chap 11a: interaksi kuat dan transisi fasa
TRANSCRIPT
Chap 11a:Interaksi Kuat dan Transisi Fasa
Model Ising:Solusi Eksak 1DMetoda Mean FieldMetoda Transfer MatrixModel-model lainnya
Transisi Fasa
β’ Transisi fasa terjadi jika ada singularitas di fungsi energy bebas atau turunannya.
β’ Hal ini ditandai dengan perubahan drastic sifat-sifat bahan.
β’ Contoh: transisi dari cair ke gas, konduktor ke superkonduktor, paramagnet ke feromagnet
Note : sepanjang garis koeksitensi gas-cair kedua fasa tsb ada. Menyebrangi garis ini akan terjadi lonjakan perubahan rapat massa. Tapi ketika temperature naik, perbedaan rapat massa ini makin kecil. Di atas TC (temperature kritis) perbedaan ini 0
Order Parameter & Singularitas
Magnetisasi (M) sebagai fungsi temperature pada kondisi tanpa medan magnet luar. Di bawah TC terjadi magnetisasi spontan M(T), yang berfungsi sebagai order parameter.
Kalor jenis Argon, sebagai fungsi temperature. Pada TC terjadi singularitas.
Important Concepts of Criticality
β’ Order Parameter
β’ Critical Exponent
β’ Universality
β’ Transisi fasa order kesatu, kedua, dst.
Hubungan Mekstat β Thermo Untuk Sistem Magnetik
β’ Hukum 1 Thermo TdS = dU + Mdh
β’ Fungsi energi bebas Helmhotz A = U β TS
β’ dA = dU β TdS β S dT = -Mdh - SdT
A = - kT ln QN
T
kTAU
=
)/(
hT
AS
β=
Th
AM
β=
Th
M
β=
h
hT
UC
=
Definisi Model Ising
β’Upaya menjelaskan perubahan yg dramatis sifat-sifat fisisbenda ketika berubah fasaβ’Korelasi skala mikroskopik mewujud pada skala makrodalam hal derajat keteraturanβ’Model paling sederhana untuk menjelaskan transisi fasa : Model Isingβ’Model Ising : Konfigurasi variabel spin yang bisa berhargahanya 2 (up/down) pada titik-titik kisi, dengan Hamiltonian sbb: β’Model Ising Nearest Neigbour dg medan
magnet luar
ββ= i
i
ij
ji hJH
β’J konstantaβ’<> : hanya tetangga terdekat
J
J
JJ
Definisi Model Ising
β= i
i
ij
jiij hJH 2
1
β’Jij konstanta kopling antar spin-i dan spin-jβ’h medan magnet luarβ’j variabel spin (=+1 atau -1)β’<ij> tetangga-i dan tetangga-j yg dibolehkan terlibat dalaminteraksiβ’Β½ : koreksi double counting
Ising-NN : Ground State Solution
β’ Tinjau : Ising NN , di kisi Bujur sangkar. Solusi saat T=0 β Energi yang terendah
β’ Misal kasus h=0
β’ Kasus J>0 energi terendah (GS) bilaseluruh spin searah (up-up/down-down) β Ferromagnetik
β’ Kasus J<0 energi terendah bila spin berdekatan berlawanan (up-down) βAntiFerromagnetik
β=ij
jiJH
Kisi 1D & 2D
β’ Misal <ij> hanya antar tetangga terdekat (Nearest Neighbour).
β’ Energi total keadaan dasar (Groundstate):
1D: J>0 H0 = - J N
2D: Bujur sangkar J>0
H0 = - 4JN/2 = 2JN
(tiap spin 4 tetangga NN, /2 βdouble counting)
β’ Order parameter : magnetisasi M =
M β 0 ketika T β ( T > TC )
β=ij
jiJH
Ising NN 1D : Solusi Exact
β’ Tinjau kasus 1D, NN, h=0, dg syarat batasperiodik
β’ N+1 = 1
β’ Fungsi partisi kanonik :
β’ Tinjau Suku terakhir :
=
β
==
1 2 1}{
......
N
j
jiJH
N eeQ
=
= =
+
1
1
1
2 1
......
