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Capıtulo 2

Algoritmos para la deteccion de

desequilibrios

Un sistema electrico trifasico esta equilibrado si las tensiones e intensidades de las tres

fases tienen el mismo valor eficaz y el desfase temporal entre cada par de ellas es de 120o.

La suma de las tres tensiones o intensidades de un sistema equilibrado es nula. Un sistema

electrico esta desequilibrado si no se cumple alguna de estas premisas.

El problema de que un sistema este desequilibrado es que este lleva asociado unas

perdidas de potencia. Es decir, un sistema desequilibrado presentara una cuota de perdidas

relacionadas con su grado de desequilibrio. Por tanto, cualquier desequilibrio produce un

funcionamiento ineficiente de los sistemas de transmision (normalmente muy cargados).

En [Gil10] se analizan las causas y efectos de los desequilibrios en sistema trifasicos de

cuatro hilos, y su relacion con las perdidas de potencia, proponiendo tecnicas para su

medida.

Este desequilibrio se puede producir por dos motivos: que la fuente trifasica de ten-

sion que alimenta al sistema no este equilibrada, o que las cargas del sistema no esten

conectados de manera simetrica a la red.

En cuanto a los sistemas de distribucion (a tensiones mas bajas), la alimentacion de

cargas monofasicas es una de las finalidades clave, de manera que tanto el sistema como

las cargas se disenan para soportar mejor los desequilibrios (las cargas monofasicas son

fuentes habituales de desequilibrios).

Este caso, en el que las cargas no estan equilibradas (cargas desbalanceadas) y con-

cretamente en la red de baja tension, es el que se trata en esta tesis. Como se ha dicho

antes, en baja tension, la red suele disenarse para que soporte ciertos desequilibrios, es

decir, el diseno esta dirigido a conformarse con ese desequilibrio y asumir las perdidas. En

alta tension, para grandes cargas, se suelen usar compensadores dinamicos que limitan

esos desequilibrios.

La pregunta que propone esta tesis es la siguiente: ¿hasta que punto serıa rentable

21

22 Capıtulo 2. Algoritmos para la deteccion de desequilibrios

compensar los desequilibrios en baja tension para evitar las perdidas extra en la red

de distribucion? Por lo tanto, se trata de calcular el desequilibrio en baja tension y, a

continuacion, compensarlo antes del transformador de distribucion (MT/BT) para que

este no se propague mas alla. En funcion de esto, se puede calcular y valorar las perdidas

asociadas directamente a este desequilibrio.

El objetivo de este capıtulo es ofrecer alternativas que permitan computar que in-

tensidades habrıa que inyectar en paralelo al sistema electrico para equilibrar un posible

desequilibrio. Mas adelante se propondran dos alternativas: una basada en el concepto

de componentes simetricas instantaneas y otra basada en un analisis frecuencial (DFT)

de las corrientes desequilibradas; sin embargo, existen otras alternativas. Por ejemplo, las

basadas en el computo de referencias propuesto en [AKN84], que utiliza la teorıa de las

potencias instantaneas. De forma adicional, en [MCG07], los autores comparan los dife-

rentes enfoques existentes a la hora de calcular las corrientes de compensacion para los

filtros activos.

2.1. Componentes simetricas

El analisis de circuitos trifasicos equilibrados donde todos los elementos del circuito son

simetricos y balanceados es relativamente sencillo mediante el equivalente monofasico del

circuito. Sin embargo, el analisis usando directamente las leyes de Kirchhoff de un sistema

desbalanceado es mucho mas complicado, ya no es valido aplicar la resolucion mediante

el equivalente monofasico. Lo ideal serıa poder trabajar solo con sistemas equilibrados.

En 1918, C.L. Fortescue presento en una reunion del “American Institute of Electrical

Engineers” un trabajo, [For18], que resultarıa ser una de las herramientas mas potentes

para el analisis de sistemas polifasicos desequilibrados. Fortescue presento el “metodo

de las componentes simetricas” que, en resumen, demostraba que cualquier sistema des-

equilibrado de n fases podrıa ser descompuesto en n sistemas equilibrados denominados

“componentes simetricas”. La aplicacion de este metodo a sistemas electricos trifasicos

demostro ser bastante util, ya que facilitaba enormemente los calculos.

El metodo de las componentes simetricas indica, por tanto, que un sistema trifasico

desequilibrado de intensidades es equivalente a la suma de tres sistemas trifasicos:

Un sistema trifasico equilibrado de secuencia directa o positiva, que tiene la misma

secuencia de fases que el sistema desequilibrado original.

Un sistema trifasico equilibrado de secuencia inversa o negativa, cuya secuencia de

fases es opuesta a la del sistema original.

