Dimensi Partisi pada Graf Kincir

Disusun Oleh :

Chandra Irawan

NRP.1200 109 024

Abstrak

Misalkan G(V,E) adalah graf terhubung dan S adalahsebuah subset dari V(G), jarak antara v dan S adalah

.Suatu graf terhubung G dengan kbuah partisi dari V(G) dan v vertex di G,representasi v pada adalah

adalah partisi resolving dari V(G), jika k adalah nilaiminimum sedemikian hingga adalah partisiresolving dari graf G, maka k adalah dimensi partisi dari grafG,atau ditulis pd(G)= k.

Dalam tugas akhir ini akan dibuktikan dimensi partisigraf Kincir dengan m-bilah ,

sedemikian hingga .

Kata kunci : partisi resolving, dimensi partisi, graf Kincir.

SxxvdSvd ,min,

kSSS ,...,, 21

kvdvdvdvr ,,.....,,,, 21

k ,...,,, 321

kWpdm 2

mk

2

Latar Belakang

Graf merupakan salah satu struktur dasar dari ilmu komputer.

Banyak permasalahan dapat dinyatakan dalam bentuk graf dan

diselesaikan menggunakan graf pencarian/manipulasi algoritma. Graf

adalah kumpulan vertex dan edge, didefinisikan sebagai , dimana V

adalah kumpulan dari vertex dan E adalah kumpulan dari edge. Setiap

edge menghubungkan satu vertex ke vertex yang lain, dan setiap vertex

dapat mempunyai banyak edge yang menghubungkannya ke vertex yang

lain.

Banyak penelitian telah dilakukan pada graf, diantaranya edge

labelling, coloring graph, teori Ramsey pada graph, vertex labelling,

partition dimension of graph, dan lain-lain. Dimensi partisi merupakan

permasalahan yang menarik untuk dibahas dan banyak mendapat

perhatian dari kalangan peneliti. Beberapa hasil penelitian tentang dimensi

partisi pada graf sudah banyak dipublikasikan.

Latar Belakang

Penelitian tentang dimensi partisi yang pertama kali dikenalkan

oleh F. Harary dan R. Melter pada tahun 1976 dengan jurnal On metric

dimension of a graph. Sampai saat ini, dimensi partisi masih terus

dipelajari dan dikembangkan oleh matematikawan diantaranya adalah

Gary Chartrand, Ebrahim Salehi, dan Ping Zhang. Di dalam jurnalnya

telah dipaparkan hubungan tentang dimenisi partisi dengan dimensi metrik

(dim), yaitu bahwa untuk suatu graf G nilai pd(G) dim+1.

Beberapa hasil penelitian juga telah ditunjukkan bahwa

untuk sebarang graf terhubung G, dimana untuk pd(G)=2

jika dan hanya jika graf tersebut adalah Path dan pd(G)=n jika dan

hanya jika graf tersebut adalah graf lengkap , selain itu juga telah

ditunjukkan 3 buah graf dengan dimensi partisi (n-1), yaitu graf

dan dengan n adalah jumlah vertex pada graf tersebut.

nGpd 2nP

nK

enn KK ,1,1

Latar Belakang

Dalam penelitian-penelitian berikutnya, IoanTomescu, Imran Javaid dan Slamin telah menunjukkandimensi partisi untuk graf Wheel, dimana dimensi partisi padagraf Wheel bernilai diantara dengann adalah banyaknya vertex.

Sejauh ini dimensi partisi pada graf Kincir n-bilah belumditentukan.

122 2/13/1 nWpdn n

Perumusan Masalah

Bagaimana menentukan dimensi partisi dari graf

kincir dengan 2-bilah, 3-bilah, 4-bilah dan kemudian

menentukan dimensi partisi graf kincir dengan m-

bilah.

Batasan Masalah

Adapun penelitian dalam tugas akhir ini, yang dikaji

adalah graf kincir. Dan permasalahan akan dibatasi

pada graf yang diteliti, yaitu graf kincir dengan m-

bilah.

