contoh salah satu subpembahasan buku jawara olimpiade omits smp

192

Pembahasan Penyisihan Omits 2013

PEMBAHASAN PENYISIHAN OMITS 2013

SOAL PILIHAN GANDA

1. Jawaban : D

Pembagi positif dari selain adalah , tetapi .

Pembagi positif dari selain adalah dan , tetapi .

Pembagi positif dari selain adalah dan , tetapi .

Pembagi positif dari selain adalah dan sehingga .

Jadi, dari keempat bilangan di atas, yang termasuk bilangan sempurna

adalah 6.

2. Jawaban : C

( )( ) ( )( ).

Perhatikan bahwa digit terakhir dari {

Karena ( )( ) merupakan bilangan ganjil maka digit terakhir dari

( )( ) adalah 5.

3. Jawaban : B

Misalkan Tika lahir pada tahun .

Pada tanggal 9 Februari 2013 usianya sama dengan jumlah digit dari tahun

dimana dia dilahirkan, maka ( )

Karena dan bilangan bulat dan , maka

.

.

.

Karena maka pasangan terurut ( ) yang memenuhi

hanyalah ( ) dan ( ).

Jika dan , maka persamaan (1) menjadi :

.

( ) .

.

Karena bilangan bulat dan , maka

.

Karena bilangan bulat maka nilai yang mungkin hanyalah 8 dan 9.

193

Buku Panduan Jawara Omits SMP

Jika maka ( )

(tidak memenuhi,

sebab

bukan bilangan bulat).

Jika maka ( )

Jika dan , maka

.

( ) .

( ).

Nilai yang mungkin hanyalah 1, sehingga nilai ( )

Jadi, ada 2 kemungkinan, yaitu Tika lahir pada tahun 1992 atau Tika lahir

pada tahun 2010.

4. Jawaban : B

Masing-masing huruf dari dan diganti dengan sebuah digit

berbeda dari 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Nilai maksimum (

) dicapai jika

dan maksimum sedangkan dan minimum.

Jadi, (

)

.

5. Jawaban : C

.

6. Jawaban : C

Diketahui

dan dengan dan bilangan bulat

positif.

.

Karena bilangan bulat positif maka haruslah faktor positif dari 5,

sehingga kemungkinannya hanyalah atau .

Diperoleh atau .

Jika maka , sehingga .

Jika maka , sehingga .

Jadi, nilai terkecil dari adalah 17.

7. Jawaban : A

.

194


.

.

(

) (

) (

)

.

.

.

Jadi, nilai dari

.

8. Jawaban : D

( ) .

9. Jawaban : C

.

.

.

10. Jawaban : B

Misalkan dan berturut-turut adalah panjang, lebar dan tinggi balok.

cm2, cm

2 dan cm

2.

( ) √

Jadi, volume balok √ .

11. Jawaban : A

√

( )

√ √

.

12. Jawaban : D

Rumus suku ke – dari barisan geometri adalah dengan suku

pertama dan rasio.

√ .

.

√ .

195


13. Jawaban : D

Diketahui :

( )

( )

Dari persamaan (1) diperoleh :

( ) ( ) ( )( ) .

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

Selanjutnya subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (3).

( )

.

14. Jawaban : B

Perhatikan gambar di bawah ini !

Misalkan dan . Karena , maka

, dan juga karena , maka .

dan .

Perhatikan !

( ) ( ) .

( ) .

15. Jawaban : D

(√ √ )(√ √ )

√ √ (√ √ )(√ √ )(√ √ )

√ √ ( )( √ )

√ √

( √ )

√ √

Rasionalkan penyebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan

akar sekawan dari penyebut, diperoleh :

196


(√ √ )(√ √ )

√ √ (

( √ )

√ √ ) (

√ √

√ √ )

( √ √ √ √ )

(√ √ )(√ √ )

√ √ √ √ √ √ √ √ .

16. Jawaban : C

Bilangan polindrom antara 100 sampai 2013 terdiri dari 3 digit dan 4 digit.

