dimas avian maulana-1207100045 subchan, ph · •posisi robot mobil berada pada selang r q𝜃<...

Oleh:

Dimas Avian Maulana-1207100045

Dosen Pembimbing:

Subchan, Ph.D

Robot mobil adalah salah satu contoh dari wahana nir awak (WaNA) yang dapat dikendalikan dari jauh atau memiliki sistem pengendali otomatis untuk bergerak dan berpindah haluan. Robot mobil menjadi salah satu sarana yang digunakan oleh pihak militer untuk untuk melakukan pengintaian, penjelajahan, dan pengawasan ke tempat-tempat yang berbahaya bagi manusia. Pada penerapannya ada beberapa lintasan yang dianggap berbahaya untuk dilalui, didefinisikan suatu lintasan terlebih dahulu agar robot mobil bergerak sesuai lintasan tersebut. Robot mobil tidak bisa mengikuti lintasan dengan baik tanpa diberi perintah terlebih dahulu dan dikendalikan. Untuk itu, diperlukan suatu metode untuk mengendalikan robot mobil agar dapat bergerak mengikuti lintasan dalam misinya untuk melakukan pengintaian, penjelajajahan dan pengawasan. Dalam tugas akhir ini, diterapkan model predictive controller (MPC) untuk mendesain suatu desain pengendalian. Lebih lanjut lagi digunakan MPC Linear dalam mendesain pengendalian robot mobil tersebut. Hasil yang diperoleh adalah bahwa MPC Linear dapat diterapkan dalam desain pengendalian robot mobil dengan beberapa bentuk lintasan.

Kata kunci : desain pengendalian, robot mobil, model predictive control (mpc)

Wahana Nir Awak (WaNA)

Robot Mobil Lintasan

Trajectory Tracking

Pengendalian Robot Mobil

Model predictive control

Pendahuluan Tinjauan Pustaka

Metodologi Penelitian

Analisis dan Pembahasan

Penutup

Masalah yang akan dibahas adalah bagaimana penerapan

model predictive control pada desain pengendalian robot mobil

beroda empat




Penutup

• Digunakan MPC linear.

• Karena masih berupa prototype, dianggap tidak ada hambatan pada lintasan dan robot mobil tidak pernah tergelincir.

• Lebar lintasan yang dilalui robot mobil adalah 1 𝑚

• Kontrol masukannya adalah kecepatan linear 𝑣 dan sudut kemudi 𝜙 . Kecepatan linear 𝑣 tidak bernilai nol.

• State (ruang keadaan) dari model tersebut dianggap sama dengan model yang sebenarnya.

• Digunakan horizon prediksi 𝑁 = 3 dan dilakukan iterasi sebanyak 10 kali

• Posisi robot mobil berada pada selang 0 ≤ 𝜃 < 𝜋2




Penutup

• Tujuan yang ingin dicapai dalam Tugas Akhir ini adalah

diterapkannya MPC untuk mendesain pengendalian robot mobil

beroda empat.

• Manfaat yang diharapkan dari Tugas Akhir ini adalah:

• Mengendalikan robot mobil sesuai lintasan

• Sebagai rujukan untuk navigasi, panduan, dan kendali pada WaNA




Penutup




Penutup

𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑣 cos 𝜃 …… (1)

𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑣 sin 𝜃 … … (2)

Gambar 1: Dimensi fisik Robot Mobil Gambar 2: Sistem kemudi robot mobil (1)

𝐿

𝑥, 𝑦

Roda Depan

Roda Belakang 𝜃

𝜙

𝑋

𝑌




Penutup

𝜅 𝑡 =1

𝑅 𝑡

𝜅 𝑡 =tan 𝜙 𝑡

𝐿

𝜅 𝑡 =𝑑𝜃

𝑑𝑠

𝜃 =𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝑑𝜃

𝑑𝑠∙𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝜃 = 𝜅 𝑡 ∙ 𝑣 𝑡

𝜃 =tan𝜙

𝐿𝑣 … … (3)

Gambar 2: Sistem kemudi robot mobil (2)

