catatan kuliah - personal.fmipa.itb.ac.id · 14 obligasi 94 14.1 pendahuluan ... contoh-contoh soal...

Catatan Kuliah

Matematika Keuangan

(preliminary draft, comments welcome)

M. Syamsuddin

Daftar Isi

Pendahuluan v

1 Model Binomial untuk Harga Saham 11.1 Model untuk satu periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Pergerakan harga saham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Harga opsi Eropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Model untuk dua periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Pergerakan harga saham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Notasi formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Harga opsi Eropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Model untuk n periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 �-aljabar 132.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Aljabar dan �-aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 �-aljabar Borel B (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Ukuran dan Integral Lebesque 173.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Ukuran Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Integral Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Ruang Probabilitas 214.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Ruang probabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Variabel acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Integral pada ruang probabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Aproksimasi variabel acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Kebebasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6.1 Kebebasan �-aljabar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6.2 Kebabasan variabel acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Ekspektasi Bersyarat 355.1 Peluang bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2 Ekspektasi bersyarat terhadap kejadian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ii

DAFTAR ISI iii

5.3 Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret . . . . . . . . . . . . 375.4 Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Sifat-sifat ekspektasi bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Martingales 43

7 Teorema Radon-Nikodym 457.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Teorema Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3 Eksistensi ekspektsi bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Integral Ito 488.1 Symmetric random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1.1 Sifat-sifat dari symmetric random walk fMkg1k=0 . . . . . . . . . . 498.2 Scaled symmetric random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2.1 Kovariansi dari Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.3 Quadratic variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.4 Konstruksi Integral Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.5 Integral Ito untuk fungsi sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.6 Integral Ito untuk fungsi yang umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 Rumus Ito 579.1 Rumus Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.2 Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 Teorema Girsanov 6010.1 Teorema Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2 Risk-Neutral measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11 Teorema Representasi Martingale 66

12 Rumus Black-Scholes 6812.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.2 Cara pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.3 Cara kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

12.3.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.3.2 Ito�s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3.3 Geometric Brownion Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3.4 Financial portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7112.3.5 Value of an option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.3.6 Replicating Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.3.7 Solusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12.4 Cara ketiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8112.5 Cara keempat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

12.5.1 Cox-Ross-Rubinstein Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

iv DAFTAR ISI

13 Proses Gauss 9213.1 De�nisi proses Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

14 Obligasi 9414.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9414.2 Pemodelan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9414.3 Model Hull-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Daftar Pustaka 99

Indeks 100

Pendahuluan

Catatan Kuliah ini dirancang untuk dipergunakan oleh mahasiswa tingkat sarjana maupunpasca sarjana serta para peneliti yang akan mempelajari matematika keuangan melaluiteori peluang dengan konsep ukuran. Karena itu pembicaraan konsep ukuran (mea-sure) akan dipakai sebagai materi pembuka. Pembahasan akan dimulai dengan konsep�-aljabar dan secara berturut-turut akan dilanjutkan dengan pembahasan tentang fungsiterukur, variabel acak (random variable), integral, ekspektasi bersyarat (conditional ex-pectation) dan martingales.

Yang paling utama sebagai titik tolak dalam pembahasan teori peluang adalah pen-de�nisian integral Z

X dP (1)

sebagai ekspektasi dari suatu variabel acak X: Untuk itu mula-mula akan dikonstruksiintegral Lebesque. Setelah itu melalui cara pekonstruksian yang serupa akan dilanjutkandengan pende�nisian integral di ruang probabilitas.

Sekalipun materi yang akan dicakup pada Catatan ini disesuaikan dengan kebutuhanseseorang yang akan mempelajari matematika keuangan pada tingkat lanjut, namunCatatan ini dapat pula digunakan oleh seseorang yang akan mempelajari teori pelu-ang melalui konsep ukuran untuk keperluan lain. Prasyarat yang diperlukan seseorangyang akan mempelajari Catatan ini adalah penguasaan teori peluang yang setara denganmateri di buku Hogg & Craig [5].

Contoh-contoh soal yang akan dipergunakan untuk membantu pemahaman teoripeluang akan disesuaikan dengan permasalahan sederhana yang ada di dalam matem-atika keuangan. Pada banyak kesempatan akan disajikan contoh dari hasil eksperimenBernoulli yang berupa pelantunan sebuah koin untuk pemodelan dinamika pergerakanharga saham. Model demikian akan diberi nama model Binomial untuk penentuan hargasaham dan akan dibahas pada kesempatan pertama.

v

Kuliah ke 1

Model Binomial untuk HargaSaham

1.1 Model untuk satu periode

1.1.1 Pergerakan harga saham

Pergerakan harga suatu saham pada suatu selang waktu tertentu adalah suatu prosesstokastik yang rumit untuk dimodelkan. Karena itu pemodelan dinamika pergerakanharga saham akan membutuhkan matematika yang rumit pula. Namun pada kesempatankali ini pergerakan harga saham tersebut akan dimodelkan melalui cara yang palingsederhana sehingga matematika yang akan dipergunakan juga relatif sederhana. Untukkeperluan itu akan diasumsikan pergerakan harga sebuah saham pada suatu periodewaktu hanya akan menempati salah satu dari dua keadaan yang mungkin, yaitu naikatau turun.

Dimisalkan kenaikkan atau penurunan harga sebuah saham S pada setiap periodeakan ditentukan oleh hasil eksperimen acak Bernoulli yang berupa pelantunan sebuahkoin. Bila pelantunan koin tersebut menghasilkan muka (M) maka harga saham akannaik dengan faktor a dan dengan peluang

P (M) = p: (1.1)

Sedangkan bila pelantunan koin menghasilkan belakang (B) maka harga saham akanturun dengan faktor b dan dengan peluang

P (B) = 1� p (1.2)

= q: (1.3)

Bila harga saham mula-mula dimisalkan sebesar S0 maka sebagai hasil dari pelantunankoin yang pertama, harga saham pada akhir periode pertama adalah

S1(M) = aS0 (1.4)

S1(B) = bS0:

1

2 Kuliah ke 1. Model Binomial untuk Harga Saham

Di lain pihak, pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesarr dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut

b < 1 + r < a: (1.5)

Bila persyaratan ini dipenuhi maka seseorang akan mempunyai dua pilihan untuk inves-tasi, yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank atau pembelian saham. Bila kondisi(1:5) tidak dipenuhi, misalnya

b > 1 + r; (1.6)

maka orang tidak akan pernah menabung di bank. Penjelasannya adalah sebagai berikut.Bila (1:6) dipenuhi maka lebih baik seseorang membeli saham karena dipastikan keun-tungan yang akan diperolehnya selalu lebih besar dari pada keuntungan dari tabungandi bank sekalipun saham sedang dalam kondisi terburuk. Hal ini diperlihatkan olehprosentase perubahan harga saham bila saham berada di keadaan terburuk

S1 (B)� S0S0

=bS0 � S0S0

(1.7)

=S0 (b� 1)

S0(1.8)

= b� 1 > r: (1.9)

Hasil (1:9) memperlihatkan bahwa prosentase perubahan dari harga saham selalu lebihbesar dari prosentase perubahan dari nilai tabungan di bank sekalipun sedang beradadalam keadaan terburuk.

Demikian pula bila

1 + r > a (1.10)

maka orang tidak akan pernah membeli saham. Dalam keadaan ini lebih baik baginyamenabung di bank yang selalu akan menghasilkan keuntungan yang lebih besar sekalipunharga saham sedang dalam kondisi terbaik. Hal ini bisa diperlihatkan oleh prosentaseperubahan harga saham berikut

S1 (M)� S0S0

=aS0 � S0S0

(1.11)

=S0 (a� 1)

S0(1.12)

= a� 1 < r: (1.13)

Hasil (1:13) memperlihatkan bahwa prosentasi perubahan harga saham selalu lebih kecildari prosentase perubahan nilai tabungan di bank.

Karena itu pada model untuk dinamika pergerakan harga saham perlu dipenuhiungkapan (1:5) sehingga orang masih mungkin mempunyai dua buah pilihan investasiyang berupa tabungan di bank atau pemilikan saham. Bila kondisi (1:5) dilanggar makadua keadaan ekstrim akan terjadi, orang hanya akan menabung di bank dalam bentukdeposito saja atau orang hanya akan memiliki saham saja.

1.1. Model untuk satu periode 3

1.1.2 Harga opsi Eropa

Suatu opsi call Eropa (European call option) adalah suatu kontrak keuangan yang mem-beri hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu saham pada saat jatuh tempo T(exercise date) dengan harga tertentu K (exercise/strike price)1. Untuk T = 1 dan bilaperekonomian sedang bagus sehingga S1 > K maka pemegang opsi call akan menggu-nakan haknya untuk membeli saham dengan harga K dan menjualnya di pasar denganharga S1 sehingga ia mendapat penghasilan sebesar S1 �K: Sebaliknya bila perekono-mian sedang lesu sehingga S1 < K maka pemegang opsi call tidak akan menggunakanhaknya untuk membeli saham seharga K sehingga ia tidak bisa mendapat tambahanpenghasilan.

Dengan perkataan lain, nilai opsi pada saat 1 adalah V1 = S1 �K bila S1 �K > 0

atau V1 = 0 bila S1 �K � 0 atau

V1 =

(S1 �K bila S1 > K

0 bila S1 � K:(1.14)

Nilai V1 pada (1:14) akan disebut nilai intrinsik (intrinsict value) dari opsi call. Ungkapan(1:14) dapat dinyatakan pula menjadi salah satu dari ungkapan berikut

V1 = [S1 �K]+ (1.15)

atauV1 = maks fS1 �K; 0g : (1.16)

Nilai S1 akan tergantung pada hasil pelantunan koin yang bisa meberikan hasil Matau B sehingga nilai V1 pun akan tergantung pada hasil tersebut. Dengan demikianberbagai nilai V1 yang mungkin adalah

V1 =

(V1 (M) = maks faS0 �K; 0gV1 (B) = maks fbS0 �K; 0g

(1.17)

Persamaan (1:17) memperlihatkan besar dana yang menjadi hak bagi pemegang opsi calluntuk berbagai keadaan. Pada saat yang sama persamaan (1:17) merupakan kewajibanbagi penerbit opsi call untuk menyediakan dana sebesar V1 (M) atau V1 (B) di akhirperiode 1: Karena hal ini berupa kewajiban bagi penerbit maka ia harus mengusahakanagar memperoleh dana sebesar itu di akhir periode 1: Cara yang akan ditempuh olehpenerbit adalah dengan pembentukan portfolio replikasi (replicating portfolio), yaitu su-atu protfolio yang nilainya di akhir periode akan sama persis dengan kewajiban penerbitdi akhir periode 1; yaitu V1 (M) atau V1 (B) :

Portfolio replikasi tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkanpihak penerbit menjual opsi call di awal periode 1 seharga V0 (kelak akan ditentukannilai V0 ini). Agar penerbit mempunyai dana yang cukup untuk menutup kewajiban

1Ada jenis opsi Eropa yang lain, yaitu opsi put Eropa (European put option) yang merupakan suatukontrak keuangan yang memberi hak kepada pemegang kontrak tersbut untuk mejual suatu saham padasaat jatuh tempo T yang disebut exercise date dan dengan harga tertentu K yang disebut exercise/strikeprice .


membayar dana sebesar (1:17) maka sejak awal periode 1 penerbit akan membuat suatuportfolio keuangan yang terdiri dari saham sebanyak �0 lembar (nilai V0 dan �0 akanditentukan kemudian). Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan call sehargaV0. Bila dana sebesar V0 tidak mencukupi bagi penerbit opsi call untuk membeli �0 lem-bar saham maka penerbit berhutang dengan bunga r per periode untuk mencukupinya.Sebaliknya bila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan suku bunga r per pe-riode. Nilai portfolio ini pada awal periode 1 adalah X0 = V0 yang berupa �0S0 dalambentuk saham dan (V0 ��0S0) dalam bentuk tabungan (atau hutang)

X0 = �0S0 + (V0 ��0S0) (1.18)

= V0: (1.19)

Pada akhir periode ke 1, nilai portfolio akan menjadi X1 yang terdiri dari�0S1 dalambentuk saham dan yang dalam bentuk tabungan (atau hutang) akan tumbuh menjadi(1 + r) (V0 ��0S0)

X1 = �0S1 + (1 + r) (V0 ��0S0) : (1.20)

Nilai portfolio sebesar X1 di akhir periode 1 diharapkan sama dengan nilai opsi call V1di (1:17)

X1 = V1: (1.21)

Jadi tugas penerbit adalah menentukan nilai V0 dan �0 agar (1:21) terpenuhi.Namun karena nilai S1 tergantung dari hasil pelantunan koin maka nilai portfolio

X1 di (1:20) juga akan tergantung dari hasil pelantunan koin sehingga nilai X1 yangmungkin adalah X1 (M) dan X1 (B)

V1 = X1 =

(X1(M) = �0S1(M) + (1 + r) (X0 ��0S0)X1(B) = �0S1(B) + (1 + r) (X0 ��0S0)

(1.22)

=

(X1(M) = �0aS0 + (1 + r) (X0 ��0S0)X1(B) = �0bS0 + (1 + r) (X0 ��0S0)

(1.23)

=

(X1(M) = (a� (1 + r))�0S0 + (1 + r)X0X1(B) = (b� (1 + r))�0S0 + (1 + r)X0

(1.24)

Pemilihan �0 dan V0 yang tepat akan menghasilkan nilai portfolio X1 pada akhir pe-riode 1 di persamaan (1:24) sama persis dengan nilai opsi call V1 pada akhir periode1 di persamaan (1:17) agar pihak penerbit opsi call bisa memagari risiko yang munculberkaitan dengan kewajibannya membayar sejumlah dana di akhir periode 1: Dari keduapersamaan di (1:22) didapat nilai �0 yang dimaksud, yaitu

�0 =X1(M)�X1(B)S1(M)� S1(B)

=V1(M)� V1(B)S1(M)� S1(B)

(1.25)

=X1(M)�X1(B)aS0 � bS0

(1.26)

=X1(M)�X1(B)

S0 (a� b): (1.27)

1.1. Model untuk satu periode 5

Bila �0 dari (1:27) disubstitusikan lagi ke persamaan pertama dari (1:24) maka akandidapat

X1(M) = (a� (1 + r))X1(M)�X1(B)

(a� b) + (1 + r)X0 (1.28)

=(a� (1 + r))

a� b X1(M)�(a� (1 + r))

a� b X1(B) + (1 + r)X0 (1.29)

atau

X0 =1

1 + r

�(1 + r)� ba� b X1(M) +

a� (1 + r)a� b X1(B)

�(1.30)

=1

1 + r[epX1(M) + eqX1(B)] (1.31)

atau

V0 =1

1 + r[epV1(M) + eqV1(B)] (1.32)

V0 ini adalah arbitrage price untuk opsi call dengan payo¤ sebesar V1 pada akhirperiode 1. Sedangkan ep dan eq adalah risk-neutral probabilities. Persamaan (1:30) dan(1:32) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (ep; eq) dari aset yangberisiko seperti opsi call dan portfolio adalah r; yang tidak lain adalah rate of returndari asset yang tidak berisiko yang berupa tabungan di bank.

Hasil menarik lainnya dapat diperoleh darii persamaan pertama di (1.22) dan (1.32)

V1(M) = �0S1(M) + (1 + r)((V0 ��0S0) (1.33)

= �0 (S1(M)� (1 + r)S0) + (1 + r)V0 (1.34)

= �0(S1(M)� (1 + r)S0) + [epV1(M) + eqV1(B)] : (1.35)

dan penyederhanaan lebih lanjut akan menghasilkan

�0(S1(M)� (1 + r)S0) + [(�1 + ep)V1(M) + eqV1(B)] = 0 (1.36)

V1(M)� V1(B)S1(M)� S1(B)

(S1(M)� (1 + r)S0) + [�eqV1(M) + eqV1(B)] = 0 (1.37)

[V1(M)� V1(B)](S1(M)� (1 + r)S0)S1(M)� S1(B)

� eq [V1(M)� V1(B)] = 0 (1.38)

[V1(M)� V1(B)]�(S1(M)� (1 + r)S0)S1(M)� S1(B)

� eq� = 0: (1.39)

Agar persamaan terakhir berlaku untuk semua state ! (yaitu state M atau B), makapersyaratan berikut harus dipenuhi�

(S1(M)� (1 + r)S0)S1(M)� S1(B)

� eq� = 0dan dengan sedikit uraian akan diperoleh

S0 =1

1 + r[epS1(M) + eqS1(B)] : (1.40)


Persamaan (1:40) memperlihatkan bahwa expected rate of return di bawah (ep; eq) dariharga saham adalah r: Interpretasi hasil ini serupa dengan interpretasi hasil dari per-samaan (1:32) sehingga bisa disimpulkan bahwa di bawah (ep; eq) expected return dariseluruh aset keuangan yang berisiko adalah r dan ini sama dengan expected return dariaset yang tidak berisiko. Karena itulah (ep; eq) disebut risk-neutral probabilities.Contoh 1.1 Misal S0 = 4; a = 2; b = 1=2; r = 10%: Akan ditentukan harga opsi callyang jatuh tempo pada akhir periode 1 dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akanditentukan dulu nilai S1 dan V1

S1 =

(S1 (M) = aS0 = (2) (4) = 8

S1 (B) = bS0 =�12

�(4) = 2

(1.41)

V1 =

(V1 (M) = maks fS1 (M)�K; 0g = 3V1 (B) = maks fS1 (B)�K; 0g = 0

(1.42)

setelah itu akan dihitung ~p dan ~q dari (1:24) dan (1:66)

~p =(1 + r)� ba� b (1.43)

=(1 + 0:1)� 1=2

2� 1=2 (1.44)

= 0:4 (1.45)

~q =a� (1 + r)a� b (1.46)

=2� (1 + 0:1)2� 1=2 (1.47)

= 0:6 (1.48)

Nilai opsi call dapat diperoleh dari (1:32)

V0 =1

1 + r[epV1(M) + eqV1(B)] (1.49)

=

�1

1 + 0:1

�� (0:34� 3 + 0:66� 0) (1.50)

= 0:92727: (1.51)

1.2 Model untuk dua periode

1.2.1 Pergerakan harga saham

Sebagai hasil dari pelantunan koin sebanyak dua kali, harga saham pada akhir periodekedua adalah

S2(MM) = aS1(M) = a2S0 (1.52)

S2(MB) = bS1(M) = baS0 (1.53)

S2(BM) = aS1(B) = abS0 (1.54)

S2 (BB) = bS1(B) = b2S0: (1.55)

1.2. Model untuk dua periode 7

Pergerakan harga saham dalam dua periode ini digambarkan oleh pohon Binomial padaGambar 1 dengan S0 = 4; a = 2; b = 1=2

Gambar 1 Pohon Binomial

1.2.2 Notasi formal

Secara formal, seluruh kemungkinan hasil eksperimen dari pelantunan sebuah koin se-banyak dua kali akan dinyatakan dalam suatu ruang sampel

= fMM;MB;BM;BBg : (1.56)

Setiap unsur dari akan dinyatakan dengan !: Variabel acak S1 dan S2 berturut-turutakan diungkapkan dengan

S1 (!) =

(8 bila ! 2 fMM;MBg2 bila ! 2 fBM;BBg

(1.57)

dan

S2 (!) =

8><>:16 bila ! = fMMg4 bila ! = fMB;BMg1 bila ! = fBBg :

(1.58)

Bila dide�nisikanX sebagai variabel acak yang menyatakan jumlah mukaM di dalampelantunan sebuah koin sebanyak dua kali maka distribusi dari X adalah Binomial b(2; p)dengan p adalah peluang muka M akan keluar dari setiap kali pelantunan koin, lihat(1:1) : Dengan mudah bisa dipahami bahwa sekalipun X dan S2 adalah dua buah variabel


acak yang berbeda namun keduanya memiliki distribusi yang sama

P (X = 2) = P (S2 = 16) =

2

2

!p2q2�2 = p2 (1.59)

P (X = 1) = P (S2 = 4) =

2

1

!p1q2�1 = 2pq (1.60)

P (X = 0) = P (S2 = 1) =

2

0

!p0q2�0 = q2: (1.61)

1.2.3 Harga opsi Eropa

Kali ini akan dibahas opsi call Eropa yang akan jatuh tempo di akhir periode 2 denganstrike price K: Nilai intrinsik dari opsi call ini adalah

V2 = maks fS2 �K; 0g (1.62)

yang bisa diurai lebih rinci dengan

V2 =

8>>><>>>:V2 (MM) = maks fS2 (MM)�K; 0gV2 (MB) = maks fS2 (MB)�K; 0gV2 (BM) = maks fS2 (MB)�K; 0gV2 (BB) = maks fS2 (BB)�K; 0g :

(1.63)

Nilai V2 ini merupakan hak bagi pemegang opsi call dan sekaligus kewajiban bagi penerbitopsi call pada berbagai keadaan.

Agar penerbit bisa memagari dirinya dari risiko yang muncul berkaitan dengan kewa-jibannya untuk menyediakan dana sebesar V2 di akhir periode 2 maka ia akan menyusunportfolio replikasi. Portfolio ini disusun dari penjualan opsi call seharga V0 dan di-alokasikan untuk pembelian saham sebanyak �0 sisanya (atau kekurangannya) ditabung(hutang) ke bank dengan suku bunga r per periode. Jadi pada awal periode 1 nilaiprotfolionya adalah

X0 = V0: (1.64)

Tujuan dari pembentukan portfolio ini adalah untuk mendapatkan nilai portfolio di akhirperiode 2 sebesar X2 yang sama persis dengan nilai opsi call di akhir periode 2

X2 = V2 (1.65)

melalui pemilihan komposisi portfolio pada tiap awal periode 1 dan 2: Dengan kata lainakan dipilih komposisi portfolio yang terdiri dari sejumlah saham dan tabungan (hutang)di bank dengan �0 lembar saham pada awal periode 1 dan �1 lembar saham pada awalperiode 2 yang memungkinkan persamaan (1:65) terpenuhi.

Pada akhir periode 1 nilai portfolionya adalah X1; serupa dengan (1:22)

X1 =

(X1(M) = �0S1(M) + (1 + r) (X0 ��0S0)X1(B) = �0S1(B) + (1 + r) (X0 ��0S0) :

(1.66)

1.2. Model untuk dua periode 9

Posisi portfolio pada akhir periode 1 ini akan di ubah pada awal periode 2 melaluiperubahan komposisi kepemilikan saham dari semula sebanyak �0 lembar menjadi �1lembar. Kelebihan (kekurangan) dana akan disimpan (hutang) di bank sebesar X1 ��1S1: Nilai portfolio pada akhir periode 2 akan menjadi X2

X2 =

8>>><>>>:X2(MM) = �1(M)S2(MM) + (1 + r)fX1(M)��1(M)S1(M)gX2(MB) = �1(M)S2(MB) + (1 + r)fX1(M)��1(M)S1(M)gX2(BM) = �1(B)S2(BM) + (1 + r)fX1(B)��1(B)S1(B)gX2(BB) = �1(B)S2(BB) + (1 + r)fX1(B)��1(B)S1(B)g:

(1.67)

Dengan demikian telah diperoleh 6 buah persamaan yang terdiri dari (1:66) dan(1:67) : Dari keenam persamaan ini akan dicari 6 buah nilai yang masing-masing untuk�0; X0;�1 (M) ;�1 (B) ; X1 (M) dan X1 (B) agar persamaan (1:65) terpenuhi.

