Datos agrupados

G. Edgar Mata Ortiz

3

IntroducciónEn las dos presentaciones anteriores se describió el

proceso para obtener los intervalos aparentes y reales para agrupar un conjunto de datos en diez intervalos.

Número de clase

Intervalos aparentes

Número de intervalo

Límites inferiores

Límites superiores

1 41 462 47 523 53 58… … ...10 95 100

Intervalos REALES

Límites inferiores

Límites superiores

40.5 46.546.5 52.552.5 58.5… ...

94.5 100.5

LI – 0.5LS + 0.5

Datos agrupadosEn esta presentación veremos el procedimiento para determinar las frecuencias: absoluta, acumulada, relativa y relativa acumulada.

FrecuenciasF. Absoluta F. Acumulada F. Relativa F. Relativa acumulada

fi fai fri frai

Datos agrupados1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 812 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 783 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 754 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 685 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 756 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 707 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 808 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 599 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70

10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60

Datos agrupados16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 9272 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 5654 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 7267 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 5767 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 8166 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 5778 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 7881 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 9165 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 5775 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80

Datos agrupadosEl primer paso consistió en obtener los intervalos aparentes.

Datos agrupadosIntervalo número

Intervalos aparentesLímites inferiores Límites superiores

1 41 462 47 523 53 584 59 645 65 706 71 767 77 828 83 889 89 9410 95 100

Los cuatro valores cumplen con las

condiciones necesarias.

41≤42 46≥42

95≤100 100≥100

Datos agrupadosQuinto paso:Después se obtuvieron los intervalos reales.

Datos agrupadosIntervalo número

Intervalos realesLímites inferiores Límites superiores

1 40.5 46 .52 46.5 52.53 52.5 58.54 58.5 64.55 64.5 70.56 70.5 76.57 76.5 82.58 82.5 88.59 88.5 94.5

10 94.5 100.5

Datos agrupadosSexto paso: Calcular las marcas de clase (xi)Las marcas de clase “representan”, cada una de ellas, todos los datos contenidos en el intervalo correspondiente.

Se calculan promediando los límites inferior y superior de los intervalos reales como se muestra en la diapositiva siguiente.

En el primer intervalo:40.5 46.5 43.5

2

Datos agrupadosMarcas de

Límite Límite claseinferior superior

40.5 46.5 43.546.5 52.5 49.552.5 58.5 55.558.5 64.5 61.564.5 70.5 67.570.5 76.5 73.576.5 82.5 79.582.5 88.5 85.588.5 94.5 91.594.5 100.5 97.5

Intervalos reales

ݔ Las marcas de clase

“representan”, cada una de ellas, todos los datos contenidos en el intervalo correspondiente.

Al tomar la marca de clase para efectuar todos nuestros cálculos vamos a perder un poco de exactitud.

Es como si afirmáramos que todos los datos en un intervalo son iguales a la marca de clase.

Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)Esta parte del proceso es un tanto laboriosa cuando se

realiza a mano, ya que se debe contar para saber cuántos datos están dentro de cada intervalo.

Para el primer intervalo; ¿cuántos datos están entre 40.5 y 46.5? (o, más fácilmente, entre 41 y 46).

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 81 62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 922 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 78 72 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 563 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 75 54 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 724 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 68 67 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 575 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 75 67 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 816 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 70 66 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 577 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 80 78 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 788 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 59 81 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 919 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70 65 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 57

10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60 75 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80

Datos agrupados1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 81 52 81 64 83 79 77 74 79 70 77 77 62 67 812 71 68 71 85 65 91 51 61 80 82 63 91 71 74 783 86 65 66 56 73 75 83 62 70 60 68 86 66 83 754 67 45 78 77 83 65 89 54 60 69 75 66 73 72 685 86 76 48 66 67 74 58 70 60 49 88 56 68 90 756 74 70 85 73 76 66 72 87 69 70 66 70 55 88 707 71 80 70 75 76 69 71 77 72 63 64 56 57 66 808 75 74 90 89 81 64 62 91 61 62 64 58 72 69 599 75 71 79 86 74 74 75 81 67 97 54 73 80 63 70