𝐿

𝑅

𝜙

𝜙




Penutup

• Sehingga dari persamaan (1), (2), dan (3) dan dengan

memisalkan dengan memisalkan 𝑥 = 𝑥1, 𝑦 = 𝑥2, dan 𝜃 = 𝑥3,

dapat dituliskan sebuah sistem dinamik dari kinematika robot

mobil sebagai berikut :

𝑥 1 = 𝑣 cos 𝑥3 … … (1) 𝑥 2 = 𝑣 sin 𝑥3 … … (2)

𝑥 3 =𝑣

𝐿tan𝜙 … … 3

• Atau jika dinyatakan dalam bentuk kompak

𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑢 …… 4

Model Predictive Contol atau MPC adalah suatu metode proses

kontrol lanjutan yang banyak diterapkan pada proses industri.

MPC adalah algoritma pengendali peubah banyak (Wikipedia,

Model Predictive Control, 2004). Ada dua tipe MPC, yaitu MPC

Linear dan MPC Nonlinear

3 komponen yang memegang peranan penting yaitu :

• Model prediksi

• Fungsi objektif

• Aturan kontrol (control law)




Penutup

MPC Linear MPC Nonlinear

1. Menggunakan model linear

𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

2. Fungsi objektif kuadratik

𝐹 = 𝑥𝑇𝑄𝑥 + 𝑢𝑇𝑅𝑢

3. Kendala linear 𝐹𝑥 + 𝐺𝑢 < 0

4. Diselesaikan dengan menggunakan

Quadratic program (pada MATLAB

menggunakan quadprog)

1. Menggunakan model nonlinear

𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑢

2. Fungsi objektif bisa berupa

nonkuadratik 𝐹 = 𝑥, 𝑢

3. Kendala nonlinear 𝑕(𝑥, 𝑢) < 0

4. Diselesaikan dengan

menggunakan Nonlinear

program (pada MATLAB

menggunakan fmincon)




Penutup

Tabel 1: Tipe MPC




Penutup

Gambar 4: Skema MPC




Penutup

• Didefinisikan 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘 − 𝑥𝑟 𝑘 → 0 sebagai aturan kontrol

• Diharapkan nilai 𝑥 𝑘 mendekati nol sehingga robot mobil

bergerak sama persis dengan referensi lintasan.




Penutup

Gambar 5: Algoritma Trayektori Lintasan

Step 0 Input kontrol referensi 𝑥𝑟 0 , 𝑢𝑟 dan

𝑥 0

Step1 Bila kondisi STOP belum terpenuhi,

kerjakan step 2-5

Step 2 Dapatkan nilai error posisi untuk

iterasi 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘 − 𝑥𝑟 𝑘

Step 3 Mendapatkan prediksi nilai kontrol

optimal untuk sampling ke 𝑘, 𝑘 + 1, dan 𝑘 + 2

dari MPC

Step 4 Dapatkan nilai error kontrol untuk

iterasi 𝑘 𝑢∗ 𝑘 = 𝑢 ∗ 𝑘 − 𝑢𝑟 𝑘

Step 5 Mendapatkan posisi sebenarnya

𝑥 𝑘 + 1 robot mobil

Step 6 Tes kondisi STOP

Step 7 Plot grafik referensi lintasan

Step 8 Plot grafik posisi sebenarnya robot

mobil

Step 9 Plot state 𝑥, 𝑦, dan 𝜃




Penutup

• Metode pengendalian optimal yang digunakan pada MPC linear ini

adalah quadratic programming. Didefinisikan fungsi objektif (da Silva

Jr., Kühne, & Lages, 2005)

𝐽 𝑘 = 𝑥 𝑇 𝑘 + 𝑗|𝑘 𝒬𝑥 𝑘 + 𝑗|𝑘 + 𝑢 𝑇 𝑘 + 𝑗 − 1|𝑘 ℛ𝑢 (𝑘 + 𝑗

𝑁

𝑗=1

− 1|𝑘) … … (5)

• Dengan :

𝑁 : horizon prediksi

𝒬 : matriks pembobot state-space

ℛ : matriks pembobot kontrol

𝑎 𝑚|𝑛 menyatakan nilai 𝑎 pada saat 𝑚 yang diprediksi pada saat 𝑛




Penutup

• Matriks 𝒬 merupakan matriks semidefinit positif 𝒬 ≥ 0 dan

matriks ℛ merupakan matriks definit positif ℛ > 0 . Masalah

optimasi dapat ditulis kembali dalam bentuk QP secara umum.