Dari keempat persamaan di (1:67) ini akan didapat komposisi jumlah kepemilikansaham pada awal periode 2 sebesar �1

�1(M) =X2(MM)�X2(MB)S2(MM)� S2(MB)

(1.68)

=V2(MM)� V2(MB)S2(MM)� S2(MB)

(1.69)

�1(B) =X2(BM)�X2(BB)S1(BM)� S1(BB)

(1.70)

=V2(BM)� V2(BB)S1(BM)� S1(BB)

: (1.71)

Perubahan dari persamaan (1:68) ke persamaan (1:69) dan dari persamaan (1:70) kepersamaan (1:71) telah mulai digunakan pembatas (1:65) sehingga nilai �1(M) dan�1(B) yang diperoleh telah menjamin bahwa (1:65) terpenuhi.

Setelah �1(M) dan �1(B) diperoleh maka dari keempat persamaan (1:67) ini pulaakan didapat X1 sebagai nilai portfolio pada akhir periode 1

X1 =

(X1(M) =

11+r [epX2(MM) + eqX2(MB)]

X1(B) =11+r [epX2(BM) + eqX2(BB)] : (1.72)

Perolehan X1(M) dan X1 (B) di (1:72) telah melibatkan penggunaan �1(M) dan �1(B)sehingga nilai yang diperoleh turut menjamin bahwa (1:65) terpenuhi.

Dari nilai X1 ini bisa diperoleh komposisi kemilikan saham pada awal periode 1sebanyak �0 lembar sesuai dengan (1:27)

�0 =X1(M)�X1(B)S1(M)� S1(B)

(1.73)

dan nilai opsi call pada awal periode 1 melalui persamaan (1:31)

V0 = X0 (1.74)

=1

1 + r[epX1(M) + eqX1(B)] : (1.75)

Jadi penyusunan potfolio replikasi pada awal periode 1 dan disesuaikan komposisinyapada awal periode 2 menghasilkan 6 buah persamaan, yaitu 2 buah persamaan di (1:66)


dan 4 buah persamaan di (1:67) sehingga bisa diperoleh 6 buah nilai yang masing-masinguntuk �0; X0;�1 (M) ;�1 (B) ; X1 (M) dan X1 (B) : Melalui pemilihan komposisi port-folio replikasi ini akan dijamin (1:65) terpenuhi sehingga penerbit opsi call bisa memagaridirinya dari risiko yang muncul oleh penerbitan opsi tersebut.

Dengan prosedur yang serupa dengan pembahasan sebelumnya akan diperoleh pula

S0 =1

1 + r[epS1(M) + eqS1(B)] (1.76)

S1 (M) =1

1 + r[epS2(MM) + eqS2(MB)] (1.77)

S1 (B) =1

1 + r[epS2(BM) + eqS2(BB)] : (1.78)

Seluruh hasil ini memperlihatkan bahwa aset keuangan yang berisiko atau tidak berisikoakan menghasilkan expected return yang sama di bahwa risk-neutral world seperti kes-impulan yang dicapai pada model untuk satu periode.

Contoh 1.2 Misal S0 = 4; a = 2; b = 1=2; r = 10%: Akan ditentukan harga opsi callyang jatuh tempo pada akhir periode 2 dan dengan strike price K = 5: Untuk itu akanditentukan dulu nilai S2

S2(MM) = aS1(M) = a2S0 = 2

2 � 4 = 16 (1.79)

S2(MB) = bS1(M) = baS0 =1

2� 2� 4 = 4 (1.80)

S2(BM) = aS1(B) = abS0 = 2�1

2� 4 = 4 (1.81)

S2 (BB) = bS1(B) = b2S0 =

�1

2

�2� 4 = 1: (1.82)

dan X2 = V2 dari (1:63)

X2 = V2 =

8>>><>>>:X2 (MM) = maks fS2 (MM)�K; 0g = maks f16� 5; 0g = 11X2 (MB) = maks fS2 (MB)�K; 0g = maks f4� 5; 0g = 0X2 (BM) = maks fS2 (MB)�K; 0g = maks f4� 5; 0g = 0X2 (BB) = maks fS2 (BB)�K; 0g = maks f1� 5; 0g = 0:

(1.83)

Dengan ~p = 0:4 dan ~q = 0:6 seperti yang diperoleh dari Contoh 1.1; akan didapat nilaiX1 dari (1:72)

X1(M) =1

1 + r[epX2(MM) + eqX2(MB)] (1.84)

=

�1

1 + 0:1

�(0:4� 11 + 0:6� 0) (1.85)

= 4 (1.86)

X1(B) =1

1 + r[epX2(BM) + eqX2(BB)] (1.87)

=

�1

1 + 0:1

�(0:4� 0 + 0:6� 0) (1.88)

= 0: (1.89)

1.3. Model untuk n periode 11

Akhirnya nilai opsi call dapat diperoleh dari (1:75)

V0 =1

1 + r[epX1(M) + eqX1(B)] (1.90)

=

�1

1 + 0:1

�� (0:4� 4 + 0:6� 0) (1.91)

= 1:4545: (1.92)

1.3 Model untuk n periode

Bila Sn menyatakan harga saham pada periode ke n dan harga ini tergantung dari hasilpelantunan koin sebanyak n kali !1; !2; � � � ; !n maka hubungan antara Sn dan Sn�1dinyatakan oleh

Sn (!1; !2; � � � ; !n�1;M) = aSn�1 (!1; !2; � � � ; !n�1) (1.93)

Sn (!1; !2; � � � ; !n�1; B) = bSn�1 (!1; !2; � � � ; !n�1) (1.94)

dengan a adalah faktor kenaikkan harga saham dan b adalah faktor penurunan hargasaham. Nilai opsi call yang jatuh tempo pada akhir periode n dan dengan exercise priceK adalah

Vn (!1; !2; � � � ; !n) = maks fSn (!1; !2; � � � ; !n)�K; 0g : (1.95)

Portfolio replikasi yang akan dibentuk oleh penerbit opsi call akan memenuhi pembatas

Xn (!1; !2; � � � ; !n) = Vn (!1; !2; � � � ; !n) : (1.96)

Sedangkan hubungan antara nilai portfolio Xn dan Xn�1 dinyatakan oleh

Xn�1 (!1; !2; � � � ; !n�1;M) =1

1 + r[epXn (!1; !2; � � � ; !n�1;M) + eqXn (!1; !2; � � � ; !n�1; B)]

(1.97)dengan r adalah suku bunga tabungan di bank per periode sedangkan ep dan eq adalahrisk-neutral probabilities

~p =(1 + r)� bb� a (1.98)

~q =a� (1 + r)b� a : (1.99)

Secara rekursif dari hubungan (1:97) akhirnya akan diperoleh harga opsi call sekarang

V0 = X0 =1

1 + r[epX1 (M) + eqX1 (B)] : (1.100)

Tentu saja pemodelan pergerakan harga saham dan penentuan harga opsi dengancara demikian kelihatannya sangat naif. Namun ternyata pemodelan ini cukup ampuhdan akan menghasilkan alat yang sering dipakai di dalam matematika keuangan. Modelinilah yang melatarbelakangi sebagian besar contoh soal yang akan menjelaskan teoripeluang dengan ukuran.


Untuk panjang periode yang sangat pendek �t! 0 model Binomial ini akan meng-hasilkan rumus Black-Scholes yang semula diturunkan dari suatu persamaan diferensialstokastik. Dengan demikian model Binomial ini dapat dipandang sebagai aproksimasiterhadap suatu model untuk pergerakan harga saham yang diungkapkan melalui per-samaan diferensial stokastik. Tentu saja model yang terkahir tersebut lebih canggih daripada model Binomial. Namun akan ditunda dulu pembicaraan ke arah sana dan sekarangdimulai saja pembicaraan tentang ukuran dan yang pertama kali akan dibahas adalahkonsep �-aljabar yang menggambarkan tentang informasi hasil eksperiman percobaanacak.

Kuliah ke 2

�-aljabar

2.1 Pendahuluan

Pada pelajaran kali ini akan dijelaskan kosep �-aljabar yang akan dipergunakan sebagaibahan bangunan bagi teori peluang. Di dalam teori peluang, �-aljabar ini akan diartikansebagai informasi tentang hasil eksperimen acak. Setelah itu akan diperkenalkan konsepkejadian (event), �-aljabar yang dibangkitkan oleh suatu kejadian, dan �-aljabar BorelB (R) :

2.2 Aljabar dan �-aljabar

De�nisi 2.1 (aljabar) Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari : Suatu aljabar pada adalah koleksi himpunan F dengan tiga buahsifat berikut

1. 2 F

2. Bila A 2 F maka Ac 2 F

3. Bila A;B 2 F maka A [B 2 F :

Catatan 2.2 Bila A;B 2 F maka A \ B = (Ac [Bc)c 2 F sehingga aljabar pada adalah keluarga sub-himpunan dari yang tertutup oleh sejumlah operasi himpunan [dan/atau \ yang terhingga (�nite).

De�nisi 2.3 (�-aljabar) Misal adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan dari : Koleksi himpunan F disebut �-aljabar pada bila F adalah aljabar

dan bila A1; A2; � � � adalah barisan di F maka1Sk=1

Ak 2 F :

Catatan 2.4 Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yangterhingga (�nite) sedangkan sebuah �-aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasihimpunan yang terhitung ( countable).

13

14 Kuliah ke 2. �-aljabar

De�nisi 2.5 (kejadian) Misal adalah suatu ruang sample (sample space), yaitu him-punan dari seluruh hasil yang mungkin dari suatu eksperimen acak. Bila F adalah him-punan kuasa dari (ditulis F = kuasa()) maka setiap anggota dari F akan disebutsebuah kejadian ( event).

Berikut ini akan di bahas sebuah contoh soal tentang ruang sampel dan �-aljabar.Contoh soal ini akan sering dirujuk pada berbagai pembahasan topik yang akan datang.

Contoh 2.6 Misalkan ada sebuah eksperimen acak yang berupa pelantunan sebuah koinsebanyak dua kali. Seluruh hasil yang mungkin dari eksperimen ini akan disebut ruangsampel ( sample space)

= fMM;MB;BM;BBg (2.1)

dengan M menyatakan lantunan dengan hasil muka dengan peluang

P (M) = p (2.2)

dan B menyatakan lantunan dengan hasil belakang dengan peluang

P (B) = 1� p (2.3)

= q: (2.4)

Lihat kembali Kuliah ke 1.Tiap unsur ! 2 disebut titik sampel ( sample point). Dalam contoh ini ! ter-

diri dari dua komponen. Komponen ke k dari ! akan dinyatakan dengan !k: Sebagaiilustrasi, ! =MB adalah titik sampel yang menyatakan bahwa lantunan koin yang per-tama menghasilkan !1 = M dan lantunan yang kedua menghasilkan !2 = B, kadang !dituliskan dengan ! = (!1; !2) :

Sebuah �-aljabar yang paling sederhana yang bisa dibangun pada adalah F0

F0 = f;?g : (2.5)

Sedangkan �-aljabar yang paling kompleks yang bisa dibangun pada adalah F yangberupa keluarga seluruh sub-himpunan dari atau disebut himpunan kuasa dari

F = kuasa () (2.6)

= f;?; fMMg ; fMBg ; fBMg ; fBBg ;fMM;MBg ; fMM;BMg ; fMM;BBg ; fMB;BMg ; fMB;BBg ; (2.7)

fBM;BBg ; fMM;MB;BMg ; fMM;MB;BBg ; fMB;BM;BBgg : (2.8)

Koleksi himpunan F ini adalah sebuah �-aljabar yang berisi seluruh informasi tentanghasil eksperimen acak dari pelantunan koin sebanyak dua kali. Setiap unsur di F akandisebut sebagai kejadian ( event). Sebagai ilustrasi, kejadian yang menyatakan bahwalantunan pertama menghasilkan muka adalah

AM = fMM;MBg (2.9)

2.2. Aljabar dan �-aljabar 15

Sedangkan kejadian yang menyatakan bahwa lantunan pertama menghasilkan belakangadalah

AB = fBM;BBg : (2.10)

Bisa diperlihatkan dari de�nisi �-aljabar bahwa koleksi himpunan F1 berikut

F1 = f;?; fMM;MBg ; fBM;BBgg (2.11)

= f;?; AM ; ABg (2.12)

adalah suatu �-aljabar yang memuat seluruh informasi tentang hasil eksperimen acakdari pelantunan koin sebanyak satu kali. Demikian pula bisa diperlihatkan bahwa koleksihimpunan F2 dan F3 berikut adalah sebuah �-aljabar

F2 = f;?; fMMg ; fMBg ; fMM;MBg ; fBM;BBg ;fMB;BM;BBg ; fMM;BM;BBgg

=�;?; fMMg ; fMBg ; AM ; AB; fMB;BM;BBg ; fMM;BM;BBg

F3 = f;?; fMMg ; fBMg ; fMM;BMg ; fMB;BBg ;

fMM;MB;BBg ; fMB;BM;BBgg:

Dari contoh ini bisa dilihat bahwa F0 � F1 � F2� F .

Catatan 2.7 Setiap �-aljabar memuat informasi. Pada Contoh 2.6, �-aljabar F1 berisiinformasi tentang hasil pelantunan koin yang pertama sedangkan F sendiri berisi infor-masi tentang hasil pelantunan koin sampai yang kedua kali.

De�nisi 2.8 Bila F1;F2; � � � adalah keluarga sub-�-aljabar dari F dengan sifat F1 � F2 � � � � � Fmaka keluarga tersebut dinamakan �ltrasi (�ltration).

Latihan 2.9 Dari Contoh 2.6 dapat disimpulkan bahwa F0;F1;F2;F adalah suatu �l-trasi. Apakah F0;F1;F2;F3;F juga suatu �ltrasi?

De�nisi 2.10 (� (C) ; �-aljabar yang dibangitkan oleh C) Misal C adalah kelas darisub-himpunan dari : Pengertian �-aljabar yang dibangkitkan oleh C dan dinyatakandengan � (C) adalah �-aljabar terkecil pada dengan C � � (C) :

Contoh 2.11 Dari Contoh 2.6 dapat ditarik beberapa kesimpulan berikut

1. Bila C = AM = fMM;MBg maka � (C) = F1 karena F1 merupakan �-aljabarterkecil pada dan C � F1:

2. Tentu saja F2 bukan �-aljabar yang dibangkitkan oleh C karena F2 bukan �-aljabarterkecil sekalipun C � F2

3. F juga bukan �-aljabar yang dibangkitkan oleh C sekalipun C � F karena F bukan�-aljabar terkecil pada dengan C � F :

4. Misal C = ffMMg ; fMBgg maka � (C) = F2 karena F2 merupakan �-aljabarterkecil pada dan C � F2:

16 Kuliah ke 2. �-aljabar

2.3 �-aljabar Borel B (R)

De�nisi 2.12 (�-aljabar Borel B (R)) Misal R adalah himpunan seluruh bilangan riil.Pengertian �-aljabar Borel pada R adalah �-aljabar yang dibangkitkan oleh famili selangterbuka pada R dan dinyatakan dengan B (R) atau

B (R) = � (selang-selang buka di R) : (2.13)

Catatan 2.13 Setiap himpunan yang merupakan unsur dari B(R) akan disebut him-punan Borel.

Konsep �-aljabar Borel B(R) kadang agak sulit dimengerti oleh seseorang. Berikutini ada cara lain yang bisa memudahkan untuk menggambarkan konsep �-aljabar Borel.Mula-mula diperkenalkan dulu � (R) dengan

� (R) = f(�1; x] : x 2 Rg (2.14)

dan bisa diperlihatkan bahwa �-aljabar Borel B(R) tidak lain adalah �-aljabar yangdibangkitkan oleh � (R)

B(R) = � (� (R)) : (2.15)

Dari de�nisi B(R) terlihat bahwa setiap selang (a; b) dengan a; b 2 R adalah himpunanBorel sehingga gabungan selang-selang tersebut akan merupakan himpunan Borel pula.Hal ini disebabkan karena B(R) adalah suatu �-aljabar. Sebagai contoh selang (a;1)dan (�1; a) akan merupakan himpunan Borel karena

(a;1) =1[n=1

(a; a+ n) (2.16)

dan

(�1; a) =1[n=1

(a� n; a) : (2.17)

Selang tutup [a; b] dengan a; b 2 R akan merupakan himpunan Borel pula karena

[a; b] = ((�1; a) [ (b;1))c (2.18)

demikian pula fag akan merupakan himpunan Borel karena

fag =1\n=1

�a� 1

n; a+

1

n

�(2.19)

sehingga setiap himpunan dengan jumlah unsur terhingga dari bilangan riil adalah him-punan Borel, yaitu bila A = fa1; a2; � � � ; ang maka

A =

n[k=1

fakg : (2.20)

Kuliah ke 3

Ukuran dan Integral Lebesque

3.1 Pendahuluan

Setelah diperkenalkan konsep �-aljabar, akan diperkenalkan konsep ukuran dan integral.Berturut-turut akan diperkenalkan konsep ruang terukur, ukuran, ruang ukuran, ukuranLebesque beserta integral Lebesque. Pembicaraan akan ditutup oleh dua buah teoremayang sangat penting untuk integral Lebesque. Semua konsep ini akan dipergunakan didalam teori peluang untuk pembangunan ruang probabilitas, pende�nisian variabel acakdan ekspektasi.

3.2 Ukuran Lebesque

De�nisi 3.1 (ruang terukur) (;F) disebut ruang terukur (measurable space) bila adalah suatu himpunan dan F adalah �-aljabar pada : Unsur F disebut sub-himpunandari yang F-terukur (F-measurable).

Contoh 3.2 Pada Contoh 2.6 kejadian AM = fMM;MBg adalah F1-terukur dan AMjuga F2-terukur akan tetapi kejadian AM tidak F3-terukur karena AM 2 F1 dan AM 2 F2akan tetapi AM 62 F3:

De�nisi 3.3 (fungsi himpunan yang aditif) Misal adalah suatu himpunan danF adalah suatu aljabar pada serta � adalah fungsi himpunan ( set function) yangnonnegatif

� : F ! (0;1] : (3.1)

Fungsi � disebut aditif ( additive) bila memenuhi sifat berikut

1. � (?) = 0

2. Bila A1; A2 2 F dan A1 \A2 = ? maka � (A1 [A2) = � (A1) + � (A2) :

De�nisi 3.4 (fungsi himpuanan aditif yang terhitung) Fungsi � disebut aditif yangterhitung ( countably additive) bila memiliki sifat-sifat berikut

1. � (?) = 0

17

18 Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque

2. Bila A1; A2; � � � adalah barisan di F dengan Ai\Aj = ? untuk i 6= j dan1Sk

Ak 2 F

maka ��1Sk

Ak

�=

1Pk

� (Ak) :

De�nisi 3.5 (ukuran, ruang ukuran) Misal (;F) adalah suatu ruang terukur: Fungsi� yang dide�nisikan dengan

� : F ! [0;1) (3.2)

disebut ukuran (measure) pada (;F) bila � adalah aditif yang terhitung dan (;F ; �)akan disebut ruang ukuran (measure space).

Salah satu ukuran yang penting dan terde�nisi pada ruang terukur (R;B (R)) adalahukuran Lebesque.

De�nisi 3.6 (ukuran Lebesque) Misal (R;B (R)) adalah suatu ruang terukur dan A =(a; b) 2 B (R) : Ukuran Lebesque �0 dide�nisikan dengan �0 (A) = b� a:

Catatan 3.7 Tentu saja bisa dimaklumi bahwa �0 (R) =1:

Contoh 3.8 1. Telah diperlihatkan bahwa

fag ��a� 1

n; a+

1

n

�(3.3)

sehingga

0 � �0fag � �0�a� 1

n; a+

1

n

�=2

n: (3.4)

Bila n!1 maka

�0fag = limn!1

�0

�a� 1

n; a+

1

n

�(3.5)

= limn!1

2

n(3.6)

= 0: (3.7)

2. Bila

A = fa1; a2; a3; :::g (3.8)

himpunan dengan unsur yang terhitung maka

�0 (A) =

1Xk=1

�0fakg = 0: (3.9)

Dengan kata lain setiap himpunan bilangan riil dengan unsur yang terhitung makaukuran Lebesque-nya adalah nol.

3.3. Integral Lebesque 19

3.3 Integral Lebesque

Pada pende�nisian berikut mula-mula akan dide�nisikan integral Lebesque untuk fungsiindikator, kemudian berturut-turut akan dide�nisikan integral Lebesque untuk fungsisederhana, fungsi non-negatif dan akhirnya untuk fungsi yang umum.

De�nisi 3.9 1. Misal g : R ! R adalah fungsi indikator (indicator function)

g (x) =

(1 bila x 2 A0 bila x 2 A

: (3.10)

Himpunan A yang dide�nisikan oleh fungsi g ditulis dengan

A = fx 2 R; g (x) = 1g : (3.11)

Integral Lebesque untuk fungsi g dide�nisikan denganZRg d�0 = �0 (A) : (3.12)

2. Misal h : R! R adalah fungsi sederhana (simple function), yaitu fungsi yang dapatdinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator

h (x) =nXk=1

ckgk (x) (3.13)

dengan

gk (x) =

(1 bila x 2 Ak0 bila x =2 Ak

(3.14)

ck bilangan riil. Integral Lebesque untuk fungsi h dide�nisikan denganZRhd�0 =

ZR

nXk=1

ckgkd�0 (3.15)

=nXk=1

ck

ZRgkd�0 (3.16)

=nXk=1

ck�0 (Ak) (3.17)

3. Misal f : R! R adalah fungsi non-negatif, integral Lebesque untuk fungsi fdide�nisikan denganZ

Rfd�0 = sup

�ZRhd�0 : h fungsi sederhana dan h (x) � f (x) ; 8x 2 R

�(3.18)

4. Misal f : R! R adalah fungsi yang umum dan akan dide�nisikan dulu

f+ (x) = maks ff (x) ; 0g (3.19)

f� (x) = maks f�f (x) ; 0g : (3.20)

20 Kuliah ke 3. Ukuran dan Integral Lebesque

Integral Lebesque untuk fungsi f dide�nisikan denganZRfd�0 =

ZRf+d�0 �

ZRf�d�0 (3.21)

5. Misal A � R, pende�nisian integralRA fd�0 adalah sebagi berikutZ

Afd�0 =

ZRf:IAd�0 (3.22)

dengan

IA (x) =

(1 bila x 2 A0 bila x =2 A

(3.23)

Catatan 3.10 BilaRR fd�0 < 1 maka f akan disebut sebagai fungsi yang dapat diin-

tegralkan.

Dua buah teorema yang sangat penting di dalam konsep integral Lebesque adalahteorema monotone convergence dan dominated convergence. Teorema ini memudahkanpenghitungan integral untuk fungsi f yang umum bila ia diaproksimasi oleh barisanfungsi fn yang sederhana dan konvergen ke f:

Teorema 3.11 (monotone convergence) Misal fn; n = 1; 2; � � � adalah barisan fungsiyang konvergen ke fungsi f . Bila

0 � f1 (x) � f2 (x) � � � � ; 8x 2 R (3.24)

maka ZRf d�0 = lim

n!1

ZRfn d�0: (3.25)

Teorema 3.12 (dominated convergence) Misal fn; n = 1; 2; � � � adalah barisan fungsiyang konvergen ke f: Bila ada fungsi non-negatif g yang dapat diintegralkan (yaituRR g d�0 <1) sehingga

jfn (x)j � g (x) 8x 2 R; 8n 2 N (3.26)

maka ZRf d�0 = lim

n!1

ZRfn d�0: (3.27)

Kuliah ke 4

Ruang Probabilitas

4.1 Pendahuluan

PadaKuliah kali ini akan dibangun ruang probabilitas sebagai tempat untuk pende�nisanvariabel acak. Setelah itu akan dide�nisikan integral pada ruang probabilitas yang sekali-gus merupakan pende�nisian dari ekspektasi.E (X) : Dua buah teorema yang berlaku un-tuk integral Lebesque akan dipergunakan disini untuk penghitungan integral (ekspektasi)melalui aproksimasi variabel acak.