Tujuan dan Manfaat

Untuk menentukan dimensi partisi pada graf kincir

m-bilah.

Memberikan kontribusi dalam bidang teori graf,

utamanya dalam dimensi partisi pada graf kincir.

Dasar Teori

Teori GrafPengertian Graf

Graf adalah kumpulan vertex dan edge, didefinisikansebagai G=(V,E), dimana V adalah kumpulan dari vertexdan E adalah kumpulan dari edge. Setiap edgemenghubungkan satu vertex ke vertex yang lain, dan setiapvertex dapat mempunyai banyak edge yangmenghubungkannya ke vertex yang lain. Sebuah segmengaris yang menghubungkan dua vertex disebut denganedge. Banyaknya vertex dinotasikan dengan |V(G)|danbanyaknya edge dinotasikan dengan |E(G)|.

Dasar Teori

Teori GrafEksentrisitas

Jarak (distance) antara vertex u dan v pada graf G,dinotasikan dengan d(u,v) adalah panjang lintasanterpendek antara u dan v pada graf G. Eksentrisitas vertex vpada graf G dinotasikan e(v) adalah jarak terjauh(maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap vertex di G,dengan kata lain:

e(v) = max { d(v, u) | u ϵ V(G)}.

Vertex v adalah vertex eksentrik dari u jika jarak dari v ke usama dengan eksentrisitas dari u atau d(v, u) = e(u).

Dasar Teori

Jenis GrafGraf Kincir

Windmill atau graf kincir dinotasikan denganadalah graf yang dibangun dengan menghubungkan

semua vertex dengan sebuah vertex yang disebut vertexpusat c. Secara matematis graf Kincir

Gambar.Graf Kincir

mW2

2mK

2mK

212 mKKWm

c

2u

2v

3v3u

1u

1v

Dasar Teori

Dimensi PartisiDimensi partisi pada graf G, yang dinotasikan denganpd(G) adalah nilai minimum k partisi resolving dari V(G).

Contoh :

Misalkan dimana,

Gambar.Graf path dengan 2 partisi

Maka

Berapun nilai n,maka nilai akan berbeda,

sehingga dapat dirumuskan :

21 , SS nvvvSvS ,,,dan 32211

1v 2v3v 4v

nv

1 2 2 2 2

1)(;3)(;2)(;1)(;0)( 141312111 nvvdvvdvvdvvdvvd n

vr

niivr

vr

i

2 untuk);0,1(

)1,0(1

Dasar Teori

Dimensi Partisiadalah resolving partisi minimum dari dan tidak ada

lagi dimensi partisi yang lebih kecil dari 2, oleh karena itu

Theorema 2.1 : Graf terhubung G mempunyai pd(G)=2,

Jika dan hanya jika graf tersebut adalah Path.

nP

.2nPpd

Metodologi

Metodologi penelitian dalam mengerjakan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Studi Literatur Tentang dimensi partisi graf

dan graf kincir.

2. Analisa.

3. Evaluasi.

4. Penyimpulan Hasil Penelitian.

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 2-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari . Adapungambar dari graf dapat dilihat pada Gambar dibawahini.

Graf Kincir dengan 2-bilah .

22W

1v

2v

c

1u

2u

2

11

1

3

22W

22W

22W

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 2-bilah .

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 2-bilah seperti pada Gambar, dengan dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalahsebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf Gberbeda, maka adalah partisi resolving minimumdari G. Karena dimensi graf tidak mungkin lebih kecildari 3, maka adalah resolving minimum.

Dengan demikian pd =3.

22W

321 ,, SSS

1322211 ;;,, uSvSuvcS

1,2,02 ur

0,2,12 vr

2,0,11 ur 1,1,0cr

2,1,01 vr

321 ,, SSS

22W

22W

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 3-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari . Adapungambar dari graf dapat dilihat pada Gambar dibawahini.

Graf Kincir dengan 3-bilah .