Bentuk umum bilangan polindrom 3 digit adalah .

hanya boleh diisi angka (ada 9 pilihan untuk mengisi ).

hanya boleh diisi angka (ada 10 pilihan untuk mengisi ).

Banyaknya bilangan polindrom 3 digit adalah

Bentuk umum bilangan polindrom 4 digit adalah .

Karena dibatasi sampai 2013, maka hanya boleh diisi angka dan .

Jika maka hanya boleh diisi angka

(ada 10 pilihan untuk mengisi ).

Jika maka hanya boleh diisi angka

(ada 1 pilihan untuk mengisi ).

Banyaknya bilangan polindrom 4 digit sampai 2013 adalah

Jadi, bilangan polindrom antara 100 sampai 2013 adalah .

17. Jawaban : A

Misalkan dan berturut-turut adalah gradien dari garis

dan , maka

dan

.

Karena garis dan garis sejajar maka

berlaku .

.

Garis berpotongan dengan garis

dan garis di satu titik.

Titik potongnya dapat ditentukan dengan cara eliminasi.

dan .

Subtitusi dan ke persamaan .

( )( ) ( )

Jadi, nilai dari .

197


18. Jawaban : A

( ) ( ) ( )

( )

.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

.

19. Jawaban : C

( ) (

)

Jika maka ( ) (

) ( ), sehingga diperoleh :

( ) ( ) ( )

Jika maka ( ) (

) ( ), sehingga diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Jika persamaan (2) disubtitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh :

( ) ( ( )) ( ) .

20. Jawaban : D

Perhatikan pola berikut !

Catatan :

Gradien dari garis adalah

.

Gradien garis yang melalui 2 titik, yaitu ( ) dan ( )

adalah

.

Gradien dari garis adalah

Dua garis dan saling sejajar jika dan hanya jika .

Dua garis dan saling tegak lurus jika dan hanya jika

.

Dengan dan berturut turut adalah gradien garis dan .

198


Jumlah digit-digit dari adalah ( )

21. Jawaban : C

Misalkan dan berturut-turut adalah banyaknya jawaban Angga yang

benar, salah dan tidak dijawab.

Banyaknya soal adalah 50 dan Angga hanya menjawab 40, maka

dan .

Jawaban benar bernilai 5, jawaban salah bernilai , tidak dijawab bernilai

dan Angga mendapat nilai 71, maka

.

.

Jadi, banyaknya jawaban Angga yang benar adalah 23.

22. Jawaban : D

Diketahui :

( ( )) ( ( )) ( ( )) .

(Lihat catatan logaritma halaman 45).

( ( )) .

( ( )) ( ) .

( ) .

( ( )) .

( ( )) ( ) .

( ) .

( ( )) .

( ( )) ( ) .

( ) .

Jadi, nilai dari .

23. Jawaban : B

( )( ).

Karena maka dan , sehingga

( )( ).

199


( ) ( ) ( ) .

Dengan menggunakan kesamaan koefisien ruas kiri dan ruas kanan maka

diperoleh

Jadi, .

24. Jawaban : A

Jumlah 100 bilangan asli pertama adalah 5050, maka

.

Nilai dari

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

25. Jawaban : C

Nilai dari

( ) ( )

( ) ( ) .

26. Jawaban : A

Perhatikan gambar berikut !

Luas Luas , karena dan persegi

maka √

. Titik adalah titik tengah busur , akibatnya

( )

( ) .

Luas daerah yang diarsir

Luas Luas Luas Luas Luas

( )

( )

( )

( )( )

( ) .

200


27. Jawaban : C

Gunakan formulasi ( )( ).

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

(lihat rumus halaman 9)

( )

.

28. Jawaban : B

.

( ) ( ) .

Misalkan dan .

, jika kedua ruas dikalikan -2 maka

.

( ) ( ) ( ) .

( ) ( ) ( ) .

( ) ( ) ( ) .