2.1. COMPONENTES SIMETRICAS 23

Un sistema desequilibrado homopolar o de secuencia cero, en el que las tres fases

son iguales (en modulo e argumento) y giran de igual manera. Es facil deducir que

la suma de las 3 fases del sistema homopolar no es cero, salvo que el modulo de cada

fase sea cero.

La resolucion del sistema, aplicando el principio de superposicion de tres sistemas

trifasicos equilibrados, es mucho mas sencilla porque cada uno de ellos puede analizar-

se desde el punto de vista del sistema monofasico equivalente. La figura 2.1 representa

fısicamente la aplicacion del teorema de Fortescue a un sistema electrico trifasico.

Figura 2.1: Representacion fısica del teorema de Fortescue en un sistema electrico.

Por lo tanto, utilizando el metodo de las componentes simetricas, es facil predecir el

comportamiento de sistemas electricos desequilibrados. Este metodo es util para analizar

una serie de problemas en sistemas trifasicos, entre ellos el problema presentado en esta

tesis: sistemas trifasicos con cargas desequilibradas.

Ademas, es interesante resaltar que las manipulaciones matematicas que presenta el

metodo tienen un significado fısico, ya que es posible medir las impedancias simetricas

de un circuito electrico, ası como las componentes simetricas de un sistema de tensiones

o intensidades. En [Car07], el autor analiza el problema del desequilibrio de un sistema

electrico en base al concepto de las componentes simetricas.

2.1.1. Calculo de las componentes simetricas

Definiendo el vector de giro a = −1/2 + j√

3/2, se pueden calcular los fasores de cada

uno de los sistemas simetricos calculados de un sistema trifasico desequilibrado formado

por las intensidades Ia, Ib e Ic.

Para el caso del sistema de secuencia positiva (secuencia directa o secuencia uno),

partiendo de que es un sistema equilibrado y simetrico de secuencia igual a la original, se


pueden definir los fasores de la siguiente manera:

Ia1 = |Ia1|∠0o (2.1)

Ib1 = a2Ia1 = |Ia1|∠−120o (2.2)

Ic1 = aIa1 = |Ia1|∠120o (2.3)

Figura 2.2: Sistema de fasores de secuencia directa.

En relacion al sistema de secuencia negativa (secuencia inversa o secuencia dos), aten-

diendo a la definicion del mismo, se puede expresar en forma de fasores como sigue:

Ia2 = |Ia2|∠0o (2.4)

Ib2 = aIa2 = |Ia2|∠120o (2.5)

Ic2 = a2Ia2 = |Ia2|∠−120o (2.6)

Finalmente, las expresiones de los fasores del sistema de secuencia homopolar (secuen-

cia nula o secuencia cero) se pueden expresar como sigue:

Ia0 = Ib0 = Ic0 = I0 (2.7)

Para que este conjunto de fasores cumpla las condiciones del Teorema de las compo-

nentes simetricas, debe de existir una relacion entre ellos y los del sistema original de la


Figura 2.3: Sistema de fasores de secuencia inversa.

Figura 2.4: Sistema de fasores de secuencia cero.

siguiente manera, figura 2.5:

Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 (2.8)

Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2 = Ia0 + a2Ia1 + aIa2 (2.9)

Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2 = Ia0 + aIa1 + a2Ia2 (2.10)

Lo que puede verse como un sistema del tipo Iabc = F · I012, donde la funcion F se

denomina matriz de transferencia directa, el vector Iabc representa al vector de los fasores


Figura 2.5: Composicion de un sistema trifasico desequilibrado a traves de las compo-nentes simetricas.

de lınea y el vector I012 es el vector de las componentes simetricas.

IaIbIc

=

1 1 11 a2 a1 a a2

Ia0Ia1Ia2

(2.11)

Esta expresion representa la descomposicion de un sistema trifasico en componentes

simetricas. Sin embargo, puede ser interesante calcular las componentes simetricas a partir

del sistema original. En realidad, solo es necesario calcular uno de los fasores de cada

componente simetrica, pues los otros dos se calculan a partir del primero siguiendo la

definicion de cada componente. A partir de la expresion (2.11), simplemente invirtiendo la

matriz F , se puede calcular la expresion matricial que calcula las componentes simetricas

a partir del sistema trifasico original.

Ia0Ia1Ia2

=1

3

1 1 11 a a2

1 a2 a

IaIbIc

(2.12)

Puede verse facilmente que, si la suma de las 3 fases del sistema original es cero, el

sistema homopolar debe ser nulo. Un sistema trifasico perfecto (tal que los vectores esten

desfasados 120o entre sı y tengan todos el mismo modulo) cumplira que, al aplicarle la

expresion (2.12), tan solo la componente directa (Ia1) sera distinta de cero.