4.2 Ruang probabilitas

De�nisi 4.1 Ukuran P disebut ukuran probabilitas (probability measure) bila P adalahsuatu ukuran pada ruang terukur (;F) dan P () = 1:

Catatan 4.2 Dengan kata lain, P adalah suatu ukuran probabilitas pada (;F) yangmempunyai sifat

1. P () = 1

2. Untuk barisan A1; A2; A3; � � � ada di F dengan Ai \ Aj = ? untuk 8i 6= j akan

berlaku P� 1Sk=1

Ak

�n

=1Pk=1

P [Ak] :

De�nisi 4.3 (ruang probabilitas) Suatu ruang probabilitas (probability space) (;F ; P )terdiri dari 3 obyek

1. suatu ruang sample ( sample space)

2. suatu �-aljabar F = kuasa()

3. suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur (;F) ; yaitu P (A) terde�nisi8A 2 F :

De�nisi 4.4 (hampir pasti) Suatu kejadian A dikatakan akan terjadi hampir pasti( almost surely) bila

P (A) = 1: (4.1)

21

22 Kuliah ke 4. Ruang Probabilitas

4.3 Variabel acak

De�nisi 4.5 (Borel-terukur) Misal f adalah suatu fungsi dari R ke R: Dikatakanbahwa f adalah Borel-terukur (Borel-measurable) bila f�1(A) = fx : f(x) 2 Ag 2 B(R)untuk 8A 2 B(R):

De�nisi 4.6 (fungsi F-terukur) Misal (;F) adalah suatu ruang ukuran. Suatufungsi f : ! R disebut F-terukur (F-measurable) bila f�1 : B(R)! F atau f�1(B) =f! : f(!) 2 Bg 2 F ; untuk tiap himpunan Borel B. Fungsi f ini dapat digambarkandengan

f! R (4.2)

F f�1 B (R) : (4.3)

De�nisi 4.7 (variabel acak) Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang probabilitas. Suatufungsi X : ! R akan disebut sebagai variabel acak (random variabel) jika dan hanyajika X�1(B) = f! : X (!) 2 Bg 2 F untuk tiap himpunan Borel B:

Catatan 4.8 Ada beberapa ungkapan lain yang ekivalen untuk pende�nisian variabelacak, yaitu

1. X : ! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X adalah F-terukur.

2. X : ! R adalah suatu variabel acak jika dan hanya jika X�1 adalah fungsi dariB(R) ke F

X�1 : B(R)! F : (4.4)

De�nisi 4.9 (� (X) : �-aljabar dibangkitkan oleh X ) Misal X adalah suatu vari-abel acak di (;F ; P ) : Istilah �-aljabar yang dibangkitkan oleh X (ditulis � (X)) dide�n-isikan dengan koleksi dari semua himpunan yang berbentuk f! 2: X (!) 2 Ag ; 8A � R:Dengan kata lain

� (X) =�X�1 (B) : B 2 B(R)

: (4.5)

Catatan 4.10 � (X) adalah �-aljabar yang memuat seluruh informasi yang terkandungpada X:

De�nisi 4.11 Misal X adalah suatu variabel acak di (;F) dan G adalah sub-�-aljabardari F : Dikatakan X adalah G-terukur bila setiap himpunan di � (X) ada pula di G:

De�nisi 4.12 Misal X adalah variabel acak diskret yang terhingga. Atom dari � (X)dide�nisikan sebagai koleksi dari himpunan�

X�1 (X (!)) j ! 2

(4.6)

� (X) terdiri dari atom-atom beserta komplemennya dan hasil operasi himpunanpadanya.

4.3. Variabel acak 23

De�nisi 4.13 Variabel acak X disebut sederhana (simple) bila ia dapat dinyatakan den-gan

X(!) =

mXi=1

aiIAi(!) untuk 8ai � 0 (4.7)

dengan

IA1 (!) =

(1 bila ! 2 Ai0 bila ! 62 Ai:

(4.8)

Contoh 4.14 Misal ruang sampel yang dide�nisikan pada Contoh 2.6 di halaman 14

= fMM;MB;BM;BBg: (4.9)

Misal variabel acak S1 menyatakan nilai saham pada akhir periode pertama

S1 (!) =


(4.10)

dan variabel acak S2 menyatakan nilai saham pada akhir periode kedua (lihat Kuliah ke1)

S2 (!) =

8><>:16 bila ! 2 fMMg4 bila ! 2 fMB;BMg1 bila ! 2 fBBg :

: (4.11)

1. Tentukan � (S1) melalui atom-atomnya.

2. Tentukan � (S1) melalui atom-atomnya.

3. Tentukan � (S1; S2) melalui atom-atomnya.

Solusi

1. Atom-atom dari � (S1) terdiri dari�S�11 (8)

= f! : S1 (!) = 8g = fMM;MBg (4.12)�

S�11 (2)= f! : S1 (!) = 2g = fBM;BBg (4.13)

sehingga �-aljabar yang dibangkitkan oleh S1; yaitu � (S1) ; dapat dibentuk melaluioperasi himpunan terhadap atom-atom ini

� (S1) = f?;; fMM;MBg ; fBM;BBgg : (4.14)

2. Atom-atom dari � (S2) terdiri dari�S�12 (16)

= f! : S2 (!) = 16g = fMMg (4.15)�

S�12 (4)= f! : S2 (!) = 4g = fMB;BMg (4.16)�

S�12 (1)= f! : S2 (!) = 1g = fBBg (4.17)

sehingga �-aljabar yang dibankitkan � (S2) dapat dibentuk melalui operasi himpunanterhadap atom-atom ini

� (S2) = f?;; fMMg ; fMB;BMg ; fBBg ; fMM;MB;BMg ;fMB;BM;BBg ; fMM;BBgg:


3. Sedangkan �-aljabar yang dibangkitkan oleh S1 dan S2 dibangun dari gabunganatom-atom dari S1 dan atom-atom dari S2 dan dilanjutkan dengan operasi him-punan pada koleksi himpunan atom-atom tersebut

� (S1; S2) = f;;; fMM;MBg ; fBM;BBg ; fMMg ; fMB;BMg ;fBBg ; fMB;BM;BBg; fMM;MB;BMg ; fMM;BBg ;fBM;BB;MMg ; fMM;MB;BBgg:

Contoh 4.15 Kelanjutan Contoh 4.14. Tentukan pra-peta di bawah S2 dari selang[3; 30] :dan [0; 1] :

SolusiPra-peta di bawah S2 dari selang [3; 30] dide�nisikan dengan

S�12 ([3; 30]) = f! 2 : S2(!) 2 [3; 30]g (4.18)

= f! 2 : 3 � S2 � 30g (4.19)

= fMM;MB;BMg : (4.20)

Demikian pula pra-peta di bawah S2 dari selang [0; 1] adalah

S�12 ([0; 1]) = f! 2 : S2 (!) 2 [0; 1]g (4.21)

= f! 2 : 0 � S2 � 1g (4.22)

= fMMg : (4.23)

Pra-peta untuk selang lainnya dapat diperoleh dengan cara yang sama. Sehingga untukhal yang lebih umum, pra-peta di bawah S2 untuk seluruh selang buka di R adalah

f;;; fMMg ; fMB;BMg ; fBBg ; fMM;MB;BMg ; fMM;BBg ; fMB;BM;BBgg

Ini tidak lain adalah �-aljabar yang dibangkitkan oleh S2; yaitu � (S2) Kandungan in-formasi yang ada di dalam �(S2) sama persis dengan informasi yang didapat denganpengamatan terhadap S2: Namun kandungan informasi di dalam �(S2) tidaklah sekayadengan informasi yang ada di dalam F = power() : Di dalam F dapat dibedakan antarakejadian fMBg dan kejadian fBMg ; sedangkan di dalam �(S2) tidak bisa dibedakanantara kejadian fMBg dan kejadian fBMg :

Contoh 4.16 Kelanjutan Contoh 4.14. Tuliskan

1. S1 sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator

2. S2 sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator.

Solusi

1. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan

A1 = fMM;MBg (4.24)

A2 = fBM;BBg (4.25)

4.4. Integral pada ruang probabilitas 25

sehingga

Ai \Aj = ?; untuk i 6= j (4.26)[i

Ai = : (4.27)

Misalkan pula

a1 = 8 (4.28)

a2 = 2 (4.29)

sehingga S1 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator

S1 =2Xi=1

aiIAi (4.30)

= 8:IfMM;MBg (!) + 2:IfBM;BBg (!) : (4.31)

2. Agar cocok dengan notasi di (4:7) ; dimisalkan

C1 = fMMg (4.32)

C2 = fMB; BMg (4.33)

C3 = fBBg (4.34)

sehingga

Ci \ Cj = ?; untuk i 6= j (4.35)[i

Ci = : (4.36)

Misalkan pula

c1 = 16 (4.37)

c2 = 4 (4.38)

c3 = 1 (4.39)

sehingga S2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi indikator

S2 =

3Xi=1

ciICi (4.40)

= 16:IfMMg (!) + 4:IfMB;BMg (!)_1:IfBBg (!) : (4.41)

4.4 Integral pada ruang probabilitas

Konstruksi integral pada suatu ruang probabilitas (;F ; P ) mengikuti langkah-langkahsebagaimana konstruksi integral Lebesque di halaman 19. Mula-mula akan dide�nisikanintegral untuk variabel acak X sebagai fungsi indikator, kemudian berturut-turut akandide�nisikan integral untuk X sederhana, X non-negatif dan X yang umum. Pende�n-isan integral ini akan sekaligus merupakan pende�nisian ekspektasi E (X) :


De�nisi 4.17 (integral di (;F ; P )) Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang probabilitasdan misal X adalah suatu variabel acak di (;F ; P )

1. Misal X adalah suatu variabel acak diskret yang berupa fungsi indikator, yaitu

X (!) = IA (!) (4.42)

=

(1 bila ! 2 A0 bila ! =2 A

(4.43)

untuk A 2 F : IntegralRX dP akan dide�nisikan dengan

E (X) =

ZX dP = P (A) : (4.44)

2. Misal X suatu variabel acak diskret yang berupa suatu fungsi sederhana, yaitu

X (!) =nXk=1

ck IAk (!) : (4.45)

dengan ck adalah bilangan riil dan Ak 2 F : IntegralRX dP akan dide�nisikan

dengan

E (X) =

ZX dP (4.46)

=

Z

nXk=1

ck IAk (!) dP (4.47)

=

nXk=1

ck

ZIAk (!) dP (4.48)

=nXk=1

ck P (Ak) : (4.49)

3. Misal X � 0 adalah variabel acak. IntegralRX dP akan dide�nisikan dengan

E (X) =

ZX dP (4.50)

= sup

�ZY dP : Y sederhana dan Y (!) � X (!) ; a:s: 8! 2

�:

(4.51)

4. Misal X adalah variabel acak yang umum. De�nisikan X+ dan X� dengan

X+ (w) = max fX (!) ; 0g (4.52)

X� (w) = max f�X (!) ; 0g : (4.53)

MisalRX

+ dP < 1 danRX

�dP < 1 (dengan kata lain X+ dan X� dapatdiintegralkan). Integral

RX dP akan dide�nisikan dengan

E (X) =

ZX dP (4.54)

=

ZX+ dP �

ZX �dP (4.55)

4.4. Integral pada ruang probabilitas 27

5. Untuk A 2 F dan X adalah suatu variabel acak, integralRAX dP akan dide�n-

isikan dengan

E (X:IA) =

ZAX dP (4.56)

=

ZX:IA dP (4.57)

dengan

IA (!) =

(1 bila ! 2 A0 bila ! 62 A

(4.58)

Ekspektasi E (X:IA) dapat dipandang sebagai rata-rata parsial (partial average)dari X terhadap himpunan A:

Teorema 4.18 (monotone convergence theorem) Misal Xn; n = 1; 2; � � � adalahbarisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acakX dan misalkan 0 � X1 � X2 � X3 � � � � a:s: makaZ

X dP = lim

n!1

ZXn dP (4.59)

atau dituliskan denganE (X) = lim

n!1E (Xn) (4.60)

Teorema 4.19 (dominated convergence theorem) Misal Xn; n = 1; 2; � � � adalahbarisan variabel acak yang konvergen hampir pasti (almost surely (a.s.)) ke variabel acakX dan misalkan jXnj � Y a:s: 8n makaZ

X dP = lim

n!1

ZXn dP (4.61)

atau dituliskan denganE (X) = lim

n!1E (Xn) (4.62)

Kedua buah teorema ini sangat membantu untuk penghitungan integralRX dP bila

X adalah variabel acak yang umum karena penghitungan integralRXn dP lebih mudah

dilakukan dari pada penghitungan integralRX dP langsung dari de�nisinya. Melalui

konsep aproksimasi variabel acak yang non-negatif kelak akan diperlihatkan bahwa selalubisa dibuat suatu barisan fungsi sederhana Xn; n = 1; 2; 3; � � � dengan sifat

0 � X1 (!) � X2 (!) � X3 (!) � � � � a:s: 8! 2 (4.63)

dan X (!) sebagai limit dari barisan tersebut

X (!) = limn!1

Xn (!) a:s:8! 2 : (4.64)

Sifat barisan yang demikian memenuhi persyaratan yang dituntut oleh Teorema 4.18maupun Teorema 4.19 sehingga dapat diperoleh hasil berikutZ

X dP = lim

n!1

ZXn dP: (4.65)


Jadi prosedur penghitungan integralRX dP untuk X yang bersifat umum akan lebih

mudah dilakukan melalui penghitungan integralRXn dP untuk Xn yang sederhana

kemudian diambil limitnya Dengan kata lain untuk setiap variabel acak X selalu dapatdikonstruksi integral Z

X dP (4.66)

sebagai ungkapan dari ekspektasi E (X) :

4.5 Aproksimasi variabel acak

Mula-mula akan diperkenalkan dulu aproksimasi untuk tiap variable acak kontinu dannon-negatif X � 0: Aproksimasi dari variabel acak X yang demikian adalah variabelacak diskrit Xn yang dide�nisikan dengan

Xn =n:2nXi=0

i

2nI(i=2n � X < (i+1)=2n): (4.67)

Dari (4:67) dapat diperlihatkan bahwa aproksimasi tersebut menghasilkan barisan vari-abel acak diskret X1; X2; X3; � � � dengan sifat

0 � X1 (!) � X2 (!) � X3 (!) � � � � a:s 8! 2 : (4.68)

Bahkan bila variabel acak X (!) terbatas nilainya untuk tiap ! 2 maka bisa diperoleh

X1 (!) � X2 (!) � X3 (!) � � � � � X (!) a:s 8! 2 : (4.69)

Sifat lain yang bisa diturunkan dari aproksimasi (4:67) adalah

jX (!)�Xn (!)j � 2�n a:s 8! 2 : (4.70)

sehingga bisa disimpulkan bahwa Xn konvergen ke X

X (!) = limn!1

Xn (!) a:s:8! 2 : (4.71)

Dengan demikian sifat barisan variabel acak diskret X1; X2; X3; � � � ini telah memenuhipersyaratan yang dikehendaki Teorema 4.18 atau Teorema 4.19.

Distribusi dari Xn dapat dikarakterisasikan oleh hasil berikut

P

�Xn =

i

2n

�= P

�i

2n< X <

i+ 1

2n

�; i = 0; 1; 2; � � � ; n:2n (4.72)

= P

�! 2 : i

2n< X (!) <

i+ 1

2n

�; i = 0; 1; 2; � � � ; n:2n (4.73)

= �iP (!) ; i = 0; 1; 2; � � � ; n:2n: (4.74)

4.5. Aproksimasi variabel acak 29

Sehingga ekspektasi E [Xn] adalah

E [Xn] =

ZXn dP (4.75)

=n:2nXi=0

i

2nE�I(i=2n � X < (i+1)=2n)

�(4.76)

=n:2nXi=0

i

2nP

�i

2n< X <

i+ 1

2n

�(4.77)

=n:2nXi=0

i

2nP

�! 2 : i

2n< X (!) <

i+ 1

2n

�(4.78)

=n:2nXi=0

i

2n�iP (!) (4.79)

dengan

�iP (!) = P

�! 2 : i

2n< X (!) <

i+ 1

2n

�; i = 0; 1; 2; � � � ; n:2n: (4.80)

Sehingga dari Teorema 4.18 atau Teorema 4.19 diperoleh

E[X] = limn!1

E[Xn] (4.81)

atau ZX dP = lim

n!1

ZXn dP (4.82)

= limn!1

n:2nXi=0

i

2n�iP (!) : (4.83)

Karena Xn nilainya naik bersamaan dengan kenaikkan n, maka limitnya bisa +1:Untuk variabel acak yang lebih umum, yaitu �1 < X < 1; maka mula-mula X

diurai menjadi X = X+�X� dengan X+ = max(X; 0) dan X� = max(�X; 0): KarenaX+ � 0; dan X� � 0 maka masing-masing dapat diaproksimasi dengan variabel acakdiskrit X+

n dan X�n sehingga ekspektasinya E (X) adalah

E [X] =

ZX dP (4.84)

=

ZX+ dP �

ZX �dP (4.85)

= limn!1

ZX+n dP � lim

n!1

ZX�n dP: (4.86)

Contoh 4.20 Kelanjutan Contoh 4.14 dan Contoh 4.16 Hitunglah ekspektasi berikut

1. E (S1) =R S1dp

2. E (S2) =R S2dp:


SolusiMenurut De�nisi 4.17,

1. ekspektasi E (S1) adalah

E (S1) =

ZS1dp (4.87)

=

2Xi=1

aiP (Ai) (4.88)

= 8:P (fMM;MBg) + 2:P (fBM;BBg) (4.89)

= 8�p2 + pq

�+ 2

�pq + q2

�(4.90)

= 8p2 + 3pq + q2: (4.91)

2. ekspektasi E (S2) adalah

E (S2) =

ZS2dp (4.92)

=2Xi=1

ciP (Ci) (4.93)

= 16:P (fMMg) + 4:P (fMB;BMg) + 1:P (fBBg) (4.94)

= 16p2 + 4:2pq + q2 (4.95)

= 16p2 + 8pq + q2: (4.96)

Contoh 4.21 Misal X adalah variabel acak yang berdistribusi seragam U(0; 1): Aproksi-masilah X dengan suatu barisan X1; X2; X3; � � � yang konvergen ke X dengan sifat

0 � X1 (!) � X2 (!) � X3 (!) � � � � a:s 8! 2 (4.97)

dan hitunglah integral ZXdP: (4.98)

SolusiUntuk n = 1 aproksimasi dari variabel acak X adalah

X1 =

2Xi=0

i

21I(i=2 � X < (i+1)=2) (4.99)

= 0:I(0 � X < 12)+1

2I( 12 � X < 1) (4.100)

Sebagai ilustrasi

Bila X = 2=5 maka X1 = 0 dan jX �X1j = 2=5 < 2�1

Bila X = 4=5 maka X1 = 1=2 dan jX �X1j = 1=5 < 2�1

4.5. Aproksimasi variabel acak 31

Untuk n = 2 aproksimasi dari variabel acak X adalah

X2 =2:22Xi=0

i

22I(i=4 � X < (i+1)=4)

=0

4I(0 � X < 1=4) +

1

4I(1=4 � X < 2=4) +

2

4I(2=4 � X < 3=4) +

3

4I(3=4 � X < 4=4)+

4

4I(4=4 � X < 5=4) +

5

4I(5=4 � X < 6=4) +

6

4I(6=4 � X < 7=4) +

7

4I(7=4 � X < 8=4)

Sebagi ilustrasi

Bila X = 1=5 maka X2 = 0 dan jX �X2j = 4=20 < 2�2



Bila X = 4=5 maka X2 = 3=4 dan jX �X2j = 1=20 < 2�2:

Ekspektasi E [X] bisa diperoleh dari (4:81)

E[X] = limn!1

E[Xn] (4.101)

= limn!1

n:2nXi=0

i

2n�iP (!) (4.102)

dengan

�iP (!) = P

�! :

i

2n� X(!) � i+ 1

2n

�(4.103)

=

Z (i+1)=2n

i=2nfX(x)dx (4.104)

=

Z (i+1)=2n

i=2ndx (4.105)

=i+ 1

2n� i

2n(4.106)

=1

2n: (4.107)

Namun karena X � U (0; 1) maka

�iP (!) = 0 untuk i > 2n (4.108)

sehinga

�iP (!) =

(12n bila i � 2n0 bila i � 2n + 1

(4.109)


dan (4:102) menjadi

E [X] = limn!1

n:2nXi=0

i

2n�iP (!) (4.110)

= limn!1

2nXi=0

i

2n1

2n+ limn!1

n:2nXi=2n+1

i

2n:0 (4.111)

= limn!1

1

22n

2nXi=0

i (4.112)

= limn!1

�1

22n

�1

2:2n: (2n + 1)

��(4.113)

=1

2: (4.114)

4.6 Kebebasan

4.6.1 Kebebasan �-aljabar

De�nisi 4.22 Misal G dan H adalah sub �-aljabar dari F : Dikatakan G dan H salingbebas bila

P (A1 \A2) = P (A1)P (A2) 8A1 2 H dan 8A2 2 G (4.115)

Contoh 4.23 Misal G adalah �-aljabar yang ditentukan oleh hasil lantunan koin yangpertama dan H adalah �-aljabar yang ditentukan oleh hasil lantunan koin yang kedua.

G = f?;; fMM;MBg ; fBM;BBgg (4.116)

H = f?;; fMM;BMg ; fMB;BBgg (4.117)

Misal P (M) = p dan P (B) = q dan dimisalkan

A1 = fMM;MBg (4.118)

A2 = fMM;BMg (4.119)

Maka diperoleh hasil berikut

P (A1 \A2) = P fMMg = p2 (4.120)

P (A1) :P (A2) =�p2 + pq

� �p2 + pq

�(4.121)

= p2 (4.122)

= P (A1 \A2) (4.123)

Bisa diperlihatkan bahwa untuk setiap A1 2 G dan A2 2 H maka berlaku P (A1 \A2) =P (A1) :P (A2) sehingga dapat disimpulkan bahwa ��aljabar G dan ��aljabar H salingbebas.

4.6. Kebebasan 33

4.6.2 Kebabasan variabel acak

De�nisi 4.24 (kebebasan variabel acak) Dua buah random variables X dan Y sal-ing bebas bila � (X) dan � (Y ) adalah dua buah �-aljabar yang saling bebas.

Contoh 4.25 Kelanjutan Contoh 4.14. Misal X = S1; Y = S2=S1 dengan

X (!) = S1 (!) =


(4.124)

dan

S2 (!) =

8><>:16 bila ! 2 fMMg4 bila ! 2 fMB;BMg1 bila ! 2 fBBg :

: (4.125)

Dapat diamati bahwa variabel acak Y hanya tergantung pada lantunan koin yang keduasaja, yaitu

Y (!) =S2 (!)