N
N
j
jjJ
N eQ
=β
β
=
+=
1
1
1
1
1
1
1
N
N
N
N
j
jj
JJ
N eeQ
( ) β+
=β
β
=
+
1 1
1
1
1
JJ
J
N eeeQN
N
j
jj
( ) β
+
=β
β
=
+
1
11
1
1
1
1
JJ
J
N eeeQN
N
j
jj
β=ij
jiJH
Ising NN 1D : Solusi Exact
β
β
=
+=
1 1
1
1
1
)cosh(2
JeQN
N
j
jjJ
N
)(cosh2 JQ NN
N =
β’ Selanjutnya dapat diperoleh energy bebas, energy rata-rata, magnetisasi rata-rata, susceptibility dll.
β’ Energi bebas helmhotz:π΄ = βππ lnππ
π΄ = βπππ ln 2 cosh(π½π½)
β’ Berbagai besaran lain dapat diturunkan dari A.
Intermezo: Model Spin tanpa Interaksi
β’ Model : N spin tanpa interaksi. Tiap spin =1
β’ Hamiltonian di bawah medan luar h:
β’ Fungsi Partisi kanonik:
β’ Fungsi partisi kanonik 1 spin:
β’ Fungsi energy bebas π΄ = βππ lnππ
β’ Magnetisasi rata-rata π = βππ΄
πβ π=
π =π
πβπππ ln(2 cosh π½β
π
= π tanh(π½β)
β=i
ihH
=}{
i
ih
N eQ
( ) NN
i
h
N QheQN
i
1cosh21
===
)cosh(21 heeQ hh =+= β
Intermezo: Model Spin tanpa Interaksi
β’ Cara lain :
β’ Fungsi partisi kanonik 1 spin:
β’ Rata-rata 1 spin:
β’ Magnetisasi M = N<> = N tanh h
β’ Untuk suhu tinggi, π βπβ
ππdan suceptibilitas magnetic:
β’ π =ππ
πββ
π
ππ
)cosh(21 heeQ hh =+= β
he
e
h
h
tanh==
+
β==
3
3
1tanh
kT
h
kT
hNhNM
Solusi Mean Field Untuk Model Ising
β’ Tinjau kasus model Ising NN, pada kisibujur sangkar
β’ Strategi : ubah menjadi model kumpulanspin yang tidak saling berinteraksi, hanyaberinteraksi denga βmedan effectiveβ.
β’ Kuat medan effective (mean field ) akanditentukan secara self-consistent.
β’ Tinjau sebuah spin sbg pusat dg nilai 0
yg dikeliling 4 tetangga terdekatnya, maka Hamiltonian untuk cluster ini:
=}{
i
ieffh
N eQ
ββ= i
i
ij
ji hJH
0
J
J
JJ
0
ββ=ββ=
==
hJhJHj
j
j
j
4
1
00
4
1
00 )(
Model Ising Umum : Solusi Mean Field
β’ Misal nilai rata-rata spin = m, maka dpt dituliskan:
β’ Pendekatan mean field : I - m diabaikan, sehingga,
Suku hMF = (4Jm-h) beraksi sebagai βefektive fieldβ spt sebuah medan external. Hamiltonian mean field untuk central spin π0
β’ Kita telah berhasil men-decouple interaksi antar spin!
β+ββ=
=
hJmmJHj
j
4
1
00 4)()(
( )hJmHMF ββ= 4)( 00
MFMF hH 00 )( β=
Model Ising Umum : Solusi Mean Field
β’ Problem : bagaimana menentukan hMF ??
β’ JAWAB: sama seperti kasus non interacting spin!
β’ Fungsi partisi 1 spin :
β’ Spin rata-rata m=<>
β’ Dengan hMF = 4Jm β h, maka
Persamaan mean field
π = tanh π½ 4π½π β β
β’ Solusi secara grafis dengan melihat titik potong 2 kurva:π¦1 = π πππ π¦2 = tanh π½ 4π½π β β
MFMF hheeQ
+=β
1
MFh
h
he
e
mMF
MF
tanh===
Analisa Solusi Persamaan Mean Field
β’ Solusi Persamaan mean field
β’ π = tanh π½ 4π½π β β
β’ Jika h0, selalu ada 3 solusi untuk m
β’ Jika h=0, maka banyak solusi bergantungpada slope π¦2 = tanh(4π½π½π) di m=0.
β Jika slope π¦2 = tanh(4π½π½π) >1 maka ada 3 solusi : m0 , 0
Non zero solution menggambarkan keadaan
ordered (feromagnetik), sedangkan 0 adalahparamagnetik.
β Jika slope π¦2 = tanh(4π½π½π) <1 maka ada 1 solusi saja : yaitu 0 yg
menggambarkan keadaan paramagnetik (chaos)
h0
h=0
h=0
Temperatur Kritis Menurut Mean Field Theory
β’ Jadi slope=1 di m=0 dari fungsi π¦2 = tanh(4π½π½π)menyatakan keadaan transisi.