Didefinisikan vektor-vektor berikut ini (da Silva Jr., Kühne, &

Lages, 2005):

𝑥 𝑘 + 1 ≜

𝑥 𝑘 + 1|𝑘

𝑥 𝑘 + 2|𝑘⋮

𝑥 𝑘 + 𝑁|𝑘

𝑢 𝑘 ≜

𝑢 𝑘|𝑘

𝑢 𝑘 + 1|𝑘⋮

𝑢 𝑘 + 𝑁 − 1|𝑘




Penutup

• Sehingga dapat ditulis kembali fungsi objektif (5) sebagai

berikut:

𝐽 𝑘 = 𝑥 𝑇 𝑘 + 1 𝒬 𝑥 𝑘 + 1 + 𝑢 𝑇 𝑘 ℛ 𝑢 𝑘 …… (6)

dengan:

𝒬 ≜

𝒬 0 ⋯ 00 𝒬 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝒬

ℛ ≜

ℛ 0 ⋯ 00 ℛ ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ ℛ




Penutup

• Fungsi objektif (7) ditulis kembali sebagai berikut

𝐽 𝑘 =1

2𝑢 𝑇 𝑘 𝐻 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑓𝑇 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑑 𝑘 … … (8)

dengan:

𝐻 𝑘 ≜ 2 𝐵 𝑇 𝑘 𝒬 𝐵 𝑘 + ℛ 𝑓 𝑘 ≜ 2𝐵 𝑇 𝑘 𝒬 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘|𝑘 𝑑 𝑘 ≜ 𝑥 𝑇 𝑘|𝑘 𝐴 𝑇 𝑘 𝒬 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘|𝑘

Matriks 𝐇 adalah Matriks Hessian, definit positif yang

mendeskripsikan bagian kuadratik dari fungsi objektif tersebut.

Sedangkan 𝐟 mendeskripsikan bagian linear. 𝐝 tidak bergantung

pada 𝒖 dan tidak berpengaruh pada penentuan nilai 𝒖∗.




Penutup

• Fungsi objektif (7) menjadi sebagai berikut

𝐽 𝑘 =1

2𝑢 𝑇 𝑘 𝐻 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑓𝑇 𝑘 𝑢 𝑘 … … (9)

yang merupakan pernyataan standar yang digunakan dalam

masalah quadratic programming dan masalah optimasi yang

diselesaikan pada waktu sampling dinyatakan sebagai:

𝑢 ∗ = 𝑎𝑟𝑔 min𝑢

𝐽 ′ 𝑘

• Agar performansi kontrol baik, perlu diberikan suatu batasan

pada kontrol masukannya (Wang, 2009). Didefinisikan batasan

untuk kontrol masukan pada iterasi ke-𝑘

𝑢𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑢 𝑘 + 𝑗|𝑘 ≤ 𝑢𝑚𝑎𝑘𝑠




Penutup

• Dari persamaan tersebut dapat dinyatakan ke dalam dua bentuk

pertidaksamaan

𝑢 𝑘 + 𝑗|𝑘 ≤ 𝑢𝑚𝑎𝑘𝑠 −𝑢 𝑘 + 𝑗|𝑘 ≤ −𝑢𝑚𝑖𝑛

• Jika dinyatakan dalam bentuk matriks 𝐼

−𝐼𝑢 𝑘 + 𝑗|𝑘 ≤

𝑢𝑚𝑎𝑘𝑠

−𝑢𝑚𝑖𝑛

dengan :

