnya melalui sekresi, metabolisme, atau

pengurangan polutan lainnya. Semakin kecil nilai parameter q, populasi pada

lingkungan tercemar semakin terancam punah. Hal ini ditandai dengan

konsentrasi polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi dan konsentrasi

28

biomassa populasi relatif rendah. Selanjutnya, pada gambar-gambar bidang fase di

atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya bifurkasi Hopf.


Berdasarkan Parameter p

Tabel 5 Pengaruh perubahan nilai parameter p terhadap bifurkasi Hopf

No p Kestabilan Titik Tetap



Gambar 8 Bidang solusi dan bidang fase p = 2.28


29


Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan memperbesar

parameter p. Parameter p menggambarkan tingkat pertumbuhan alami populasi

dengan kondisi populasi bebas daripengaruh polutan. Parameter p yang semakin

besar mengakibatkan ketidakstabilan pada sistem yang ditandai dengan adanya

osilasi dan peningkatan konsentrasi polutan pada lingkungan. Kondisi ini dapat

mengancam keberadaan populasi pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada

gambar-gambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat adanya

bifurkasi Hopf.


Berdasarkan Parameter

Tabel 6 Pengaruh perubahan nilai parameter terhadap bifurkasi Hopf

No Kestabilan Titik tetap



3 1.291 Tidak stabil Stabil asimtotik lokal

4 >1.33 Stabil asimtotik lokal Tidak berlaku

Gambar 11 Bidang solusi dan bidang fase = 0.5

30




31


Gambar 16 Bidang solusi dan bidang = 1.33


32

Gambar-gambar bidang solusi di atas diperoleh dengan mengubah parameter

menjadi lebih besar. Parameter merepresentasikan penambahan input polutan

eksogen ke dalam lingkungan tercemar. Memperbesar parameter

mengakibatkan konsentrasi biomassa populasi relatif rendah, tetapi konsentrasi

polutan pada lingkungan dan populasi relatif tinggi. Hal ini menggambarkan

populasi terancam punah pada lingkungan tercemar. Selanjutnya pada gambar-

gambar bidang fase di atas terdapat kemunculan limit cycle akibat terjadi bifurkasi

Hopf.

DINAMIKA MODEL DENGAN WAKTU TUNDA

Pada bagian ini akan dibahas dinamika populasi spesies tunggal dalam

lingkungan tercemar yang mempertimbangkan efek waktu tunda. Parameter waktu

tunda yang akan digunakan adalah

(

( )

)

dan

,

dengan

dan

(

) ( )

diperoleh 0.025, 0.160, dan 0.021. Selanjutnya terjadi perubahan

kestabilan pada titik tetap ( 432,1 847,4 596) karena perubahan nilai

parameter .

Tabel 7 Perubahan kestabilan titik tetap ( 432,1 847,4 596) berdasarkan nilai

parameter Titik tetap Kondisi Kestabilan

( 432,1 847,4 596)

Stabil asimtotik lokal

Tidak stabil

Muncul bifurkasi Hopf

33

Selanjutnya, menggunakan kriteria Nyquist, nilai frekuensi

( ) dimaksimumkan untuk mendapatkan nilai waktu tunda maksimum.

Penggunaan kriteria ini dimaksudkan untuk mempertahankan kestabilan model

dengan waktu tunda. Nilai frekuensi dan nilai waktu tunda maksimum yang akan

digunakan adalah

0| | √| | ( | |)1

* √

+

dengan

| | )

)

diperoleh nilai 2.217 dan 0.672. Sehingga kestabilan titik tetap

( 432,1 847,4 596) dapat dipertahankan jika kondisi waktu tunda yang

diberikan pada interval (0, ).

Tabel 8 Perubahan kestabilan titik tetap ( 432,1 847,4 596) berdasarkan nilai

parameter

Titik tetap Kondisi Kestabilan

( 432,1 847,4 596)

Stabil asimtotik lokal

Tidak stabil

Muncul bifurkasi Hopf

Adanya perubahan kestabilan akibat perubahan parameter yang terjadi pada

titik tetap ( 432,1 847,4 596) dapat dijadikan indikasi munculnya bifurkasi.

Akan tetapi, kemunculan bifurkasi Hopf yang dapat dilihat melalui kemunculan

limit cycle masih sulit dibuktikan dalam bidang fase karena keterbatasan penulis

dalam menggunakan software matematika lain yang lebih mumpuni dalam

menganalisis sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda dimensi tiga.