10 63 67 49 100 66 79 71 77 75 60 66 58 72 57 60

Datos agrupados16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

62 67 79 71 79 65 70 84 62 73 87 65 72 65 9272 59 60 66 63 83 65 87 62 79 89 51 70 70 5654 62 82 78 64 76 71 71 73 53 68 85 77 68 7267 77 42 80 68 64 73 55 79 43 58 74 78 79 5767 66 75 77 66 73 76 70 54 90 61 62 90 81 8166 83 69 72 65 85 74 79 59 72 78 67 81 77 5778 54 77 77 79 75 75 62 73 80 53 89 59 67 7881 65 62 63 85 68 74 75 61 60 62 50 94 77 9165 80 73 81 50 75 89 71 59 79 83 80 92 69 5775 69 60 73 62 83 72 66 85 61 52 86 55 83 80

Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)Para el primer intervalo; ¿cuántos datos están entre

40.5 y 46.5? (o entre 41 y 46).Los datos que están dentro del primer intervalo están

resaltados con amarillo, son 3.Esta cantidad: tres, es la frecuencia absoluta para el

primer intervalo.

Marcas deLímite Límite clase F. absoluta

inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2

FrecuenciasIntervalos reales

ݔ �

Datos agrupadosSéptimo paso: Determinar las frecuencias absolutas (fi)

Este proceso se lleva a cabo para cada intervalo.Observa como van agregándose columnas a la tabla.

Marcas deLímite Límite clase F. absoluta

inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2

FrecuenciasIntervalos reales

ݔ �

Datos agrupados

Un histograma es la representación gráfica de la frecuencia absoluta.

Marcas de FrecuenciaLímite Límite clase absoluta

inferior superior40.5 46.5 43.5 346.5 52.5 49.5 952.5 58.5 55.5 2358.5 64.5 61.5 4364.5 70.5 67.5 6270.5 76.5 73.5 6376.5 82.5 79.5 5382.5 88.5 85.5 2688.5 94.5 91.5 1694.5 100.5 97.5 2

Intervalos reales

ݔ �

Datos agrupadosOctavo paso: Determinar las

frecuencias acumuladas (fai)La primera frecuencia

acumulada es igual a la primera frecuencia absoluta.

De la segunda en adelante se van sumando como se muestra en la tabla.

Este proceso se lleva a cabo para cada intervalo.

La frecuencia acumulada suele utilizarse para trazar gráficos de polígono.

Datos agrupados

Marcas de Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada

inferior40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300

ݔ � � El primer valor es

igual a la frecuencia absoluta

+ =Frecuencia

acumulada anterior más frecuencia absoluta actual:

3 + 9 =12

Datos agrupados

Así sucesivamente

Marcas de Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada

inferior40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300

ݔ � � Frecuencia acumulada

anterior más frecuencia

absoluta actual:12 + 23 = 35+ =

Datos agrupadosMarcas de Frecuencia Frecuencia

Límite Límite clase absoluta acumuladainferior superior

40.5 46.5 43.5 3 346.5 52.5 49.5 9 1252.5 58.5 55.5 23 3558.5 64.5 61.5 43 7864.5 70.5 67.5 62 14070.5 76.5 73.5 63 20376.5 82.5 79.5 53 25682.5 88.5 85.5 26 28288.5 94.5 91.5 16 29894.5 100.5 97.5 2 300

Intervalos reales

ݔ � � La última

frecuencia acumulada

debe ser igual al número de

datos.

Datos agrupadosNoveno paso: Determinar las frecuencias relativas (fri)

La frecuencia relativa se calcula dividiendo la frecuencia absoluta (fi) entre el número de datos, en este caso, 300.

La primera frecuencia relativa es:

13 0.01

300fr

Datos agrupadosNoveno paso: Determinar las frecuencias relativas (fri)

Se agrega una columna más a la tabla para anotar las frecuencias relativas.