2.1.2. Corrientes de neutro

En un sistema de 4 hilos (3 fases mas el neutro), la suma de las 3 corrientes de fase

coincide con la corriente que retorna por el neutro (corriente de neutro, IN). Comparandolo

con la expresion (2.12) se obtiene la relacion entre la corriente de neutro y la componente

de secuencia cero:

IN = 3Ia0 = 3I0 (2.13)

De esto se deduce que, si no hay retorno por el neutro de un sistema trifasico, la

componente de secuencia cero es nula. En la practica, esto quiere decir que en sistemas

trifasicos de solo 3 hilos (sin neutro) el sistema formado por las corrientes que van a la

carga no tiene componente de secuencia cero.

Ademas se cumple que, en cargas conectadas en triangulo, el sistema trifasico formado

por las corrientes que viajan hacia la carga en triangulo tampoco tendra componente

homopolar. Esto no quiere decir que en el sistema trifasico formado por las corrientes

que circulan por la carga en triangulo tampoco haya componente homopolar, ya que en

general en un sistema desbalanceado la suma de las corrientes de fase no sera cero. El

significado fısico de esto es que, cuando un sistema trifasico desequilibrado se encuentra

una conexion en triangulo en su camino (bien sea una carga, un transformador, etc.), la

componente de secuencia cero queda atrapada en este triangulo.

2.1.3. Potencia compleja

La potencia compleja de un sistema tambien puede calcularse a traves de las compo-

nentes simetricas. Aplicando las expresiones (2.11) y (2.12) y partiendo de la definicion

de potencia compleja en funcion de las tensiones e intensidades de lınea, se obtiene el

siguiente resultado.

S = 3[

Va0 Va1 Va2

]

Ia0Ia1Ia2

∗

= 3Va0I∗a0 + 3Va1I

∗a1 + 3Va2I

∗a2 (2.14)

2.1.4. Circuitos de secuencia

Como se comento anteriormente, la idea de calcular las componentes simetricas venıa

de conseguir tres sistemas trifasicos mas simples que pudieran ser estudiados individual-

mente y posteriormente superpuestos. Se entiende que, por lo tanto, es necesario calcular

no solo las componentes simetricas de tensiones e intensidades, sino tambien las impe-

dancias de cada circuito simetrico (impedancias de secuencia). La forma de calcularlo es


aplicar al sistema completo tan solo una de las componentes. La impedancia compleja del

circuito para la secuencia directa viene dada por la siguiente expresion.

Z1 = Va1/Ia1 = Vb1/Ib1 = Vc1/Ic1 (2.15)

La impedancia compleja del circuito para la secuencia inversa se calcula:

Z2 = Va2/Ia2 = Vb2/Ib2 = Vc2/Ic2 (2.16)

Finalmente la impedancia de secuencia cero es la que sigue.

Z0 = V0/I0 = Z + 3ZN (2.17)

Una vez definido los tres sistemas, cada uno se analiza de manera independiente (uti-

lizando el equivalente monofasico), tal y como se ve en la figura 2.6. El resultado del

sistema original se puede calcular aplicando el principio de superposicion.

Figura 2.6: Redes de secuencia directa, inversa y nula.

En la expresion (2.14) el primer sumando representa la potencia consumida por la red

de secuencia cero (o por el neutro), el segundo sumando representa la potencia consumida

por la red de secuencia directa y el tercer sumando la potencia consumida por la red de

secuencia inversa.

2.1.5. Cuantificacion del desequilibrio

El metodo de las componentes simetricas supone el punto de partida para cuantificar

el desequilibrio de un sistema electrico. Una vez calculadas las componentes simetricas, se

define la relacion entre la magnitud de la componente inversa respecto a la magnitud de

2.2. COMPONENTES SIMETRICAS INSTANTANEAS 29

la componente directa como una medida del desequilibrio del sistema. ui y uu representan

el desequilibrio en corriente y tension respectivamente.

ui =|Ia2||Ia1|

100% (2.18)

uu =|Va2||Va1|

100% (2.19)

Estas relaciones se utilizan en algunas normas de calidad de energıa electrica, tales

como EN-50160 o la IEC-1000-3-x. En las normas se describen los procedimientos com-

pletos para el calculo de los parametros. Se utilizan procedimientos estadısticos para el

calculo promediado de estas relaciones. Ademas estas normas proponen unos lımites para

estas relaciones de desequilibrio, en general mas generosos en sistemas de media y baja

tension que para sistemas de alta tension.

A veces, segun convenga, se utilizan una relaciones parecidas pero en funcion de la

componente homopolar.

ui0 =|Ia0||Ia1|

100% (2.20)

uu0 =|Va0||Va1|

100% (2.21)

Estos ındices solo tienen en cuenta las magnitudes de las corrientes o tensiones, sin

embargo el desequilibrio puede estar totalmente definido por el angulo. Aunque en esta

tesis utilizaremos las definiciones anteriores, hay que hacer notar que existen ındices, como

por ejemplo el Complex Voltage Unbalance Factor (CVUF) utilizado en [Wan01], en el

que sı se tienen en cuenta las diferencias angulares entre fases.

