SIAPA BILANG MATEMATIKA ITU SULIT ?

Siapa Takut !

� IRISAN� IRISAN

� ✧✡✲✩✳ ✴✥✧✡✫ ✬✵✲✵✳ ✢✩✤✡✮✧

� ✧✡✲✩✳ ✴✥✧✡✫ ✬✵✲✵✳ ✢✩✤✡✮✧

� PROYEKSI GARIS PADA BIDANG� PROYEKSI GARIS PADA BIDANG

� JARAK� JARAK

� SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG� SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

� SUDUT ANTARA DUA BIDANG� SUDUT ANTARA DUA BIDANG

By: eM2LiB2007

P

Q

R

S

T

.U

V

W.

X.SUMBU

AFINITAS

..

.

Langkah-langkahHubungkan P dan Q sehingga memotong AD di T dan CD di S

1.

2. Hubungkan S dan R sehingga memotong HG di U dan DH di VHubungkan T dan V sehingga memotong AE di X dan HE di W

3.

4. Hubungkan XP , QR ,dan UW sehingga terbentuk bidang PQRUWX

DENGAN MENGGUNAKAN SB AFINITAS

LUKISLAH BIDANG IRISAN YANG MELALUI TITIK P,Q DAN R DENGAN KUBUS ABCD EFGH

SOAL :

� IRISAN� IRISAN

A

E

B

CD

F

GH

PQ

R

.UW.

X.

Langkah-langkahBuatlah garis PQ dan QR1.

2. Buatlah garis // PQ pada bidang EFGH yaitu garis UWBuatlah garis // QR pada bidang ACHE yaitu garis WX

3.

4. Buatlah garis RU garis XP

DENGAN MENGGUNAKAN KESEJAJARAN

5. Terbentuklah bidang irisan PQRUWX

� IRISAN� IRISAN

..

.

A

E

B

C D

F

GH

2

Definisi : Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu

Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada setiap garis pada bidang itu

l ⊥ a

l ⊥ b } l ⊥ setiap garis pada α

α

l

a b

T

a dan b berpotongan di titik T

dengan a dan b pada α

Dalil 1:

� GARIS TEGAK LURUS BIDANG� GARIS TEGAK LURUS BIDANG

Definisi : Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap garis di bidang itu

Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada setiap garis pada bidang itu

l ⊥ a

l ⊥ b } l ⊥ setiap garis pada α

α

l

a b

T

a dan b berpotongan di titik T

dengan a dan b pada α

Dalil 1:

� GARIS TEGAK LURUS BIDANG� GARIS TEGAK LURUS BIDANG

Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis yang saling berpotongan dan terletak pada sebuah bidang, maka garis itu tegak lurus dengan bidang itu

l ⊥ a

l ⊥ b } l ⊥ α

α

l

a b

T

a dan b berpotongan di titik T

dengan a dan b pada α

Dalil 2:

CONTOH :

Diketahui kubus ABCD EFGH. Buktikan bahwa garis BH tegak lurus bidang ACF

Bukti:

AF⊥ BE

AF ⊥ BC} AF⊥ BCHE

BH pada bidang BCHE } AF⊥ BH

AC⊥ BD

AC ⊥ BF} AC⊥ BDHF

BH pada bidang BDHF } AC⊥ BH

AF⊥ BH

AC⊥ BH} BH⊥ bidang ACF

di N

• M

• NTerbukti !

B

E

D C

A

GH

F

3

1. Proyeksi titik pada bidang

Definisi: Jika dari titik T ditarik garis TT1 (T1 pada α) yang tegak lurus pada bidang α, maka T1 disebut proyeksi titik T pada bidang α

T = titik yang diproyeksikanT1 = proyeksiTT1 = proyektorα = bidang proyeksi α

T

T1

2. Proyeksi garis pada bidangDefinisi: Jika garis PQ memotong bidang α di titik Q, maka untuk

melukis proyeksinya cukup dilukis titik P1 pada α yang merupakan proyeksi dari titik P. Garis P1Q adalah proyeksi garis PQ pada bidang α

α

•P

P1 •Q

•

� PROYEKSI GARIS PADA BIDANG� PROYEKSI GARIS PADA BIDANG

4

1. Jarak antara Titik dan Titik, Titik dan Garis, serta Titik dan Bidang

A. Jarak antara Titik dan Titik

Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB

A• •B

B. Jarak antara Titik dan Garis

Jarak antara titik A dan garis g (titik A di luar garis g) adalah panjang ruas garis AA´, dengan A´merupakan proyeksi titik A pada garis g

g

A•

A´

C. Jarak antara Titik dan BidangJarak antara titik A dan bidang α adalah panjang ruas garis AA´dengan A´ merupakan proyeksi titik A pada bidang α