S1 (!)=

(2 bila ! 2 fMM;BMg12 bila ! 2 fMB;BBg

: (4.126)

Dari hasil di Contoh 4.14.telah diperoleh �-aljabar � (S1) yang tidak lain adalah �-aljabar� (X)

� (X) = f?;; fMM;MBg ; fBM;BBgg (4.127)

sedangak �-aljabar � (Y ) dapat diperoleh dari atom-atomnya

� (Y ) = f;?; fMM;BMg ; fMB;BBgg : (4.128)

Dapat diperlihatkan secara langsung bahwa setiap A1 2 � (X) dan A2 2 � (Y ) akanmenghasilkan

P (A1 \A2) = P (A1) :P (A2) : (4.129)

Sebagai ilustrasi, misal

A1 = fMM;MBg (4.130)

A2 = fMB;BBg (4.131)

sehingga

A1 \A2 = fMBg (4.132)

dengan

P (A1 \A2) = P (fMBg) (4.133)

= pq (4.134)


dan

P (A1) = P (fMM;MBg) (4.135)

= p2 + pq (4.136)

= p (p+ q) (4.137)

= p (4.138)

p (A2) = P (fMB;BBg) (4.139)

= pq + q2 (4.140)

= q (p+ q) (4.141)

= q: (4.142)

Ilustrasi ini memperlihatkan

P (A1 \A2) = P (A1) :P (A2) (4.143)

dan dengan cara yang sama bisa diperlihatkan bahwa hasil (4:143) berlaku untuk setiapA1 2 � (X) dan A2 2 � (Y ) :

Kuliah ke 5

Ekspektasi Bersyarat

Ekspektasi bersyarat merupakan alat yang sangat penting didalam matematika keuan-gan. Karena itu konsep ekspektasi bersyarat ini perlu dipelajari dengan baik agar pema-haman tentang matematika keuangan bisa dicapai dengan baik pula. Mula-mula akandipelajari ekspektasi bersyarat terhadap suatu himpunan kemudian akan dibahas ekspek-tasi bersyarat terhadap suatu varibel acak yang diskrit lalu akan dipelajari ekspektasibersyarat terhadap suatu varibel acak secara umum. Akhirnya akan dibicarakan ek-spektasi bersyarat terhadap suatu sigma aljabar yang dibangkitkan oleh suatu variabelacak.

5.1 Peluang bersyarat

De�nisi 5.1 (peluang bersyarat) Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang probabilitas.Misal pula A1 dan A2 adalah dua buah kejadian (artinya A1; A2 2 F) dengan P (A2) 6= 0:Peluang bersyarat dari A1 bila diberikan A2 (ditulis P (A1jA2)) dide�nisikan dengan

P (A1jA2) =P (A1 \A2)P (A2)

: (5.1)

Contoh 5.2 Misal (;F ; P ) adalah ruang probabilitas yang dide�nisikan pada Contoh2.6. Bila A1 = fMBg dan A2 = fMB;BMg adalah dua buah kejadian, tentukanP (A1jA2) dan P (A2jA1) :

Solusi

Menurut De�nisi 5.1 peluang bersyarat P (A2jA1) diberikan oleh

P (A2jA1) =P (A1 \A2)P (A1)

(5.2)

=P (fMBg)P (fMBg) (5.3)

= 1: (5.4)

35

36 Kuliah ke 5. Ekspektasi Bersyarat

dan P (A1jA2) diberikan oleh

P (A1jA2) =P (A1 \A2)P (A2)

(5.5)

=P (fMB;BMg \ fMBg)

P (fMB;BMg) (5.6)

=P (fMBg)

P (fMB;BMg) (5.7)

=pq

2pq(5.8)

=1

2: (5.9)

5.2 Ekspektasi bersyarat terhadap kejadian

De�nisi 5.3 Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang probabilitas. Untuk setiap variabel Xyang dapat diintegralkan dan setiap kejadian A 2 F sehingga P (A) 6= 0; ekspektasibersyarat X diberikan A (ditulis E (XjA)) dide�nisikan dengan

E (XjA) = 1

P (A)

ZAXdP (5.10)

=1

P (A)

ZXIA dP: (5.11)

Contoh 5.4 Misal S2 adalah variabel acak yang dide�nisikan pada Contoh 4.14 yangdiungkapkan seperti pada Contoh 4.16

S2 =

3Xi=1

aiIAi : (5.12)

a1 = 16; a2 = 4; a3 = 1 (5.13)

A1 = fMMg; A2 = fMB; BMg; A3 = fBBg (5.14)

MisalA = fMM;BBg : (5.15)

Tentukan E (S2jA) :SolusiMenurut De�nsi 5.3 ekspektasi bersyarat E (S2jA) dapat dinyatakan dengan

E (S2jA) =1

P (A)

ZAS2dP (5.16)

=1

P (A)

ZS2IA dP: (5.17)

P (A) danRA S2dP dinyatakan dengan

P (A) = P (fMM;BBg) (5.18)

= p2 + q2 (5.19)

5.3. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret 37

dan ZAS2dP =

3Xi=1

aiP (IAi :IA) (5.20)

= 16:P (fMMg) + 4:P (?) + 1:P (fBBg) (5.21)

= 16p2 + 0 + q2 (5.22)

= 16p2 + q2: (5.23)

Sehingga ekspektasi bersyarat E (S2jA) menjadi

E (S2jA) =1

p2 + q2�16p2 + q2

�: (5.24)

5.3 Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret

De�nisi 5.5 Misal X adalah varabel acak yang dapat diintegralkan dan Y adalah vari-abel acak diskret. Misalkan

Ai = f! : Y (!) = yig ; i = 1; 2; � � � (5.25)

adalah atom-atom dari � (Ai) : Ekspektasi bersyarat dari X bila diberikan Y dide�nisikansebagai variabel acak E (XjY )

E (XjY ) (!) =

8><>:E (XjA1) bila ! 2 A1E (XjA2) bila ! 2 A2

......

...

: (5.26)

Catatan 5.6 Ekspektasi bersyarat E (XjY ) (!) adalah variabel acak dengan nilai yangakan konstan untuk setiap ! 2 Ai; i = 1; 2; � � � :

Contoh 5.7 Misal S1 dan S2 adalah dua buah variabel acak yang dide�nisikan padaContoh 4.14. Tentukan

1. E (S2jS1)

2.RE (S2jS1) dP

3. E (S1jS2)

4.RE (S1jS2) dP:

Solusi

1. Menurut 4.14 atom-atom dari � (A1) adalah

C1 =�S�11 (8)

= f! : S1 (!) = 8g = fMM;MBg (5.27)

C2 =�S�11 (2)

= f! : S1 (!) = 2g = fBM;BBg (5.28)


dengan

P (C1) = P (fMM;MBg) = p2 + pq = p (p+ q) = p (5.29)

P (C2) = P (fBM;BBg) = pq + q2 = q (p+ q) = q (5.30)

dan ZC1

S2dp =3Xi=1

aiP (IAi :IC1) (5.31)

= 16:P (fMMg) + 4:P (fMBg) + 1:P (?) (5.32)

= 16p2 + 4pq (5.33)ZC2

S2dp =3Xi=1

aiP (IAi :IC2) (5.34)

= 16:P (?) + 4:P (fMBg) + 1:P (fBBg) (5.35)

= 4pq + q2: (5.36)

sehingga

E (S2jS1) (!) =(E (S2jC1) bila ! 2 C1E (S2jC2) bila ! 2 C2

(5.37)

=

(1

P (C1)

RC1S2dp bila ! 2 C1

1P (C2)

RC2S2dp bila ! 2 C2

(5.38)

=

(1p

�16p2 + 4pq

�bila ! 2 C1

1q

�4pq + q2

�bila ! 2 C2

(5.39)

=

((16p+ 4q) bila ! 2 C1 = f! : S1 (!) = 8g(4p+ q) bila ! 2 C2 = f! : S1 (!) = 2g

(5.40)

2. IntegralRE (S2jS1) dp adalahZ

E (S2jS1) dp = (16p+ 4q) :P (C1) + (4p+ q)P (C2) (5.41)

= (16p+ 4q) p+ (4p+ q) q (5.42)

= 16p2 + 8pq + q2 (5.43)

hasil ini sesuai dengan (4:96) ; yaituR S2dP; sehingga dapat disimpulkan bahwaZ

E (S2jS1) dp =

ZS2dP: (5.44)

3. Menurut 4.14 atom-atom dari � (A2) adalah

A1 =�S�12 (16)

= f! : S2 (!) = 16g = fMMg (5.45)

A2 =�S�12 (4)

= f! : S2 (!) = 4g = fMB;BMg (5.46)

A3 =�S�12 (1)

= f! : S2 (!) = 1g = fBBg (5.47)

5.3. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak diskret 39

dengan

P (A1) = P (fMMg) = p2 (5.48)

P (A2) = P (fMB;BMg) = 2pq (5.49)

P (A3) = P (fBBg) = q2 (5.50)

dan

ZA1

S1dp =2Xi=1

ciP (ICi :IA1) (5.51)

= 8:P (fMMg) + 2:P (f?g) (5.52)

= 8p2 (5.53)ZA2

S1dp =2Xi=1

ciP (ICi :IA2) (5.54)

= 8:P (fMBg) + 2:P (fBMg) (5.55)

= 10pq (5.56)ZA3

S1dp =2Xi=1

ciP (ICi :IA3) (5.57)

= 8:P (f?g) + 2:P (fBBg) (5.58)

= 2q2 (5.59)

sehingga

E (S1jS2) (!) =

8><>:E (S1jA1) bila ! 2 A1E (S1jA2) bila ! 2 A2E (S1jA3) bila ! 2 A3

(5.60)

=

8><>:1

P (A1)

RA1S1dp bila ! 2 A1

1P (A2)

RA2S1dp bila ! 2 A2

1P (A3)

RA3S1dp bila ! 2 A3

(5.61)

=

8><>:1p2

�8p2�

bila ! 2 A112pq (10pq) bila ! 2 A21q2

�2q2�

bila ! 2 A3(5.62)

=

8><>:8 bila ! 2 A1 = f! : S2 (!) = 16g5 bila ! 2 A2 = f! : S2 (!) = 4g2 bila ! 2 A3 = f! : S2 (!) = 1g

(5.63)


4. IntegralRE (S1jS2) dp adalahZ

E (S1jS2) dp = 8:P (A1) + 5P (A2) + 2:P (A3) (5.64)

= 8p2 + 5:2pq + 2q2 (5.65)

= 8p2 + 10pq + 2q2 (5.66)

= 8p2 + 8pq + 2pq + 2q2 (5.67)

= 8p (p+ q) + 2q (p+ q) (5.68)

= 8p+ 2q: (5.69)

Hasil ini sesuai dengan (4:91) ; yaituR S2dP; sehingga dapat disimpulkan bahwaZ

E (S1jS2) dp =

ZS1dP: (5.70)

Catatan 5.8 1. Dari hasil di (5:40) terlihat bahwa ekspektasi bersyarat E (S2jS1) (!)adalah variabel acak dengan sumber keacakannya muncul dari S1: Jadi E (S2jS1)adalah variabel acak yang merupakan fungsi dari S1: Nilai E (S2jS1) akan konstanuntuk ! di tiap atom dari � (S1) : Dengan kata lain E (S2jS1) adalah variabel acakyang � (S1)-terukur. Kesimpulan lain dari contoh ini adalah

RE (S2jS1) dp =R

S2dP:

2. Kesimpulan serupa bisa diperoleh dari hasil di (5:63) : Terlihat bahwa ekspektasibersyarat E (S1jS2) (!) adalah variabel acak dengan keacakannya muncul dari S2:Jadi E (S1jS2) adalah variabel acak yang merupakan fungsi dari S2: Nilai E (S1jS2)akan konstan untuk ! di tiap atom dari � (S2) : Dengan kata lain E (S1jS2) adalahvariabel acak yang � (S2)-terukur. Kesimpulan lain dari contoh ini adalah

RE (S1jS2) dp =R

S1dP:

Apa yang diamati dari contoh soal ini akan dinyatakan dalam suatu Proposisi berikut.

Proposisi 5.9 Bila X adalah variabel acak yang dapat diintegralkan dan Y adalah vari-abel acak diskret maka

1. E (XjY ) adalah � (Y )-terukur

2. Untuk tiap kejadian A 2 � (Y ) akan berlakuZAE (XjY ) dP =

ZAXdp: (5.71)

Bukti

1. Misal atom-atom dari � (Y ) dinyatakan dengan

Ai = f! : Y (!) = yig ; i = 1; 2; � � � : (5.72)

dan [i=1

Ai = : (5.73)

5.4. Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak 41

Sebagai pengingat kembali bahwa � (Y ) adalah �-aljabar yang dibangkitkan olehAi; i = 1; 2; � � � : Dari De�nisi 5.5 dan Catatan 5.6 telah diketahui bahwa ekspektasibersyarat E (XjY ) (!) adalah variabel acak dan akan bernilai konstan untuk tiap! 2 Ai. Dengan demikian E (XjY ) (!) adalah � (Y )-terukur

E (XjY ) (!) =

8><>:E (XjA1) bila ! 2 A1E (XjA2) bila ! 2 A2

......

...

: (5.74)

2. Telah diketahui bahwa E (XjAi) (!) bernilai konstan untuk ! 2 Ai maka hasilberikut ini bisa dipahamiZ

Ai

E (XjY ) dP =ZAi

E (XjAi) dP (5.75)

= E (XjAi)ZAi

dP (5.76)

= E (XjAi)P (Ai) (5.77)

=

�1

P (Ai)

ZAi

XdP

�P (Ai) (5.78)

=

ZAi

XdP: (5.79)

5.4 Ekspektasi bersyarat terhadap variabel acak

De�nisi 5.10 Misal X adalah suatu variabel acak dan Y adalah variabel acak yangumum. Ekspektasi bersyarat X diberikan Y adalah variabel acak Z = E (XjY ) (bolehdituliskan dengan Z = E (Xj� (Y ))) sehingga

1. Z adalah � (Y )-terukur

2. Untuk tiap A 2 � (Y ) ZAZdP =

ZAXdP: (5.80)

Apakah eksistensi variabel acak Z = E (XjY ) pada De�nisi 5.10 selalau terjamin?Ternyata jawabnya ya. Hal ini dijamin oleh Teorema Radon-Nikodym berikut ini.

Teorema 5.11 (Teorema Radon-Nikodym) Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang prob-abilitas dan G adalah sub-�-aljabar dari F : Untuk setiap variabel acak X akan ada vari-abel acak Z yang G-terukur sehinggaZ

AXdP =

ZAZdP; 8A 2 G: (5.81)

Apakah variabel acak Z ini unik? Lemma 5.12 dan Proposisi 5.9 berikut bisa dipakaiuntuk memperlihatkan keunikan Z:


Lemma 5.12 Misal (;F ; P ) adalah suatu ruang probabilitas dan misalkan G adalahsub-�-aljabar dari F : Bila X variabel acak yang G-terukur dan untuk setiap A 2 Gmemenuhi Z

AXdP = 0 (5.82)

maka X = 0 a.s.

Proposisi berikut dapat dibuktikan dengan Teorema 5.11 dan Lemma 5.12.

Proposisi 5.13 Variabel acak Z = E (XjG) ada dan unik dalam arti bahwa X = X 0

a.s. jika dan hanya jika E (XjG) = E (X 0jG) a.s.

5.5 Sifat-sifat ekspektasi bersyarat

Proposisi 5.14 Misal X dan Y adalah dua buah variabel acak yagn terde�nisi padasuatu ruang probabilitas (;F ; P ) ; a dan b adalah bilangan riil, dan G;H adalah duabuah sub-�-aljabar dari F : Ekspektasi bersyarat mempunyai sifat-sifat berikut

1. ( linearity) E (aX + bY jG) = E (XjG) + E (Y jG)

2. E (E (XjG)) = E (X)

3. Bila Y adalah G terukur maka E (XY jG) = Y E (Y jG)

4. Bila X dan G saling bebas maka E (XjG) = E (X)

5. ( tower property) Bila H � G maka E (E (XjG) jH) = E (XjH)

6. (positivity) Bila X � 0 maka E (XjG) � 0:

Kuliah ke 6

Martingales

Pada Kuliah kali ini akan diasumsikan bahwa pembicaraan senantiasa berada di ruangprobabilitas (;F ; P ) : Mula-mula akan dide�niskan suatu proses stokastik, kemudianakan dikenali proses stokastik yang disebut martingales.

De�nisi 6.1 (proses stokastik) Proses stokastik adalah suatu keluarga variabel acakfX (t)g dengan t 2 T dan T � R: Bila T = f1; 2; � � � g maka fX (t)g adalah prosesstokastik dalam waktu diskret (atau fX (t)g adalah barisan bilangan acak). Bila T =

[0;1) maka fX (t)g adalah proses stokastik dalam waktu kontinu.

De�nisi 6.2 (proses teradaptasi) Porses stokastik fX (t)g teradaptasi ( adapted) oleh�ltrasi fF (t)g bila X (t) adalah F (t)-terukur untuk 8t 2 T:

De�nisi 6.3 (martingales) Proses stokastik fX (t)g disebut martingales bila memenuhisifat berikut

1. X (t) dapat diintegralkan 8t 2 T

2. fX (t)g teradaptasi oleh �ltrasi fF (t)g

3. E (X (t) jF (s)) = X (s) untuk s � t:

Catatan 6.4 Bila proses stokastik fX (t)g memenuh (1) dan (2) akan tetapi E (X (t) jF (s))� X (s) untuk s � t maka fX (t)g disebut supermartingales. Bila proses stokastikfX (t)g memenuh (1) dan (2) akan tetapi E (X (t) jF (s)) � X (s) untuk s � t makafX (t)g disebut submartingales.

Contoh 6.5 Misal X (1) ; X (2) ; X (3) ; � � � adalah barisan variabel acak yang saling be-bas dengan

E [(X (i))] = 0; i = 1; 2; 3; � � � : (6.1)

MisalM (n) = X (1) +X (2) +X (3) + � � �+X (n) : (6.2)

KonstruksikanF (n) = � (X (1) ; X (2) ; X (3) ; � � � ) (6.3)

43

44 Kuliah ke 6. Martingales

sebagai �-aljabar yang dibangkitkan oleh X (1) ; X (2) ; X (3) ; � � � : Akan diperlihatkanbahwa fM (n)g adalah martingales

1. Persyaratan (1) dipenuhi karena E [(X (i))] = 0; i = 1; 2; 3; � � � :

2. Persyaratan (2) dipenuhi karena konstruksi F (n) sebagai �-aljabar yang dibangk-itkan oleh X (1) ; X (2) ; X (3) ; � � � :

3. Persyaratan (3) dipenuhi karena X (n+ 1) dan F (n) saling bebas sehingga

E [X (n+ 1) jF (n)] = E [X (n+ 1)] (6.4)

dan

E [M (n+ 1) jF (n)] = E [X (1) +X (2) +X (3) + � � �X (n) jF (n)] (6.5)

= X (1) +X (2) +X (3) + � � �+ E [X (n+ 1) jF (n)] (6.6)

=M (n) + E [X (n+ 1)] (6.7)

=M (n) : (6.8)

Kuliah ke 7

Teorema Radon-Nikodym

7.1 Pendahuluan

Pada pembahasan sebelumnya telah dilihat bahwa penghitungan harga suatu opsi diper-lukan penghitungan ekspektasi di bawah ukuran probabilitas yang risk-neutral (risk-neutral probability measure). Kali ini akan dipelajari hubungan antara ukuran proba-bilitas pasar (market probability measure) P dan ukuran probabilitas yang risk-neutral~P .

7.2 Teorema Radon-Nikodym

De�nisi 7.1 ( ~P kontinu terhadap P ) Bila 8A 2 F dan P (A) = 0 sehingga ~P (A) =0 maka dikatakan ~P kontinu terhadap P:

De�nisi 7.2 (P ekivalen dengan ~P ) Bila P kontinu terhadap ~P dan sekaligus ~P kon-tinu terhadap P maka dikatakan P ekivalen dengan ~P :

Teorema 7.3 (Radon-Nikodym) Misal P dan ~P adalah dua buah ukuran probabilitasdi ruang terukur (;F) : Bila ~P kontinu terhadap P maka ada suatu variabel acak Z� 0 sehingga

~P (A) =

ZAZ dP 8A 2 F (7.1)

variabel acak Z disebut turunan Radon-Nikodym dari ~P terhadap P:

Catatan 7.4 Ungkapan bahwa Z disebut turunan Radon-Nikodym derivative dari ~Pterhadap P dapat dinyatakan dengan notasi

Z =d ~P

dP(7.2)

atau

d ~P = ZdP (7.3)

45

46 Kuliah ke 7. Teorema Radon-Nikodym

sehingga

~E [X] =

ZXd ~P (7.4)

=

ZXZdP (7.5)

= E [XZ] : (7.6)

Dengan demikian kadang ungkapan yang menghubungkan antara P dan ~P pada (7:1)

~P (A) =

ZAZ dP 8A 2 F (7.7)

akan dinyatakan dengan (7:6)~E [X] = E [XZ] (7.8)

asalkanE [XZ] <1: (7.9)

7.3 Eksistensi ekspektsi bersyarat

Misal

1. (:F ; Q) adalah suatu ruang probabilitas

2. G adalah suatu sub-�-algebra dari F

3. X � 0 adalah variabel acak denganRX dQ = 1

Akan dikonstruksi EQ (X jG) ; yaitu ekspektasi bersyarat di bawah Q dari X biladiberikan G: Pada G; de�nisikan dua buah ukuran probabilitas P dan ~P dengan

P (A) = Q (A) 8A 2 G (7.10)

~P (A) =

ZAXdQ 8A 2 G: (7.11)

Mula-mula akan diperlihatkan bahwa bila Y adalah variabel yang G-terukur makaZY dP =

ZY dQ: (7.12)

Hal ini dapat diperlihatkan dengan ilustrasi berikut, bila Y = IA untuk A 2 G makaZY dP =

ZIA dP = P (A) (7.13)Z

Y dQ =

ZIA dQ = Q (A) (7.14)

dan karena variabel acak Y dapat diaproksimasi dengan variabel acak sederhana makahasil di atas dapat diperluas dari Y = IA dengan sembarang variabel acak Y:

7.3. Eksistensi ekspektsi bersyarat 47

Dari (7:11) terlihat bahwa ~P kontinu terhadap P sehingga menurut teorema Radon-Nikodym ada suatu variabel acak Z yang G-measurable sehingga

~P (A) =

ZAZdP; 8A 2 G (7.15)

di lain pihak de�nisi ~P (A) dari (7:11) adalah

~P (A) =

ZAXdQ; 8A 2 G (7.16)

sehingga dari (7:15) dan (7:16) dapat diperolehZAXdQ =

ZAZdP (7.17)

=

ZAZdQ; 8A 2 G (7.18)

Dapat diklaim bahwa Z = EQ (X jG) karena

1. Z = EQ (X jG) adalah G-measurable

2. 8A 2 G berlaku sifat rataan parsialZAZdQ =

ZAZdP (7.19)

=

ZAXdQ (7.20)

=

ZAE (XjG) dQ: (7.21)

Dari hasil di atas dapat disimpulkan bahwa eksistensi ekspektasi bersyarat adalahhasil dari teorema Radon-Nikodym.

