Teori Bunga IIArum H. Primandari

Bunga Majemuk Nominal

• Bunga tunggal jarang dipakai di perbankan, kebanyakan bank-bank sekarang membayar bunga dengan frekuensi bulananatau mingguan, bahkan harian. Selanjutnya bunga tersebutdiakumulasikan dalam rekening kita dan dibungakan(compounded) pada periode berikutnya.(compounded) pada periode berikutnya.

• Suku bunga inilah yang disebut suku bunga nominal, yaitubunga yang dibayarkan beberapa kali dalam setahun.

• Suku bunga nominal yang dibayarkan m kali dalam setahundinotasikan i(m) , dimana m bilangan possitif > 1

• Dengan suku bunga sebesar i(m) setahun, kita artikandeposito/tabungan kita mendapat bunga sebesar i(m)/m yangdibayarkan m kali dalam setahun;

• Contoh:

Suatu pokok uang ditabungkan dengan suku bunga 6%konversi tiga bulanan (m = 4)

Bunga diberikan 4 kali dalam setahun, yaitu per 3 bulanan,sebesar 6%/4 = 1.5%

• Contoh 1:

Uang pokok sebesar $1 diinvestasikan di awal tahun denganbunga nominal sebesar 18% konversi bulanan. Tentukan nilaiakumulasi pada akhir tahun. Tentukan pula tingkat sukubunga efektif.bunga efektif.

• Jawab:

Bunga perbulan:

(12)i 18%1.5%

12 12

Nilai akumulasi di akhir tahun:

Tingkat suku bunga efektif:

12

a(1) 1 0.015 1.1956

1

1.1956 1i 0.1956 19.56%

1

Sementara bunga nominalnyaadalah i(12) = 18% pertahun

• Nilai akumulasi dari pokok uang A(0) setelah t periode yangmemperoleh bunga nominal i(m) adalah

mt(m)i (m)

mt(m)

iA(t) A(0) 1

m

ik 1

m

• Secara matematis, suku bunga efektif dari bunga nominal

m(m)i1 1 i

m

1 1 i

m

Bunga Majemuk Kontinu

• Selain pemberian bunga setiap bulan, minggu, atau setiaphari seperti yang dikatakan di atas, proses pemberian danpemajemukan bunga dapat diberikan setiap jam, setiapmenit, setiap detik dan seterusnya (setiap saat), atau dengankata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu.kata lain bunga diberikan terus menerus secara kontinu.

• Pemajemukan yang dilakukan secara terus menerus inidisebut pemajemukan kontinu (continuouscompounding).

• Secara matematika, nilai m→∞, dan diperoleh nilaipemajemukan sebagai berikut :

( m )

mt(m)i ti

( m )i t

m

ilim 1 e

m

• Nilai akumulasi suatu investasi dengan bunga majemukkontinu

( m )i tA(t) A(0)e i tA(t) A(0)e

• Contoh:

Suatu investasi sebesar 1 juta dengan bunga majemukkontinu sebesar 10% selama 5 tahun;

t A(t)0 11 1.1051712 1.2214033 1.3498594 1.4918255 1.648721

• Perbandingan:

Konversi Formula A(5) dalam juta

Tahunan A(5) = (1+0.1/1)1×5 1.61051Tahunan A(5) = (1+0.1/1)1×5 1.61051

Setengahtahunan

A(5) = (1+0.1/2)2×5 1.628895

Bulanan A(5) = (1+0.1/12)12×5 1.645309

Harian A(5) = (1+0.1/365)365×5 1.648608

Kontinu A(5) =1*exp(0.1*5) 1.648721

Sifat Bunga Tunggal (simple interest)

• Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periodewaktu t+s, maka besarnya nilai akumulasinya:

a(t s) a(t) a(s) 1

• Buktikan!

• Bagaimana dengan A(t+s)?

a(t s) a(t) a(s) 1

Sifat bunga majemuk (compound

interest)

• Diberikan investasi awal sebesar satu unit selama periodewaktu t+s, maka besarnya nilai akumulasinya:

a(t s) a(t)a(s)

• Buktikan!

• Bagaimana dengan A(t+s)?

a(t s) a(t)a(s)

Nilai sekarang (Present Value)

• Selain kita dapat menentukan nilai akumulasi di masamendatang, kita juga dapat menentukan nilai sekrang darisuatu nilai di masa datang.

• Berapakah uang yang kita butuhkan di saat ini agar setahunmendatang uang kita menjadi 1+i?

• Jawaban: 1

• Formulasi matematis:

1 v 1 i

1v

1 i

• besaran v sering disebut juga faktor diskon karenamendiskonto nilai investasi di akhir periode ke awal periode.