Karena bilangan riil, maka

( ) ( ) dan ( ) .

Sehingga persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika

, dan .

Diperoleh .

Bilangan riil yang memenuhi persamaan di atas adalah 0.

Jadi, ada 1 bilangan riil yang memenuhi.

29. Jawaban : D

Misalkan bilangan dua digit adalah

Karena maka pasangan ( ) yang memenuhi adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ).

Karena habis dibagi 34 maka satu-satunya yang memenuhi

hanyalah dan , sehingga diperoleh .

Nilai dari

30. Jawaban : D

Pilihan jawaban :

201


A. ( ) (kelipatan 7 tetapi , jadi bukan bilangan prima).

B. ( ) (kelipatan 5 tetapi , jadi bukan bilangan prima).

C. ( ) (kelipatan 3 tetapi , jadi bukan bilangan prima).

D. ( ) (bilangan prima).

31. Jawaban : C

( ) (

) dengan syarat

(lihat catatan logaritma halaman 45).

( ) (

) .

( )

(

) .

( ) √

.

( )

√

( )

√

√

.

Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh : ( )

–

( ) ( ).

( ) ( ) .

Selanjutnya difaktorkan menjadi :

( )(( ) ) ( )( ) .

Diperoleh

atau

.

Karena syaratnya

, maka nilai yang memenuhi hanyalah

.

32. Jawaban : C

Didefinisikan

untuk semua bilangan bulat dan

, untuk setiap bilangan bulat . Berdasarkan definisi maka

33. Jawaban : D

Misalkan

untuk dan bilangan positif berbeda, maka

( )

( )

( )

202



( ) ( ) ( )

Dari persamaan (3) diperoleh :

( )


( ) ( ) ( ) .

Karena bilangan positif maka haruslah , selanjutnya

difaktorkan menjadi ( )( ) , diperoleh atau .

Jika , maka persamaan (3) menjadi ( )

.

Jika , maka persamaan (3) menjadi ( )

(tidak memenuhi, sebab dan bilangan positif).

Jadi, nilai dari

adalah

.

34. Jawaban : A


Jumlah semua angka pada :

Baris pertama :

Baris kedua :

Baris ketiga :

Baris keempat :

Jumlah semua angka pada masing-masing baris membentuk barisan geometri

dengan suku pertama dan rasio .

Suku ke dari barisan geometri adalah , sehingga jumlah

semua angka pada baris ke ( ) .

35. Jawaban : D

Dari angka-angka 3, 6, 2, 9, 5 akan dibentuk bilangan ganjil yang terdiri dari

5 angka tanpa perulangan.

Misalkan bilangan terbesar yang terbentuk adalah , maka haruslah

bilangan ganjil terkecil, Selanjutnya dan diisi dengan

bilangan secara terurut dari yang terbesar sampai yang terkecil sehingga

diperoleh .

203


Misalkan bilangan terkecil yang terbentuk adalah , maka haruslah

bilangan ganjil terbesar, Selanjutnya dan diisi dengan

bilangan secara terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar sehingga

diperoleh .

Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah

36. Jawaban : D

Jika bernilai ganjil maka ada 2 kemungkinan, yaitu ganjil dan

genap atau genap dan ganjil.

A. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka

bukan bilangan ganjil.

B. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka

bukan bilangan ganjil.

C. Jika ganjil dan genap maka bilangan ganjil. Akan tetapi jika

genap dan ganjil maka bukan bilangan ganjil.

D. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka ( )( )

bilangan ganjil.

Jadi, jika bernilai ganjil maka ( )( ) pasti bilangan ganjil.