β’ Berarti di m=0, ekspansi di sekitar m=0,
tanh π₯ = π₯ β1
3π₯3 +β― , suku pertama saja:
π¦2 β 4π½πΆπ½π
β’ Pada temperature kristis, gradien garis ini :4π½
πππΆ= 1 ππ‘ππ’ ππΆ =
4π½
π
β’ Temperature TC disebut temperatur transisi, dariparamagnetik ke feromagneetik
Mean Field Theory meramalkan Finite TC untuk 1D
β’ Tapi dalam teori mean field ini jelas terlihat bahwa nilai TC
hanya ditentukan jumlah tetangga (terdekat) dalam interaksi saja. Dan bukannya ditentukan oleh detail dari struktur kisi seperti dimensionalitasnya.
β’ Akibatnya secara salah mean field meramalkan adanya temperature transisi yang berhingga >0.
β’ Hal ini akan dilihat ketika kasus 1D Ising diselesaikan secara eksak/analitik.
Order Parameter
Dalam transisi fasa ada besaran yg didefinisikan sbg orderparameter yaitu yg nilainya berubah drastis ketika fasaberubah dari ordered-state ke dis-ordered state.
Dalam model ising ini, m : magnetisasi perspin (rata-rata spin) adalah order parameter, sebab m=1 ketika sistem fully ordered (feromagnetik) dan m=0 ketika disorder state (paramagnetik).
Untuk kasus h=0, maka :
π = tanh4π½π
ππ= tanh π
πππ
Definisikan parameter kecil ketika π β ππΆ βΆ 1 + π‘ =π
ππΆ
Order Parameter
β’ Maka
π = tanhπ
1 + π‘
β’ Uraikan tanh π₯ = π₯ βπ₯3
3+β― , untuk x kecil maka
π =π
1 + π‘β1
3
π
1 + π‘
3
+β― .
β’ Karena t kecil, untuk π β 0
1 = 1 β π‘ β1
3π2 1 β 3π‘ +β― .
π2 ββ3π‘
1 β 3π‘β β3π‘ 1 + 3π‘ β β3π‘
Dengann mengabaikan suku-suku π‘π untuk n>1.
Order Parameter
Jadi
π β 3 1 βπ
ππ
1/2
β’ Eksponen (1/2) disebut critical exponent, dipercaya bahwa critical exponent ini sesuatu yg berlaku umum hanya bergantung dimensionalitas dari model.
β’ Hal tsb di atas disebut Universality
SOLUSI Eksak Ising-NN 1DMetoda Transfer Matrix
( )=N
NJJJJ
N eeeeQ
1433221
1
Model Ising NN 1D, dapat dipecahkan secaraeksak tapi tidak meramalkan adanya transisifasa.
Model Ising NN 2D, dapat dipecahkan secaraeksak oleh Onsager dan meramalkan adanyatransisi fasa.
Fungsi partisi kanonik untuk model Ising 1D NNtanpa medan luar dapat ditulis ulang sbb (dg syarat batas periodin N+1 = 1
=
+β=N
i
iiJH1
1
= =
+
N
N
i
iiJ
N eQ
1
1
1
Metoda Transfer Matrix
=1
1433221 ,,,,
N
NPPPP
( ) =1
1433221
2
N
NJJJJ
N eeeeQ
Bentuk terakhir mengikutiperkalian matrixs:
Definisikan matrix P sbb:
=
=1i
ikjiij bac
Metoda Transfer Matrix
J
J
J
J
eP
eP
eP
eP
=ββ
=β+
=+β
=++
β
β
11
11
11
11β’ Meminjam notasi mekanika kuantum bra-ket:
β’ Sehingga QN boleh ditulis ulang:
=
=
1
21
11
13221 ....................
N
NN
P
PPPQN
Metoda Transfer Matrix
β’ Hasil terakhir ini menyatakan QN = Trace (PN )
β’ Menurut sifat matrix Trace (PN ) :
β’ Dengan adalah eigenvalue dari P,
β’ Jadi fungsi partisinya (dalam limit thermodinamika N β dengan1
adalah nilai eigen TERBESARnya.
( ) NN
j
N
jNQ 21 +==
)sinh(2
)cosh(2
2
1
Jee
Jee
JJ
JJ
=β=
=+=
β
β
N
N
N
NQ 1
1
21 1
+=