L’Hôpital

Turunan L’Hôpital menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu, limit dari pembagianf(x)/g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan limit pembagian dari turunan-turunannya, yaitu

Untuk membuktikan teorema ini, digunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, seperti berikut.

TEOREMA NILAI RATA-RATA YANG DIPERLUASJika f dan g memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) dan kontinu pada [a, b] sedemikian sehingga g’(x) ≠ 0 untuk setiap x di dalam (a, b), maka ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga,

Bukti Kita dapat menganggap bahwa g(a) ≠ g(b), karena jika tidak, menurut Teorema Rolle, akan mengakibatkan g’(x) = 0 untuk suatu x di (a, b). Sekarang, didefinisikan h(x) sebagai berikut.

Maka

dan

dan dengan menggunakan Teorema Rolle, ada titik c di (a, b) sedemikian sehingga

yang menyebabkan bahwa,

Setelah membuktikan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas, sekarang perhatikan Teorema L’Hôpital berikut.

ATURAN L’HÔPITALMisalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki turunan pada interval terbuka (a, b) yang memuat c, kecual pada c itu sendiri. Anggap g(x) ≠ 0 untuk setiap x di (a, b), kecuali pada c itu sendiri. Jika limit dari f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk tidak tentu 0/0, maka

apabila limit di ruas kanan ada (atau tak hingga). Hasil ini juga dapat diterapkan jika limit f(x)/g(x) untuk x mendekati c menghasilkan bentuk-bentuk tak tentu ∞/∞, (–∞)/∞, ∞/(–∞), dan (–∞)/(–∞).Seperti yang telah disinggung sebelumnya, Aturan L’Hôpital tersebut akan dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas. Karena banyak kasus dalam aturan ini, maka pada pembahasan ini hanya akan dibuktikan untuk satu kasus saja. Untuk kasus yang lain diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.Bukti Perhatikan satu kasus untuk,

Selanjutnya definisikan fungsi baru sebagai berikut.

Untuk setiap x, c < x < b, F dan G memiliki turunan pada (c, b] dan kontinu pada [c, b]. Sehingga, Teorema Nilai Rata-rata yang Diperluas dapat diterapkan untuk menyimpulkan bahwa ada bilangan z di (c, x) sedemikian sehingga

Akhirnya, dengan memisalkan x mendekati c dari kanan, x → c+, didapatkan z → c+karena c < z < x, dan

Catatan Kesalahan kadang-kadang dilakukan dengan menggunakan Aturan Turunan pada Pembagian f(x)/g(x) dalam menerapkan Aturan L’Hôpital ini. Pastikan bahwa aturan ini memuat f ’(x)/g’(x), bukan turunan dari f(x)/g(x). Selanjutnya perhatikan beberapa contoh berikut.Contoh 1: Bentuk Tak Tentu 0/0Tentukan nilai limit dari (e2x – 1)/x untuk x mendekati 0.Pembahasan Karena dengan menggunakan substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0,

sehingga dapat diterapkan Aturan L’Hôpital, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Contoh 2: Penerapan Aturan L’Hôpital Lebih dari Satu KaliTentukan limit x2/e–x untuk x mendekati negatif tak hingga.Pembahasan Karena dengan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu ∞/∞, maka gunakan Aturan L’Hôpital.

Limit ini masih menghasilkan bentuk tak tentu (–∞)/(–∞), sehingga Aturan L’Hôpital dapat diterapkan kembali.

(*) Contoh soal : Berapakah nilai dari ?y= ( fx )g(x)

Kita masukkan dulu nilai dari x ke persamaan dan diperoleh . Jika sudah menghasilkan 0 per 0, maka

kita pakai teorema L'Hopital. Turunan dari sin 4x adalah (4 cos 4x) dan turunan dari x adalah 1.

Jadi : .

Bentuk Tidak Tentu L’Hôpital

Indeterminate Products

Bentuk ini, Jika kita menemukan hasil Suatu limit, setelah di operasikan menghasilkan nilai

, , maka jika kita mengoperasikan bentuk lim->0 f(x).g(x) atau limit mendekati lainnya yang memiliki bentuk f.g , maka harus dirubah ke bentuk f(x)/1/g(x) atau g(x)/1/f(x). Intinya adalah menempatkan salah satu fungsi itu menjadi nominator atau denominator (pembilang atau penyebut)....

Contoh Soal :

Hitung

Jadi hasilnya adalah 0

Namun, kita harus berhati-hati dalam menentukan mana yang menjadi penyebut dan pembilang. Bila kita tidak tahu mana yang pembilang dan penyebut, maka coba saja satu-satu, jika hasilnya memungkinkan maka benar, dan sebaliknya.

Contoh Soal...

Hitung

Ini salah satu contoh yang tidak memungkinkan, jadi kita harus menukar posisi penyebut dan pembilangnya...

(ingat!!)

Dan jika ditukar akan menemui hasil yaitu 0.

Indeterminate Differences

Teorema ini, jika kita menghadapi soal Indeterminate form dengan jenis ∞-∞

0 – tak hingga atau yang lainnya yang bukan 0/0 atau takhingga/takhingga. Intinya disini kita harus merubah dulu bentuknya agar bisa diturunkan dengan lhopital.

Contoh soal: Hitung!

lim

t→( π2 )−¿❑¿

¿ (sec x- tanx)

Jika dimasukkan phi/2 akan menghasilkan 0-0

Jadi dirubah menjadi inversnya sehingga bisa dipakai lhopital, karena 0/0

[(sinx/cosx) - 1/cos(x)]

= (sinx -1)/cosx. Kalikan atas dan bawah dengan (sinx +1):

= (sin^2 x - 1) / [cosx ( sinx + 1)]

= - cos^2 x / [cosx ( sinx + 1)]

= - cosx / [ sinx + 1]

jika di masukkan phi/2 :

0/2 = 0.

Indeterminate Powers

Jika kita menghadapi soal limit yang memiliki pangkat seperti ini

Maka Teoremanya seperti ini

y= ( fx )g(x) lalu ln y= g(x) ln f(x)

Bisa di tulis

[ f (x)]g(x) = eg(x)lnf(x)

Contoh Soal :

jika di masukkan tak hingga, akan menghasilkan

Jadi kita harus memakai teorema Indeterminate Powers

Dengan menambahkan logaritma Natural di f(x) dan g(x)

Setelah ditmukan hasilnya maka gunakan teorema ini limx→ 0+¿❑¿

¿ (1+sin4x)cotx

Sehingga...

Contoh soal (trigonometri)

Hitunglim

x→ 0+¿❑¿¿ (1+sin4x)cotx

y = (1 + sin4x)^(cotx)

lny = cotx * ln(1 + sin4x)

lny = cosx ln(1+sin4x) / sinx

lny = lim cosx ln(1+sin4x) / sinx

gunakan aturan L’hospital lny = (-sinx ln(1+sin4x) + 4cos4x/(1+sin4x) ] / cosx )

masukkan x->0lny = [0 * 0 + 4/1]

lny = 4

jawabannya y = e4