Pendahuluan PDPAgus Yodi Gunawan

February 20, 2015

Pada bagian ini akan diberikan beberapa contoh Persamaan Diferensial Parsial (PDP)

yang muncul dari kasus-kasus nyata.Sumber rujukan:

1. W.A. Strauss, "Partial Dierential Equations", John Wiley & Sons, 2008, 2nd Edition.

1. Apakah PDP?. Perilaku suatu fenomena sis yang secara matematis disajikan

oleh sebuah fungsi u yang memuat dua atau lebih peubah sering kali dapat dikarak-

terisasi oleh persamaan yang melibatkan turunan-turunan parsial dari u. Sebagai

contoh, perilaku setiap saat dari temperatur T suatu balok dapat dituliskan dalam

sebuah persamaan yang melibatkan turunan-turunan parsialnya:

@T

@t=

@2T

@x2+

@2T

@y2+

@2T

@z2

;

dimana suatu tetapan yang bergantung pada sifat material balok.

Suatu persamaan yang melibatkan peubah bebas, perubah terikat, dan turunan-

turunan parsialnya disebut Persaman Diferensial Parsial (PDP). Untuk kemudahan,

notasi turunan parsial pertama dan kedua suatu peubah terikat u terhadap peubah

bebas x akan dituliskan sebagai

@u

@x= ux;

@2u

@x2= uxx:

Jika fungsi u terdiferensial secara kontinu dua kali, kesamaan turunan campurannya

dapat dilakukan; yaitu uxy = uyx.

Orde dari suatu PDP adalah orde dari turunan parsial tertinggi yang muncul dalam

persamaan. Sebagai contoh, bentuk PDP orde dua dengan dua peubah diberikan

oleh

F (x; y; u; ux; uy; uxx; uxy; uyy) = 0: (1)

Solusi dari PDP (1) adalah suatu fungsi u(x; y) yang secara identik memenuhi

persamaan (1).

2. Kelinearan. Misalkan L sebuah operator yang memenuhi

Lu = g: (2)

Dalam kuliah ini, misalkan L = @=@x. Jika g = 0, persamaan disebut persamaanhomogen; jika g 6= 0 fungsi yang bergantung pada peubah bebas saja, maka per-samaan disebut persamaan tak homogen.

1

Operator L dikatakan operator linear jika untuk setiap fungsi u; v dan skalar cberlaku

L(u+ v) = L(u) + L(v) dan L(cu) = cL(u): (3)Keuntungan dari sifat kelinearan dari persamaan Lu = 0 adalah sifat superposisidari solusi ; jika u dan v masing-masing merupakan solusi, maka u + v juga solusi.

Hal lainnya, jika solusi bentuk homogen ditambahkan pada solusi tak homogennya,

maka superposisi dari keduanya merupakan solusi bentuk tak homogennya.

Perlu menjadi catatan bahwa ketika di masalah Persamaan Diferensial Biasa (PDB)

solusi umum akan memuat konstanta sembarang, maka di PDP solusi umumnya

akan memuat fungsi sembarang. Sebagai contoh, uxx = 0. Jika persamaan tersebut

berupa PDB, maka ux = k dengan k konstanta sembarang; tetapi jika persamaan

tersebut merupakan PDP dengan variabel bebas x dan y, maka ux = f(y) dengan

f(y) fungsi sembarang yang bergantung pada y.

3. Klasikasi PDP. Selain berdasarkan orde, PDP dapat diklasikasikan juga berdasarkan

sifat kelinearan. Misalkan suatu PDP dipenuhi oleh fungsi u(x1; x2; ; xn). PDPdikatakan

linear, jika u dan turunan-turunannya muncul secara linear. Koesien-koesiennyahanya memuat fungsi-fungsi dari variabel bebas saja. Contoh,

x7ux + exyuy + sin(x

2 + y2)u = x3:

semilinear, jika semua turunan-turunan dari u muncul secara linear. Koesien-koesiennya mungkin memuat fungsi-fungsi dari variabel bebas tetapi u sendiri

muncul secara tak linear. Contoh,

uxx + uyy = u3:

quasilinear, jika turunan tertinggi dari u muncul secara linear. Koesien-koesiennya mungkin memuat fungsi-fungsi dari variabel bebas, fungsi u sendiri,

dan turunan orde rendah dari u. Contoh,

uxx + uyy = (u2x + u

2y)u:

Latihan

1. Manakah yang merupakan operator linear?

(a) Lu = ux + uuy:(b) Lu = ux + u2y:

2

(c) Lu = p1 + x2(cos y)ux + uyxy [arctan(x=y)]u:

2. Klasikasikan PDP berikut berdasarkan orde dan kelinearannya:

(a) ut uxx + xu = 0:(b) ut uxxt + uux = 0:(c) ut + uxxxx +

p1 + u = 0:

3. Perlihatkan bahwa

(a) u(x; y) = f(x)g(y) solusi dari PDP uuxy uxuy = 0:(b) un(x; y) = sin(nx) sinh(ny) solusi dari PDP uxx + uyy = 0 untuk setiap n > 0.

4. Tentukan konstanta dan agar

(a) u(x; y) = f(x+ y) solusi dari PDP ux + 3uy = 0:

(b) u(x; y) = e(x+y) solusi dari PDP ux + 3uy + u = 0:.

5. Periksa apakah PDP berikut punya solusi:

(a) ux = 3x2y + y; uy = x

3 + x dengan u(0; 0) = 0.

(b) ux = 2; 99999x2y + y; uy = x

3 + x dengan u(0; 0) = 0.

3