Kuliah ke 8

Integral Ito

8.1 Symmetric random walk

Lantunkan sebuah koin berkali-kali dan nyatakan hasilnya dengan variabel acak Xj ;j = 1; 2; 3; � � �

Xj (!j) =

(1 bila !j =M

�1 bila !j = B(8.1)

Hasil lantunan koin yang satu saling bebas terhadap lantunan koin lainnya. Karena ituX1; X2; X3; � � � dapat diasumsikan saling bebas. Asumsikan pula P (M) = P (B) = 1=2:

Sifat-sifat Xj

1. E [Xj ] = 1:P (M) + (�1)P (B) = 1:12 � 1:12 = 0

2. var[Xj ] = 12P (M) + (�1)2 P (B) = 1:

3. Moment generating function dari Xj adalah

'Xj(u) = E�euXj

�(8.2)

= euP (M) + e�uP (B) (8.3)

=1

2eu +

1

2e�u: (8.4)

De�nisikan Mk dengan

M0 = 0 (8.5)

M1 = X1 (8.6)

M2 = X1 +X2 (8.7)

M3 = X1 +X2 +X3 (8.8)... (8.9)

Mk =

kXj=1

Xj (8.10)

Proses fMkg1k=0 akan disebut sebagai symmetric random walk.

48

8.2. Scaled symmetric random walk 49

8.1.1 Sifat-sifat dari symmetric random walk fMkg1k=0

1. E [Mk] = E

"kPj=1

Xj

#=

kPj=1

E [Xj ] = 0

2. var[Mk] =kPj=1var[Xj ] = k:

3. Increments dari Mk

M1 �M0 = X1 (8.11)

M2 �M1 = X2 (8.12)... (8.13)

Mk �Mk�1 = Xk (8.14)

adalah saling bebas.

8.2 Scaled symmetric random walk

Misal n adalah bilangan bulat positif. Bila t = kn atau k = tn, de�nisikan scaled sym-

metric random walk W (n) (t) dengan

W (n) (t) =1pnMtn (8.15)

=1pnMk (8.16)

Teorema 8.1 Untuk t � 0 dan n ! 1; distribusi dari W (n) (t) akan konvergen kedistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t:

Bukti Moment generating function untuk W (n) (t) = 1pnMnt adalah 'k (u)

'k (u) = EheuW

(n)(t)i

(8.17)

= Eheu: 1p

nMnti

(8.18)

= E

24e upn

ntPj=1

Xj

35 (8.19)

= Ehe

upnX1 :e

upnX2 : � � � :e

upnXnti

(8.20)

=

�1

2e

upn +

1

2e� up

n

�nt(8.21)

50 Kuliah ke 8. Integral Ito

log 'k (u) = nt log�12e

upn + 1

2e� up

n

�dan dengan mengasumsikan x = 1p

nmaka diper-

oleh

limk!1

log'k (u) = t limx!0

log�12eux + 1

2e�ux�

x2(8.22)

= t limx!0

u2 eux � u

2 e�ux

12eux + 1

2e�ux

!:1

2x(8.23)

= t limx!0

1

12eux + 1

2e�ux

!limx!0

� u2 eux � u

2 e�ux

2x

�(8.24)

= t limx!0

� u2 eux � u

2 e�ux

2x

�(8.25)

= t limx!0

u2

2 eux + u2

2 e�ux

2

!(8.26)

=t

2u2 (8.27)

Jadi akan diperoleh

'k (u) = e12u2t (8.28)

dan ini adalah moment generating function dari variabel acak yang berdistribusi normaldengan mean 0 dan variansi t:

Karena itu untuk n!1 proses�W (n) (t)

akan konvergen menjadi proses fW (t)g

dengan sifat-sifat

1. W (0) = 0

2. W (t) adalah fungsi kontinu di t

3. Bila 0 = t0 < t1 < t2 < � � � < tn dan dide�nisikan increments dari W (t) dengan

Y1 =W (t1)�W (t0) (8.29)

Y2 =W (t2)�W (t1) (8.30)... (8.31)

Yn =W (tn)�W (tn�1) (8.32)

maka

(a) Y1; Y2;��`Yn saling bebas dan berdistribusi normal

(b) E (Yj) = 0 8j

(c) var (Yj) = tj � tj�1 8j

Proses stokastik fW (t)g yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut Brownian motionatau Wiener process. Jadi dalam hal ini scaled symmetric random walk akan meng-hasilkan Brownian motion asalkan n!1:

8.3. Quadratic variation 51

8.2.1 Kovariansi dari Brownian motion

Misal 0 � s � t , dan telah diperoleh bahwa W (s) = W (s)�W (0) dan W (t)�W (s)

saling bebas sehingga diperoleh hasil-hasil berikut

E [W (s)] = 0; var [W (s)] = s (8.33)

E [W (t)] = 0; var (W (t)) = t (8.34)

E [W (s) :W (t)] = E fW (s) : [W (t)�W (s) +W (s)]g (8.35)

= E fW (s) : [W (t)�W (s)]g+ var (W (s)) (8.36)

= 0 + s = s ^ t: (8.37)

Teorema 8.2 Brownian motion adalah suatu martingaleBukti Misal 0 � s � t maka

Es [W (t)] = Es [W (t)�W (s) +W (s)] (8.38)

= Es [W (t)�W (s)] +W (s) (8.39)

= 0 +W (s) (8.40)

8.3 Quadratic variation

De�nisi 8.3 Misal � = ft1; t2; � � � ; tng adalah suatu partisi dari [0; T ] dengan 0 = t0 �t1 � � � � � tn = T dan k�k = maks

k=0;1;2;�� ;n�1(tk+1 � tk) : Quadratic variation dari fungsi

f adalah [f; f ] (T ) dan dide�nisikan dengan

[f; f ] (T ) = limk�k!0

n�1Xk=0

jf (tk+1)� f (tk)j2 (8.41)

Dengan penggunaanmean value theorem, suatu Quadratic variation dari suatu fungsif yang di¤erentiable di selang [0; T ] adalah

[f; f ] (T ) = limk�k!0

n�1Xk=0

jf (tk+1)� f (tk)j2 (8.42)

= limk�k!0

n�1Xk=0

��f 0 �t�k+1��2 (tk+1 � tk)2 (8.43)

� limk�k!0

k�kn�1Xk=0

��f 0 �t�k+1��2 (tk+1 � tk) (8.44)

� limk�k!0

k�kZ T

0f 0 (t)2 dt (8.45)

� 0 (8.46)

Jadi untuk fungsi f yang di¤erentiable di selang [0; T ] maka quadratic variation-nyaadalah [f; f ] (T ) = 0: Dengan kata lain kalau ada fungsi f dengan quadratic variation


tidak 0 maka fungsi tersebut tidak di¤erentiable, seperti yang terjadi pada Brownianmotion W (t) berikut ini.

Teorema 8.4 [W;W ] (T ) = TBukti Misal � = ft1; t2; � � � ; tng adalah suatu partisi dari [0; T ] : Misal Dk =W (tk+1)�

W (tk) dan de�nisikan Q� =n�1Pk=0

D2k sehingga Q� � T =n�1Pk=0

�D2k � (tk+1 � tk)

�: Akan

diperlihatkan bahwalim

k�k!0(Q� � T ) = 0: (8.47)

Mula-mula perhatikan dulu hasil berikut

D2k � (tk+1 � tk) = (W (tk+1)�W (tk))2 � (tk+1 � tk) (8.48)

E�D2k � (tk+1 � tk)

�= E

h(W (tk+1)�W (tk))

2 � (tk+1 � tk)i

(8.49)

= (tk+1 � tk)� (tk+1 � tk) (8.50)

= 0: (8.51)

Sehingga

E (Q� � T ) = E n�1Xk=0

�D2k � (tk+1 � tk)

�!= 0: (8.52)

Di samping itu

var [Q� � T ] =n�1Xk=0

var�D2k � (tk+1 � tk)

�(8.53)

=n�1Xk=0

E�D2k � (tk+1 � tk)

�2(8.54)

=

n�1Xk=0

EhD4k � 2D2k (tk+1 � tk) + (tk+1 � tk)

2i

(8.55)

=n�1Xk=0

3 (tk+1 � tk)2 � 2 (tk+1 � tk)2 + (tk+1 � tk)2 (8.56)

=n�1Xk=0

2 (tk+1 � tk)2 (8.57)

� k�kn�1Xk=0

2 (tk+1 � tk) (8.58)

� 2 k�k :T (8.59)

Jadilim

k�k!0var (Q� � T ) = 0 (8.60)

Dari persamaan (8:52) dan (8:60) dapat disimpulkan bahwa

limk�k!0

(Q� � T ) = 0 (8.61)

8.4. Konstruksi Integral Ito 53

sehingga

[W;W ] (T ) = T: (8.62)

Hasil ini memperlihatkan bahwa paths dari Brownian motion fW (t)g tidak di¤eren-tiable.

Catatan 8.5 Dari hasil di (8:51) dan (8:57) diperoleh

EhfW (tk+1)�W (tk)g2 � (tk+1 � tk)

i= 0 (8.63)

varhfW (tk+1)�W (tk)g2 � (tk+1 � tk)

i= 2 (tk+1 � tk)2 : (8.64)

Bila (tk+1 � tk) kecil sekali maka 2 (tk+1 � tk)2 akan sangat kecil sehingga (8:64) menjadi

varhfW (tk+1)�W (tk)g2 � tk+1 � tk

i� 0: (8.65)

Dari (8:63) dan (8:65) dapat disimpulkan bahwa

fW (tk+1)�W (tk)g2 � tk+1 � tk = 0 (8.66)

atau

fW (tk+1)�W (tk)g2 = tk+1 � tk (8.67)

yang dapat dinyatakan dengan

dW (t) :dW (t) = dt: (8.68)

8.4 Konstruksi Integral Ito

Integral Ito dibangun dengan unsur-unsur:

1. Integrator-nya adalah Brownian motion W (t) ; t � 0 dan �ltration-nya F (t) ; t �0 sehingga

(a) W (t) adalah F (t)-measurable

(b) 8t; t < t1 < t2 < � � � < tn

W (t1)�W (t) ;W (t2)�W (t1) ; � � � ;W (tn)�W (tn�1) (8.69)

saling bebas dari F (t) :

(c) untuk s � t berlaku F (s) � F (t)

2. Integrand-nya adalah fungsi � (t) ; � � 0 dengan sifat

(a) � (t) adalah F (t)-measurable (� (t) adalah adapted to F (t))

(b) EhR T0 �

2 (t) dti< 0


Akan dide�nisikan Integral Ito

I (t) =

Z t

0� (u) dW (u) ; t � 0 (8.70)

Catatan 8.6 Bila f fungsi yang di¤erentiable makaZ t

0� (u) df (u) =

Z� (u) f 0 (u) du (8.71)

Namun karena W (u) adalah tidak di¤erentiable maka kita bisa mendapatkan sesuatuyang menyerupai persamaan (8:71) dengan W (u) sebagi integrator-nya: Untuk itu perludibangun konsep integral dengan integratornya adalah W (u) ; yaitu Integral Ito.

8.5 Integral Ito untuk fungsi sederhana

Misal � = ft0; t1; t2; � � � ; tng adalah suatu partisi dari [0; T ] dengan 0 = t0 � t1 �� tn = T . Misal � (tk) adalah suatu konstanta pada tiap selang [tk; tk+1): Prosesf� (t)g yang demikian disebut elementary process. FungsiW (t) dan � (t) dapat diartikansebagai berikut

1. W (t) sebagai harga saham

2. t0; t1; t2; � � � ; tn sebagai tanggal jual beli saham

3. � (tk) sebagai jumlah saham yang dimiliki pada saat tk sampai saat tk+1:

Integral Ito I (t) =R t0 � (u) dW (u) dapat diinterpretasikan sebagai gain/loss yang

diperoleh dari jual beli saham pada saat t:

I (t) =

Z t

0� (u) dW (u) (8.72)

= � (t0) [W (t)�W (t0)] bila 0 � t � t1 (8.73)

= � (t0) [W (t1)�W (t0)] + � (t) [W (t)�W (t1)] bila t1 � t � t2 (8.74)

= � (t0) [W (t1)�W (t0)] + � (t1) [W (t2)�W (t1)] + � (t) [W (t)�W (t2)] bila t2 � t � t3(8.75)

Umumnya bila tk � t � tk+1; Integral Ito I (t) untuk integrand elementer � dide�nisikandengan

I (t) =

Z t

0� (u) dW (u) =

k�1Xj=0

� (tj) [W (tj+1)�W (tj)] + � (tk) [W (t)�W (tk)] (8.76)

Sifat-sifat integral Ito:

1. I (t) =R t0 � (u) dW (u) adalah F (t)-measurable

2. I (t) =R t0 � (u) dW (u) adalah suatu martingale

3. Bila I (t) =R t0 � (u) dW (u) dan J (t) =

R t0 (u) dW (u) maka I (t) � J (t) =R t

(� (u) + (u)) dW (u)

8.6. Integral Ito untuk fungsi yang umum 55

8.6 Integral Ito untuk fungsi yang umum

Tentukan T . Misal � adalah suatu proses (tidak harus elementary process) yang bersifat

1. � (t) adalah F (t)-measurable 8t 2 [0; T ]

2. ER T0 �

2 (t) dt < 0

Untuk pende�nisian integralR T0 � (t) dW (t) ; fungsi � (t) akan diaproksimasi oleh

fungsi sederhana �n (t) : Untuk n!1 proses �n (t) akan konvergen ke � (t) dalam arti

limn!1

E

Z T

0(�n (t)� � (t))2 dt = 0: (8.77)

Untuk elementary process �n (t) ; integral Ito dide�nisikan seperti pada (8:85)

In (T ) =

Z T

0�n (t) dW (t) 8n: (8.78)

Kemudian de�nisikan integral Ito I (T ) ==R T0 � (t) dW (t) dengan

I (T ) =

Z T

0� (t) dW (t) (8.79)

= limn!1

Z T

0�n (t) dW (t) (8.80)

Sifat-sifat integral Ito I (T )

1. I (T ) =R T0 � (t) dW (t) adalah F (t)-measurable

2. I (T ) =R T0 � (t) dW (t) adalah suatu martingale

3. [I; I] (t) =R t0 �

2 (u) du

Contoh 8.7 Perlihatkan bahwaR T0 W (u) dW (u) = 1

2W (T )2 � 12T; T � 0:

Bukti Integrand � (t) = W (t) akan diaproksimasi oleh fungsi sederhana �n (t) yangdide�nisikan dengan

�n (u) =

8>>>><>>>>:W (0) bila 0 � u < T

n

W�Tn

�bila T

n � u <2Tn

......

...

W�(n�1)Tn

�bila (n�1)T

n � u < T:

(8.81)

Dari de�nisi �n (t) terlihat bahwa persyaratan

limn!1

E

Z T

0(�n (t)�W (t))2 dt = 0 (8.82)


dipenuhi sehinggaZ T

0W (u) dW (u) = lim

n!1

Z T

0�n (u) dW (u) (8.83)

= limn!1

n�1Xj=0

W

�jT

n

��W

�(j + 1)T

n

��W

�jT

n

��(8.84)

= limn!1

n�1Xj=0

Wj [Wj+1 �Wj ] (8.85)

dengan

Wj =W

�jT

n

�: (8.86)

Integral (8:85) bisa dinyatakan dengan

Z T

0W (u) dW (u) = lim

n!1

2412W 2n �

1

2

n�1Xj=0

(Wj+1 �Wj)2

35 (8.87)

=1

2W (T )2 � lim

n!11

2

n�1Xj=0

(Wj+1 �Wj)2 (8.88)

=1

2W (T )2 � 1

2[W;W ] (T ) (8.89)

=1

2W (T )2 � 1

2T: (8.90)

Kuliah ke 9

Rumus Ito

9.1 Rumus Ito

Deret Taylor untuk nilai fungsi f di sekitar xk dapat diaproksimasi dengan

f (xk+1) = f (xk) + f0 (xk) (xk � xk+1) +

1

2f 00 (xk) (xk+1 � xk) (9.1)

Bila xx =W (tk) maka akan didapat

f (W (tk+1)) = f (W (tk)) + f0 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]+ (9.2)

1

2f 00 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]

2 (9.3)

atau

f (W (tk+1))� f (W (tk)) = f0 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]+ (9.4)

1

2f 00 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]

2 (9.5)

Misal � = ft0; t1; � � � ; tng adalah partisi dari [0; t]

f (W (T ))� f (W (0)) =

n�1Xk=0

[f (W (tk+1))� f (W (tk))] (9.6)

=n�1Xk=0

f 0 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]+ (9.7)

1

2

n�1Xk=0

f 00 (W (tk)) [W (tk+1 �W (tk))]2 (9.8)

Untuk k�k ! 0

f (W (T ))� f (W (0)) =

Z t

0f 0 (W (u)) dW (u) +

1

2

Z t

0f 00 (W (u)) (dW (u))2 (9.9)

=

Z t

0f 0 (W (u)) dW (u) +

1

2

Z t

0f 00 (W (u)) dt (9.10)

57

58 Kuliah ke 9. Rumus Ito

Sehingga rumus Ito dalam bentuk integral dapat dinyatakan dengan

f (W (T )) = f (W (0)) +

Z t

0f 0 (W (u)) dW (u) +

1

2

Z t

0f 00 (W (t)) dt (9.11)

Sedangkan Ito�s formula dalam bentuk diferensial dapat dinyatakan dengan

df (W (t)) = f 0 (W (t)) dW (t) +1

2f 00 (W (t)) dt (9.12)

Berbagai variasi dari rumus Ito dapat dikenali dari bentuk fungsi f:

� Bila fungsinya berbentuk f (t;W (t)) maka rumus Ito-nya adalah

df (t;W (t)) = ftdt+ fWdW (t) +1

2fWWdt (9.13)

� Bila fungsinya berbentuk f (t;X) dengan X mengikuti

dX = �dt+ �dW (9.14)

maka rumus Ito-nya adalah

df (t;X) = ftdt+ fXdX +1

2fXXdt (9.15)

= ftdt+ fX [�dt+ �dW ] +1

2fXXdt (9.16)

=

�ft + �fX +

1

2fXX

�dt+ �fXdW (9.17)

� Bila fungsinya berbentuk f (t;W1 (t) ;W2 (t)) dengan dW1 (t) dW2 (t) = 0 makarumus Ito-nya adalah

df (t;W1 (t) ;W2 (t)) = ftdt+ fW1dW1 + fW2dW2+ (9.18)1

2[fW1W1dW1dW1 + 2fW1W2dW1dW2 + fW1W2dW1dW2]

(9.19)

� Bila fungsinya berbentuk f (t;X1; X2) dengan

dX1 = �1dt+ �11dW1 + �12dW2 (9.20)

dX2 = �2dt+ �21dW1 + �22dW2 (9.21)

maka rumus Ito-nya adalah

df (t;X1; X2) = ftdt+ fX1dX1 + fX2dX2+ (9.22)1

2[fX1X1dX1dX1 + 2fX1X2dX1dX2 + fX2X2dX2dX2] (9.23)

= ftdt+ fX1 [�1dt+ �11dW1 + �12dW2] + (9.24)

fX2 [�2dt+ �21dW1 + �22dW2] + (9.25)1

2

hfX1X1 (�1dt+ �11dW1 + �12dW2)

2+ (9.26)

fX1X2 (�1dt+ �11dW1 + �12dW2) (�2dt+ �21dW1 + �22dW2)+

fX2X2 (�2dt+ �21dW1 + �22dW2)2i

(9.27)

9.2. Geometric Brownian motion 59

9.2 Geometric Brownian motion

Harga saham pada saat t; yaitu S (t) ; dikatakan mengikuti geometric Brownian motionbila dapat dinyatakan dengan

S (t) = S (0) : exp

��W (t) +

�� 1

2�2�t

�(9.28)

� dan � adalah konstanta dengan � > 0: Dengan penggunaan rumus Ito, maka geometricBrownian motion dalam bentuk diferensial dapat dinyatakan dengan

d (S (t)) = S (t)

�� 1

2�2�dt+ S (t)�dW (t) + S (t)

1

2�2dt (9.29)

= �S (t) dt+ �S (t) dW (t) (9.30)

Sedangkan geometric Browniam motion dalam bentuk integral adalah

S (t) = S (0) +

Z t

0�S (u) du+

Z t

0�S (u) dW (u) (9.31)

Integral yang pertama adalah integral Riemann sedangkan integral yang kedua adalahintegral Ito. Quadratic variation dari S (t) hanya tergantung pada integral Ito-nya, yaitu

dS (t) dS (t) = �2S (t)2 dt: (9.32)

Kuliah ke 10

Teorema Girsanov

10.1 Teorema Girsanov

Teorema Girsanov sangat penting untuk digunakan agar bisa pindah dari suatu ukuranprobabilitas ke ukuran probabilitas lainnya.

Teorema 10.1 (Teorema Girsanov) Misal W (t), 0 � t � T adalah suatu Brownianmotion di suatu ruang probabilitas (;F ;P) dan misalkan fF (t)g adalah �ltrasi yangdibangkitkan oleh Brownian motion. Misalkan pula � (t), 0 � t � T adalah suatu prosesyang teradaptasi oleh �ltrasi fF (t)g. Untuk 0 � t � T de�nisikan ~W (t) dengan

~W (t) =W (t) +

Z t

0� (u) du (10.1)

dan de�nisikan ~P melalui~P (A) =

ZAZ (T ) dP (10.2)

dengan Z (t) dide�nisikan oleh

Z (t) = exp

��Z t

0� (u) dW (u)� 1

2

Z t

0� (u)2 du

�: (10.3)

Di bawah ~P , proses ~W (t) ; 0 � t � T adalah suatu Brownian motion.

Catatan 10.2 Berikut ini beberapa sifat yang ditimbulkan oleh Z (t)

1. Z (t) adalah suatu martingale. Dengan rumus Ito akan didapat

dZ (t) = �� (t)Z (t) dW (t) +1

2� (t)2 Z (t) dt� 1

2� (t)2 Z (t) dt (10.4)

= �� (t)Z (t) dW (t) (10.5)

atau ditulis dalam bentuk integral Ito

Z (t)� Z (0) = �Z t

0� (u)Z (u) dW (u) (10.6)

Karena integral Ito adalah suatu martingale maka Z (t) adalah suatu martingalepula.

60

10.1. Teorema Girsanov 61

2. ~P adalah suatu ukuran probabilitas

3. ~EX = E [Z (T ) :X] ; karena untuk X = IA 8A 2 F maka

~EX =

ZIA d ~P (10.7)

= ~P (A) (10.8)

=

ZAZ (T ) dP (10.9)

=

ZZ (T ) :IA dP (10.10)

= E [Z (T ) :X] ; (10.11)

kemudian gunakan hasil bahwa setiap variabel acak dapat diaproksimasi dengansuatu variabel acak sederhana.