α A´

•A

� JARAK� JARAK

CONTOH :

1. Diketahui limas beraturan T.ABCD, dengan AB= BC= cm dan TA= 13 cm. Hitunglah jarak dari A ke garis TC.

25

A

D C

B

T

Z

T1

AC = (diagonal alas)

= 10 cm2TA −2

1TT =

=2

2 102

113

×−

=169 − 25 = 144 cm

1TT = 12 cm

Luas ∆ ATC ⇒ 1TTAC2

1AZTC

2

1 ×=×

12102

1AZ13

2

1 ××=××

AZ = cm13

120

Jadi jarak titik A ke garis TC adalah cm13

120

25

25

2a= ( ) 2( )25

2 1AT

�

�

Jawab: Jarak dari A ke garis TC adalah AZ

dengan a = 25 25

�

2. Diketahui kubus ABCD EFGH, dengan panjang rusuk a cm . Tentukan jarak titik B ke bidang ACF.

B

• M

• N

Jawab: Jarak dari titik

�

BNB ke ACF adalah

2aBD =

22

aBD

2

1BM ==

22 BMFBFM +=2

2 22

aa

+=

4

a2a

22 +=

2

4

a6=

62

a=

Luas ∆ BFM ⇒

NBFM2

1BFBM

2

1 ×=×

NB62

a

2

1a2

2

a

2

1 ××=××

33

a

6

3a2

6

62a

6

2aNB ====

Jadi jarak dari titik B ke bidang ACF adalah 33

a (

3

1 diagonal ruang)

E

D C

A

GH

F

5

α

•P

P1•Q

Definisi: Jika garis g tidak tegak lurus pada bidang α, maka sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang α yaitu g' adalah ( ∠ θ )

g

θg'

Jadi ∠( g , α ) = ∠ θ

�

�

�

∠( g , g' )=

� SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG� SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG

CONTOH: Diketahui kubus ABCD EFGH, dengan panjang rusuk a cm. Tentukan besar sudut antara:

a. garis EC dan bidang ABCD

b. garis FM dan bidang ABCD, dengan titik M adalah pertengahan bidang ABCD.

Jawab : a. Sudut antara garis EC dan Bidang ABCD = ∠ ACE

α

A

E

D C

B

H G

F

AC = 2a

= ∠ α

22

1

2a

a

AC

AETg ===α

∠ α = arc tg 22

1

Jadi besar sudut antara garis EC dan

bidang ABCD adalah arc tg 22

1

∠( EC , AC) =

b. Sudut antara garis FM dan bidangABCD = ∠( FM , MB ) = ∠FMB =∠ β

Mβ�

BD = AC = 2a

BM = 2a2

1BD

2

1 =

Tg ∠β = 22a

2

1a

BM

BF ==

∠β = arc tg 2

Jadi besar sudut antara garis FM dan bidang ABCD adalah arc tg 23

LANGKAH-LANGKAH1. Tentukan garis / titik hasil perpotongan kedua bidang α dan β

em2LiBem2LiB

β

α

garis g

g

2. dan pada bidang β

θ

yang masing-masing saling berpotongan dan tegak lurus pada garis g

Jadi sudut antara bidang α dan bidang β adalah ∠ θ

adalah

Buatlah garis pada bidang α

� SUDUT ANTARA DUA BIDANG� SUDUT ANTARA DUA BIDANG

em2LiBem2LiBContoh : Diketahui limas beraturan T. ABCD, AB= 12 cm dan TT1= 6 3

Hitunglah besar sudut antara :

a. Bidang ADT dan bidang ABCD

b. Bidang ADT dan bidang BCT

A

DC

B

T

Jawab :

a. Sudut antara bidang ADT dan bidang ABCD

adalah ∠ TET1 = ∠ α

αT1

E

cm6=122

1 ×=AB2

1ET1 =

Tg ∠ TET 1 = Tg ∠ α = 1

1

ET

TT

= 6

36

= 3∠ TET 1 = ∠α = 60 °

Jadi besar sudut antara bidang ADT dan bidang ABCD adalah 60 °

12

EM 2LibEM 2LibJawab :

b. Sudut antara bidang ADT dan bidang BCT

adalah ∠ FTE = ∠ β

EF

β

�

ET= 21

21 ETTT +

= 22 6)36( + = 36108 +

= 12 cmET = FT = 12 cm T1

Oleh karena ET = FT = EF = 12 cm, maka ∆ ETF adalah segitiga sama sisi, sehingga ∠ FTE = 60°

A

DC

B

T

12

THE END

B

E

D C

A

GH

F

3

GPower:GPower:

A

DC

B

T

THE END