2. métodos para abordar el problema -...

Raúl Nuño Zamorano 1

2. Métodos para abordar el problema

2.1 Método analítico: Como ya se comentó y resulta evidente, para resolver el problema con métodos analíticos éste habrá de ser simplificado al máximo. Ello se consigue aproximando la unión entre tubo y abrazadera por un ajuste simple ente cilindros, problema que podrá ser abarcado por la teoría de la elasticidad. El análisis plástico no se considerará.

Fig. 2.1 Representación de la interferencia entre los dos cuerpos

Para encontrar la solución analítica del campo de tensiones y desplazamientos generado por la introducción de un cilindro en otro de diámetro menor se han resuelto inicialmente dos problemas similares. Por un lado se resuelve el caso de un cilindro sometido a una presión uniforme exterior (tubo) y por otro el de un cilindro sometido a una presión uniforme interior (abrazadera), considerando deformación plana. La imposición de un mismo valor en las presiones de ambos problemas, así como de un radio final idéntico para el exterior del tubo y para el interior de la abrazadera terminará de definir el problema, proporcionando una solución única.

La solución a los dos problemas anteriores puede hallarse de forma analítica mediante el uso de las ecuaciones de Navier, considerando un comportamiento axilsimétrico. Para ambos problemas estas ecuaciones proporcionan los desplazamientos radiales en función del radio (los desplazamientos circunferenciales serán cero por simetría). El desarrollo de este problema se encuentra con más detalle en [1]. Se expone a continuación a grandes rasgos el proceso seguido. Se comienza imponiendo una forma para los desplazamientos en función de dos constantes (a, b) que dependerán de las condiciones de contorno de cada problema.

2

ar+

r

bu(r) =


Las condiciones de contorno se imponen en tensiones (la tensión radial es cero en las superficies libres o bien igual a la presión de contacto según el caso), y posteriormente en desplazamientos (el diámetro final exterior del tubo debe ser igual al interior de la abrazadera). Es por ello que se debe obtener la distribución de tensiones originada por este campo de desplazamientos. Para ello se va a obtener en primer lugar el tensor de deformaciones derivando el campo de desplazamientos, y posteriormente, a través de la ley de comportamiento, el tensor de tensiones. Una vez hecho esto solo se habrá de imponer el valor de la tensión en cada caso.

El tensor de tensiones es de la forma:

θσσ0

0r

Con:

( )2

2

r

GbaG=σ r −+λ

( )

2

2

r

GbaG=σ ++λθ

Donde G es el módulo elástico a cizalladura, y λ es la llamada constante de Lamé, que se define de la siguiente manera, en función también del módulo de Poisson ν :

( )( )1 1 2

Eνλν ν

=+ −

Imponiendo las condiciones de contorno en el caso del tubo:

,tubRr int= 0=σ r y ,tubRr ext=

Pr −=σ

Donde P es una cierta presión por ahora desconocida. Sustituyendo dichas condiciones:

PRR

R

Gλ=a

,tub,tub

,tubtub 2

ext2int

2ext1

−+

PRR

RR

G=b

,tub,tub

tub,tubtub 2

ext2int

2int,

2ext

2

1

−

Por otra parte, en el caso de la abrazadera:

,abrRr ext= 0=σ r

,abrRr int= Pr −=σ

Notar que la presión es la misma que en el caso del tubo. Substituyendo se obtiene:

PRR

R

Ga

,abrabr

,abrabr 2

int2

,ext

2int1

−+=

λ

PRR

RR

Gb

,abrabr

abr,abrabr 2

int2

,ext

2,ext

2int

2

1

−=

De esta manera se tienen definidos dos campos de desplazamientos uno para la abrazadera y otro para el tubo, ambos en función de P.


La relación entre el campo de desplazamientos del tubo y el de la abrazadera se haya a partir de:

tubtubfinaltubtub RRRu ,ext,,ext )( −=

abrabrfinalabrabr RRRu ,int,,int )( −=

Donde ( )tub extu R y ( )intabru R son los desplazamientos radiales de la cara exterior

del tubo y la interior de la abrazadera respectivamente Al estar ambas caras en contacto, se supone que ambos radios se deforman alcanzando un mismo valor del radio (condición de contorno en desplazamiento), con lo que:

abrtubtubtubabrabr RRRuRu ,int,ext,ext,int )()( −=−

De donde puede despejarse P de forma explícita:

( ) ( ) 2int

2,ext

3int

2int

2,ext

2,ext

2ext

2int

3ext

2ext

2int

2int,

,extint,

21

21

21

21

,abrabr

,abr

,abrabr

abr

,tub,tub

,tub

,tub,tub

tub

tubabr

RR

R

GRR

R

GRR

R

GλRR

R

G

RRP

−+−

−−

−++

−

−=

λ

Si se quiere incluir el efecto de la temperatura, algo que será importante como ya se pondrá de manifiesto a la hora de estimar la interferencia necesaria entre el tubo y la abrazadera, tan solo sería necesario incluir en la solución los términos correspondientes. Es decir, el desplazamiento debido a la temperatura viene dado por:

2T

T

a ru (r) =

Donde la constante Ta , función del coeficiente de dilatación del material, de la

temperatura y de las constantes definidas anteriormente, viene dada por:

1

1 2T

Ea T

Gα

λ ν=

+ −

Es decir, el desplazamiento total tanto del tubo como de la abrazadera vendrá dado por:

2 2Ta rb ar

u(r) +r

= +

La presión se podría despejar del mismo modo que se hizo anteriormente, resultando en una expresión bastante compleja que no se va a exponer. Esta solución analítica será de ayuda para estimar un primer orden de magnitud de las tensiones y presiones que deben obtenerse en los resultados numéricos. A su vez, servirá para, a través de los ensayos, como se comentará en el apartado dedicado a los anexos, hallar una medida del coeficiente de rozamiento del tubo con la abrazadera. Esto se realizará uniendo los resultados experimentales de la fuerza de inserción con estos teóricos de la presión de un tubo sobre el otro.


2.2 Método de los elementos finitos. ABAQUS/CAE: 2.2.1 Generalidades

La herramienta que se ha utilizado principalmente para todo el cálculo de los diversos modelos es el programa ABAQUS/CAE. Resulta evidente que es imposible realizar un examen analítico exhaustivo del problema cuando la geometría del mismo se aparta de unas condiciones geométricas y de cargas muy simples. En estos casos se ha de recurrir a la resolución numérica mediante los elementos finitos para obtener cualquier resultado fiable y concluyente. La idea básica del Método de los Elementos Finitos se refiere al concepto de discretización, siendo necesaria la distinción entre discretización física del dominio y discretización matemática. En un primer paso se ha de realizar la discretización física del modelo. Para ello el programa posee las herramientas necesarias para mallar nuestra pieza de una manera estructurada, en la cual resulten unos elementos no distorsionados. Con ello se pasa de un modelo con infinitos grados de libertad, a uno en el que el número de estos es finito y conocido. Resulta lógico pensar que una malla de elementos será en principio más próxima a la realidad cuanto más grados de libertad posea, es decir, cuanto más refinada sea. Por el contrario, mientras más elementos se generen, más cálculos tendrá que realizar el programa, debido al incremento de grados de libertad, con lo que los tiempos de proceso de cada análisis se incrementarán considerablemente. Se tendrá que llegar por lo tanto a un compromiso entre tiempo de cálculo y fiabilidad de los resultados a la hora de realizar el mallado. Posteriormente a la discretización física comentada, se resuelven las ecuaciones correspondientes a cada elemento de manera separada. Dentro de cada uno de ellos se tendrá otra discretización matemática, que no es más que la definición de una función para cada elemento que aproxima la magnitud objeto de análisis, siendo ésta los desplazamientos en un análisis estático. El tercer paso será ensamblar todos los elementos, montando por tanto un sistema de ecuaciones global de todo el conjunto, de donde se extraerá la solución final en las variables nodales. Una descripción más detallada del método se puede hallar en [2] ó [3], así como en cualquier bibliografía que trate el tema de los elementos finitos. Por lo tanto no parece necesaria una explicación al detalle de todas las ecuaciones y la metodología que se sigue para la resolución de un problema por elementos finitos. Se expondrán simplemente las ecuaciones de las cuales parte el método para el análisis de tensiones y deformaciones, y la manera de transformarlas para llegar a su resolución. Se parte de las ecuaciones que definen el problema elástico para un sólido deformable:

· Equilibrio: 0, =+ ijij Xσ


· Compatibilidad: ( )ijjiij uu ,,2

1 +=ε

· Comportamiento: ijkkijij G δλεεσ += 2

Donde ijε es el tensor de deformaciones, ijσ es el de tensiones, u son los

desplazamientos, X son las fuerzas por unidad de volumen, y λ,G constantes del material

que ya fueron definidas con anterioridad. A este conjunto de ecuaciones habrá que sumarle unas condiciones de contorno para que el problema quede definido. Dichas condiciones son:

ii uu = en uD∂

in

i tTe

= en tD∂

ut DDD ∂+∂=∂

Donde uD∂ es la parte del contorno en la que imponemos condiciones en

desplazamientos, y tD∂ es la parte donde imponemos condiciones de contorno en

tensiones. en

iT es la tensión según la normal exterior enr, y iu el desplazamiento. Las

magnitudes con barra son las conocidas, es decir, las que se imponen en el contorno. Por otra parte, si se define un campo de funciones de desplazamientos ψ sobre el dominio D,

se puede obtener la siguiente expresión del Teorema de los Trabajos Virtuales, en notación matricial:

∫ ∫∫∂

+=D D

ccTT

D

T dstXdvdv ψψσε ψ

Donde σ , X y ct constituyen un sistema de tensiones, fuerzas de volumen y

vectores tensión sobre el contorno en equilibrio, y ψε , ψ y cψ un sistema de

deformaciones y desplazamientos en el volumen y en el contorno compatibles entre sí, aunque no necesariamente relacionado con el sistema de tensiones en equilibrio. Como ya se comentó, el proceso posterior de tratamiento de estas ecuaciones se encuentra en cualquier bibliografía especializada. El resultado es una única ecuación en forma matricial, y en función únicamente de los desplazamientos. Dichos desplazamientos se pueden poner de la forma:

au ⋅Φ= Donde Φ es una de las funciones de forma llamadas de pequeño soporte, es decir, son funciones especiales distintas de cero solo en las proximidades del nodo en cuestión, y que tienen la ventaja de que pueden ser aplicadas a cualquier tipo de dominio una vez que sobre este se ha definido una malla. Esta versatilidad de las funciones de pequeño soporte tiene suma importancia en el caso 3D donde encontrar funciones definidas sobre todo el dominio que permitan satisfacer las condiciones de contorno resulta prácticamente imposible. Aproximando por tanto los desplazamientos por esta expresión, y una vez


elegidas las funciones ψ y Φ (iguales en elementos isoparamétricos) se llega a una

expresión del tipo:

FaK =⋅

El vector solución a representa los desplazamientos de cada uno de los nodos, y la matriz K se corresponde con las distintas rigideces elementales. De este modo, la submatriz

ijK relaciona las fuerzas que aparecen en el nodo i al dar un desplazamiento unidad en el

nodo j. Este sistema de ecuaciones está formado por n · m ecuaciones e incógnitas, siendo n el número de nodos de la discretización, y m el número de grados de libertad por nodo. En el caso que nos ocupa, se han elegido mallas para cada uno de los modelos como se comentó al principio del apartado que representaban una solución de compromiso entre tiempo de cálculo y fiabilidad de los resultados. 2.2.2 Elementos La elección del elemento es una tarea de gran importancia a la hora de un análisis con elementos finitos. Es el conjunto de elementos el que da la forma al modelo, y es sobre ellos donde se resuelven las ecuaciones de comportamiento del mismo. Por tanto, parece obvio que una elección inadecuada del elemento puede llevar a soluciones erróneas, así como una buena elección suele llevar a resultados bastante acordes con la realidad. Cinco aspectos del elemento son los que caracterizan su comportamiento:

- Familia - Grados de libertad - Número de nodos - Formulación - Integración

Las familias distinguen entre elementos tridimensionales, tipo placa, membrana, barra, rígidos, etc. En el caso objeto de estudio, debido a las características claramente tridimensionales del modelo se eligieron elementos 3D, cuya nomenclatura a la hora de nombrar al elemento comienza por “C3D”. El segundo parámetro son los grados de libertad, los cuales son las variables fundamentales calculadas durante el análisis. Para análisis basados en tensiones y desplazamientos con elementos 3D, los grados de libertad que tiene el elemento son las traslaciones de los nodos que forman el mismo. El número de nodos, junto con el orden de la interpolación es otra característica del elemento. Los desplazamientos, o cualquier variable del elemento, se calculan a nivel de los nodos que definen el mismo, y posteriormente, se interpolan a todo el elemento. Normalmente el orden de esta interpolación lo determina el número de nodos. En nuestro caso se eligieron 8 nodos por elemento, es decir, sólo en las esquinas del hexaedro. En este caso, el orden de interpolación del elemento es lineal.


Fig. 2.2 Elemento hexaédrico de 8 nodos

El motivo de esta elección es principalmente el tiempo de cálculo, que es menor que en elementos con más grados de libertad, así como por la popularidad de este elemento, y los a priori buenos resultados que se obtienen. En cuanto a la formulación empleada, se refiere a la teoría que se usa para determinar el comportamiento del elemento. Por defecto en ABAQUS se usa la teoría Lagrangiana, donde el elemento se deforma como el material. Una formulación alternativa sería la Euleriana, donde los elementos se hallan fijos, y es el material el que fluye a través de ellos. Por último, en cuanto a la integración, se ha impuesto la técnica llamada de integración reducida, que reduce de forma significativa el tiempo del proceso, sin restar exactitud a los resultados. Los elementos con integración reducida tienen un punto menos de integración en cada dirección que los elementos de integración completa. En este caso, el número de puntos de integración es suficiente para integrar exactamente las contribuciones del campo de deformaciones que son de un orden menor que el orden de interpolación. Las contribuciones de mayor orden del campo de deformaciones en esos elementos no se integran. A continuación se resumen los elementos utilizados para formar la malla de cada uno de los modelos. Se han utilizado tres tipos de elementos: · C3D8R: elemento 3D hexaédrico de 8 nodos, interpolación lineal e integración reducida. · C3D8RT: elemento 3D hexaédrico de 8 nodos, interpolación lineal, integración reducida, y temperatura acoplada. · C3D6: elemento 3D prismático triangular de 6 nodos, interpolación lineal. El primer tipo es el elemento hexaédrico de 8 nodos que ya se comentó anteriormente. El segundo tipo de elemento se ha usado únicamente para redondeos y otras geometrías difíciles de discretizar con elementos hexaédricos sin que estos se deformen demasiado. Se ha preferido la utilización de este tipo distinto de elementos a una degradación excesiva del hexaédrico.