2.2. Componentes simetricas instantaneas

En [Paa00], se hace una revision historica del concepto y la aplicacion de las compo-

nentes simetricas instantaneas, se relaciona con otras transformaciones utiles en el analisis

de sistemas trifasicos (“dq”, “αβ”, etc.) y se explican las ventajas del uso de esta trans-

formacion respecto a otros analisis.

La transformacion de componentes simetricas, (2.12), tambien puede ser aplicada so-

bre valores instantaneos de corriente o de tension. De esta manera se puede convertir

los valores instantaneos de las corrientes trifasicas (ia, ib e ic) en sus correspondientes


componentes simetricas instantaneas, segun la siguiente expresion:

ia0ia1ia2

=1√3

1 1 11 a a2

1 a2 a

iaibic

(2.22)

Donde ia0 representa la secuencia cero y los vectores ia1 e ia2 a dos vectores complejos

conjugados entre sı. La misma transformacion puede hacerse tambien con los voltajes

instantaneos.

El calculo de estos valores en tiempo real puede resultar un problema, sin embargo

existen metodos, como el propuesto en [IKG03] basado en el uso de EPLLs (enhanced

phase-locked loop), que permiten la estimacion “online” de las componentes simetricas

instantaneas.

2.2.1. Analisis de componentes simetricas instantaneas

Las componentes simetricas instantaneas pueden utilizarse para analizar si las ondas

estan distorsionadas, desequilibradas, etc.

Se considera un sistema de tensiones trifasico equilibrado que alimenta una red trifasi-

ca simetrica de cargas equilibradas con un sistema trifasico de corrientes equilibrado.

Aplicando la transformacion (2.22) durante un ciclo y dibujando tanto ia1 como ia2, se

trazan en sentidos opuestos dos cırculos coincidentes, figura 2.7.

Figura 2.7: Representacion temporal de secuencias directa e inversa de un sistema equi-librado en el plano imaginario.

Considerando, ahora, que el sistema de intensidades esta desequilibrado, se calculan

las componentes simetricas instantaneas al sistema durante un ciclo y se trazan los valores

de ia1 e ia2. Se obtienen dos elipses cruzadas, figura 2.8.


Figura 2.8: Representacion temporal de secuencias directa e inversa de un sistema des-equilibrado en el plano imaginario.

2.2.2. Calculo de corrientes de referencia usando las componen-

tes simetricas instantaneas

Una vez discutida la teorıa de las componentes simetricas instantaneas, se pueden

utilizar estas para generar las referencias instantaneas de la corriente a inyectar a la red

para compensar un sistema desequilibrado, tal y como se hace en [GJ00] o en [RMG08].

Se considera que las corrientes se inyectan con fuentes de corrientes ideales, aunque

esto solo sea una simplificacion porque en realidad se inyectan mediante un convertidor en

fuente de tension conectado en paralelo. En este caso se va a suponer un sistema trifasico

de 4 hilos (3 fases mas el neutro) formado por una fuente trifasica equilibrada, segun la

expresion (2.23), y una red con una carga trifasica desequilibrada conectada en estrella,

figura 2.9. El objetivo es que la fuente “vea” la red como una carga trifasica equilibrada,

mediante la inyeccion de las corrientes adecuadas en paralelo.

vsa = Vmsen(ωt)

vsb = Vmsen(ωt− 120o)

vsc = Vmsen(ωt+ 120o)

(2.23)

Para que la fuente alimente al sistema con un sistema de corrientes equilibrado, debe

cumplirse que la componente de secuencia cero de las corrientes instantaneas debe de ser

nula. Por tanto, aplicando la expresion (2.22):

ia + ib + ic = 0 (2.24)


Figura 2.9: Compensacion de desequilibrios con fuentes ideales de corriente.

Aplicando tambien la expresion (2.22) se puede calcular secuencia positiva de la tension

instantanea, vsa1.

vsa1 =1√3(vsa + avsb + a2vsc) (2.25)

Se puede calcular el angulo del vector de esta tension, o angulo del factor de potencia.

φ = ∠(vsa1) = tan−1(

√3

2vsb −

√3

2vsc

vsa − 1

2vsb − 1

2vsc

) = tan−1(

√3

2(vsb − vsc)

3

2vsa

) (2.26)

Y sustituyendo por los valores instantaneos.

φ = tan−1(−cos(ωt)sen(ωt)

) = ωt− π

2(2.27)

Por lo tanto, se ve que el angulo de vsa1 cambia linealmente con el tiempo t. La idea

ahora es forzar que isa1 siga a vsa1.