𝑗 ∈ 0,𝑁 − 1




Penutup

• Nilai 𝑢 optimal yang akan meminimumkan 𝐽, diperoleh dari

𝐽′ = 0. Jika 𝐻 𝑘 simetris, maka turunan pertama 𝐽 ′ 𝑘 adalah

𝑑𝐽 ′ 𝑘

𝑑𝑢=

𝑑

𝑑𝑢

1

2𝑢 𝑇 𝑘 𝐻 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑓𝑇 𝑘 𝑢 𝑘

𝑑𝐽 ′ 𝑘

𝑑𝑢= 𝐻 𝑘 𝑢 𝑘 + 𝑓 𝑘

• Syarat perlu untuk memperoleh nilai minimum 𝐽 adalah

𝑑𝐽 ′ 𝑘

𝑑𝑢= 0

𝑢 𝑘 = −𝐻−1 𝑘 𝑓 𝑘 …… (10)

Dalam tugas akhir ini akan digunakan subroutine quadprog

dalam MATLAB untuk menyelesaikan masalah optimasi

1. Mengkaji kinematika robot mobil dan MPC

2. Membentuk desain pengendalian

3. Simulasi permasalahan dengan menggunakan MPC Linear

4. Analisis dan Pembahasan

5. Penyimpulan Hasil dan Pemberian Saran




Penutup




Penutup

Dari kinematika robot mobil akan diperoleh suatu referensi lintasan

dengan mendiskritkan kinematika robot mobil dengan menggunakan

beda hingga maju dan mengambil nilai 𝐿 = 4/5. maka:

𝑥𝑟1 𝑘 + 1 = 𝑥𝑟1 𝑘 + 𝑣𝑟 𝑘 ∆𝑡 cos 𝑥𝑟3 𝑘

𝑥𝑟2 𝑘 + 1 = 𝑥𝑟2 𝑘 + 𝑣𝑟 𝑘 ∆𝑡 sin 𝑥𝑟3 𝑘

𝑥𝑟3 𝑘 + 1 = 𝑥𝑟3 𝑘 +5

4𝑣𝑟 𝑘 ∆𝑡 tan 𝜙𝑟 𝑘




Penutup

• Dilakukan linearisasi sebelum mencari nilai 𝑥, 𝑦, dan 𝜃. Sebuah

model linear diperoleh dari penghitungan sebuah model error

yang berhubungan dengan referensi robot mobil. Didefinisikan

referensi robot mobil

𝑥 𝑟 = 𝑓 𝑥𝑟 , 𝑢𝑟 …… (11) • Dengan mengekspansikan persamaan (4) disekitar titik 𝑥𝑟 , 𝑢𝑟

dan menghilangkan turunan tingkat tinggi akan diperoleh:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓 𝑥𝑟 , 𝑢𝑟 +

𝜕𝑓 𝑥, 𝑢

𝜕𝑥 𝑥=𝑥𝑟𝑢=𝑢𝑟

𝑥 − 𝑥𝑟

+𝜕𝑓 𝑥, 𝑢

𝜕𝑢 𝑥=𝑥𝑟𝑢=𝑢𝑟

𝑢 − 𝑢𝑟 …… (12)

atau

𝑥 = 𝑓 𝑥𝑟 , 𝑢𝑟 + 𝑓𝑥,𝑟 𝑥 − 𝑥𝑟 + 𝑓𝑢,𝑟 𝑢 − 𝑢𝑟 …… (13)




Penutup

• Dimana 𝑓𝑥,𝑟 𝑥 − 𝑥𝑟 dan 𝑓𝑢,𝑟 𝑢 − 𝑢𝑟 menyatakan matriks

jacobian 𝑓 yang berhubungan dengan 𝑥 dan 𝑢 disekitar titik

referensi 𝑥𝑟 , 𝑢𝑟

• Kemudian, dengan mengurangkan persamaan (11) dan (13)

menghasilkan:

𝑥 = 𝑓𝑥,𝑟𝑥 + 𝑓𝑢,𝑟𝑢




Penutup

• Dengan menghampiri 𝑥 dengan beda maju dan mengambil

waktu sampling ∆𝑡 = 1𝑠, diperoleh suatu model prediksi sebagai

berikut:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 …… (14)