4. Bila � konstan

Z (T ) = exp

��W (T )� 1

2�2T

�(10.12)

~W (T ) = �T +W (T ) (10.13)

Di bawah P; W (T ) � N (0; T ) ; sehingga ~W (T ) � N (�T; T ) :

5. Perubahan uuran probabilitas dari P ke ~P akan menghilangkan drift dari ~W (T )

~E�~W (T )

�= E (Z (T ) (�T +W (T ))) (10.14)

= E

�f�T +W (T )g exp

��W (T )� 1

2�2T

��(10.15)

=1p2�T

Z 1

�1(�T + w) exp

��w � 1

2�2T

�exp

��W

2

2T

�dw

=1p2�T

Z 1

�1(�T + w) exp

(�(w + �T )

2

2T

)dw (10.16)

=1p2�T

Z 1

�1y exp

�� y

2

2T

�dy (10.17)

= 0: (10.18)

Perubahan ukuran probabilitas dari P ke ~P telah menghilangkan drift dari ~W (T )

sehingga di bawah ~P ; ~W (T ) � N (0; T ) sedangkan di bawah P; ~W (T ) � N (�T; T ) :

Lemma 10.3 Misal 0 � t � T: Bila X adalah F (t)-measurable maka~E (X) = E (X:Z (t)) (10.19)

Bukti

~E (X) = E [XZ (T )] (10.20)

= E [E [XZ (T ) jF (t)]] (10.21)

= E [XE [Z (T ) jF (t)]] (10.22)

= E [XZ (t)] (10.23)

62 Kuliah ke 10. Teorema Girsanov

Lemma 10.4 (aturan Bayes) Bila X adalah F (t)-measurable dan 0 � s � t � T

maka~E (XjF (s)) = 1

Z (s)E (XZ (t) jF (s)) (10.24)

Bukti Z (s) adalah F (s)-measurable. Demikian pula E (XZ (t) jF (s)) adalah F (s)-measurable sehingga 1

Z(s)E (XZ (t) jF (s)) adalah F (s)-measurable pula.Untuk 8A 2 F (s) berlakuZ

A

1

Z (s)E (XZ (t) jF (s)) d ~P = ~E

�IA

1

Z (s)E [XZ (t) jF (s)]

�(10.25)

= E

�IAZ (s)

1

Z (s)E [XZ (t) jF (s)]

�(10.26)

= E [E [IAXZ (t) jF (s)]] (10.27)

= E [IAXZ (t)] (10.28)

= ~E [IAX] (10.29)

=

ZAXd ~P (10.30)

Lemma 10.5 (sifat martingale) ~Eh~W (t) jF (s)

i= ~W (s) 0 � s � t � T

Bukti Pertama-tama akan diperlihatkan bahwa ~W (t)Z (t) adalah suatu martingale dibawah P dengan pemanfaatan hasil dari rumus Ito untuk multidimensi

d�~WZ�= ~WdZ + Zd ~W + d ~WdZ (10.31)

Selanjutnya substitusikan (10:1) dalam bentuk di¤erential d ~W (t) = � (t) dt+dW (t) dan(10:5) ke dalam (10:31)

d�~WZ�= � ~W�ZdW + Z�dt+ ZdW � �Zdt (10.32)

= (�W�Z + Z) dW (10.33)

Persamaan ini bisa dituliskan dalam bentuk integral Ito

~W (t)Z (t) =

Z t

0

�� ~W (u) � (u)Z (u) + Z (u)

�dW (u) (10.34)

Sehingga dapat disimpulkan bahwa ~W (t)Z (t) adalah suatu martingale karena integralIto adalah suatu martingale.

Sifat ini akan dipakai untuk memperlihatkan hasil berikut

~Eh~W (t) jF (s)

i=

1

Z (s)Eh~W (t)Z (t) jF (s)

i(10.35)

=1

Z (s)~W (s)Z (s) (10.36)

= ~W (s) (10.37)

10.2. Risk-Neutral measure 63

Persamaan (10:2) dipakai untuk membangun ukuran probabilitas ~P bila diketahuiukuran probabilitas P: Demikian pula sebaliknya, bila diketahui ~P maka bisa dibangunukuran probabilitas P dengan penggunaan hasil dari Lemma di atas bahwa bila Xadalah F (t)-measurable maka ~EX = E [XZ (t)] : Bila A 2 F (t) maka ~X = IAX adalahF (t)-measurable sehingga

~E ~X = Eh~XZ (t)

i(10.38)

~E [IAX] = E [IAXZ (t)] (10.39)ZAXd ~P =

ZAXZ (t) dP (10.40)

Bila t = T dan X = 1Z(T ) maka didapatZ

A

1

Z (T )d ~P =

ZAdP = P (A) (10.41)

Jadi P bisa diperoleh dari ~P

P (A) =

ZA

1

Z (T )d ~P (10.42)

demikian pula sebaliknya

~P (A) =

ZAZ (T ) dP (10.43)

10.2 Risk-Neutral measure

Misal W (t) ; 0 � t � T adalah Brownian motion dan F (t) ; 0 � t � T adalah �ltrasiyang dibangkitkan oleh Brownian motion. Berikut ini beberapa proses yang akan dipakaiuntuk membangun pengertian risk-neutral measure:

� Stock price process

Stock price process S (t) memenuhi persamaan diferensial stokastik:

dS (t) = � (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t) (10.44)

Dari persamaan (10:44) ini terlihat bahwa S (t) bukanmartingale terhadap �ltrasi fF (t)gkarena ada faktor � (t)S (t) dt:

� Interest rate process

Interest rate process r (t) ; 0 � t � T adalah suatu proses yang teradaptasi terhadapfF (t)g :

� Wealth process

64 Kuliah ke 10. Teorema Girsanov

Mulai dengan X (0) = x dan 4 (t) menyatakan jumlah saham yang dimiliki padasaat t; wealth process X (t) dapat diungkapkan dengan

dX (t) = 4 (t) dS (t) + r (t) (X (t)�4 (t)S (t)) dt (10.45)

Faktor pertama di ruas kanan menyatakan capital gain dari saham sedangkan faktor ke-dua menyatakan kenaikkan pendapatan dari bunga. Persamaan (10:45) memperlihatkanbahwa X (t) bukanlah martingale terhadap �ltrasi fF (t)g :

Persamaan (10:45) dapat dituliskan dalam bentuk

dX (t) = r (t)X (t) dt+4 (t) [dS (t)� r (t)S (t) dt] (10.46)

= r (t)X (t) dt+4 (t) [� (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t)� r (t)S (t) dt] (10.47)

= r (t)X (t) dt+4 (t) [(� (t)� r (t))S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t)] (10.48)

= r (t)X (t) dt+4 (t)� (t)S (t)�� (t)� r (t)

� (t)

�dt+ dW (t)

�(10.49)

= r (t)X (t) dt+4 (t)� (t)S (t) [� (t) dt+ dW (t)] (10.50)

dengan � (t) menyatakan market price of risk

� (t) =� (t)� r (t)

� (t)(10.51)

Bila diasumsikandW (t) = � (t) dt+ dW (t) (10.52)

maka persamaan (10:50) dapat dinyatakan dengan

dX (t) = r (t)X (t) dt+4 (t)� (t)S (t) dW (t) (10.53)

sedangkan persamaan (10:44) dapat dinyatakan dengan

dS (t) = � (t)S (t) dt+ � (t)S (t) [dW (t)� � (t) dt] (10.54)

= � (t)S (t) dt� � (t) � (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t) (10.55)

= [� (t)� � (t) � (t)]S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t) (10.56)

= r (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t) (10.57)

Dari persamaan (10:53) dan (10:57) ternyata S (t) dan W (t) bukan pula martingale dibawah ~P :

Jadi S (t) dan X (t) bukan martingale di bawah P maupun di bawah ~P : Uraian dibawah akan memperlihatkan bahwa proses yang terdiskonto S� (t) dan ~X (t)

~S (t) =S (t)

� (t)(10.58)

~X (t) =X (t)

� (t)(10.59)

adalah martingale di bawah ~P ; dengan � (t) menyatakan faktor akumulasi

� (t) = eR t0 r(u)du (10.60)

10.2. Risk-Neutral measure 65

dan � (t)�1 = 1=� (t) menyatakan faktor diskonto

� (t)�1 =1

� (t)= e�

R t0 r(u)du (10.61)

Bentuk diferensial dari � (t) adalah

d� (t) = � (t) r (t) dt (10.62)

sedangkan bentuk diferensial dari � (t)�1 adalah

d� (t)�1 = �� (t)�1 r (t) dt (10.63)

Bentuk diferensial dari ~S (t) adalah

d ~S (t) = d

�S (t)

� (t)

�(10.64)

= � (t)�1 dS (t) + S (t) d� (t)�1 (10.65)

= � (t)�1 [r (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dW (t)] + S (t)h�� (t)�1 r (t) dt

i(10.66)

= � (t)�1 S (t)� (t) dW (t) (10.67)

=S (t)

� (t)� (t) dW (t) (10.68)

= � (t)S� (t) dW (t) (10.69)

Karena � (t) ~S (t) adalah adapted process to the �ltration F (t) maka dari persamaan(10:69) dapat dilihat bahwa discounted stock price process ~S (t) = S (t) =� (t) adalahsuatu martingale di bawah ~P :

Bentuk diferensial dari discounted wealth process ~X (t) adalah

d ~X (t) = d

�X (t)

� (t)

�(10.70)

= � (t)�1 dX (t) +X (t) d� (t)�1 (10.71)

= � (t)�1 [r (t)X (t) dt+4 (t)� (t)S (t) dW (t)] +X (t)h�� (t)�1 r (t) dt

i(10.72)

= � (t)�14 (t)� (t)S (t) dW (t) (10.73)

=S (t)

� (t)4 (t)� (t) dW (t) (10.74)

= 4 (t)� (t)S� (t) dW (t) (10.75)

Karena 4 (t)� (t)S� (t) adalah adapted process to the �ltration F (t) maka dari per-samaan (10:75) dapat dilihat bahwa discounted wealth process ~X (t) = X (t) =� (t) adalahsuatu martingale di bawah ~P :

Kuliah ke 11

Teorema Representasi Martingale

Pada bab ini akan dipelajari suau teorema yang akan berguna untuk memperlihatkaneksistensi dari suatu heging portfolio.

Teorema 11.1 (Teorema representasi martingale) Misal W (t) ; 0 � t � T adalahsutau Brownian motion di (;F ; P ) : Misal X (t) ; 0 � t � T adalah suatu martingale(di bawah P ) relatif terhadap �ltrasi.fF (t)g yang dibangkitkan oleh W (t). Maka adasuatu proses � (t) ; 0 � t � T yang teradapsi terhadap �ltrasi fF (t)g sehingga

X (t) = X (0) +

Z t

0� (s) dW (s) ; 0 � t � T (11.1)

atau ditulis dalam bentuk diferensial

dX (t) = � (t) dW (t) (11.2)

Catatan 11.2 Ingat bahwa bila X (t) adalah proses yang memenuhi persamaan (11:2)maka X (t) adalah martingale.

Teorema ini menyatakan bahwa bila X (t) adalah suatu proses yang martingale danteradaptasi terhadap �ltrasi yang dibangkitkan oleh W (t) (dengan kata lain, W (t)

adalah satu-satunya sumber keacakan bagi X (t)) maka X (t) memenuhi

dX (t) = � (t) dW (t) (11.3)

untuk suatu � (t) :Teorema ini dapat dipakai untuk memperlihatkan eksistensi suatu hedging portfolio

�(t) ; 0 � t � T:Dengan portfolio process �(t) ; 0 � t � T ini dari bab sebelumnya telah diketahui

bahwa the wealth process X (t) ; 0 � t � T dapat dinyatakan dengan

d

�X (t)

� (t)

�= �(t)� (t)

S (t)

� (t)dW (t) (11.4)

atauX (t)

� (t)= X (0) +

Z t

0�(s)� (s)

S (s)

� (s)dW (s) ; 0 � t � T (11.5)

66

67

Misal V (T ) adalah suatu variabel acak yang F (T )-measurable dan meyatakan nilaidari suatu contingent claim pada saat T: Akan dipilih suatu portfolio process �(t) ;0 � t � T dan X (0) sehingga

X (T ) = V (T ) (11.6)

De�nisikan

Y (t) = ~E

�V (T )

� (T )

��F (t)� ; 0 � t � T (11.7)

Y (t) adalah ~P -martingale sehingga menurut teorema representasi martingale ada suatuadapted process (t) ; 0 � t � T sehingga

Y (t) = Y (0) +

Z t

0 (s) dW (s) ; 0 � t � T (11.8)

Dengan pembandingan persamaan (11:5) dan (11:8) maka dapat diilih

X (0) = Y (0) = ~E

�V (T )

� (T )

�(11.9)

dan �(s) sehingga

�(s)� (s)S (s)

� (s)= (s) (11.10)

Dengan pilihan-pilihan ini maka

X (t)

� (t)= Y (t) = ~E

�V (T )

� (T )

��F (t)� ; 0 � t � T (11.11)

Khususnya pada saat T; persamaan (11:11) menjadi

X (T )

� (T )= ~E

�V (T )

� (T )

��F (T )� (11.12)

=V (T )

� (T )(11.13)

atauX (T ) = V (T ) (11.14)

Jadi portfolio process �(t) ; 0 � t � T adalah suatu hegding portfolio.Rumus risk-neutral pricing pun dapat pula diturunkan dari (11:11) :

X (t)

� (t)= ~E

�V (T )

� (T )

��F (t)� (11.15)

=1

Z (t)E

�Z (T )

� (T )V (T )

��F (t)� (11.16)

X (t) =1

Z� (t)E [Z� (T )V (T )j F (t)] (11.17)

dengan

Z� (t) =Z (t)

� (t)(11.18)

= exp

��Z t

0� (s) dW (s)�

Z t

0

�r (s) +

1

2�2 (s)

�ds

�(11.19)

Kuliah ke 12

Rumus Black-Scholes

12.1 Pendahuluan

Ada banyak cara untuk mendapatkan rumus Black-Scholes. Pada bab ini akan dipela-jari berbagai cara mendapatkan rumus Black-Scholes dengan metoda yang berbeda-beda.Tujuannya agar pembaca bisa mempunyai wawasan yang luas tentang berbagai metodamatematika yang bisa dipergunakan di dalam matematika keuangan. Cara kesatu meng-gunakan asumsi bahwa harga saham berdistribusi lognormal. Cara kedua menggunakanpersaman diferensial parsial. Cara ketiga menggunakan risk-neutral pricing.

12.2 Cara pertama

Ini adalah cara yang paling sederhana yang bisa dilakukan untuk mendapatkan rumusBlack-Scholes. Dengan metoda ini pemahaman tentang �nance sangat minim. Namundemikian cara ini memuat perhitungan yang kelak akan diulang-ulang dipakai di metodalain. Cara ini hanya mengandalkan dua buah asumsi.

Misal harga saham pada saat T dinyatakan dengan S (T ) dan diasumsikan bahwa

1: X = ln (S (T ) =S (0)) � N(�T; �2T ) (12.1)

2: S (0) = e�rTE (S (T )) (12.2)

Dari asumsi pertama, pdf untuk X dapat dituliskan dengan (lihat apeendiks lognormal):

f(x) =1

�p2�T

exp

(�12

�x� �T�pT

�2)

Sedangkan pdf untuk ST dapat diperoleh dengan menggunakan tehnik transformasipeubah acak melalui pdf X dengan jJ j =

�� dXdS(T )

�� = �� 1S(T )

�� = 1S(T ) ;

f(s (T )) =1

s (T )�p2�T

exp

(�12

�ln(s (T ) =s (0))� �T

�pT

�2)(12.3)

Expected asset E [ST ] dapat diturunkan dengan memanfaatkan persamaan (12.1),

68

12.2. Cara pertama 69

yaitu

E [S (T ) =S (0)] = Eheln(S(T )=S(0))

i= E

�eX�

= e�T+12�2T =)

E [S (T )] = S (0) e�T+12�2T

Dari asumsi kedua pada persamaan (12.2) dapat diperoleh

S (0) = e�rTE [S (T )]

= e�rTS (0) e�T+12�2T

S (0) = S (0) e�rT + �T + 12�2T =)

1 = e�rT + �T + 12�2T =) �rT + �T +

1

2�2T = 0

) � = r � 12�2 (12.4)

Dengan demikian pdf untuk ST dari persamaan (12.3) dapat dituliskan dengan:

f(s (T )) =1

s (T )�p2�T

exp

8<:�12 ln(s (T ) =s (0))�

�r � 1

2�2�T

�pT

!29=; (12.5)

Pdf inilah yang akan digunakan untuk menurunkan harga call option C, yaitu rumusBlack � Scholes

C = e�rTE [maks (S (T )�K) ; 0] (12.6)

= e�rTZ 1

0maks (s (T )�K; 0) f (s (T )) ds (T ) (12.7)

= e�rTZ K

0maks (s (T )�K; 0) f (s (T )) ds (T )+

e�rTZ 1

Kmaks (s (T )�K; 0) f (s (T )) ds (T ) (12.8)

= e�rT�Z K

00:f (s (T )) ds (T ) +

Z 1

K(s (T )�K) f (s (T )) ds (T )

�(12.9)

= e�rTZ 1

K(s (T )�K) f (s (T )) ds (T ) (12.10)

= e�rTZ 1

K

(s (T )�K)s (T )�

p2�T

exp

8<:�12 ln(s (T ) =s (0))�

�r � 1

2�2�T

�pT

!2 9=; ds (T )(12.11)

Integrasi ini dapat diselesaikan dengan transformasi variabel

z =ln(sT =S0)�

�r � 1

2�2�T

�pT

=) (12.12)

sT = S0ez�pT+(r� 1

2�2)T (12.13)

dz

ds (T )=

1

s (T )�pT=) dz =

ds (T )

s (T )�pT

70 Kuliah ke 12. Rumus Black-Scholes

Batas bawah integrasi untuk s (T ) ; yaituK, diubah menjadi batas bawah integrasi untukz menjadi A :

A =ln(K=S (0))�

�r � 1

2�2�T

�pT

Dengan transformasi z ini maka C di (12:11) dapat dinyatakan dengan:

C = e�rT1p2�

Z 1

A

hS0e

z�pT+(r� 1

2�2)T �K

ie�

12z2dz (12.14)

=1p2�

Z 1

AS0e

z�pT� 1

2�2T� 1

2z2dz � Ke

�rTp2�

Z 1

Ae�

12z2dz (12.15)

=S0p2�

Z 1

Ae�

12(z��

pT)

2

dz �Ke�rTN(�A) (12.16)

=S0p2�

Z 1

A��pTe�

12u2du bila dimisalkan u = z � �

pT (12.17)

= S0N��A+ �

pT��Ke�rTN(�A) (12.18)

Bila dimisalkan d1 = �A + �pT dan d2 = �A = d1 � �

pT maka persamaan (12.18)

dapat dinyatakan dengan

C = S0N (d1)�KerTN(d2) dengan (12.19)

d1 = �A+ �pT (12.20)

= �ln(K=S0)�

�r � 1

2�2�T

�pT

+ �pT

=ln(S0=K) +

�r + 1

2�2�T

�pT

(12.21)

d2 = d1� �pT (12.22)

=ln(S0=K) +

�r + 1

2�2�T

�pT

� �pT

=ln(S0=K) +

�r � 1

2�2�T

�pT

(12.23)

12.3 Cara kedua

Cara ini akan menggunakan persamaan diferensial parsial untuk mendapatkan rumusBlack-Scholes. Barangkali inilah cara mendapatkan rumus Black-Scholes yang palingpopuler. Untuk itu akan dibahas ringkasan pembicaraan yang sudah dijelaskan sebelum-nya.

12.3.1 Brownian Motion

Suatu stochastic process fW (t)g1t=0 disebut standard Brownian motion bila memenuhipersyaratan berikut

1. W (0) = 0

12.3. Cara kedua 71

2. W (t) kontinu terhadap t

3. Bila 0 = t0 < t1 < t2 < � � � < tn dan

Y1 =W (t1)�W (t0) (12.24)

Y2 =W (t2)�W (t1) (12.25)... (12.26)

Yn =W (tn)�W (tn�1) (12.27)

maka

(a) Y1; Y2; � � � ; Yn saling bebas dan berdistribusi normal dengan(b) E (Yj) = 0 8j(c) var (Yj) = tj � tj�1 8j:

12.3.2 Ito�s Lemma

Bila fungsi f(t;W (t)) merupakan fungsi dari t yang deterministik dan Brownian MotionW (t) yang stokastik, maka didapat:

df =@f

@tdt+

@f

@WdW +

1

2

@2f

@W 2dWdW (12.28)

12.3.3 Geometric Brownion Motion

Bila harga saham di waktu S (t) dimodelkan dengan Geometric Brownian Motion makadapat dituliskan dengan

S (t) = S (0) e�W (t)+(�� 12�2)t (12.29)

Dengan penggunaan Ito�s Lemma, S (t) yang dimodelkan dengan Geometric Brown-ian Motion dapat dituliskan dengan:

dS (t) = �S (t) dt+ �S (t) dW (t) (12.30)

12.3.4 Financial portfolio

Misal seorang investor mempunyai kekayaan awal sebesar X (0) dan tiap saat t ia mem-punyai investasi dalam bentuk kepemilikan saham sebanyak �(t) lembar dengan hargaS (t) per lembar. Untuk membiayai investasi ini sang investor meminjam (bila X (0) <�(t) :S (t)) atau menyimpan uang (bila X (0) > �(t) :S (t)) dengan bunga r per tahun.Bila X (t) menyatakan kekayaan sang investor pada saat t maka wealth process dari in-vestor tersebut dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari pertumbuhan (penyusutan)nilai saham dan pertumbuhan tabungan (hutang)

dXt = �(t) dS (t) + r [X (t)��(t)S (t)] dt (12.31)

= �(t) [�S (t) dt+ �S (t) dW (t)] + r [X (t)��(t)S (t)] dt (12.32)

= [rX (t) + � (t)S (t) (�� r)] dt+�(t)S (t)�dW (t) : (12.33)


12.3.5 Value of an option

Misal V (t; S (t)) menyatakan nilai option pada saat t bila harga sahamnya S (t) : Biladinyatakan dalam bentuk diferensial maka dapat dituliskan dalam bentuk

dV (S (t) ; t) =@V

@tdt+

@V

@S (t)dS (t) +

1

2

@2V

@S (t)2dS (t) dS (t) (12.34)

=@V

@tdt+

@V

@S (t)(�S (t) dt+ �S (t) dWt) +

1

2

@2V

@S (t)2(�S (t) dt+ �S (t) dWt)

2

(12.35)

=

�@V

@t+ �S (t)

@V

@S (t)+1

2�2S (t)2

@2V

@S (t)2

�dt+ �S (t)

@V

@S (t)dWt

(12.36)

12.3.6 Replicating Portfolio

Portfolio yang akan memagari option dimulai dengan kekayaan awal sebesar X0 dandinvestasikan dalam bentuk saham dan tabungan (pinjaman) sehingga tiap saat t nilaikekayaan Xt dapat menutup V (S (t) ; t): Untuk memastikan bahwa Xt = V (S (t) ; t)

untuk tiap t, koe�sien pada masing-masing diferensialnya disamakan. Dari koe�siendWt diperoleh

�t =@V

@S (t)(12.37)

sedangkan dari koe�sien dt diperoleh

@V

@t+ �S (t)

@V

@S (t)+1

2�2S (t)2

@2V

@S2t= rXt +�tS (t) (�� r) = rV + S (t) (�� r)

@V

@S (t)(12.38)

yang dapat dituliskan lagi menjadi the Black-Scholes partial di¤erential equation:

@V (S (t) ; t)

@t+ rS (t)

@V (S (t) ; t)

@S (t)+1

2�2S (t)2

@2V (S (t) ; t)

@S (t)2= rV (S (t) ; t) (12.39)

yang memenuhi terminal condition untuk suatu call option dengan exercise price K danexercise date T

V (S (T ) ; T ) = max (S (T )�K; 0) (12.40)

Jadi bila sang investor memulai kekayaannya dengan X (0) = V (S (0) ; 0) dan meng-gunakan alat pemagaran �t =

@V (S(t);t)@S(t) maka ia akan mempunyai kekayaan yang tepat

bisa menutup nilai option, yaitu Xt = V (S (t) ; t) untuk tiap t dan khususnya pada saatjatuh tempo berlaku hubungan X (T ) = V (S (T ) ; T ) yang menjadi terminal condition.