∠(vsa + avsb + a2vsc) = ∠(isa + aisb + a2isc) + φ (2.28)


Desarrollando esta expresion, queda:

∠(vsa −1

2vsb −

1

2vsc) + j

√3

2(vsb − vsc) = ∠(isa −

1

2isb −

1

2isc) + j

√3

2(isb − isc) + φ

(2.29)

Que puede expresarse como:

tan−1(K1/K2) = tan−1(K3/K4) + φ (2.30)

Donde:

K1 =√3

2(vsb − vsc),

K2 = vsa − 1

2vsb − 1

2vsc

K3 =√3

2(isb − isc),

K4 = isa − 1

2isb − 1

2isc

Y aplicando relaciones trigonometricas a (2.30) se obtiene:

K1

K2

= tan(tan−1(K3/K4) + φ) =K3/K4 + tanφ

1− (K3/K4)tanφ(2.31)

Resolviendo esta ecuacion y suponiendo β = tanφ/√3, se obtiene:

(vsb − vsc − 3βvsa)isa + (vsc − vsa − 3βvsb)isb + (vsa − vsb − 3βvsc)isc = 0 (2.32)

De la ecuacion (2.32) se deduce que la potencia reactiva instantanea suministrada por

la fuente es cero cuando el angulo del factor de potencia es cero. Sin embargo, cuando este

angulo no es cero, la fuente suministra una potencia reactiva que es β veces la potencia

instantanea.

Por otra parte, como se ha visto antes la potencia instantanea en un sistema equili-

brado trifasico es constante, pero en un sistema desequilibrado esta tiene una componente

de frecuencia doble sumada al valor continuo. Ademas la presencia de armonicos anade

mas componentes oscilatorias a la potencia instantanea. La presencia de un compensa-

dor cumple el objetivo de suministrar una componente oscilatoria tal que la fuente solo

suministre el valor medio de la potencia consumida por la carga.

vsaisa + vsbisb + vscisc = plav (2.33)

Las expresiones (2.24), (2.32) y (2.33) forman un sistema de ecuaciones que puede


expresarse de manera matricial.

1 1 1vsb − vsc − 3βvsa vsc − vsa − 3βvsb vsa − vsb − 3βvsc

vsa vsb vsc

isaisbisc

=

00

plav

(2.34)

De estas ecuaciones se obtiene el valor de las corrientes que deberıa suministrar la

fuente. Por lo tanto, para que esto se cumpla, el resto de la corriente que consume la

carga la debe suministrar el compensador. Suponiendo el compensador como fuentes de

corrientes ideales que pueden seguir las corrientes de referencia sin error, las corrientes de

referencia se definen de la siguiente manera:

i∗fk = ilk − isk, ∀k = a, b, c (2.35)

Combinando las expresiones (2.34) y (2.35) se pueden calcular las corrientes de refe-

rencia que debe seguir el compensador trifasico.

i∗fa = ila −vsa + (vsb − vsc)β

v2sa + v2sb + v2scplav (2.36)

i∗fb = ilb −vsb + (vsc − vsa)β


i∗fc = ilc −vsc + (vsa − vsb)β


Si el compensador sigue estas corrientes se cumplira que el compensador suminis-

trara toda la potencia reactiva y las variaciones de potencia activa consumida por la

carga, y por tanto la fuente solo suministrara la potencia media consumida por la carga

y no circularan corrientes de secuencia cero por el neutro de la fuente.

Por ultimo, hay que destacar que el algoritmo presentado es capaz eliminar cualquier

corriente de secuencia cero en la fuente, pero solo cuando el compensador tiene accesible

el neutro y no utiliza transformadores para su estructura. En otro caso, las corrientes de

neutro no podran compensarse.

2.2.3. Simulaciones

El metodo anterior ha sido probado utilizando el toolbox de Matlab “SimPowerSys-

tems” de Simulink. Se ha modelado un sistema simple formado por una fuente trifasica

equilibrada de tensiones conectada al neutro que alimenta 3 cargas monofasicas conectadas

entre fase y neutro. La figura 2.10 muestra el modelo en Simulink.


Figura 2.10: Modelo en Simulink para calcular senales de referencia para compensardesequilibrio de cargas utilizando metodos basados en las componentes simetricas ins-tantaneas.

Modificando las cargas monofasicas tenemos una carga trifasica desequilibrada que

produce un sistema de corrientes desequilibrado en la carga. El modelo incluye 3 fuentes

de intensidad controlables para compensar el desequilibrio.

Cada fuente de intensidad esta controlada con una de las corrientes de referencia

generadas mediante los bloques de generacion de referencias. El modelo mostrado en la

figura 2.11 genera la potencia media instantanea en la carga, segun la expresion (2.33) y

otra variable intermedia.