𝐴 =1 0 −𝑣𝑟 𝑘 sin 𝑥 3 𝑘

0 1 𝑣𝑟 𝑘 cos 𝑥 3 𝑘0 0 1

𝐵 =

cos 𝑥 3 𝑘 0

sin 𝑥 3 𝑘 05

4tan 𝜙𝑟 𝑘

5

4𝑣𝑟 sec2 𝜙𝑟 𝑘




Penutup

• Persamaan (12) dapat ditulis sebagai:

𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴 𝑘 𝑥 𝑘 + 𝐵 𝑘 𝑢 𝑘 …… (15) dengan

𝐴 𝑘 =1 0 −𝑣𝑟 𝑘 sin 𝑥 3 𝑘

0 1 𝑣𝑟 𝑘 cos 𝑥 3 𝑘0 0 1

𝐵 𝑘 =

cos 𝑥 3 𝑘 0

sin 𝑥 3 𝑘 05

4tan 𝜙𝑟 𝑘

5

4𝑣𝑟 𝑘 sec2 𝜙𝑟 𝑘

• Robot mobil diasumsikan bergerak pada lintasan yang bebas hambatan, dan hanya bergerak maju.

• Diberikan suatu batasan pada kontrol sudut kemudi yaitu − 𝜋6 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋

6 . Tanda negatif menyatakan robot mobil sedang melakukan pergerakan ke kanan (belok ke kanan), sedangkan tanda positif menyatakan hal yang sebaliknya (belok ke kiri) dengan acuan 0° terletak pada sumbu-𝑥 positif sesuai dengan koordinat kartesius. 𝜃 menyatakan posisi mobil terhadap sumbu-𝑥 positif pada koordinat kartesius dan 𝜃0 menentukan arah gerak pertama robot mobil tersebut.

• Simulasi desain pengendalian ini dilakukan dengan memberikan nilai matriks pembobot state-space 𝒬 = 0,01 ∗ 𝑒𝑦𝑒(9) dan matriks pembobot kontrol ℛ = 0,01 ∗ 𝑒𝑦𝑒(6) . Dalam simulasi tugas akhir ini, source code dikerjakan dalam kondisi statis, dimana variabel-variabel yang diperlukan didefinisikan terlebih dahulu.

• Karena digunakan MPC dengan 𝑁 = 3 , dengan kata lain akan diprediksi kontrol untuk dua langkah kedepan, maka matriks 𝒬 berupa matriks 9 × 9 dan matriks ℛ berupa matriks 6 × 6. Simulasi dilakukan dengan kontrol referensi yang konstan dalam beberapa lintasan.




Penutup

• Dengan mengambil Posisi awal referensi lintasan robot mobil 𝑥𝑟0

, 𝑦𝑟0, 𝜃𝑟0

= 0,0,0 , Kontrol referensi 𝑣𝑟 , 𝜙𝑟 = 0.8, 𝜋 12 , Posisi awal robot mobil 𝑥0, 𝑦0, 𝜃0 = 0,0, 𝜋 18 dan iterasi sebanyak 10 kali, diperoleh:




Penutup

Gambar 4: Pergerakan robot mobil untuk 𝜙𝑟 = 𝜋12

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Grafik Posisi Robot Mobil

posisi-x (meter)

posis

i-y (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya




Penutup

Gambar 4: State

𝑥, 𝑦, dan 𝜃 untuk

𝑥0, 𝑦0, 𝜃0 =0,0, 𝜋 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8Posisi pada sumbu-x

waktu sampling (detik)

posis

i-x (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2Posisi pada sumbu-y


posis

i-y (

mete

r)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2Posisi sudut mobil


posis

i sudut

(radia

n)