Catatan :

Agar lebih mudah memahami pembahasan di atas perhatikan sifat-

sifat berikut :

a) Genap genap genap

b) Genap ganjil ganjil

c) Ganjil genap ganjil

d) Ganjil ganjil genap

e) ( ) genap

f) ( ) ganjil

g) Ganjil ganjil ganjil

h) Ganjil genap genap

i) Genap ganjil genap

j) Genap genap genap

204


37. Jawaban : A

Pernyataan pada soal ini dapat dinyatakan dalam tabel berikut :

Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at

Ali masuk tidak masuk tidak masuk

Baiquini masuk masuk tidak masuk masuk

Chali tidak masuk masuk tidak tidak

Dita masuk masuk masuk masuk tidak

Eko tidak

selalu masuk masuk

tidak

selalu masuk

Dari tabel di atas jelas bahwa yang selalu dapat masuk hari Senin adalah

Dita, Baiquini dan Ali.

38. Jawaban : C

Misalkan usia Robi sekarang adalah tahun dan usia Soni sekarang adalah

tahun, maka

( )

( ) ( )

Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh :

( )

.

39. Jawaban : D

.

Diketahui dan bilangan bulat positif sehingga haruslah faktor positif

dari 32. Oleh karena maka pasangan ( ) yang memenuhi

hanyalah ( ) ( ) dan ( ).

.

Diketahui dan bilangan bulat positif sehingga haruslah faktor positif

dari 50. Oleh karena maka pasangan ( ) yang memenuhi hanyalah

( ) ( ) dan ( ).

Diketahui juga bahwa .

Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka ( )

( ). Akan tetapi hal ini tidak memenuhi .

Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka

( ) ( ). Akan tetapi hal ini tidak memenuhi .

205


Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka ( )

( ). Sehingga diperoleh dan

memenuhi

Jadi, nilai dari ( )

40. Jawaban : B

Diketahui dan .

( ) ( ) .

Jadi, nilai dari .

41. Jawaban : D


Banyaknya bulatan pada :

pola ke-1 :

pola ke-2 :

pola ke-3 :

pola ke-100 : ( )( )

.

42. Jawaban : D

dengan dan bilangan bulat.

( )( ) .

Karena 37 bilangan prima maka pasangan (( ) ( )) yang

memenuhi adalah ( ) ( ) ( ) dan ( ).

( ) ( ) .

( ) ( ) .

( ) .

43. Jawaban : D

Diketahui √ √ √

√ √

√ √

√

√ √ √

√ .

206


Perhatikan bahwa :

√ √ , jika kedua ruas dari persamaan √

√ dipangkatkan maka

diperoleh √ √

√ . Selanjutnya, jika kedua ruas dari persamaan

√ √ dipangkatkan maka diperoleh √

√

√

√ .

Jika proses ini dilakukan berulang, maka akan diperoleh :

√

√ √

√ .

Jadi, nilai dari adalah 3.

44. Jawaban : D

.

.

Dengan sifat distributif, maka diperoleh :

( )

( ) .

.

Selanjutnya difaktorkan menjadi :

( ) .

Sehingga diperoleh atau .

.

45. Jawaban : B


√ √ .

( ) ( √ ) √ √ .

Karena maka dan adalah segitiga siku-siku

sama kaki yang kongruen, sehingga .

207


akibatnya ,

luas luas , dan luas juring luas juring .

Luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran

Luas daerah yang diarsir

Luas juring Luas juring + Luas + Luas

2 ( Luas juring Luas )

(

( )

) .

46. Jawaban : D

Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan menit tiap jam.

Karena jam = menit maka setiap

jam, jam dinding selalu

menghasilkan keterlambatan jam.

Agar jam dinding menunjukkan kembali waktu yang tepat, maka jam tersebut

harus menghasilkan keterlambatan jam yang akan diperoleh setelah

jam.

47. Jawaban : C


Diketahui :

, .

adalah jajaran genjang, // akibatnya dan

( ) .

Jadi, nilai dari .

208


48. Jawaban : B

Misalkan lima pasangan suami istri tersebut adalah

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

Karena ada 5 pasang suami istri dan tiap pasangan dapat saling bertukar

tempat duduk dengan pasangannya sendiri, maka banyaknya cara mengatur

tempat duduk sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah

cara.