32W

32W

32W

1u

3v3u

2u

2v

1v

c1

1

1 2

2

3

3

32W

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 3-bilah .

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 3-bilah seperti pada Gambar, dengan dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalahsebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf Gberbeda, maka adalah partisi resolving minimumdari G.

32W

321 ,, SSS

323212311 ,;,;,, uvSuuSvvcS

0,1,12 vr

1,2,03 vr

1,0,12 ur

2,1,01 vr

0,2,12 vr

1,1,0cr

2,0,11 ur

321 ,, SSS

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 4-bilah .

Berikut dihitung dimensi partisi dari . Adapun gambar darigraf dapat dilihat pada Gambar dibawah ini.

Graf Kincir dengan 4-bilah .

42W

42W

42W

c

1v

2v

4v

3v

3u

2u

1u

4u

1

1

1

1

2

3

3 4

4

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir 4-bilah .

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 4-bilah sepertipada Gambar, dengan dimana,

maka representasi vertex - vertex pada graf G adalah sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G berbeda, maka

adalah partisi resolving minimum dari G. Oleh karenaitu pd =4.

42W

4321 ,,, SSSS

434423123211 ,;,;;,,, uuSvuSuSvvvcS

1,1,1,0cr

2,0,2,12 ur

2,2,1,01 vr

1,0,2,14 vr

2,1,2,02 vr

0,2,2,13 ur

1,2,2,03 vr

0,1,2,14 ur

2,2,0,11 ur

42W

4321 ,,, SSSS

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Graf kincir dengan m-bilah yang mempunyai vertex luar darisebuah bilah yang sama, maka vertex-vertex tersebut harus berada padapartisi yang berbeda.

Graf Kincir dengan m-bilah .

mW2

c

2v

2u

3v

4v

5v

nv

1v

3u

4u

5u

nu

1u

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Lemma 4.1 :

Bila u dan v adalah vertex luar dari sebuah bilah yang sama , makavertex u dan v tersebut harus berada pada partisi yang berbeda.

Bukti :

Diberikan graf W adalah graf Kincir dengan m-bilah, vertex pusatdinotasikan dengan c, dan dua vertex luar bilah ke i dinotasikan dengan

dan untuk .

Tanpa mengurangi perumuman misalkan dimanadan vertex yang lain adalah elemen dari partisi singleton

dimana .

Representasi dari . Dengan demikian bukanpartisi resolving.

mW2

iv iu mi 1 2221 ,...,, mSSS

111 ,, uvcS

jS 222 mj

,...2,2,011 urvr

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Lemma 4.2 : Untuk setiap kombinasi partisi yang sudah ada padasebuah bilah, maka kombinasi partisi tersebut tidak boleh berulangpada bilah yang lain.

Bukti :

Diberikan graf W adalah graf Kincir dengan m-bilah, vertex pusatdinotasikan dengan c, dan dua vertex luar bilah ke i dinotasikan dengan

dan untuk .

Tanpa mengurangi perumuman misalkan dimanadan vertex yang lain adalah elemen dari partisi

singleton dimana .

Representasi dari dan

Dengan demikian bukan partisi resolving.

mW2

iv iu mi 1 2221 ,...,, mSSS

jS 223 mj

212211 ,;,, uuSvvcS

,...2,2,021 vrvr ,...2,2,0,121 urur

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Berdasarkan pada Lemma 1 dan Lemma 2, jumlah partisi yangmungkin pada graf Kincir harus memenuhi Theorema berikut :

Theorema 4.1 : Bila adalah graf Kincir dengan m-bilah, maka

adalah sama dengan k sedemikian hingga .

Bukti :

Batas atas :

Misalkan diperoleh mendapatkan m-buah kombinasi

dengan subset dua elemen dari ( 1, 2, ... , k) sedemikian hingga tidak

ada kombinasi yang sama, maka akan didapatkan yang berbeda

untuk setiap v ϵ V Oleh karena itu

mW2

mW2

mW2

mWpd 2

mk

2

kSSS ,...,, 21

vr

mW2

kWpdm 2

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirDimensi Partisi Graf Kincir m-bilah .