SIMPULAN

Dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan tercemar dipengaruhi

oleh kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, tingkat

pertumbuhan alami populasi tanpa pengaruh polutan dan penambahan polutan

eksogen yang diberikan pada lingkungan. Semakin besar kemampuan populasi

mengurangi polutan yang ada dalam tubuhnya, semakin besar pula kemampuan

populasi bertahan pada lingkungan tercemar. Semakin besar tingkat pertumbuhan

alami populasi, semakin banyak polutan yang diberikan populasi pada lingkungan,

34

sehingga polutan pada lingkungan meningkat dan populasi pada lingkungan

tersebut terancam punah. Semakin besar penambahan polutan eksogen ke dalam

lingkungan tercemar, semakin mengancam keberadaan populasi pada lingkungan

tercemar semakin terancam punah. Dengan demikian, kondisi yang mampu

mempertahankan keberadaan populasi pada lingkungan tercemar adalah

peningkatan dalam hal kemampuan populasi mengurangi polutan yang ada dalam

tubuhnya, penurunan tingkat pertumbuhan alami populasi dan pengurangan input

polutan eksogen yang diberikan pada lingkungan tercemar.

Selain pengaruh di atas, dinamika populasi spesies tunggal dalam lingkungan

tercemar juga dapat dipengaruhi oleh parameter waktu tunda . Adanya efek

waktu tunda membuat model mempertimbangkan realitas. Realitas yang

dimaksudkan adalah penyerapan polutan oleh populasi dari lingkungan tercemar

tidak seketika terserap oleh populasi, melainkan membutuhkan waktu hingga

akhirnya mencemari populasi. Dengan mengubah nilai-nilai parameter, dinamika

populasi akantidak stabil. Akan tetapi, melalui pendugaan panjang waktu tunda

didapatkan nilai waktu tunda maksimum. Oleh sebab itu, kestabilan dinamika

populasi terjadi pada selang waktu tunda .

DAFTAR PUSTAKA

Erbe LH, Freedman HI, Rao VSH. 1986. Three Species Food Chain Models with

Mutual Interference and Time Delays. Mathematical Biossciences.

80(1):57-80.

Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth

& Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.

Freedman HI, Rao VSH. 1983. The Trade Off Between Mutual Interference and

Time Lags in Predator Prey Systems. Bulletin of Mathematical Biology. 45,

(6):991–1004.

Giesl P. 2007.Construction of Global Lyapunov Functions Using Radial Basis

Functions. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag.

Hallam GP, Clark CE, Lassiter RR.1983. Effects of Toxicants on Populations: A

Qualitative Approach. 1. Equilibrium Environmental Exposure.

Ecological Modelling. 18(4): 291–304.

Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population

Dynamics. Boston:Academic Press.

Lakshmanan M,Senthilkumar DV. 2010. Dynamics of Nonlinear Time-Delay

Systems. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag.

L o ’ VD 2 9 o r c o of L p ov F c o for c SIS, SIR

and SIRS Epidemic Model with Variable Population Size, Mat-Red Foro,

Vol. 26, www.red-mat.unam.mx/foro/volumenes/Vol026.

Liu WM. 1994. Criterion of Hopf Bifurcations without Using

Eigenvalues.Journal of Mathematical Analysis and Applications. 182(1):

250–256.

Meiss JD. 2007. Differential Dynamical Systems. USA: The Society for Industrial

and Applied Mathematics.

35

Nyquist H. 1932. Regeneration Theory.Bell System Technical Journal. 11:126-

147.

Pal AK, Samanta GP. 2010. Dynamics Model of A Single Species System in A

Polluted Environment. Journal of Applied Mathematics & Computing.

16(1-2): 231-242.

Sharma S, Samanta GP. 2013. Mathematical Analysis of A Single Species

Population Model in A Polluted Environment with Discrete Time

Delays.Journal of Mathematics.574213:18 doi:10.1155/2013/574213.

Siahaan NHT. 2004. Hukum Lingkungan dan Ekologi Pembangunan Edisi Kedua.

Herman Sinaga, Yati Sumiharti, editor. Jakarta(ID): Erlangga.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics,

Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley

Publishing Company.

TuPNV. 1994. Dynamic System: An Introduction with Application in Economics

and Biology. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag.

Van Lier, Irene H. 1980. Acid Rain and The International Law. Bunsel

Environmental Consultant. Toronto.

Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation an Dynamical System. New

York (US): Springer-Verlag.

36

Lampiran 1 Penondimensionalan Model

Dilakukan penondimensionalan persamaan (16) dengan skala parameter yang

digunakan, yaitu

.

/

( (

) (

))

.

/

( )

( ) ( )

.

/

(

) ( (

))

.

/

(

) ( )

( ) ( )

.

/

(

) (

) ( (

)) (

) (

) (

) ( )

.