El modelo mostrado en la figura 2.12 calcula las senales de referencia para compensar

el desequilibrio, segun las expresiones (2.36), (2.37) y (2.38).

Siguiendo estos modelos, se han realizado una serie de simulaciones en Simulink va-

riando las potencias activas y reactivas que consumen cada una de las cargas monofasicas

y se han obtenido resultados bastante positivos. Las figuras 2.13, 2.14 y 2.15 muestran las

intensidades de carga, de compensacion y de fuente para un ejemplo concreto en el que

la carga esta desequilibrada. Concretamente en este ejemplo, se tiene una fuente trifasica

equilibrada de 400 V y 50 Hz, y tres cargas monofasicas: la carga de la fase a consume

1000 W de activa, la carga de la fase b consume 500 W de activa y 200 var de reactiva, y

la fase c consume 1100 W de activa y 100 var de reactiva.

Una vez compensado el desequilibrio, teniendo en cuenta que las fuentes de corrientes


Figura 2.11: Bloque simulink que calcula la potencia media instantanea en la carga,ası como la suma de las tensiones al cuadrado.

Figura 2.12: Bloque simulink que obtiene las senales de referencia para compensar undesequilibrio en la carga, basandose en las componentes simetricas instantaneas.

estan tambien conectadas a neutro, las corrientes de neutro en la fuente deberıan anularse.

La figura 2.16 muestra la corriente de neutro en la carga. La figura 2.17 muestra la corriente

de neutro en la fuente, tras la compensacion.

Por ultimo, hay que resaltar el sentido de la variable β = tanφ/√3. Como se explico en

el apartado anterior, si esta variable es nula, el compensador asumira toda la potencia

reactiva y las variaciones de la potencia activa; de manera que la fuente tan solo tendra que

producir la media de la potencia activa. Las figuras 2.18, 2.19 y 2.20 muestran las potencias

instantaneas (activa y reactiva) consumidas por la carga y producidas por el compensador

y la fuente, respectivamente.

A medida que aumenta β, la potencia reactiva producida por la fuente crece propor-


Figura 2.13: Intensidades desequilibradas en la carga.

Figura 2.14: Intensidades inyectadas a la red para compensar el desequilibrio de la carga.

Figura 2.15: Intensidades de la fuente trifasica tras aplicarle la compensacion a travesde fuentes de intensidad en paralelo.

cionalmente. Las figuras 2.21, 2.22 y 2.23 muestran las potencias instantaneas (activa y

reactiva) consumidas por la carga y producidas por el compensador y la fuente, respec-

tivamente, en el caso de que β = 1/3. Se puede observar que la fuente trifasica ya no


Figura 2.16: Intensidad que circula por el neutro de la carga.

Figura 2.17: Intensidad que circula por el neutro de la fuente, tras la compensacion.

Figura 2.18: Potencias activa y reactiva instantaneas consumidas por la carga trifasica,con β = 0.

solo produce la media de la potencia activa, sino tambien parte de la potencia reactiva

consumida por la carga. Esto tiene sentido si se quiere limitar la potencia reactiva que

cede el compensador.


Figura 2.19: Potencias activa y reactiva instantaneas cedidas por el compensador (fuentesde intensidad en paralelo), con β = 0.

Figura 2.20: Potencias activa y reactiva instantaneas cedidas por la fuente, tras la com-pensacion, con β = 0.

Figura 2.21: Potencias activa y reactiva instantaneas consumidas por la carga trifasica,con β = 1/3.


Figura 2.22: Potencias activa y reactiva instantaneas cedidas por el compensador (fuentesde intensidad en paralelo), con β = 1/3.

Figura 2.23: Potencias activa y reactiva instantaneas cedidas por la fuente, tras la com-pensacion, con β = 1/3.

2.3. Metodos basados en transformada discreta de

Fourier

Los metodos utilizados para calcular las corrientes de referencia para un filtro activo

(por ejemplo, un STATCOM) basandose en la transformada discreta de Fourier (DFT)

son metodos en el dominio de la frecuencia, al contrario que otros como el metodo CSD

(current synchronous detection) propuesto en [CLH94] o los metodos basados en las com-

ponentes simetricas instantaneas que son metodos en el dominio del tiempo.

Los metodos basados en la DFT estan relacionados con un filtro paso de alta que

es capaz de aislar las componentes armonicas deseadas de las corrientes de carga para

extraer las componentes que debe de generar el STATCOM.

Uno de los principales inconvenientes de estos metodos es el gran coste computacio-

nal que supone calcular todas las componentes armonicas. Una manera de aliviar este

2.3. METODOS BASADOS EN TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER 41

problema es partir de la suposicion de que nos interesa que por la fuente solo circule la

componente fundamental, y por lo tanto solo necesitamos calcular el armonico fundamen-

tal.