El tercer tipo de elementos es idéntico al primero, salvo que incluye un grado de libertad extra para la temperatura. Se ha utilizado en los análisis relacionados con la fuerza de extracción, donde la temperatura jugaba un importante papel como se comentará más adelante. ABAQUS/CAE tiene una herramienta que controla las características geométricas de los elementos, es decir, la malla que se realiza sobre el modelo tiene que ser en la medida de lo posible estructurada, y tener unas características que auguren un buen resultado. Elementos excesivamente distorsionados, con ángulos entre sus caras muy pequeños, relación entre sus dimensiones grande (relación de aspecto), etc. son elementos que a priori ABAQUS interpreta que pueden dar resultados erróneos. Por ello suele avisar con una serie de “warnings” y errores de su existencia. Se ha tenido especial cuidado en este sentido a la hora de realizar las mallas de todos lo modelos para evitar este tipo de errores. 2.2.3 Modelos constitutivos elástico y plástico A la hora de definir las propiedades del material se debe definir también cuál será su ley de comportamiento. Existen en ABAQUS varios modelos constitutivos disponibles capaces de definir este comportamiento. La mayoría de los metales en ingeniería responden de forma elástica a bajos niveles de tensión, de modo que la deformación se recupera totalmente cuando se retira la carga. Si la tensión supera un límite (límite elástico) la deformación no es del todo recuperable y una parte de ella permanece después de retirar la carga. Las teorías de plasticidad modelan este comportamiento. Se describen a continuación las teorías utilizadas para la resolución del modelo objeto de estudio. En cuanto al comportamiento elástico se refiere, ABAQUS proporciona varios modelos para este régimen. El más simple de todos es el de la elasticidad lineal, definiéndose la tensión total a partir de la deformación elástica total de la siguiente manera:

ee D εσ ⋅=

Donde eσ es la tensión en régimen elástico, y eε la correspondiente deformación. Es decir, hay una relación lineal entre tensión y deformación elásticas a través de un tensor de cuarto orden que se llamará D. A la hora de introducir los datos al programa, sólo habrá que proporcionarle dos constantes, como corresponde a un material isótropo: el módulo de elasticidad E , y el coeficiente de Poisson ν . El módulo de elasticidad transversal puede ser expresado en términos de estas dos constantes como G = E/2(1+ν ). Para el comportamiento plástico también existen multitud de opciones más o menos complejas. En general habrá que darle al programa una serie de puntos o alguna ley que defina la evolución de las tensiones más allá del comportamiento elástico. En tres dimensiones, la plasticidad queda definida por una función de plastificación

( )pijij εσφ , , que define los posibles estados y evoluciones de un punto en el espacio de

tensiones. El modelo más sencillo es el de endurecimiento isótropo, donde la superficie de


plastificación que esta función define se expande manteniendo su forma invariante y cambiando sólo su tamaño. No obstante este modelo isótropo no es recomendable para cargas cíclicas, ya que no tiene en cuenta varios efectos como de importancia como puede ser por ejemplo el efecto Bauschinger y otros que a continuación se comentarán. Se va a utilizar por tanto un modelo de plasticidad con endurecimiento cinemático no lineal, es decir, la superficie de plastificación puede desplazarse siguiendo unas leyes determinadas. Dicho modelo es el que ABAQUS recomienda para modelos sujetos a cargas cíclicas, ya que tiene en cuenta los siguientes efectos:

- Efecto Bauschinger: Este fenómeno resulta en un menor nivel de la tensión de fluencia durante la descarga que en la carga, una vez que se ha producido deformación plástica en la carga inicial. El efecto se va reduciendo con cargas cíclicas continuas.

- Ablandamiento o endurecimiento cíclico: es otro fenómeno por el cual los metales, dependiendo de la relación entre el límite elástico y el de rotura, tienden a estabilizar su comportamiento cíclico en un valor límite (mayor en el caso del endurecimiento, o menor con el ablandamiento) distinto del valor inicial al comienzo de la carga cíclica.

Fig. 2.3 Fenómenos de endurecimiento cíclico y efecto Bauschinger

- Ratchetting: este fenómeno es provocado también por cargas cíclicas de carácter

asimétrico, y el efecto es una fluencia progresiva en la dirección de la tensión principal media.


Fig. 2.4 Efecto del Ratchetting

- Relajación de la tensión principal: También es característico de ciclos no simétricos, y el efecto es que a medida que el número de ciclos aumenta, la tensión media va tendiendo a cero.

Fig. 2.5 Efecto de la relajación de la tensión principal

Como se ha comentado, todos estos efectos son tenidos en cuenta en el caso de la plasticidad con endurecimiento cinemático no lineal, luego es este el modelo que se ha elegido para el análisis, ya que sin duda parece el más acertado para un caso de carga cíclica. Comentar que el algoritmo que sigue ABAQUS para modelar las leyes de desplazamiento de la superficie de plasticidad está basado en la regla de Ziegler, la cual supone que la translación se produce en la dirección de la tensión reducida, es decir, la que resulta de restarle a la tensión total el movimiento de la zona plástica. Dichas reglas de traslación son función, aparte de las componentes del tensor de tensiones, del límite elástico del material, y de su módulo de endurecimiento H, definido como:

p

p

d

dH

εσ=


Donde pσ es la tensión una vez que se alcanza la plastificación, y pε la deformación correspondiente. Dicho parámetro queda perfectamente definido introduciendo los datos de la ley de comportamiento a la hora de definir las propiedades del material. 2.2.4 Definición del contacto En el problema de la unión a presión entre tubo y abrazadera, el contacto juega un papel determinante en la solución, ya que lo que se busca precisamente es que ese contacto sea el que sustituya a la soldadura como método de unión entre ambos cuerpos. Es por ello que será necesario un especial cuidado en la definición de los parámetros que rigen dicho contacto a la hora de modelar con ABAQUS. Cuando dos sólidos entran en contacto, las tensiones de contacto se transmiten a través de las superficies comunes. En algunos casos solo se transmiten tensiones normales, mientras que si hay fricción, se puede presentar tensión cortante en la zona de contacto. En el caso del tubo y la abrazadera, existirá fricción entre los dos materiales. Hay muchos tipos de contacto que implican variedad de situaciones geométricas y cinemáticas: contacto entre un sólido deformable y otro rígido, con grandes desplazamientos, auto-contacto, contacto tipo gap… No obstante, el que resulta de interés para el modelo en cuestión es el llamado contacto de Hertz. Dicho tipo implica pequeños desplazamientos, y contacto sobre un área de superficie distribuida. El método de los elementos finitos está basado en el concepto de “soporte local”, es decir, nodos y elementos se comunican sólo con sus vecinos más próximos. Dicho concepto no es suficiente para definir los problemas de contacto. No hay una forma lógica en ABAQUS de detectar las zonas en contacto a menos que el usuario las defina, ya que los puntos (nodos) de un cuerpo necesitan reconocer a los del otro cuerpo, sin llegar a penetrar unos en otros. Es por ello que se deben especificar los pares de contacto, así como un método de interacción entre ellos. A la hora de definir la interacción, es posible elegir entre pequeños o grandes desplazamientos (asume relativa separación, deslizamiento y rotación de las superficies). Debido a que, a priori, el nodo esclavo se moverá a lo largo del plano de contacto una distancia pequeña, se ha elegido la técnica del “small sliding” a la hora de definir el par de contacto. Computacionalmente es una opción también mas barata, ya que la búsqueda del contacto sólo se realiza al comienzo del análisis, y los nodos esclavos interactúan con un número finito de nodos maestros a lo largo del análisis. Se ha de elegir también cuales serán las superficies de contacto. Para ello ABAQUS distingue entre superficie maestra, y superficie esclava, con una serie de restricciones entre ellas. Las normales de la superficie maestra han de ser consistentes, y se deben dirigir hacia la superficie esclava. Las implicaciones de la formulación maestra esclava son las siguientes: - Nodos esclavos no pueden penetrar en la superficie maestra. - Nodos de la superficie maestra sí pueden penetrar en la esclava. - La dirección de contacto es generalmente en dirección normal a la maestra.


Fig. 2.6 Definición del contacto Es por tanto más recomendable un mallado fino de la superficie esclava, y si el mallado de los dos materiales es parecido, lo más óptimo sería definir como esclava a la superficie del material menos rígido. La figura anterior representa un ejemplo de cómo sería la penetración entre dos superficies maestra – esclava. Parece lógico observando estas definiciones que una interferencia inicial entre las superficies violaría todas las restricciones que se imponen a la hora de definir el par de contacto. No obstante ABAQUS posee herramientas que ayudan a solucionar este aparente problema automáticamente. A la hora de definir la interacción, se le puede imponer al programa que vaya disminuyendo la interferencia gradualmente a lo largo del paso. Esto se realiza con la orden “shrink” que lo que hace es, forzosamente en el paso inicial, calcular y eliminar la interferencia.

Fig. 2.7 Evolución del contacto


Esta técnica ha dado buenos resultados y es la que se va a aplicar en general para todos los modelos realizados. Por último cabe comentar que dentro de la formulación maestra – esclava, hay dos tipos de interacciones posibles, son las llamadas nodo – superficie, y superficie – superficie. Describimos a continuación brevemente ambas para justificar su elección. En el caso nodo – superficie, los nodos de una superficie (esclava) interactúan con los segmentos de la otra superficie (maestra). El contacto es forzado en puntos discretos (nodos de la esclava). En el caso superficie – superficie, se fuerza el contacto en un sentido promedio entre los nodos esclavos y los elementos adyacentes de la superficie maestra.

Fig. 2.8 Contacto superficie - superficie

El efecto del contacto está impuesto sobre un número mayor de elementos, mejorando la precisión de los resultados. Este tipo de contacto se recomienda para problemas clásicos de Hertz. Reduce enormemente las penetraciones de la superficie maestra en la esclava, y es menos sensible a la elección de una y otra cuando las mallas son parecidas. Por todas estas razones se ha elegido este tipo de interacción superficie – superficie para la resolución, dando como se verá posteriormente unos resultados bastante aceptables. Hasta ahora se ha hablado de la formulación estricta del contacto, es decir, cómo adaptarlo a las peculiaridades de un análisis de elementos finitos. Se van a comentar ahora las propiedades del contacto en sí, es decir, las propiedades de interacción normal y tangencial que le serán impuestas a los materiales. Para el comportamiento normal de un cuerpo sobre el otro, ABAQUS usa el algoritmo llamado “hard contact”, cuyo comportamiento es el siguiente:


La presión se transmite al par de contacto según la gráfica anterior, es decir, si hay separación, no hay presión. El hecho de que los cuerpos entren en contacto no impide que se puedan separar con posterioridad. El método que se usa por defecto es el de los multiplicadores de Lagrange, el cual tiene el problema de añadir una variable más por cada restricción de contacto, pero tiene la ventaja de la precisión, ya que las restricciones se satisfacen exactamente. No se va a explicar el método en profundidad, ya que resultaría excesivamente complejo. En [3] se explica con detenimiento todo el proceso del contacto, así como método de los multiplicadores. En cuanto al comportamiento tangencial ABAQUS tiene numerosas opciones para modelar la fricción. Se ha elegido la opción “penalty”, donde sólo se aporta el coeficiente de rozamiento estático del contacto (ver anexo Nº 1), es decir, se supone que no va a haber en principio deslizamiento relativo. Todo esto se engloba dentro de la llamada fricción isótropa de Coulomb (los coeficientes de rozamiento son los mismos en las dos direcciones de la superficie), la cual dice que se produce deslizamiento en la zona de contacto cuando la tensión tangencial alcanza un determinado valor, que es el producto de la presión normal a la superficie por el coeficiente de rozamiento. El modelo estándar implementado en ABAQUS consta por tanto de dos regímenes para la fricción, gobernados por el valor de:

22

21 τττ +=eq

Dándose los posibles casos de:

- Adhesión: criteq ττ <

- Deslizamiento: criteq ττ =

Siendo esta tensión crítica, como ya se ha mencionado, proporcional a la presión

normal de contacto: pcrit µτ = , con µ el coeficiente de rozamiento que ha sido impuesto

(0.15).


2.2.5 Problema térmico A la hora de hacer el análisis del ajuste a presión, uno de los requerimientos que se pide es que aguante un cierto margen de temperaturas. Será por ello preciso hacer un análisis de elementos finitos que considere este aspecto también. ABAQUS tiene implementado diferentes métodos de análisis, tanto de transferencia de calor, como de problemas de tensiones causadas por temperatura, etc. No se va a explicar con detenimiento cada uno de ellos, tan sólo comentar que el que se ha usado es el llamado método secuencial acoplado de análisis térmico y de tensiones. Con este método, en primer lugar se resuelve el problema térmico de transferencia de calor. Para el caso del tubo y la abrazadera este primer paso no es preciso realizarlo, ya que se someterá a los dos cuerpos a un incremento de temperatura constante. Una vez resuelto este problema térmico, se procede a un segundo análisis que utilizará las temperaturas resultantes del primero para calcular utilizando los coeficientes de dilatación de los materiales en juego, las tensiones resultantes. Se hablará más detenidamente de los resultados que aporta este método en el apartado 3, pero se puede adelantar que al ser el tubo de acero, y la abrazadera de aluminio, y por tanto tener coeficientes de dilatación distintos, la solución del problema térmico del ajuste variará en función de la interferencia, siendo la variable de interés la fuerza axial que aguanta el ajuste a presión del conjunto. 2.2.6 Modelado con ABAQUS/CAE 6.5 Como ya se mencionó, este será el programa con el que se realizarán todos los análisis de elementos finitos. En este apartado se pretende brevemente dar una idea de la manera con la que se trabaja en ABAQUS, y los pasos que hay que seguir para la realización y obtención de resultados de un modelo, así como el procedimiento específico que se ha llevado a cabo para el modelo en cuestión objeto de estudio. PROCEDIMIENTO: 1) Creación del modelo: (módulo “part”) Para este apartado ABAQUS posee un módulo de dibujo, que incluye herramientas para el diseño 2D, en las que se pueden realizar todas las secciones, y planos que sean necesarios, así como de diseño 3D. Al comienzo de la creación de una pieza se ha de definir la manera en la que se va a realizar (extrusión, revolución…) También se pide su definición como sólido rígido o deformable, así como su dimensión aproximada. La abrazadera fue realizada, con variaciones según el modelo, como un cuerpo principal hecho por extrusión, al que se le añadieron con sucesivas extrusiones las partes que forman la boquilla, así como otros detalles tanto por extrusión como por vaciado. El tubo fue realizado dibujando una sección y creando el sólido de revolución correspondiente.


2) Definición de propiedades: (módulo “property”) En este módulo se definen los materiales que van a ser asignados a las piezas. En el caso del tubo y la abrazadera se definieron dos materiales: acero y aluminio 6082. Las propiedades y demás características de estos materiales se hallan descritas en el siguiente apartado, donde se describen con detalle los modelos realizados. Una vez creados los materiales, deben ser asignados a cada cuerpo. Esto se hace definiendo antes unas secciones como cuerpos sólidos (3D) a las que se le asocian los materiales en cuestión, y posteriormente estas secciones serán las que se les sean asignadas a los sólidos. 3) Definición como objetos de trabajo: (módulo “assembly”) Hasta ahora se tenía una serie de partes creadas, pero hace falta definirlas como objeto de trabajo para pasar al análisis. Es lo que realiza este módulo, a la vez que se definen ya las posiciones relativas de cada cuerpo (tubo y abrazadera) en el espacio. 4) Pasos para el análisis: (módulo “step”) En este módulo se definen los pasos que el programa va a seguir para la resolución del modelo. Se tendrá que asignar un paso para cada estado de carga, contacto, o cambio de las condiciones de contorno que exista en el análisis.

