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OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

REUNIÓN (∪)

La unión de los conjuntos A y B es el

conjunto formado por todos los

elementos que perteneces a A ó B ó a

ambos.

A ∪ B = {x/x A ó x B}

Gráficamente:

A ∪ B A ∪ B A ∪ B

A ∪ B = B ∪ A

A ∪ A = A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∪ = A

INTERSECCIÓN ∩

Se define la intersección de dos

elementos A y B al conjunto de elementos

que son comunes a A y B.

A ∩ B = {X/X A Y X B}

Gráficamente:

A ∩ B A∩B= A ∩ B

A ∩ B = B ∩A

A ∩ =

A ∩ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∩ A = A

DIFERENCIA

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero no pertenecen a B. Ola diferencia se denota por: A – B que se lee. A diferencia B ó A menos B. Se define a la diferencia de dos conjuntos también como:

A – B = {x/x A y x B} Gráficamente:

A – B A – B A – B

A – B = A ∩ B

C

Complemento de A

Notación:

A = AC = A´= U – A

AC = {x/x U x A}

Gráficamente:

AC ∪ A = U

AC ∩ A =

(AC)C = A

MorganBA)BA(

BA)BA(CCC

CCC

2

2 Diferencia Simétrica ()

A B = (A – B) ∪ (B - A)

NOTA:

PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE “A B” ES EL

CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE A ∪ B

QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN

OTRAS PALABRAS “A B” ES EL CONJUNTO

FORMADO POR LOS ELEMENTOS “EXCLUSIVOS”

DE A O DE B.

Gráficamente:

A B A B A B

A B = (A ∪ B) – (A ∩ B)

A B = AC B

C

Aplicación:

Sean los conjuntos:

A = {7; 8; 2; 3}

B = {2; 3; 9}

U = {2; 3; 4; 7; 8; 9}

Calcular:

i. A ∪ B ii. A ∩ B iii. A – B

iv. B – A v. A B vi. A´

vii. B' viii.(A B)'

RELACIONES CON CARDINALES

1. Para dos conjuntos cualesquiera A y B

n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) .

LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS I) Reflexiva:

A ∪ A = A

A ∩ A = A

A A =

II) Asociativa:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A

A (B C) = (A B) C

III) Conmutativa:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A B = B A

IV) Distributiva:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C)

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

V) De la Inclusión:

Si: A B

ABBA

BA

ABA

BBA

VI) Elemento Neutro:

A ∪ = A

A ∩ =

A ∪ U = U

A ∩ U = A

3

3

INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS

“Solo A ” , “Exclusivamente A”, “únicamente A”, “A – B”

“Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos”

“A ∩ B”, “Ocurre A y B”, “Ocurre ambos sucesos a la vez”

“Ocurre sólo uno de ellos”, “Únicamente uno de ellos, “Exactamente uno de ellos”

“Ocurre exactamente dos de ellos”, “Sucede únicamente dos de ellos”

(B ∪ C) – A

“Ocurre B o C pero no A”

“Ocurre al menos dos de

ellos”, “Ocurre por lo menos

dos de ellos”

APLICACIÓN Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.

¿Cuántas personas leen sólo un periódico? {1; 2; 3} ¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente? {4; 5; 6}

¿Cuántas personas leen los tres periodos? {7}

¿Cuántas personas leen el periódico A? {1, 4, 5, 7}

¿Cuántas personas leen sólo A? {1}

¿Cuántas personas leen A y B pero no C? {5} ¿Cuántas personas leen A o B pero no C? {1, 5, 2}

¿Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos? {8}

¿Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos? {4, 5, 6, 7} ¿Cuántas personas leen como máximo dos periódicos? {1, 2,3, 4, 5, 6}

¿Cuántas personas leen B pero no A ó C? {2}

DIAGRAMAS 1) Diagrama de Venn – Euler: Es una

forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos. Ejm.: A = {2; 3; 5; 7}

B = {2; 3; 4; 5; 6} U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

4

4

Entonces:

La interpretación sería: {7} sólo pertenece a “A” {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B” {4; 6} sólo pertenece a “B” {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos “A” y “B”

2) Diagrama de Carroll: Se usa

general-mente para representar conjuntos disjuntos. Ejm.: Para 2 conjuntos cualesquiera:

A Puede representar a los mujeres

B Puede representar a los hombres

A Puede representar capitalinos

B Puede representar provincianos

33)) DDIIAAGGRRAAMMAA LLIINNEEAALL

Se utiliza para conjuntos comparables, es decir, para aquellos que cumple:

A B

Ejm.: A = {1; 2; 3}

B = {4; 5; 6} C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Su diagrama sería:

C

A B

A B

2

3

5

7

4

6

A

B

1

8

U

9