12.3.7 Solusi

Tugas kita sekarang adalah mencari solusi V yang memenuhi persamaan (12.39) dan(12.40). Langkah untuk memperoleh solusi V adalah:

12.3. Cara kedua 73

1. Melakukan serangkaian transformasi pada (12.39) sehingga akhirnya akan didapatpersamaan difusi (di¤usion equation):

@u

@t=@2u

@x2; �1 < x <1; t > 0 (12.41)

dengan initial conditionu(x; 0) = f(x) (12.42)

2. Bila persamaan difusi (12.41) dan initial condition (12.42) sudah didapat, langkahselanjutnya adalah berupa pencarian solusi u(x; t) yang memenuhi (12.41) dan(12.42) dengan pemanfaatan Fourier Integral.

3. Penggabungan langkah pertama dan kedua akan menghasilkan solusi yang beruparumus Black-Scholes.

Langkah pertama

Langkah pertama dimulai dengan (12.39) dan (12.42) melalui transformasi yang terdiridari 2 tahap. Tahap pertama transformasinya berupa

S (t) = K:ex (12.43)

t = T � t�

12�

2(12.44)

V (S (t) ; t) = K:C(x; t�) (12.45)

Dari transformasi ini diperoleh

@V

@t=@

@tKC(x; t�) = K

@C(x; t�)

@t�@t�

@t(12.46)

= K@C(x; t�)

@t�

��12�2�

(12.47)

= �12�2K

@C(x; t�)

@t�(12.48)

@V

@S (t)=@

@xKC(x; t�) = K

@C(x; t�)

@x

@x

@S (t)(12.49)

= K@C(x; t�)

@x

1

Kex(12.50)

= e�x@C(x; t�)

@x(12.51)

@2V

@S (t)2=

@

@S (t)

�e�x

@C(x; t�)

@x

�=@

@x

�e�x

@C(x; t�)

@x

�@x

@S (t)(12.52)

=

��e�x@C(x; t

�)

@x+ e�x

@2C(x; t�)

@x2

�e�x

K(12.53)

Bila hasil-hasil ini disubstitusikan ke (12.39) maka akan diperoleh persamaan diferensialparsial linier

@C(x; t�)

@t�� @C(x; t

�)

@x� (k � 1)@

2C(x; t�)

@x2+ kC(x; t�) = 0 (12.54)


dengank =

r12�

2: (12.55)

Final condition (12.40) untuk backward equation (12.39)

V (S (T ) ; T ) = max(S (T )�K; 0) = max(Kex �K; 0) (12.56)

= Kmax(ex � 1; 0) (12.57)

berubah menjadi initial condition untuk forward equation (12.54) dengan pertimbanganbahwa hubungan berikut bisa diperoleh melalui (12:44) dan (12:45)

V (S (T ) ; T ) = KC(x; 0): (12.58)

Dari (12:57) dan (12:58) diperoleh initial condition untuk (12:54)

C(x; 0) = max(ex � 1; 0): (12.59)

Hasil dari transformasi pada tahap pertama, yaitu (12.54) dengan initial condition(12.59), akan diubah lagi dengan transformasi tahap kedua agar didapat persamaandifusi (12.41) dengan initial condition (12.59). Hal ini dilakukan dengan penggunaantransformasi

C(x; t�) = a:u(x; t�) (12.60)

a = e�12(k�1)x� 1

4(k+1)2t� (12.61)

Dari transformasi ini akan diperoleh

@C

@t�=@(a:u(x; t�))

@t�(12.62)

= �14(k + 1)2:a:u(x:t�) + a

@u

@t�(12.63)

@C

@x=@(a:u(x; t�))

@x(12.64)

= �12(k � 1):a:u(x; t�) + a@u

@x(12.65)

@2C

@x2=@

@x

��12(k � 1):a:u(x; t�) + a@u

@x

�(12.66)

=1

4(k � 1)2:a:u(x; t�)� 1

2(k � 1):a:@u(x; t

�)

@x(12.67)

� 12(k � 1):a:@u

@x+ a

@2u

@x2(12.68)

Bila hasil-hasil ini disubstitusikan ke dalam persamaan (12.54) maka akan diperolehpersamaan difusi

@u(x; t�)

@t�=@2u(x; t�)

@x2(12.69)

dengan initial conditionC(x; 0) = e�

12(k�1)xu(x; 0)

12.3. Cara kedua 75

atau

u(x; 0) = e12(k�1)xC(x; 0) (12.70)

= e12(k�1)xmax(ex � 1; 0) (12.71)

= max(e12(k+1)x � e

12(k�1)x; 0): (12.72)

Langkah kedua

Pada langkah kedua ini akan dipergunakan konsep integral fourier agar didapat solusiuntuk persamaan difusi.

Integral Fourier. Bila f(x) adalah suatu fungsi kontinu yang mempunyai turunan kiridan turunan kanan di tiap titik dan bila

R1�1 jf(x)j dx ada maka f(x) dapat dinyatakan

dengan suatu Fourier Integral

f(x) =

1Z0

[A(p) cos(px) +B(p) sin(px)] dp (12.73)

A(p) =1

�

1Z�1

f(v) cos(pv)dv (12.74)

B(p) =1

�

1Z�1

f(v) sin(pv)dv (12.75)

Persamaan difusi. Berikut ini akan dicari solusi u (x; t) yang memenuhi persamaandifusi (di¤usion equation)

@u

@t=@2u

@x2; �1 < x <1; t > 0 (12.76)

dengan initial conditionu(x; 0) = f(x): (12.77)

Mula-mula dimisalkanu(x; t) = F (x)G(t) (12.78)

sehingga bisa didapat

@u

@t= F

@G

@t(12.79)

@2u

@x2= G

@2F

@x2(12.80)

dan persamaan (12.76) dapat dituliskan dengan

F@G

@t= G

@2F

@x2

atau1

G

@G

@t=1

F

@2F

@x2(12.81)


Perhatikan bahwa perubahan t hanya mengubah ruas kiri dari (12.81) tanpa men-gubah ruas kanannya, sedangkan perubuahan x hanya mengubah ruas kanan dari (12.81)tanpa mengubah ruas kirinya. Karena itu bisa diklaim bahwa persamaan (12.81) bernilaitetap sebesar k sehingga (12.81) bisa dituliskan dengan

1

G

@G

@t=1

F

@2F

@x2= k (12.82)

Bila diambil nilai k yang negatif, misalnya k = �p2; maka (12:82) dapat dinyatakandengan

1

G

@G

@t=1

F

@2F

@x2= �p2: (12.83)

Dari (12:83) akan didapat dua buah persamaan diferensial linier orde satu dan orde dua

@G

@t+ p2G = 0 (12.84)

dan@2F

@x2+ p2F = 0: (12.85)

Solusi untuk persamaan (12.84) adalah

G (t) = e�p2t (12.86)

sedangkan solusi untuk (12.85) adalah

F (x) = A cos(px) +B sin(px) (12.87)

Dari (12:86) dan (12:87) akan didapat solusi untuk (12.76), yaitu

u(x; t; p) = F (x)G (t) (12.88)

= (A cos(px) +B sin(px)) e�p2t (12.89)

Karena A dan B nilainya sembarang maka dapat dipilih A (p) dan B (p) yang merupakanfungsi dari p: Adapun konstanta k = �p2 haruslah negatif agar nilai u(x; t) konvergenke 0 untuk t!1: Sehingga (12.89) dapat ditulis lagi menjadi

u(x; t; p) = (A(p) cos(px) +B(p) sin(px)) e�p2t (12.90)

Solusi yang diberikan oleh (12.90) berlaku untuk tiap p yang bernilai antara 0 sam-pai 1: Demikian pula superposisi (penjumlahan) solusi dari berbagai nilai p ini tetapmerupakan solusi. Sehingga untuk p antara 0 sampai 1 didapat solusi untuk (12.76)yang berupa

u(x; t) =

1Z0

(A(p) cos(px) +B(p) sin(px)) e�p2tdp (12.91)

Dengan pertimbangan initial condition (12.77) maka A(b) dan B(p) dapat ditentukandengan cara melihat (12.91) untuk t = 0 sebagai Integral Fourier (12:73)

f(x) = u(x; 0) (12.92)

=

1Z0

(A(p) cos(px) +B(p) sin(px)) dp (12.93)

12.3. Cara kedua 77

sehingga A(p) dan B(p) dapat dinyatakan dengan (12:74) dan (12:75)

A(p) =1

�

1Z�1

f(v) cos(pv)dv (12.94)

B(p) =1

�

1Z�1

f(v) sin(pv)dv (12.95)

Bila kedua hasil ini disubstitusikan ke (12.91) akan diperoleh solusi

u(x; t) =1

�

1Z0

0@ 1Z�1

f(v) cos(pv) cos(px)dv +

1Z�1

f(v) sin(pv) sin(px)dv

1A e�p2tdp(12.96)

=1

�

1Z0

1Z�1

f(v) (cos(pv) cos(px) + sin(pv) sin(px)) e�p2tdvdp (12.97)

=1

�

1Z0

1Z�1

f(v) (cos(pv � px))e�p2tdvdp (12.98)

=1

�

1Z�1

f(v)

1Z0

(cos p(v � x))e�p2tdpdv (12.99)

Untuk penghitunganR10 cos p(v � x)e�p2tdp dari (12.99) akan digunakan hasil yang

menyatakan bahwa Z 1

0(cos 2bx)e�s

2ds =

p�

2e�b

2: (12.100)

Untuk itu digunakan transformasi

p2t = s2 atau s = ppt (12.101)

dan

2bs = p(v � x) atau b = (x� v)2pt

(12.102)

sehingga diperoleh Z 1

0cos p(v � x)e�p2tdp = 1p

t

Z 1

0(cos 2bx)e�s

2ds (12.103)

=

p�

2pte�b

2(12.104)

=

p�

2pte�

(x�v)24t (12.105)


Dengan demikian persamaan (12.99) dapat dituliskan lagi dengan

u(x; t) =1

�

1Z�1

f(v)

1Z0

(cos p(v � x))e�p2tdpdv (12.106)

=1

2p�t

1Z�1

f(v)e�(x�v)24t dv (12.107)

dengan f (v) dide�nisikan melalui (12:92)

f(v) = u (v; 0) : (12.108)

Langkah ketiga

Solusi untuk persamaan difusi (12:69) dengan initial condition (12:72) diberikan oleh(12:107)

u(x; t) =1

2p�t

1Z�1

f(v)e�14t(x�v)2dv (12.109)

dengan f (v) diberikan oleh (12:108) dan (12:72) ; yaitu

f (v) = u (v; 0) (12.110)

= max(e12(k+1)v � e

12(k�1)v; 0): (12.111)

Bila (12:111) disubstitusikan ke (12:109) maka akan diperoleh

u(x; t) =1

2p�t

1Z�1

f(v)e�14t(x�v)2dv (12.112)

=1

2p�t

1Z�1

max(e12(k+1)v � e

12(k�1)v; 0)e�

14t(x�v)2dv (12.113)

=1

2p�t

1Z0

�e12(k+1)v � e

12(k�1)v

�e�

14t(x�v)2dv (12.114)

=1

2p�t

1Z0

e12(k+1)ve�

14t(x�v)2dv� (12.115)

1

2p�t

1Z0

e12(k�1)ve�

14t(x�v)2dv (12.116)

= I1 � I2: (12.117)

12.3. Cara kedua 79

dengan

I1 =1

2p�t

1Z0

e12(k+1)ve�

14t(x�v)2dv (12.118)

=1

2p�t

1Z0

e[12(k+1)v� 1

4t(x�v)2]dv (12.119)

I2 =1

2p�t

1Z0

e12(k�1)ve�

14t(x�v)2dv (12.120)

=1

2p�t

1Z0

e[12(k�1)v� 1

4t(x�v)2]dv: (12.121)

Akan dicari dulu penyelesaian untuk I1 dengan penyederhanaan eksponen dari inte-grandnya

1

2(k + 1)v � 1

4t(x� v)2 = 2t (k + 1) v � v2 + 2vx� x2

4t(12.122)

=�v2 + 2 (x+ t (k + 1)) v � x2

4t(12.123)

=� [v � (x+ t (k + 1))]2 + [x+ t (k + 1)]2 � x2

4t(12.124)

=� [v � (x+ t (k + 1))]2 + 2xt (k + 1) + t2 (k + 1)2

4t(12.125)

= �12

�v � (x+ t (k + 1))p

2t

�2+2x (k + 1) + t (k + 1)2

4:

(12.126)

Penyederhanaan eksponen ini akan mengakibatkan I1 bisa dituliskan dengan

I1 =1

2p�t

1Z0

e[12(k+1)v� 1

4t(x�v)2]dv (12.127)

=1

2p�t

1Z0

e� 12

hv�(x+t(k+1))p

2t

i2+2x(k+1)+t(k+1)2

4 dv (12.128)

=1

2p�te2x(k+1)+t(k+1)2

4

1Z0

e� 12

hv�(x+t(k+1))p

2t

i2dv: (12.129)

Misalkan

z =v � (x+ t (k + 1))p

2t(12.130)

sehingga

dz =1p2tdv =) dv =

p2tdz (12.131)


dan I1 menjadi

I1 =1

2p�te2x(k+1)+t(k+1)2

4

1Za

e�12z2p2tdz (12.132)

= e2x(k+1)+t(k+1)2

41p2�

1Za

e�12z2dz (12.133)

= e2x(k+1)+t(k+1)2

4 N (�a) (12.134)

= e2x(k+1)+t(k+1)2

4 N (d1) (12.135)

dengan

a =� (x+ t (k + 1))p

2t(12.136)

d1 = �a (12.137)

=x+ t (k + 1)p

2t: (12.138)

Dengan langkah yang serupa bisa diperoleh I2

I2 = e2x(k�1)+t(k�1)2

4 N (d2) (12.139)

dengan

d2 =x+ t (k � 1)p

2t: (12.140)

Sehingga dari (12:117) ; (12:135) dan (12:139) akan diperoleh

u (x; t) = I1 � I2 (12.141)

= e2x(k+1)+t(k+1)2

4 N (d1)� e2x(k�1)+t(k�1)2

4 N (d2) : (12.142)

Bila (12:142) disubstitusikan ke (12:60) maka akan diperoleh

C(x; t) = e�12(k�1)x� 1

4(k+1)2t:u(x; t) (12.143)

= e�12(k�1)x� 1

4(k+1)2t

�e2x(k+1)+t(k+1)2

4 N (d1)� e2x(k�1)+t(k�1)2

4 N (d2)

�(12.144)

= exN (d1)� e�ktN (d2) : (12.145)

dan dengan memanfaatkan (12:43)� (12:45) dan (12:55)

S (t) = K:ex (12.146)

t = T � t�

12�

2(12.147)

V (S (t) ; t) = K:C(x; t�) (12.148)

k =r12�

2(12.149)

12.4. Cara ketiga 81

maka akan diperoleh the Black-Scholes formula

V (S (t) ; t) = K:C(x; t�) (12.150)

= K:exN (d1)� e�kt�N (d2) (12.151)

= S (t)N (d1)� e� r

12�

212�2(T�t)

N (d2) (12.152)

= S (t)N (d1)� er(T�t)N (d2) (12.153)

dengan

d1 =x+ t (k + 1)p

2t(12.154)

=log (S (t) =K) + 1

2�2 (T � t)

�r12�2+ 1�

q212�

2 (T � t)(12.155)

=log (S (t) =K) +

�r + 1

2�2�(T � t)

�p(T � t)

(12.156)

d2 =x+ t (k � 1)p

2t(12.157)

=log (S (t) =K) + 1

2�2 (T � t)

�r12�2� 1�

q212�

2 (T � t)(12.158)

=log (S (t) =K) +

�r � 1

2�2�(T � t)

�p(T � t)

: (12.159)

12.4 Cara ketiga

Cara ketiga ini disebut risk-neutral pricing atau disebut pula martigale approach. Iniadalah cara modern untuk mendapatkan rumus Black-Scholes. Perhatikan bahwa padacara ketiga ini tidak dipergunakan persamaan diferensial parsial sama sekali. Sebagianbesar isi buku ini ditulis untuk memberi fasilitas agar cara ketiga ini bisa difahami denganbaik.

Dari bab sebelumnya telah didapat bahwa risk-neutral pricing untuk suatu Europeancall option dengan exercise price K yang jatuh tempo pada saat T dapat dinyatakandengan

X (0) = ~E

�V

� (T )

�(12.160)

=1

� (T )~E [V ] (12.161)

=1

� (T )~E [maks fS (T )�K; 0g] (12.162)

=1

� (T )~E�(S (T )�K)+

�(12.163)


Untuk menghitung (12:163) dibutuhkan pengetahuan tentang distribusi S (T ) di bawah~P : Berikut ini langkah-langkah untuk mencari distribusi S (T ) di bawah ~P : Dari (:::)

d ~S = � ~S (t) d ~W (t) (12.164)

Di lain pihak, dari

~S (t) =S (t)

� (t)= S (t)� (t)�1 (12.165)

� (t) = ert (12.166)

didapat

d ~S (t) = � (t)�1 dS (t)� S (t) d� (t)�1 (12.167)

= � (t)�1 dS (t)� rS (t)� (t)�1 dt (12.168)

Dari (12:164) dan (12:168) didapat

� ~S (t) d ~W (t) = � (t)�1 dS (t)� S (t) d� (t)�1 (12.169)

�S (t)� (t)�1 d ~W (t) = � (t)�1 dS (t)� rS (t)� (t)�1 dt (12.170)

dS (t) = rS (t) dt+ �S (t) d ~W (t) (12.171)

Dari (12:171) dan (� � � ) didapat

S (t) = S0e(r� 1

2�2t)+� ~W (t) (12.172)

Pada saat jatuh tempo harga saham menjadi

S (T ) = S0e(r� 1

2�2T)+� ~W (T ) (12.173)

S (T )

S0= e(r�

12�2T)+� ~W (T ) (12.174)

ln

�S (T )

S0

�=

�r � 1

2�2T

�+ � ~W (T ) (12.175)

Karena ~W (T ) � N (0; T ) dan bila dimisalkan

Y = ln

�S (T )

S0

�(12.176)

maka Y � N��r � 1

2�2T�; �2T

�dengan pdf-nya

f (y) =1

�p2�T

exp

24�12

y �

�r � 1

2�2T�

�pT

!235 (12.177)

Dengan tehnik transformasi variabel acak, pdf untuk S (T ) didapat dengan men-substitusikan y dari (12:176) ke (12:177) dan mengalikan dengan determinan Jacobian

12.5. Cara keempat 83

jJ j

jJ j =�� @Y

@S (T )

�� (12.178)

=

�� S (0)S (T )

1

S (T )

�� (12.179)

=

�� 1

S (T )

�� (12.180)

=1

S (T )(12.181)

yaitu

f (s (T )) =1

�p2�T

exp

24�12

y �

�r � 1

2�2T�

�pT

!235 jJ j (12.182)

=1

s (T )�p2�T

exp

24�12

ln (s (T ) =S0)�

�r � 1

2�2T�

�pT

!235 (12.183)

Jadi (12:183) adalah pdf untuk S (T ) di bawah ~P yang akan diapakai untuk menghi-tung (12:163)

X (0) =1

� (T )~E�(S (T )�K)+

�(12.184)

= e�rT ~E [maks (S (T )�K; 0)] (12.185)

= e�rTZ 1

0maks (s (T )�K; 0) f (s (T )) ds (T ) (12.186)

= e�rTZ 1

K(s (T )�K) f (s (T )) ds (T ) (12.187)

= e�rT1ZK

[s (T )�K]s (T )�

p2�T

exp

264�12

0@ ln�s(T )s(0)

��r � 1

2�2T�

�pT

1A2375 ds (T ) (12.188)

Persamaan (12:188) serupa dengan (12:11) sehingga langkah selanjutnya untuk men-dapatkan rumus Black-Scholes (12:19) akan serupa pula.

12.5 Cara keempat

Pada pembahasan sebelumnya telah dimodelkan penentuan harga saham dengan modelbinomial. Pada model ini untuk setiap perioda harga saham bisa naik dengan faktor adan bisa turun dengan faktor b: Pada saat sekarang harga saham sebesar S0. Bila M

menyatakan pergerakah harga saham naik ke atas dan B menyatakan pergerakan hargasaham turun ke bawah maka harga saham pada akhir periode 1 adalah salah satu dariberikut ini

S1(M) = aS0 (12.189)

S1(B) = bS0: (12.190)


Sedangkan harga saham untuk akhir periode ke 2 adalah salah satu dari hal berikut

S2 (MM) = aS1(M) = a2S0 (12.191)

S2 (MB) = bS1(M) = baS0 (12.192)

S2 (BM) = aS1(B) = abS0 (12.193)

S2 (BB) = bS1(B) = b2S0: (12.194)

Misalkan pada money market berlaku tingkat suku bunga sebesar r per periode yangmemenuhi

b < 1 + r < a (12.195)

yang boleh pula diungkapkan dengan

b < er < a: (12.196)

Nilai European call option pada akhir periode 1 dengan exercise price K dide�nisikanoleh

V1(!) = (S0(!)�K)+ = maxfS1(!)�K; 0g; ! 2 fM;Bg

dengan masing-masing kemungkinan nilainya adalah

V1(M) = max f(aS0 �K); 0g (12.197)

V1(B) = max f(bS0 �K); 0g : (12.198)

Dari hasil ini dapat ditentukan harga European call option pada saat sekarang V0 melaluipenggunaan prinsip replicating portfolio

V0 = e�r [epV1(M) + eqV1(B)] (12.199)

dengan (~p; eq) menyatakan risk-neutral probability measure atau martingale probabilitymeasure dan dide�nisikan oleh

~p =er � ba� b (12.200)

eq = a� era� b : (12.201)

Tentu saja probability measure (~p; eq) ini hanya berlaku untuk penggambaran pergerakanharga saham di risk-neutral world dan tidak berlaku di real world.