/

(

) (

) ( ) (

) (

) (

) ( )

(

) ( ) (

) ( ) ( )

Misalkan

( ) ( )

Substitusikan parameter p, q, a, d, dan ( ) ke dalam sistem persamaan (38),

(39), dan (40). Sistem persamaan baru menjadi persamaan (17)

37

Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap untuk Model


(19)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Substitusikan persamaan (41) ke persamaan (42) dan (43), diperoleh

dan Sehingga titik tetap ( ) Dari persamaan (42) dan (43). Jika diperoleh nilai maka pastilah nilai

, sehingga dengan mensubstitusikan nilai Z dan Y ke persamaan (41)

diperoleh Sehingga diperoleh titik tetap ( )

Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap untuk Model > 0

Titik tetap Model diperoleh seperti penyelesaian pada persamaan (41),

dan (42), kecuali pada persamaan (43)

( )

( )

Substitusikan persamaan (41) dan (44) ke persamaan (41), diperoleh

sehingga titik tetap .

/

Eliminasi pada persamaan (21), menghasilkan

( )

( )

( )

38

( )

( )

Sederhanakan persamaan (46), diperoleh

( )

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )( )

(

)

( )

( ) ( )

Misalkan

( )

( )

√* ( )+ ( )( )

maka diperoleh

( ( ))

( ( ))

( )

( ) ( )

Substitusikan persamaan (47) ke persamaan (41), diperoleh

( )

( )

( )

( ) ( )

Substitusikan persamaan (47) dan (48) ke persamaan (42), diperoleh

39

( )

( )

( )(

( )

( ))

* ( ) +*( )( ) +

( )

Dihasilkan titik tetap (

)

Lampiran 4 Penentuan Nilai Eigen untuk Model

Misalkan Model dituliskan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dengan melakukan pelinearan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut.

(

)

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ) )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

( ( ) ) ( )

40

( ( ) ) ( )

( ( ) )

(

( )

( ) ( ) )

Pelinearan Titik Tetap ( )

Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi Model dengan

pendekatan limit

( ) ( )(

( )

( ) ( ) ),

( ) (

).

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik

( ( ) ) , sehingga diperoleh

| ( ) |

|

|

( )( )( )

Pelinearan Titik Tetap ( )

Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi Model

( ) (

( )

( ) ( ) ),

( ) (

( )

)

41



| ( ) |

|

( )

( ) |

( )( ( ) )( ) ( )( )

( )(( ( ) )( ) ( ))

( )( ( ) ( )( ) )

( ) √( ) ( )( )

( )

Lampiran 5 Penentuan Nilai Eigen untuk Model > 0

Misalkan Model dituliskan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dengan melakukan pelinearan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut.

(

)

( ( ))

( ( ))

( ( ))

42

( ( ) )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

( ( ) ) ( )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

(

( )

( ) ( ) )

Pelinearan Titik Tetap (

)


(

) (

( )

( ) ( ) ),

(

)

(

)

.

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan

karakteristik ( (

) ) , sehingga diperoleh

| (

) |

43

|

|(

)

|

|

((

) ) ( )( )

Pelinearan Titik Tetap (

)


( ) (

( )

( ) ( ) ),

( ) (

(

) ( )

),

misalkan

(

) ( )

( ) (

).



| ( ) |

|

|

( )( )( ) ( ) ( )

misalkan

44

diperoleh

Lampiran 6 Kestabilan global

( ) (

)

(

)

(

)

Turunan dari fungsi Lyapunov terhadap t, diperoleh

(

( )

)

(

)

(

)

(

( )

) ( ) (

)( ( ) ) ( )

( ( ) )

(

) ( )( )(

) ( )(

)

( ( ) )( )(

) ( )(

)

(

) ( )( )(

) ( )(

)

( )(

) ( ( ) )( )(

)

( ) (

) ( ) (

) (

) ( )(

) ( )(

)

dengan

( ) (

)

( ) ( ( ) )

Lampiran 7 Pelinearan Model Dengan Waktu Tunda

Misalkan model dengan waktu tunda dituliskan sebagai berikut.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dengan melakukan pelinearan terhadap X,Y,Z pada model dengan waktu tunda

diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut.

45

(

)

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) ) ( )

( ( ) ( ) )

( ( ) ) ( )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

(

( )

( ) ( ) )

Dengan melakukan pelinearan terhadap pada model dengan waktu tunda

diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut.

46

(

)

( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) )

( ( ) ( ) )

( ( ) ) ( )

( ( ) ) ( )

( ( ) )

(

)

Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi , diperoleh

( ) (

( )

( ) ( ) )

misalkan

47

(

) ( )

( ) (

)

Substitusikan titik tetap ke dalam matriks Jacobi , diperoleh

( ) (

)

misalkan

( ) (

)

Sesuai dengan deret Taylor , dengan ( ) (

)

dan

( ) (

)

merupakan matriks Jacobi x yang

dievaluasi pada titik tetapnya dan merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi

pada titik tetapnya (Lakshamanan dan Senthilkumar 2010).