Existen en la literatura muchos metodos basados en el analisis de Fourier, la ma-

yorıa de ellos del tipo PHC (Perfect harmonic cancelation), por ejemplo en [MHJD02]

se propone un metodo en el que se calculan por separado la fase y la amplitud de las

corrientes de referencia. Sin embargo, en esta tesis vamos a seguir el metodo propuesto en

[MORMGE+10], en el que se aplica un metodo eficiente de DFT sobre el vector de Park

de la corriente en la carga, que nos permite aprovecharnos de las ventajas que ofrecen

las ventanas deslizantes para obtener de manera precisa y rapida una referencia para un

sistema trifasico de corrientes.

2.3.1. Vector de Park

La transformada de Park es una herramienta especialmente util para el estudio de

sistemas trifasicos. Consideramos la siguiente matriz de transformacion, T .

T =

√

2

3−√

1

6−√

1

6

0√

1

2−√

1

2√

1

3

√

1

3

√

1

3

(2.39)

La matriz de Park es ortogonal, por lo tanto, su inversa es igual a su traspuesta:

T−1 = T ′. La matriz de Park permite transformar un sistema trifasico al dominio de

Park, y viceversa.

idiqi0

= T ·

iaibic

(2.40)

iaibic

= T ′ ·

idiqi0

(2.41)

En [FSF91], se define el vector de Park sobre un sistema trifasico y se hace un analisis

frecuencial del mismo y de su relacion con las componentes simetricas. En [CFSF94], se

continua el trabajo y proponen, en base a este, unas corrientes de compensacion en base

a la descomposicion de las corrientes de carga y a la compensacion de potencia. Se define

el vector de park, i, como un vector en el plano d-q, de la siguiente forma:

i = id + jiq (2.42)


Por lo tanto, cualquier sistema trifasico puede representarse en funcion de su vector

de Park y su componente de secuencia cero.

Considerando un sistema periodico de periodo T , se puede calcular el valor rms del

sistema trifasico en funcion del vector de Park.

Irms =

√

1

T

∫

T

i(t) · i∗(t) · dt (2.43)

Si la secuencia cero es nula, el valor rms define como el valor rms “puro” del sistema

trifasico y puede escribirse de la siguiente forma:

Irms =√

I2a + I2b + I2c (2.44)

2.3.2. Analisis frecuencial del vector de Park

Considerando un sistema trifasico periodico, de periodo T = 2π/ω, el vector de Park

tambien es periodico y es posible calcular sus componentes de Fourier.

i(t) =∞∑

k=−∞

Ikejkωt (2.45)

Cada termino de Fourier se corresponde con un vector de amplitud constante Ik que gi-

ra con una velocidad proporcional a k. Por lo tanto, cada frecuencia armonica nω esta des-

crito por dos vectores (con n y −n) con diferente amplitud y que giran en direcciones

opuestas.

Las componentes k > 0 estan relacionadas con la componente simetrica positiva a

la frecuencia kω, mientras que las componentes k < 0 se relacionan con la componente

simetrica negativa a esa misma frecuencia. La componente k = 0 se relaciona con la

componente simetrica homopolar o nula.

Finalmente, se puede obtener una expresion del valor rms en funcion de las compo-

nentes de Fourier.

Irms =

√

√

√

√

∞∑

k=−∞

I2k (2.46)

2.3.3. Calculo de la senal de referencia

El objetivo final del D-STATCOM es eliminar de la fuente todos los armonicos, excepto

la componente positiva del armonico fundamental. Por lo tanto, la senal de referencia que

debera generar el filtro activo se corresponde con la diferencia entre las corrientes de carga


y la secuencia positiva de la componente fundamental de las corrientes de carga.

El metodo propuesto en [MORMGE+10] se basa en trabajar en el dominio d-q de

Park.

Se considera un sistema trifasico periodico discreto iabc(n) que puede estar desequi-

librado, que se corresponde con las corrientes de carga tomadas en la muestra n. Para

cada muestra iabc(n) tomada, se le aplica la transformacion (2.40) y se calcula el vector

de Park correspondiente, i(n).

i(n) = id(n) + jiq(n) (2.47)

Se considera una ventana temporal deN muestras, de manera que ese total de muestras

estan espaciadas entre sı abarcando un periodo completo de i(n), como se puede ver en

la figura 2.24. Con esta ventana temporal, se calcula la DFT del vector (2.47).

Figura 2.24: Ventana deslizante de N muestras sobre una senal senoidal.

i(n) =1

N

N−1∑

k=0

Ik(n)ej2πkn/N (2.48)

i(n) =1

N

N/2−1∑

k=1−N/2

Ik(n)ej2πkn/N (2.49)

Las expresiones (2.48) y (2.49), son equivalentes, pero la segunda permite tratar las

componentes positivas y negativa de cada armonico de manera independiente.