Posisi Referensi

Posisi Sebenarnya




Penutup

Iterasi Referensi Sebenarnya

𝑥 𝑦 𝜃 𝑥 𝑦 𝜃

1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1745

2 0,8000 0,0000 0,0058 0,8000 0,0000 0,0058

3 1,6000 0,0047 0,0117 1,6000 0,0047 0,0117

4 2,3999 0,0140 0,0175 2,3999 0,0140 0,0175

5 3,1998 0,0281 0,0234 3,1998 0,0281 0,0234

6 3,9996 0,0468 0,0292 3,9996 0,0468 0,0292

7 4,7992 0,0701 0,0351 4,7992 0,0701 0,0351

8 5,5988 0,0982 0,0409 5,5988 0,0982 0,0409

9 6,3981 0,1309 0,0468 6,3981 0,1309 0,0468

10 7,1972 0,1683 0,0526 7,1972 0,1683 0,0526

Iterasi Error

𝑥 𝑦 𝜃

1 0,0000 0,0000 0,1745

2 0,0000 0,0000 0,0000

3 0,0000 0,0000 0,0000

4 0,0000 0,0000 0,0000

5 0,0000 0,0000 0,0000

6 0,0000 0,0000 0,0000

7 0,0000 0,0000 0,0000

8 0,0000 0,0000 0,0000

9 0,0000 0,0000 0,0000

10 0,0000 0,0000 0,0000

Tabel 2: Posisi Referensi dan Posisi Sebenarnya Tabel 3: Error

• Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan dalam menerapkan MPC

untuk mendesain pengendalian pada robot mobil beroda empat diperoleh

kesimpulan bahwa:

1. Model Predictive Controller (MPC) dapat diterapkan pada desain

pengendalian robot mobil beroda empat.

2. MPC linear memberikan hasil yang cukup baik untuk memberikan prediksi

nilai kontrol optimal dengan menghasilkan error yang paling besar pada

posisi sudut 𝜃 sebesar 0,1745.

3. Dengan mengambil horizon prediksi 𝑁 = 3, waktu sampling 𝑡 = 1𝑠 dan

iterasi sebanyak 10 kali diperoleh nilai 𝑥 𝑘 yang mendekati dengan nilai

𝑥𝑟 𝑘

4. Dari hasil simulasi, robot mobil dapat mengikuti lintasan dengan baik pada

beberapa lintasan, terutama lintasan lurus 𝜙𝑟 𝑘 = 0.




Penutup

• Saran yang diajukan dari Tugas Akhir ini untuk penelitian

selanjutnya adalah sebagai berikut:

1. Source code simulasi pada tugas akhir ini dilakukan secara

statis, tidak dinamis. Diharapkan pada penelitian selanjutnya

dikembangkan source code simulasi yang dinamis guna

mempercepat running program dan menambah variasi

lintasan.

2. Digunakan horizon prediksi yang lebih besar, misal 𝑁 = 5

dan dilakukan iterasi lebih banyak lagi daripada iterasi yang

dilakukan pada tugas akhir ini




Penutup

Bordons, C., & Camacho, E. F. (1999). Model Predictive Control. Sevilla: Springer-Verlag

London Limited.

da Silva Jr., J. M., Kühne, F., & Lages, W. F. (2005). Mobile Robot Trajectory Tracking Using

Model Predictive Control. VII SBAI / II IEEE Latin America Robotics Symposium, 1-7.

Hartini, S. (2011). Implementasi Metode Ensemble Kalman Filter (EnKF) Untuk Mengestimasi

Posisi Robot Mobil. Tugas Akhir Jurusan Matematika. Surabaya, Jawa Timur, Indonesia:

Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Naidu, D. S. (2003). Optimal Control System. Idaho: CRC Press.

Orukpe, P. E. (2005). Basics of Model Predictive Control. ICM, EEE-CAP (hal. 1-27). London:

Imperial College.

Sotelo, M. A. (2003). Lateral Control Strategy for Autonomous Steering of Ackerman-like

Vehicles. Robotics and Autonomous Systems 45, 223-233.

Wang, L. (2009). Model Predictive Control System Design and Implementation using MATLAB.

Melbourne: Springer.

Wikipedia. (2004). Model Predictive Control. Wikipedia: The Free Encyclopedia: <URL

http://en.wikipedia.org/wiki/Model_predictive_control>

Wikipedia. (2006). Mobile Robot. Wikipedia: The Free Encyclopedia: <URL

http://en.wikipedia.com/wiki/Mobile_robot>




Penutup

dimas avian maulana-1207100045 subchan, ph · •posisi robot mobil berada pada selang r q𝜃<...

Documents