- Contacto: es el primer paso y donde se resuelve el contacto entre tubo y abrazadera, propagándose a su vez a todos los pasos posteriores. Las condiciones de contorno en este paso para evitar un movimiento como sólido rígido del conjunto se aplicarán al tubo, en su extremo libre.

- Agarre Abrazadera: Una vez resuelto el contacto se pasa a la fase de la carga cíclica.

Se comienza encastrando la abrazadera por la zona donde irían los tornillos. También se impone otra condición de contorno que simulará el efecto del knuckle, o pieza que va entre los brazos de la abrazadera. Dicha condición consistirá en impedir los desplazamientos normales a los brazos, simulando la acción de la cara del knuckle.

- Liberación del tubo: se libera la condición de contorno que impusimos en el paso

del contacto y que encastraba el tubo por su extremo libre. Esto se hace en un paso distinto para evitar que en cualquier momento del análisis haya un posible movimiento como sólido rígido del conjunto, lo cual evitaría la convergencia.

- Carga: en este paso se aplica la fuerza cíclica según lo indicado en los

requerimientos, es decir, +/- 2kN que se aplicarán con una frecuencia de 10 Hz. La fuerza será aplicada como dos cargas puntuales en el extremo del tubo y de la misma dirección.


5) Definición de las interacciones: (módulo “interactions”) En el este módulo se definen las interacciones entre el tubo y la abrazadera, es decir, se define todo lo referente al contacto entre los dos cuerpos. Una explicación más detallada de todas las opciones del contacto fue expuesta en el subapartado anterior. Es en este módulo donde se definen las superficies maestra y esclava, las propiedades del contacto, de fricción, etc. 6) Definición de las cargas: (módulo “load”) Aquí se impondrán las cargas exigidas en los requerimientos para comprobar la resistencia del conjunto. Mencionar que en la especificación, la carga está aplicada en una especie de anexo o útil que está unido al tubo, y de mayor longitud que este. En el modelado con elementos finitos se impondrá dicha carga en dos puntos en el extremo del tubo, haciendo que el valor sea tal que produzca el mismo momento en el conjunto.

kNFFmmkNmm 245.32652430 =→⋅=⋅

7) Mallado del modelo: (módulo “mesh”) En este apartado hay que poner especial cuidado, ya que la malla es a final de cuentas lo que matemáticamente va a sustituir a nuestro modelo, y por tanto una malla estructurada y con unas buenas características geométricas asegura unos resultados aceptables. Son numerosas las herramientas que tiene ABAQUS para el mallado. La principal es la de crear particiones en el modelo. Debido a la complejidad de la geometría, ABAQUS no es capaz de mallar automáticamente el modelo estructuradamente con elementos hexaédricos, es necesario “partirlo” en trozos más pequeños de geometría más sencilla. Una vez particionado adecuadamente, es necesario darle el número de elementos por arista o por cara que se quiere poner. También se puede hacer esto globalmente, imponiendo un tamaño general para todos los elementos. Se han combinado ambas técnicas para el modelo tanto del tubo como de la abrazadera. En el tubo como peculiaridad, y para reducir el número de elementos y por tanto el tiempo de cálculo, se ha optado por un mallado gradual en su extremo libre, ya que no interesa tanta información en dicha zona. En cuando al contacto entre el tubo y la abrazadera, se han impuesto el mismo número de elementos circunferencialmente en ambas piezas, para mejorar el comportamiento y la interferencia propia del contacto. Una descripción más detallada de los elementos, y peculiaridades se hizo en el apartado anterior cuando se describieron los tipos de elementos usados y sus características. 8) Creación de un archivo “job”: (módulo “job”) El “job” es el archivo que se crea cuando ya se han impuesto todas las condiciones y particularidades expuestas anteriormente. Se puede decir que es un archivo que reúne todas las condiciones impuestas hasta ahora, y que es el paso previo al comienzo del cálculo


propiamente dicho. A este archivo se le puede implementar multitud de opciones, tales como realizar un “restart” desde un job anterior, es decir, retomar los cálculos desde un análisis anterior, visualizar el estado en el que se encuentra el análisis (monitor), parar el análisis, etc. 9) Visualización de los resultados: (módulo “visualization”) Por último mencionar que ABAQUS tiene este módulo que sirve para representar, así como analizar los resultados provenientes de un modelo que ha sido previamente calculado. Este módulo tiene a su vez multitud de opciones, como representar tensiones, desplazamientos, deformaciones, y todo dato que se le haya pedido explícitamente al programa durante el análisis. También permite obtener las variables para nodos, elementos, etc. así como hacer representaciones gráficas de las evoluciones de cualquier variable a través de un paso, etc.