49. Jawaban : A

Misalkan dan berturut-turut adalah rata-rata usia dosen dan rata-rata usia

dokter. Sedangkan dan berturut-turut adalah banyaknya dosen dan

banyaknya dokter, adalah rata-rata usia gabungan dosen dan dokter.

.

.

.

. ( ) ( )

.

.

.

Jadi, perbandingan banyaknya dosen dan dokter adalah 2 : 1.

Untuk menyelesaikan soal di atas dapat juga diterapkan cara cepat pada

halaman 9.

50. Jawaban : A

Diketahui

dan

.

.

209


Soal Isian Singkat

1. Jawaban : 2012

Diketahui ( )

dengan .

Perhatikan bahwa :

( ) (

)

(

) .

Maka nilai dari ( ) ( ) ( ) ( ) (

) (

)

(

) (

)

( ( ) (

)) ( ( ) (

)) ( ( ) (

))

( ( ) (

))

⏟

.

2. Jawaban : 64

Diketahui

, maka dan .

√

√

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√ ( )

√

3. Jawaban : 0 atau 5

Misalkan √ √ √ √ √ √ .

√ √ √

Jika kedua ruas dikuadratkan maka diperoleh :

√ √ √ .

Selanjutnya difaktorkan menjadi ( )

diperoleh atau

√ √ √

Jika kedua ruas dikuadratkan maka diperoleh :

√ √ √ .

210


Untuk maka

Untuk maka ( )

diperoleh atau

Jadi, nilai yang memenuhi persamaan

√ √ √ √ √ √ adalah 0 atau 5.

4. Jawaban : 3

( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) dengan syarat

.

( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) .

( ) ( ( ) ( ) ) sehingga diperoleh

( ) atau ( ) ( ).

( )

( ) ( ) diperoleh

Karena

maka nilai yang memenuhi adalah 3.

5. Jawaban :

.

Nilai dari

( ) ( ) .

6. Jawaban : bola merah 8 buah dan bola hijau 36 buah

Misalkan dan berturut-turut adalah banyaknya bola merah dan bola hijau

di dalam kantong. Sedangkan adalah banyaknya semua bola dalam

kantong.

( ) ( )

( ) ( )

Dari persamaan (1) dan (2) :

diperoleh dan

sehingga diperoleh .

211


Jadi, banyaknya bola merah adalah 8 buah. Sedangkan banyaknya bola hijau

adalah 36 buah.

7. Jawaban : Rifdi dan Diana

Asumsikan pernyataan wanita pendek benar, maka Rifdy adalah pria pendek

dan Yahya adalah pria tinggi. Akibatnya pernyataan pria tinggi salah dan

pernyataan pria pendek benar dan pernyataan wanita tinggi salah.

Pria pendek (Rifdy) berkata “saya tidak berpacaran dengan Anin”.

Karena pernyataan pria pendek benar maka dapat dipastikan bahwa pria

pendek (Rifdy) berpacaran dengan wanita pendek (Diana).

8. Jawaban : Tika

Misalkan dan berturut-turut adalah kecepatan Tika dan Tiwi, adalah

jarak A ke B dan dan berturut-turut adalah total waktu yang dibutuhkan

Tika dan Tiwi dari A ke B lalu kembali ke A lagi.

dan .

.

.

Karena maka yang sampai kembali ke A terlebih dahulu adalah Tika.

9. Jawaban :


Karena dan

maka dapat ditulis panjang dan

untuk suatu bilangan riil positif , sehingga

.

Jadi, perbandingan luas segitiga dan adalah .

212


10. Jawaban :


Jika diletakkan benteng dimanapun maka banyaknya posisi yang tidak boleh

ditempati benteng kedua agar tidak saling memakan adalah

Sedangkan banyaknya semua posisi untuk benteng kedua adalah 63.

Jadi, peluang kedua benteng tidak saling memakan adalah

contoh salah satu subpembahasan buku jawara olimpiade omits smp

Education