DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASIL OPERASI

GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH

oleh

HIDRA VERTANA

M0112042

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2016

i

ii

ABSTRAK

Hidra Vertana, 2016. DIMENSI PARTISI PADA TIGA HASILOPERASI GRAF CYCLE DENGAN GRAF PATH . Fakultas Matematika danIlmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang berkembang be-gitu cepat. Dalam kehidupan sehari-hari, teori graf membantu menyelesaikanpermasalahan manusia dengan merepresentasikan objek diskrit sebagai vertexdan hubungan antar objek diskrit sebagai edge. Salah satu konsep teori grafyang menarik adalah dimensi partisi. Dimensi partisi pada graf G dinotasikanpd(G) adalah kardinalitas terkecil dari partisi pembeda terhadap V (G), denganΠ = {S1, S2, . . . , Sk} pada V (G) merupakan himpunan partisi pembeda sedemi-kian sehingga representasi jarak tiap vertex v ∈ V (G) ke Π berbeda.

Tujuan penelitian ini untuk menentukan rumus umum dimensi partisi padatiga hasil operasi graf cycle dengan graf path. Operasi tersebut adalah operasiproduct (graf Cm × Pn), korona (graf Cm ⊙ Pn), dan join (graf Cm + Pn).

Hasil dimensi partisi pada graf Cm × Pn adalah pd(Cm × Pn) = 3 denganm ≥ 3 dan n ≥ 2. Selanjutnya, dimensi partisi graf Cm ⊙ Pn dengan m ≥ 3 dann ≥ 2 adalah pd(Cm ⊙ Pn) = k + 1 dimana k bilangan bulat positif terkecil yangmemenuhi n ≤ 2 untuk k = 2, n ≤ 3k − 2 untuk k = 3, dan n ≤ k3−3k2+6k−2

2

untuk k ≥ 4. Dimensi partisi graf C3+Pn dengan n ≥ 2 yaitu pd(C3+Pn) = g di-mana g dimana bilangan positif terkecil yang memenuhi n ≤ 5g−12 untuk g = 5dan n ≤ g3−7g2+20g−18

2untuk g ≥ 6, dan pd(Cq + Pn) = min{p + f, r + t, x + y},

untuk q ≥ 4 dan n ≥ 2 dimana p, f, r, t, x dan y merupakan bilangan bulat positiftertentu yang terkait dengan banyaknya kelas partisi yang memuat vertex-vertexCq dan Pn.

Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm × Pn, graf Cm ⊙ Pn,graf Cm + Pn

iii

ABSTRACT

Hidra Vertana, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION OF THREEOPERATIONS OF CYCLE GRAPH WITH PATH GRAPH. Faculty ofMathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Graph theory is a branch of mathematics that developed rapidly. Indaily life, the graph theory is used to solve some problems with vertex as dis-crete objects and edge as the relationship between both of them. One of theinteresting concepts in graph theory is so called the partition dimension. Thepartition dimension of G denoted pd(G) is the minimum cardinality of partitionof V (G), with Π = {S1, S2, . . . , Sk} on V (G) is called a resolving partition if therepresentations of vertex v ∈ V (G) with respect to Π are distinct.

In this research, we determine the partition dimension of three operationsof cycle graph with path graph. The operations are product (Cm × Pn graph),corona (Cm ⊙ Pn graph), and join (Cm + Pn graph).

The partition dimension of Cm × Pn graph is pd(Cm × Pn) = 3 with m ≥ 3and n ≥ 2. Next, the partition dimension of Cm ⊙ Pn graph with m ≥ 3 andn ≥ 2 is pd(Cm ⊙ Pn) = k + 1 where k is the smallest positive integer such thatn ≤ 2 for k = 2, n ≤ 3k − 2 for k = 3, and n ≤ k3−3k2+6k−2

2for k ≥ 4. The

partition dimension of C3+Pn graph with n ≥ 2 is pd(C3+Pn) = g where g is the

smallest positive integer such that n ≤ 5g − 12 for g = 5 and n ≤ g3−7g2+20g−182

for g ≥ 6, and pd(Cq + Pn) = min{p+ f, r + t, x+ y} for q ≥ 4 and n ≥ 2 wherep, f, r, t, x and y are some positive integers related to the number of partitionclasses containing vertices of Cq and Pn.

Keywords : Partition dimension, resolving partition, Cm × Pn graph, Cm ⊙ Pn

graph, Cm + Pn graph

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

ibu, bapak, dan kakak saya.

v

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan

kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa selesainya skripsi ini

berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Oleh karena itu

penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi,

M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing yang telah memberikan bimbingan dalam ma-

teri dan penulisan, motivasi, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.

Surakarta, Oktober 2016

Penulis

vi

DAFTAR ISI

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.3 Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.4 Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IIIMETODE PENELITIAN 15

vii

IVHASIL DAN PEMBAHASAN 16

4.1 Dimensi Partisi pada Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Dimensi Partisi pada Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Dimensi Partisi pada Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

V PENUTUP 36

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

DAFTAR PUSTAKA 38

viii

DAFTAR GAMBAR

2.1 Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Graf G1 dan Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 (a) Graf C3 dan P2, (b) Graf C3 ∪ P2, (c) Graf C3+P2, (d) Graf

C3×P2, dan (e) Graf C3⊙P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Graf Cm × Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Graf Cm ⊙ Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Graf Cm + Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Graf cycle C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ix

DAFTAR NOTASI

G : graf G

u, v : vertex

uv : edge

V (G) : himpunan vertex dari graf G

E(G) : himpunan edge dari graf G

|V (G)| : banyaknya vertex dari graf G (order)

|E(G)| : banyaknya edge dari graf G (size)

deg v : degree vertex v dari graf G

d(u, v) : jarak dari vertex u ke v pada graf G

G ∼= H : graf G isomorphic dengan graf H

d(v, S) : jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G

diam(G) : diameter dari graf G

∪ : operasi union

+ : operasi join

× : operasi product

⊙ : operasi korona

⊂ : himpunan bagian

∈ : anggota

⌈ ⌉ : pembulatan ke atas (ceiling)

W : himpunan pembeda

|W | : kardinalitas himpunan pembeda

dim(G) : dimensi metrik pada graf G

x

Si : kelas partisi ke-i

|Si| : kardinalitas dari kelas partisi ke-i

Π : partisi pembeda

|Π| : kardinalitas dari partisi pembeda

r(v|Π) : representasi jarak setiap vertex v terhadap Π

pd(G) : dimensi partisi pada graf G

Pn : graf lintasan ber-order n

Cm : graf cycle ber-order m

xi