Por otra parte el valor de Ik(n) puede calcularse directamente mediante la siguiente

expresion.

Ik(n) =N−1∑

h=0

i(n−N + 1 + h)e−j2πkh/N (2.50)

Sin embargo, para grandes valores de N este calculo puede ser demasiado costoso

computacionalmente. Por ello existen varios metodos que permiten estimar estos valores

con un coste computacional sensiblemente menor.


Entre los metodos existentes, se va a utilizar un metodo recursivo. Aunque es conocido

que los metodos recursivos suelen acumular errores que provocan crecientes imprecisio-

nes, se utiliza en esta tesis simplemente a modo ilustrativo y teniendo en cuenta que la

aplicacion del mismo se hace solo en simulaciones. No obstante, suele ser mas conveniente

utilizar metodos no recursivos que evitan estos problemas.

En este caso, para calcular la senal de referencia en el dominio de Park habra que

extraerle a la senal medida la componente fundamental positiva de la propia senal. De

esta manera, la fuente solo tendra que generar la componente fundamental positiva de la

carga y vera el sistema como un sistema equilibrado, sin armonicos.

iref (n) = i(n)− i1(n) (2.51)

La componente fundamental positiva, atendiendo a la expresion (2.49), viene dada por

la siguiente expresion:

i1(n) =1

NI1(n)e

−j2π/N (2.52)

Para el calculo de I1, se utiliza la siguiente expresion recursiva.

I1(n) = (I1(n− 1) + i(n)− i(n−N))ej2π/N (2.53)

Tras calcular cada muestra de iref (n), se obtiene las componentes d y q, se le agrega

la componente 0 y se vuelve a transformar al dominio abc y obtenemos las senales de

referencia que deberıa generar el D-STATCOM para compensar los desequilibrios en la

carga. Este metodo solo toma medidas de la corriente en la carga, por lo tanto no puede

compensar potencias, simplemente elimina armonicos para conseguir equilibrar corrientes.

2.3.4. Simulaciones

A continuacion se hace uso del toolbox de Matlab “SimPowerSystems” para probar

la utilidad de este metodo para generar las referencias de corriente a inyectar por el

compensador. Para ello se realiza un modelo sencillo en Simulink, figura 2.25. En el

modelo se incluye un generador trifasico de tensiones equilibradas con neutro conectado a

tierra. Entre cada fase y tierra se conecta una carga monofasica, de manera que variando

cada carga podemos obtener cargas trifasicas desequilibradas que producen corrientes

desequilibradas.

Para compensar el desequilibrio se anaden tres fuentes de intensidad controlables y

los bloques de calculo de referencias. El calculo de las referencias se hace en el dominio de

Park y, por ello, es necesario anadir dos bloques que hacen la transformada de Park, segun


Figura 2.25: Modelo en Simulink para calcular senales de referencia para compensardesequilibrio de cargas utilizando metodos basados en DFT.

la expresion (2.40), y la transformada inversa de Park, expresion (2.41), para obtener las

senales de referencia de entrada a las fuentes de intensidad.

El calculo de referencias sigue las ecuaciones (2.51), (2.52) y (2.53), tal como se puede

ver en la figura 2.26. Como se puede observar, tan solo utiliza la medida de las intensidades

de carga para calcular las referencias, por lo que este metodo no intenta controlar la

potencia.

Figura 2.26: Bloque simulink que obtiene la senal de referencia como la componentefundamental positiva del vector de Park de la intensidad de carga.


En base a este modelo, se han realizado una serie de simulaciones variando la potencia

activa y reactiva que consume cada carga monofasica, obteniendose resultados razona-

blemente positivos. Las figuras 2.27, 2.28 y 2.29 muestran las intensidades de carga, de

compensacion y de fuente para un ejemplo concreto en el que la carga esta desequilibra-

da. Concretamente, en el ejemplo, tenemos una fuente trifasica de 400 V y 50 Hz, y tres

cargas: la carga de la fase a consume 1000 W de activa, la carga de la fase b consume 500

W de activa y 200 var de reactiva, y la fase c consume 1100 W de activa y 100 var de

reactiva.

Figura 2.27: Intensidades desequilibradas en la carga.

Figura 2.28: Intensidades inyectadas a la red para compensar el desequilibrio de la carga.

Como se puede ver en estos ejemplos, la compensacion con el metodo propuesto ofre-

ce unos resultados razonablemente positivos, aunque evidentemente mejorables por las

simplificaciones asumidas.


Figura 2.29: Intensidades de la fuente trifasica tras aplicarle la compensacion a travesde fuentes de intensidad en paralelo.

cap´ıtulo 2 algoritmos para la deteccio´n de...

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