Pelinearan model dengan waktu tunda diperoleh

( ( )

( )

( )) (

)( ( )

( )

( )) (

)( ( )

( )

( ))

Lampiran 8 Mencari persamaan karakteristik model dengan waktu tunda

Dengan menyelesaikan ( ) diperoleh persamaan

karakteristik

|(

) (

) (

)|

|

|

( )( )( ) ( )

48

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

misalkan

( )

.

Lampiran 9 Analisis bifurkasi Hopf model dengan waktu tunda

Asumsikan persamaan karakteristik (22) memiliki solusi imajiner murni

berbentuk . Substitusikan nilai eigen pada persamaan (22) dan

pisahkan bagian real dan imajiner dari persamaan yang diperoleh

( )

( )( ( ) ( ))

disederhanakan menjadi persamaan (24).

Kuadratkan persamaan (24) dan gunakan metode eliminasi, diperoleh

( ( ))

( ) ( )

( ( ))

( ( ))

( ) ( )

( ( )) ,

disederhanakan menjadi persamaan (25).

Gunakan persamaan (24) dalam memperoleh nilai

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

49

( ) (

( )

)

( )

( )

(

( )

)

Perubahan kestabilan titik tetap (

) berdasarkan nilai dapat

dilakukan menggunakan kondisi tranversalitas, yaitu dengan mendiferensialkan

persamaan karakteristik (22) terhadap , sehingga diperoleh

( )

( )

(( ) )

(

)

.( )

/

(

)

( )

Substitusikan pada persamaan (29), maka diperoleh bagian real dan

bagian imajiner.

Lampiran 10 Transformasi Laplace pada model dengan waktu tunda

Gunakan transformasi Laplace berikut.

( ( )) ( ) ∫ ( )

dan

(

) ( ) ( )

Bukti:

50

[

] ( )

∫

∫

( ) ( ) ∫ ( )

( ) ( )

Transformasikan sistem persamaan (30)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( )

( )

51

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Transformasi persamaan (30) menggunakan transformasi Laplace, menghasilkan

persamaan (31).

Susun ulang persamaan (31)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

( ))

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ) ( )

( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ),

kemudian, diperoleh

( ( )

) ( ) ( ( )

) ( ) ( ) (0)

( )

( )( ).

Lampiran 11 Kriteria Nyquist

Titik tetap (

) memiliki sifat stabil asimtotik lokal bila

memenuhi kondisi (32) dan (33).

Menggunakan persamaan (32) dan persamaan (24), diperoleh persamaan (34) dan

(35).

Menggunakan persamaan (34) akan ditentukan menggunakan , dengan

adalah batas paling atas dari . Mempertimbangkan , sedemikian sehingga

memenuhi , dimana .

( ) ( )

52

( ) ( ).

Memaksimumkan nilai ( ) ( ) dengan | ( )| dan | ( )|

| | | | ,

dihasilkan persamaan (36)

Menggunakan persamaan (34), diperoleh persamaan (52)

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Menggunakan persamaan (35) dan persamaan (52)

( )

( )

( )

( )

artinya

( ) ( ) ( )

( )

dengan memanipulasi didapatkan

( ) * ( )++ .

/ ( )

menggunakan bagian kiri dari persamaan yang diperoleh persamaan (35) dan

persamaan (52), diperoleh

( ) * ( )+ ( ) .

/

| |

dengan | .

/|

| |

| |

(i)

Dengan | ( )|

(

) |

|

( ( ) )

53

| | (ii)

Diperoleh

| |

| |

Sehingga dihasilkan persamaan (37).

Lampiran 12 Kode program bidang solusi

atau

1

Lampiran 13 Kode program bidang fase

54

Lampiran 14 Kode program gambar bidang fase kestabilan global

55

Riwayat Hidup

Penulis dilahirkan di serang pada tanggal 13 Maret 1992, anak kedua dari

tiga bersaudara, anak dari Bapak Winardi dan Ibu Masyitoh.

Tahun 2010 Penulis lulus dari SMAN 2 Krakatau Steel dan melanjutkan

pendidikan di jurursan Matematika, fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam (MIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi

Masuk IPB (USMI).

Tahun 2010-2012 penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa IPB, yaitu

Forum for Scientist Studies (Forces), tahun 2012 mendapatkan beasiswa Bank

Indonesia dan tahun 2013 mengikuti praktik kerja di Badan Pusat Statistik

Cilegon.

dinamika model populasi spesies tunggal pada …repository.unugha.ac.id/372/1/35.pdf · dinamika...

Documents