• Fungsi diskonto untuk mendapatkan akumulasi sebesar 1selama t periode dinotasikan a-1(t)

1

v1 i

1 i

Sekarang kita generalisasikan fungsi diskon untuk berbagaimacam jenis bunga dengan uang pokok A(0):

1. Bunga tunggal (simple interest)

A(t)

A(t) k 1 it k

2. Bunga majemuk (compound interest)

1

A(t)A(t) k 1 it k

1 it

A(t)Sehingga : A (t)

1 it

t t

t1 t

A(t) k 1 i k A(t) 1 i

Sehingga : A (t) A(t) 1 i A(t)v

Soal

1. Rekening P mendapat bunga tunggal sebesar 4% setahun.Sementara itu rekening Q mendapat bunga tunggal sebesari% pertahun. Uang sebesar 1 juta ditabungkan di rekening Pdan 2 juta di rekening Q. Setelah 5 tahun, uang di keduarekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i.rekening P dan Q sama. Tentukan besarnya suku bunga i.

2. Hisam meminjam uang 200 juta untuk memperbesar usahaperkayuannya. Dia melunasi pinjaman di atas 4 tahunkemudian sebesar 260 juta. Berapakah suku bunga efektiftahunan dari pinjaman Hisam, apabila diketahui bungapinjaman adalah majemuk?

3. Diketahui investasi dengan uang pokok sebesar $600 dalamdua tahun akan memiliki bunga sebesar $264. Tentukan nilaiakumulasi dari investasi sebesar $2000 selama tiga tahundalam kondisi bunga yang sama. (bunga majemuk)

4. Misal anda mendepositokan 100 juta dengan suku bunga 6%(convertible quaterannualy). Enam bulan berikutnya andamendepositokan lagi 200 juta. Berapa jutakah uang andasetelah dua tahun dari deposito yang kedua?

5. Ayah anda mempunyai uang 50 juta dan ingin ditabungkan.Ayah anda berharap dalam waktu 15 tahun uang tersebutdapat menjadi 3 kali lipat. Bank dengan suku bungamajemuk nominal konversi setengah tahunan(semiannually) berapa yang akan Anda rekomendasikan ?(semiannually) berapa yang akan Anda rekomendasikan ?

6. Diketahui bahwa investasi sebesar Rp 500 juta akanberkembang menjadi Rp 4000 juta dalam kurun waktu 30juta. Tentukan jumlah nilai present value dari uang sebesarRp 10000 juta yang akan terjadi pada 20 tahun, 40 tahun,dan 60 tahun kemudian.

7. Hitunglah suku bunga nominal, konversi semesteran, yangmemberikan suku bunga efektif tahunan i = 10%.

Tingkat diskon efektif

• Tingkat diskon efektif adalah ukuran bunga yang dibayarkandi awal periode.

• Diskon dinotasikan dengan d;• Diskon dinotasikan dengan d;

• Contoh:

Kasus 1: A meminjam bank sebesar 100 juta untuk 1 tahundengan bunga sebesar 6%. Di akhir tahun, A mengembalikanpinjaman sebesar: pokok hutang 100 juta + bunga 6 juta = 106juta.juta.

Kasus 2: A meminjam 100 juta untuk 1 tahun dengan sukudiskon 6%, maka bank menarik bunga di awal sebesar 6% danmemberikan A pinjaman sebesar 94 juta. Di akhir tahun, Amengembalikan pokok hutang sebesar 100 juta.

• Tingkat diskon efektif, d, adalah rasio sejumlah diskon yangdiperoleh selama periode tertentu dengan sejumlah investasidi akhir periode.

• Andaikan dn adalah tingkat diskon efektif selama periode ndari suatu investasi, maka:

nn

IA(n) A(n 1)d

A(n) A(n)

• Analog dengan bunga, dalam diskon terdapat diskontunggal (simple discount), diskon majemuk(compound discount), maupun diskon majemuknominal.nominal.

Nilai sekarang untuk diskon

• Asumsikan seseorang meminjam sebesar 1, dengan diskonsebesar d dapat dikatakan bahwa dia mendapat pokokpinjaman sebesar 1-d;

• Dari definisi dasar i yang merupakan perbandingan antara• Dari definisi dasar i yang merupakan perbandingan antarabunga (dalam hal ini diskon) dengan pokok uang, maka:

di

1 d

id iv

1 i

• Nilai sekarang dalam fungsi diskon:– Untuk diskon tunggal (simple discount)

1a (t) 1 dt

– Untuk diskon majemuk (compound discount)

t1a (t) 1 d

• Contoh:

Tentukan jumlah uang yang harus diinvestasikan dengandiskon majemuk 9% per tahun agar menghasilkan nilaiakumulasi sebesar 1000 di akhir tahun ke tiga.akumulasi sebesar 1000 di akhir tahun ke tiga.

Diketahui: A(3) = 1000, t = 3, d = 0.09

Jawab:

t

t

3

A(t) ka(t)

k 1 d

k A(t)*(1 d)

1000*(1 0.09)

753.57