Batas bawah :

Untuk i = (1,2,...,m), misalkan adalah dua vertex bertetanggaselain vertex pusat c. Misal adalah himpunan partisi resolving dari

. Berdasarkan Lemma 4.1. dan harus berada dalam partisiyang berbeda, dan berdasarkan Lemma 4.2. tidak boleh ada kombinasipartisi yang sama pada dua buah bilah dalam , maka jumlah partisipaling sedikit adalah k dimana k adalah bilangan integer terkecil yang

memenuhi . Jadi .

Jadi dimensi partisi untuk adalah k atau dapat ditulis .

mW2

ii vu ,

m

W2 iv iu

mW2

mk

2 kWpd

m 2

mW2 kWpd

m 2

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirContoh :

Diberikan graf G merupakan graf kincir dengan 10 bilah, maka

dimana k adalah bilangan integer terkecil yang memenuhi .

Misal , dengan

dimana :

kWpdm 2

mk

2 510

2 Wpd 54321 ,,,, SSSSS

109745

108634

98523

76512

43211

,,,;,,,

;,,,;,,,

;,,,,

uuuuS

vuuuS

vvuuS

vvvuS

vvvvcS

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirContoh :

Graf Kincir dengan 10-bilah

1v2v

3v

4v

7v

1u

5v

6v

5u

2u

9v

8v

10v

x

6u

8u

9u

10u

7u

4u

c

3u

1

1 1

1

2

2

22

3

3

3

3

1

4

4

5

4

5

4

5

5

Pembahasan

Dimensi Partisi pada Graf KincirContoh :

Maka representasi vertex-vertex pada graf G adalah sebagai berikut :

Oleh karena representasi setiap vertex pada graf G berbeda, maka

adalah partisi resolving minimum dari G, Sehingga

1,1,1,1,0cr

2,2,2,1,01 vr

2,2,1,2,02 vr

2,1,2,2,03 vr

1,2,2,2,04 vr

2,2,2,0,11 ur

2,2,1,0,15 vr

2,1,2,0,16 vr

1,2,2,0,17 vr

2,2,0,2,12 ur

2,2,0,1,15 ur

2,1,0,2,18 vr

1,2,0,2,19 vr

1,2,0,2,19 vr

2,0,2,1,16 ur

2,0,1,2,18 ur

1,0,2,2,110 vr

0,2,2,2,14 ur

0,2,2,1,17 ur

0,2,1,2,19 ur

0,1,2,2,110 ur

54321 ,,,, SSSSS

5102 Wpd

Pembahasan

KesimpulanBahwa dimensi partisi untuk graf kincir adalah samadengan k , dimana k adalah bilangan integer terkecil yang

memenuhi .

SaranUntuk penelitian lebih lanjut mengenai dimensi partisipada graf, dapat dilakukan pada graf-graf yang lain,terutama pada graf sederhana dan tidak memiliki arah.

mW2

mk

2

DAFTAR PUSTAKA

1. Harary, F., 1969, Graph Teory, Wesley Publishing Company,Inc.

2. Seshu, Sundaram, Reed, B., Myril., 1961, Linear Graph and Electrical Network, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

3. Tomescu, I., Javaid, I., Slamin., On the partition dimension and connected partition of wheels, Ars combinatoria 84 (2007), 311-317.

4. Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P., 2000. “The Partition dimension of a graph”. Aequation Math 59:45-54.

5. Deo, N. 1980, Graph Theory With Applications To Enginering And Computer Science. New Delhi : Prentice Hall of India.

6. Gross, J.L., Yellen, J. 2006, Graph Theory and its Applications, Second Edition, Chapman & Hall Corc.

7. Munir, R. 2003, Matematika Diskrit Edisi Kedua, Bandung.

Terima Kasih