En ocasiones se expresa la frecuencia relativa en términos de porcentaje, para la primera sería:

13 0.01 1%

300fr ó

Datos agrupados

Marcas de Frecuencia Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada relativa

inferior40.5 46.5 43.5 3 3 0.01046.5 52.5 49.5 9 12 0.03052.5 58.5 55.5 23 35 0.07758.5 64.5 61.5 43 78 0.14364.5 70.5 67.5 62 140 0.20770.5 76.5 73.5 63 203 0.21076.5 82.5 79.5 53 256 0.17782.5 88.5 85.5 26 282 0.08788.5 94.5 91.5 16 298 0.05394.5 100.5 97.5 2 300 0.007

ݔ � � ݎ� 13 0.01

300fr

29 0.03

300fr

323 0.076

300fr

0.0766666666 aparece como 0.077

Datos agrupadosMarcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Límite Límite clase absoluta acumulada relativainferior superior

40.5 46.5 43.5 3 3 0.01000046.5 52.5 49.5 9 12 0.03000052.5 58.5 55.5 23 35 0.07666758.5 64.5 61.5 43 78 0.14333364.5 70.5 67.5 62 140 0.20666770.5 76.5 73.5 63 203 0.21000076.5 82.5 79.5 53 256 0.17666782.5 88.5 85.5 26 282 0.08666788.5 94.5 91.5 16 298 0.05333394.5 100.5 97.5 2 300 0.006667

Intervalos reales

ݔ � � ݎ�

Datos agrupados Noveno paso: Determinar

las frecuencias relativas (fri) Las frecuencias relativas

pueden usarse con facilidad para trazar una gráfica circular y como tienen el mismo comportamiento que la frecuencia absoluta, pueden etiquetarse las divisiones de la gráfica como frecuencias absolutas o relativas.

Datos agrupados

Ambas gráficas son idénticas, sólo las etiquetas de datos son diferentes: en una están las frecuencias relativas y en otra las absolutas.

Datos agrupados

Anotando las marcas de clase como referencia y escribiendo la frecuencia relativa en formato de porcentaje podemos tener mayor claridad acerca de los datos.

Datos agrupadosDécimo paso: Determinar las frecuencias relativas acumuladas (frai)

En forma similar a la frecuencia acumulada, la primera frecuencia relativa acumulada es igual a la primera frecuencia relativa.

La segunda (frai) es igual a la primera (frai) más la segunda (fri)

Observa la columna que se agrega a la tabla.

Datos agrupados

Marcas de Frecuencia Frecuencia Frecuencia FrecuenciaLímite Límite clase absoluta acumulada relativa rel . acumulada

inferior superior40.5 46.5 43.5 3 3 0.010000 0.01000046.5 52.5 49.5 9 12 0.030000 0.04000052.5 58.5 55.5 23 35 0.076667 0.11666758.5 64.5 61.5 43 78 0.143333 0.26000064.5 70.5 67.5 62 140 0.206667 0.46666770.5 76.5 73.5 63 203 0.210000 0.67666776.5 82.5 79.5 53 256 0.176667 0.85333382.5 88.5 85.5 26 282 0.086667 0.94000088.5 94.5 91.5 16 298 0.053333 0.99333394.5 100.5 97.5 2 300 0.006667 1.000000

Intervalos reales

ݔ � � ݎ� � ݎ

La última frecuencia relativa acumulada debe ser igual a uno.

Datos agrupadosDécimo paso: Determinar las frecuencias relativas acumuladas (frai)

Si trazamos una gráfica de líneas con la frecuencia relativa acumulada, recibe el nombre de ojiva.

Datos agrupados

Datos agrupadosSe ha terminado de calcular

las frecuencias, pero faltan algunas columnas más. La siguiente tabla incluye las tres columnas faltantes.

En la siguiente presentación explicaremos cómo calcular las columnas faltantes y posteriormente abordaremos el tema de las gráficas.

Datos agrupados

Lim. Inferior Lim . Superior

Totales

=

Desviación media =

=

=

Frecuencias Medidas de tendencia central y dispersión

Clases o categoríasIntervalos

Marcas de clase

ix if ifa ifr ifra i if x i ix x f 2

i ix x f

Gracias por su atención

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