Dengan prosedur yang serupa dapat diperoleh nilai option di akhir periode 1 untukmodel Binomial dengan 2 periode

V1(M) = e�r [epV2(MM) + eqV2(MB)] (12.202)

V1(B) = e�r [epV2(BM) + eqV2(BB)] (12.203)


sehingga nilai call option sekarang (12:199) dapat dinyatakan dengan

V0 = e�r [epV1(M) + eqV1(B)] (12.204)

= e�r�ep �e�r [epV2(MM) + eqV2(MB)]�+ eq �e�r [epV2(BM) + eqV2(BB)]�� (12.205)

= e�2r�ep2V2(MM) + epeqV2(MB) + epeqV2(BM) + eq2V2(BB)� (12.206)

= e�2r�ep2max fS2 (MM)�K; 0g+ epeqmax fS2(MB)�K; 0g + (12.207)epeqmax fS2(BM)�K; 0g+ eq2max fS2(BB)�K; 0g� (12.208)

= e�2r�ep2max�a2S0 �K; 0+ epeqmax fabS0 �K; 0g + (12.209)epeqmax fabS0 �K; 0g+ eqmax�b2S0 �K; 0� (12.210)

= e�2r�ep2max�a2S0 �K; 0+ 2epeqmax fabS0 �K; 0g+ eq2max�b2S0 �K; 0� :

(12.211)

Persamaani (12:211) dapat disederhanakan penulisannya menjadi

V0 = e�2r

24 2Xj=0

2

j

! epjeq2�j max�ajb2�jS0 �K; 035 : (12.212)

Hasil ini (12:212) dapat diperluas untuk model Binomial dengan 3 periode sehinggaharga European call option pada saat sekarang adalah

V0 = e�3r

24 3Xj=0

3

j

! epjeq3�j max�ajb3�jS0 �K; 035 : (12.213)

Secara umum untuk model Binomial dengan n periode akan diperoleh

V0 = e�nr

24 nXj=0

n

j

! epjeqn�j max�ajbn�jS0 �K; 035 : (12.214)

Variabel acak j pada persamaan (12:214) menyatakan jumlah M dari n Bernoulli exper-iment dengan peluang menghasilkan M adalah ep dan peluang menghasilkan B adalaheq:

Harga call option (12:214) dapat diurai menjadi dua buah penjumlahan

V0 = e�nr

24k�1Xj=0

n

j

! epjeqn�j max�ajbn�jS0 �K; 0 +nXj=k

n

j

! epjeqn�j max�ajbn�jS0 �K; 035 (12.215)

dengan k menyatakan jumlah M yang akan menghasilkan

akbn�kS0 �K > 0 (12.216)

sehingganXj=k

n

j

! epjeqn�j (12.217)


dapat ditafsirkan sebagai peluang call option akan berakhir in-the-money di dalam risk-neutral world sehingga porsi dari call option yang akan berakhir out-of-the-money mem-berikan hasil 24 nX

j=k�1

n

j

! epjeqn�j max�ajbn�jS0 �K; 0 = 0 (12.218)

dan (12:215) akan menjadi

V0 = e�nr

nXj=k

n

j

! epjeqn�j max�ajbn�jS0 �K; 0 (12.219)

= e�nrnXj=k

n

j

! epjeqn�j �ajbn�jS0 �K� (12.220)

= e�nrS0

nXj=k

n

j

! epjeqn�jajbn�j � e�nrK nXj=k

n

j

! epjeqn�j (12.221)

= S0

nXj=k

n

j

!�e�repa�j �e�reqb�n�j � e�nrK nX

j=k

n

j

! epjeqn�j (12.222)

= S0

nXj=k

n

j

!(p�)j (q�)n�j � e�nrK

nXj=k

n

j

! epjeqn�j (12.223)

dengan

p� = e�repa (12.224)

q� = e�reqb: (12.225)

12.5.1 Cox-Ross-Rubinstein Model

Hasil-hasil yang diperoleh sampai dengan persamaan (12:223) akan dipergunakan sebgaimetode untuk penghitungan harga suatu European call option yang jatuh tempo dalamT tahun dengan exercise price K, harga saham pada saat sekarang S (0) = S0 danrisk-free anual interest rate r:

Langkah yang mula-mula akan dilakukan adalah pembuatan partisi untuk selang[0; T ]

0 = t0 < t1 < t2 < � � � < tn�1 < tn = T (12.226)

dengan

�t = tj � tj�1; 8j = 1; 2; 3; � � � ; n (12.227)

sehingga didapat

�t =T

n: (12.228)

Dengan kata lain selang waktu [0; T ] akan dipecah menjadi n buah anak selang masing-masing selebar �t = T=n: Tiap anak selang ini akan diperlakukan sebagai satu periodeseperti yang dimaksud pada pembahasan model binomial diatas.


Bila pergerakan harga saham mengikuti model Binomial dengan faktor kenaikkanharga a dan faktor penurunan harga b pada tiap anak selang yang memenuhi

b < er�t < a (12.229)

maka harga saham pada saat jatuh tempo adalah

ST = Stn = ajbn�jS0: (12.230)

Variabel j pada persamaan (12:230) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah M(kenaikkan harga saham) dalam n Bernoulli experiments dengan peluang mendapatkanM untuk tiap selang waktu �t dalam risk-neutral world adalah ~p: Dengan kata lainvariabel acak j berdistribusi Binomial dengan parameter n dan ~p: Mean dan variansidari j adalah

E (j) = n~p (12.231)

V ar (j) = n~p~q: (12.232)

Dengan ketentuan-ketentuan yang telah digariskan ini maka penentuan harga calloption dapat dilakukan dengan sedikit modi�kasi persamaan (12:223)

V0 = S0

nXj=k

n

j

!(p�)j (q�)n�j � e�nr�tK

nXj=k

n

j

! epjeqn�j (12.233)

= S0

nXj=k

n

j

!(p�)j (q�)n�j �Ke�rT

nXj=k

n

j

! epjeqn�j (12.234)

dengan

~p =er�t � ba� b ; ~q =

a� er�ta� b (12.235)

p� = e�r�tepa; q� = e�r�teqb: (12.236)

Selanjutnya Cox, Ross dan Rubinstein memilih nilai a dan b sedemikian rupa se-hingga

a = e��t (12.237)

b = e�r�t (12.238)

dengan � adalah volatilitas tahunan dari harga saham. Ide dari pemilihan a dan b yangdemikian adalah bahwa kalau n ! 1 (atau �t ! 0) maka harga call option (12:234)dari model Binomial bisa dibuktikan akan menjadi rumus Black-Scholes

V0 = S0N (d1)�Ke�rTN(d2) (12.239)

dengan

d1 =ln(S0=K) +

�r + 1

2�2�T

�pT

(12.240)

d2 =ln(S0=K) +

�r � 1

2�2�T

�pT

: (12.241)


Dengan kata lain penentuan harga option melalui model Binomial dapat dipergunakansebagai aproksimasi dari rumus Black-Scholes. Tentu saja hasil ini harus dibuktikan danmemang akan dibuktikan disini dengan pemanfaatan the Central Limit Theorem.

Dengan pembandingan bentuk rumus antara (12:234) dan (12:239) maka langkahselanjutnya tinggal pembuktian melalui Central Limit Theorem bahwa untuk n ! 1atau �t! 0 akan diperoleh

N (d1) =nXj=k

n

j

!(p�)j (q�)n�j (12.242)

N (d2) =nXj=k

n

j

! epjeqn�j : (12.243)

Akan dibuktikan dulu (12:243) dan dengan prosedur yang serupa bisa dibuktikan (12:242) :Ruas kanan dari (12:243) tidak lain adalah P (j � k)

nXj=k

n

j

! epjeqn�j = P (j � k) : (12.244)

Bila dilakukan transformasi variabel acak

z =j � E (j)pV ar (j)

(12.245)

=j � neppnepeq (12.246)

maka menurut Central Limit Theorem untuk n!1 variabel acak z berdistribusi normalbaku N (0; 1) sehingga (12:244) dapat dinyatakan dengan

P (j � k) = P z � k � nepp

nepeq!: (12.247)

Hasil ini bisa disederhanakan dengan pemanfaatan (12:216)

akbn�kS0 �K > 0 (12.248)

atau �ab

�k>K

S0b�n (12.249)

yang menghasilkan

k >ln�KS0

�� n ln (b)

ln�ab

� (12.250)

>ln�KS0

�� n ln

�e��

p�t�

ln�e2�

p�t� (12.251)

>ln�KS0

�+ n�

p�t

2�p�t

: (12.252)


Bila (12:252) digabung dengan (12:247) hasilnya adalah

P (j � k) = P z � k � nepp

nepeq!

(12.253)

= P

0BB@z �ln�KS0

�+n�

p�t

2�p�t

� neppnepeq

1CCA (12.254)

= P

0@z � ln�KS0

�+ n�

p�t� 2�nepp�t

2�p�tpnepeq

1A (12.255)

= P

0@z � ln�KS0

�+ n�

p�t (1� 2ep)

2�pn�tepeq

1A (12.256)

= p

0@z � ln�KS0

�+ T�p

�t(1� 2ep)

2�pT epeq

1A : (12.257)

Mula-mula akan dihitung dulu

lim�t!0

T�p�t(1� 2ep) (12.258)

lalu dihitung

lim�t!0

2�pT epeq: (12.259)

Untuk itu substitusikan

~p =er�t � ba� b (12.260)

=er�t � e��

p�t

e�p�t � e��

p�t

(12.261)

ke dalam (12:258)

lim�t!0

T�p�t(1� 2ep) (12.262)

= lim�t!0

T�p�t

1� 2 e

r�t � e��p�t

e�p�t � e��

p�t

!(12.263)

= lim�t!0

T�p�t

24e�p�t � e��p�t � 2�er�t � e��

p�t�

e�p�t � e��

p�t

35 (12.264)

= lim�t!0

T�

24e�p�t � 2er�t + e��p�tp�t�e�p�t � e��

p�t�35 (12.265)


dengan penggunaan L�Hopital�s rule didapat

lim�t!0

T�p�t(1� 2ep) (12.266)

= lim�t!0

T�

24 12 (�t)

�1=2 �e�p�t � 2rer�t � 1

2 (�t)�1=2 �e��

p�t

12 (�t)

�1=2�e�p�t � e��

p�t�+p�t�12 (�t)

�1=2 �e�p�t + 1

2 (�t)�1=2 �e��

p�t�35

= lim�t!0

T�

24 �e�p�t � 4r

p�ter�t � �e��

p�t

e�p�t � e��

p�t +

p�t��e�

p�t + �e��

p�t�35 (12.267)

penggunaan L�Hopital�s rule sekali lagi akan didapat

lim�t!0

T�p�t(1� 2ep) (12.268)

= lim�t!0

T�

24 �2e�p�t � 4rer�t � 8r�ter�t + �2e��

p�t

�e�p�t + �e��

p�t +

��e�

p�t + �e��

p�t�+p�t�12�e

�p�t � 1

2�e��p�t�35

= T�

��4r + 2�2

4�

�(12.269)

= ��r � 1

2�2�T: (12.270)

Sekarang tinggal penghitungan (12:259). Untuk itu akan dihitung dulu

lim�t!0

~p = lim�t!0

er�t � e��p�t

e�p�t � e��

p�t

(12.271)

yang dengan L�Hopital�s rule akan diperoleh

lim�t!0

~p = lim�t!0

rer�t + 12� (�t)

�1=2 e��p�t

12� (�)

�1=2 e�p�t + 1

2� (�)�1=2 e��

p�t

(12.272)

= lim�t!0

rer�t�t+ �e��p�t

�e�p�t + �e��

p�t

(12.273)

=1

2: (12.274)

Sehingga (12:259) nlilainya

lim�t!0

2�pT epeq = �pT : (12.275)

Hasil yang diperoleh dari (12:270) dan (12:275) dapat dipergunakan untuk menghi-


tung (12:257) untuk �t! 0 agar the central limit theorem bisa dipergunakan

P (j � k) = p

24z � ln�KS0

�+ T�p

�t(1� 2ep)

2�pT epeq

35 (12.276)

= P

24z � ln�KS0

��r � 1

2�2�T

2�pT

35 (12.277)

= N

24� ln�KS0

��r � 1

2�2�T

2�pT

35 (12.278)

= N

"ln�S0K

�+�r � 1

2�2�T

2�pT

#(12.279)

= N (d2) (12.280)

dengan N (d2) seperti yang dimaksud oleh persamaan (12:243) : Dengan cara yang serupabisa pula dibuktikan bahwa N (d1) pada persamaan (12:242) akan berlaku.

Dengan demikian lengkaplah sudah pembuktian bahwa harga call option yang be-rangkat model Binomial (12:234) akhirnya bisa menjadi rumus Black-Scholes (12:239)bila n!1 atau�t! 0: Dalam praktek melalui penghitungan dengan komputer, untukn = 256 rumus (12:234) atau (12:220) sudah cukup baik sebagai aproksimasi bagi rumusBlack-Scholes (12:239) :

Kuliah ke 13

Proses Gauss

13.1 De�nisi proses Gauss

Suatu proses Gauss, X (t) ; t � 0 adalah suatu proses sotkastik dengan sifat bahwa untuk0 � t1 � t2 � � � � tn maka X (t1) ; X (t2) ; � � � ; X (tn) berdistribusi normal multivariatedengan pdf gabungan

f (x (t1) ; x (t2) ; � � � ; x (tn)) = (2�)�n=2 : j�j�12 exp

��12(x�m (t))��1 (x�m (t))0

�(13.1)

dengan � adalah matriks variansi-kovariansi

� = (� (ti; tj)) i; j = 1; 2; � � � ; n (13.2)

� (ti; tj) = E [X (ti)� E (X (ti))] [X (tj)� E (X (tj))] (13.3)

dan m (t) adalah moment pertama dari X (t)

m (t) = E (X (t)) =

0B@ E (X (t1))...

E (X (tn))

1CA (13.4)

X (t) =

0B@ X (t1)...

X (tn)

1CA (13.5)

Teorema 13.1 Misal B (t) adalah suatu gerak Brown dan � (t) adalah fungsi non acak

maka

X (t) =

Z t

0� (u) dB (u) (13.6)

adalah suatu proses Gauss dengan

m (t) = 0 (13.7)

� (ti; tj) =

Z ti^tj

0� (u)2 du (13.8)

92

13.1. De�nisi proses Gauss 93

Teorema 13.2 Misal B (t) adalah suatu gerak Brown dan � (t) serta h (u) adalah fungsi

non acak. De�nisikan

X (t) =

Z t

0� (u) dB (u) (13.9)

Y (t) =

Z t

0h (u)X (u) du (13.10)

Maka Y adalah suatu proses Gauss dengan

my (t) = 0 (13.11)

�Y (ti; tj) =

Z ti^tj

0� (u)2

�Z t

vh (y) dy

��Z t

vh (y) dy

�dv (13.12)

Kuliah ke 14

Obligasi

14.1 Pendahuluan

Pada bab ini kita akan mempelajari tentang penentuan harga obligasi. Obligasi adalahsurat berharga yang diterbitkan oleh perusahaan atau pemerintah sebagai surat hutang.Pemegang surat berharga pada saat jatuh tempo akan menerima sejumlah uang yangdisebut face value.

14.2 Pemodelan

Misal fB (t)g 0 � t � T adalah suatu gerak Brown di (;F ; P ) : Misalkan pula hargasaham memenuhi persamaan diferensial stokastik

dS (t) = r (t)S (t) dt+ � (t)S (t) dB (t) (14.1)

dengan r (t) dan � (t) adalah adapted processes. Dimislkan kita telah menggunakan Psebagai risk-neutral measure sehingga setiap martingale di bawah P dapat dinyatakansebagai suatu integral terhadap B (t) :

De�nisikan faktor akumulasi � (t) dengan

� (t) = eR t0 r(u)du (14.2)

Misal P (t; T ) menyatakan nilai dari suatu obligasi pada saat t yang akan jatuh tempopada saat T dengan face value pada saat T sebesar Rp1,-. Dengan demikian P (T; T ) = 1:

Menurut risk-neutral pricing

P (t; T )

� (t)= ~E

�1

� (T )jF (t)

�(14.3)

P (t; T ) = � (t) ~E

�1

� (T )jF (t)

�(14.4)

= ~E

�� (t)

� (T )jF (t)

�(14.5)

= ~E

�exp

��Z T

tr (u) du

�jF (t)

�(14.6)

94

14.2. Pemodelan 95

Nilai saat ini dari suatu obligasi yang jatuh tempo pada saat T adalah

P (0; T ) = ~E

�1

� (T )

�(14.7)

Perhatikan persamaan (14:4). Bagian dari persaman itu, yaitu ~Eh

1�(T ) jF (t)

iadalah

suatu martingale di bawah P: Menurut teorema representasi martingale, ada suatuadapted process (u) sedemikian rupa sehingga dengan menggunakan (14:7) didapat

~E

�1

� (T )jF (t)

�= ~E

�1

� (T )jF (0)

�+

Z t

0 (u) dB (u) (14.8)

= ~E

�1

� (T )

�+

Z t

0 (u) dB (u) (14.9)

= P (0; T ) +

Z t

0 (u) dB (u) (14.10)

Karena itu persamaan (14:4) dapat dituliskan dengan

P (t; T ) = � (t)

�P (0; T ) +

Z t

0 (u) dB (u)

�(14.11)

Bila dipandang persamaan (14:7) sebagai fungsi f (t; B (t)) maka penggunaan rumus Itoakan menghasilkan

dP (t; T ) = ftdt+ fBdB +1

2fBBdt (14.12)

= r (t)P (t; T ) dt+ � (t) (t) dB (t) +1

2:0:dt (14.13)

= r (t)P (t; T ) dt+ � (t) (t) dB (t) (14.14)

Sekarang konstruksikan suatu portfolio yang terdiri dari saham dan tabungan. Bilakekayaan semula adalah X (0) maka perubahan dari nilai kekayaan pada saat t yangdiakibatkan dari pembentukan portfolio adalah

dX (t) = � (t) dSt+ r (t) [X (t)��(t)S (t)] (14.15)

= r (t)X (t) + � (t) [dS (t)� r (t)S (t) dt] (14.16)

Dengan menggunakan asumsi (14:1) maka persamaan (14:16) bisa diubah menjadi

dX (t) = r (t)X (t) + � (t)� (t)S (t) dB (t) (14.17)

Bila diambil

�(t) =� (t) (t)

� (t)S (t)(14.18)

maka persamaan (14:16) menjadi

dX (t) = r (t)X (t) + � (t) (t) dB (t) (14.19)

yang bentuknya mirip dengan persamaan (14:14) : Karena itu dapat disimpulkan bahwa

X (t) = P (t; T ) (14.20)

96 Kuliah ke 14. Obligasi

danX (T ) = P (T; T ) = 1 (14.21)

Bila r (t) adalah nonrandom 8t; maka

P (t; T ) = e�R Tt r(u)du (14.22)

dP (t; T ) = r (t)P (t; T ) dt (14.23)

dan dengan membandingkannya dengan persamaan (14:14) maka dapat disimpulkanbahwa (u) = 0 8u; artinya portfolio yang dibentuk hanyalah berupa tabungan, tidakada sahamnya. Sehingga bila pada saat t kita mempunyai P (t; T ) dan ditabung makapada saat T tabungan kita akan menjadi

P (t; T ) exp

�Z T

tr (u) du

�= 1 (14.24)

14.3 Model Hull-White

Misal r (t) dpat dimodelkan dengan persamaan diferensial stokastik

dr (t) = [� (t)� � (t) r (t)] r (t) dt+ � (t) dB (t) (14.25)

dengan � (t) ; � (t) dan � (t) adalah fungsi t yang non acak.Misal

K (t) =

Z t

0� (u) du (14.26)

Untuk mendapatkan solusi dari (14:25) ; misalkan

Y = eK(t)r (t) (14.27)

dan dengan menggunakan (14:25) didapat

dY = d�eK(t)r (t)

�(14.28)

= eK(t) [� (t) r (t) dt+ dr (t)] (14.29)

= eK(t) [� (t) dt+ � (t) dB (t)] (14.30)

Dalam bentuk integral, persamaan terakhir dapat ditulis dengan

eK(t)r (t) = r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du+

Z t

0eK(u)� (u) dB (u) (14.31)

Dari persamaan (14:31) solusi dari r (t) bisa didapat

r (t) = e�K(t)�r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du+

Z t

0eK(u)� (u) dB (u)

�(14.32)

Menurut Teorema 13:1; persamaan (14:31)memperlihatkan bahwa r (t) adalah prosesGauss dengan

mr (t) = e�K(t)

�r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du

�(14.33)

�r (ti; tj) = e�K(ti)�K(tj)

Z ti^tj

ve2K(u)� (u)2 du (14.34)

14.3. Model Hull-White 97

Akan dipelajari sifatR T0 r (t) dt dengan pertolongan pemisalan

X (t) =

Z t

0eK(u)� (u) dB (u) (14.35)

Y (t) =

Z T

0e�K(t)X (t) dt (14.36)

Dengan pemisalan ini persamaan (14:31) dapat ditulis dengan

r (t) = e�K(t)�r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du

�+ e�K(t)X (t) (14.37)

dan bentuk integralnya

Z T

0r (t) dt =

Z t

0e�K(t)

�r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du

�dt+ Y (T ) � normal (14.38)

Jadi

Z T

0r (t) dt � Normal, dengan (14.39)

mean : (14.40)

E

�Z T

0r (t) dt

�=

Z t

0e�K(t)

�r (0) +

Z t

0eK(u)� (u) du

�dt (14.41)

variansi : (14.42)

var

�Z T

0r (t) dt

�= � (T; T ) = E

hY (T )2

i(14.43)

=

Z T

0e2K(v)� (v)2

�Z T

0e�K(y)dy

�2dv (14.44)

Dengan mengenali bentuk dari fungsi pembangkit momen untuk peubah acak berdis-

98 Kuliah ke 14. Obligasi

tribusi normal1 maka didapat

P (0; t) = Ehe�

R T0 r(t)dt

i(14.45)

= exp

��E

�Z T

0r (t) dt

�+ var

�Z T

0r (t) dt

��(14.46)

= exp

��r (0)

Z T

0e�K(t)dt�

Z T

0

Z t

0e�K(t)+K(u)� (u) dudt +

1

2

Z T

0e2K(v)� (v)2

�Z T

0e�K(y)dy

�2dv

#(14.47)

= exp [�r (0)C (0; T )�A (0; T )] dengan (14.48)

C (0; T ) =

Z T

0e�K(t)dt (14.49)

A (0; T ) =

Z T

0

Z t

0e�K(t)+K(u)� (u) dudt� 1

2

Z T

0e2K(v)� (v)2

�Z T

0e�K(y)dy

�2dv

(14.50)

=

Z T

0

Z T

ue�K(t)+K(u)� (u) dtdu� 1

2

Z T

0e2K(v)� (v)2

�Z T

0e�K(y)dy

�2dv

(14.51)

1Bila X � N��; �2

�maka fungsi pembangkit momen-nya adalah mY (t) = E

�etY

�= e(�t+

12�2t2)

Daftar Pustaka

[1] Bass, Richard F. (2001), Probability Theory, naskah, Department of Mathematics,University of Connecticut

[2] � �(2003), The Basic of Financial Mathematics, naskah, Department of Mathemat-ics, University of Connecticut.

[3] Brze�zniak, Zdzislaw dan Tamsz Zastawniak (1999), Basic Stochastic Process,Springer-Verlag.

[4] Capinski, Marek dan Ekkerhard Kopp (2003), Measure, Integral and Probability,Springer-Verlag.

[5] Hogg, R.V. dan A.T. Craig (1980), Introduction to Mathematical Statistics, Macmil-lan.

[6] Shreve, Steven E. (1996), Stochastic Calculus and Finance, naskah, Carnegie MellonUniversity.

[7] Williams, David (2001), Probability with Martingales, Cambridge University Press.

99

Indeks

, 14B (R), 16F-terukur, 22�-aljabar, 13�-aljabar Borel, 16� (X), 22� (C), 15

aljabar, 13almost surely (a.s), 21aproksimasi, 28atom, 22

Bernoullieksperimen, 1

Binomialmodel, 1pohon, 7

Borelterukur, 22

bungasuku, 2

call, 3convergence

dominated, 20, 27monotone, 20, 27

ekspektasibersyarat, 36

exercisedate, 3

�ltrasi, 15fungsiF-terukur, 22himpunan, 17indikator, 19, 26sederhana, 19, 26

fungsi himpunanaditif, 17terhitung, 17

hampir pasti, 21himpunan

Borel, 16kuasa, 14

integral, 26Lebesque, 19

intrinsict value, 3

jatuh tempo, 3

kebebasan�-aljabar, 32variabel acak, 33

kejadian, 14

martingales, 43

nilai intrinsik, 3

opsi, 3call, 3

optionEuropean call, 3

peluangbersyarat, 35

persamaan diferensial stokastik, 12portfolio replikasi, 3price

arbitrage, 5exercise, 3strike, 3

probabilityrisk-neutral, 5, 11

proses stokastik, 43

100

INDEKS 101

proses teradaptasi, 43

rata-rata parsial, 27replicating portfolio, 3ruang

probabilitas, 21sampel, 14terukur, 17ukuran, 18

Teorema Radon-Nikodym, 41titik sampel, 14tower property, 42

ukuran, 18Lebesque, 18probabilitas, 21

variabel acak, 22

catatan kuliah - personal.fmipa.itb.ac.id · 14 obligasi 94 14.1 pendahuluan ... contoh-contoh soal...

Documents