2.3 Métodos para analizar el comportamiento a fatiga: Uno de los requerimientos para la unión a presión sobre la que está orientado este trabajo es la resistencia a una determinada carga cíclica. Para ello será preciso realizar un análisis a fatiga del conjunto, asegurando que la vida esperada es mayor de la mínima que se nos requiere. Con este objeto, en primer lugar se realizarán cálculos preliminares de vida, utilizando la curva S – N junto con los resultados de la simulación mediante elementos finitos y las propiedades del material. Posteriormente se comprobarán estos resultados con un programa específico del cual hablaremos posteriormente. Se va a realizar por tanto a continuación una breve descripción del proceso de fatiga, sus consecuencias y parámetros de interés. La fatiga, se puede definir de la siguiente manera: “proceso de cambio estructural permanente, progresivo y localizado que se produce en un material sujeto a condiciones que producen tensiones y deformaciones fluctuantes en algún punto y que puede terminar en la aparición de grietas o la fractura completa después de un número suficiente de fluctuaciones”. Como se ve, atendiendo a esta definición, el caso del tubo y la abrazadera es efectivamente un caso donde la variación de las tensiones en el entorno de los concentradores son cíclicas, con una determinada amplitud. Durante el proceso de fallo por fatiga se deben distinguir tres etapas: iniciación de la grieta, crecimiento de ésta y fractura final. La iniciación de la grieta se produce ente los granos del material sometido a carga cíclica, provocando el deslizamiento entre estos. En una primera fase, la grieta va creciendo de manera que sigue las direcciones más favorables al pasar de un grano a otro (direcciones próximas a las tensiones tangenciales máximas). Se denomina crecimiento en modo II. Cuando la longitud es del orden de unos cuantos de granos, la grieta se pone en perpendicular a las tensiones principales máximas, con independencia ya de los granos que atraviese, es el llamado crecimiento en modo I.

Las curvas S-N (tensión-vida) son las más empleadas para estudiar el comportamiento general ante carga cíclica, donde S representa el nivel de tensión aplicada y N es el número de ciclos hasta el fallo del sistema. Estas curvas, para amplitud constante, son representadas normalmente en coordenadas logarítmicas o semilogarítmicas. Considera el proceso de fatiga como un proceso global, sin distinguir las fases de iniciación y propagación.

Los parámetros por tanto que definen un diagrama S-N son los siguientes:

- Vida a fatiga (N): Número de ciclos de tensión o deformación de un cierto tipo que tienen lugar antes de que se produzca el fallo del elemento.

- Resistencia a fatiga (S): Valor hipotético de la tensión en el fallo para un número determinado de ciclos. En la curva sería la amplitud en el punto de mayor variación.

- Límite de fatiga (Sf): Valor límite de la resistencia media a fatiga que se tiene para un número elevado de ciclos en la mayoría de los metales. Este valor se puede hallar a partir de las propiedades mecánicas del material, así como de otras características de fabricación, etc. En aleaciones de aluminio suele estar entre 0.4 y 0.5 veces el valor del límite de rotura.


La curva se utiliza para valores de vida mayores de 1000 ciclos, ya para un número inferior, los valores experimentales se alejan de la recta en escala logarítmica. En estimaciones iniciales, se usará la curva S-N para un primer orden de magnitud de la vida a fatiga de un determinado modelo. Como normalmente se trabaja con intervalos completos de tensiones, parece adecuado definir los siguientes parámetros:

max

min

min max/

/

m a

m a

a m

S S S

S S S

R S S

A S S

= += −

==

A la hora de hablar de tensiones medias, alternas... resulta inmediato con estas relaciones pasar de los rangos de tensiones al parámetro que se requiera. Se realiza por tanto a continuación una estimación de la curva S – N para el aluminio en cuestión que finalmente utilizaremos para la abrazadera, y posteriormente para el acero. En las referencias [3] y [4] se detallan con más detenimiento todos los conceptos en este apartado citados.

• CURVA S-N DEL ALUMINIO:

Para realizar la estimación, se necesita conocer dos puntos de la recta en escala logarítmica, ya que se supondrá que a partir de un millón de ciclos se alcanza el límite de fatiga. Es decir, para aguantar un número mayor de ciclos la tensión ha de estar por debajo de dicho límite. Parece acertado pues comenzar estimando este valor.

- Límite de fatiga: La primera estimación que se suele realizar para el límite de fatiga en una aleación de aluminio es tomar un valor de entre 0.4 y 0.5 veces la tensión última del material. Como una estimación conservativa, se tomará el valor 0.4 con lo que se obtiene:

0.4 124f uS S MPa= ⋅ =

Dicha aproximación se puede obtener también de la gráfica correspondiente a las aleaciones de aluminio, donde lo que se representa es el límite aproximado de fatiga en función de la resistencia última de la aleación. Como se aprecia, dicha gráfica también

utiliza la aproximación de 0.4 veces uS :


Fig. 2.9 Límite de fatiga para el aluminio en función de su resistencia a rotura

A continuación se van a tener en cuenta también otros efectos como es por ejemplo el acabado superficial de la pieza. Para estimarlo, existen también numerosas tablas que dan valores aproximados de un coeficiente a incluir en el límite de fatiga. Dicho coeficiente para valores de resistencia a rotura pequeños suele ser próximo a la unidad.

Fig. 2.10 Efecto del acabado de la pieza en el límite de fatiga


Se observa que para el aluminio que se utiliza en la abrazadera, el cual tiene una resistencia de 310 MPa, hay que fijarse en la parte izquierda de la gráfica. El coeficiente correspondiente a un proceso que esté entre un mecanizado y un pulido comercial s puede aproximar por 0.9, con lo que queda:

0.9 111.6f fS S MPa′ = ⋅ =

Otros efectos, como son la importancia del tamaño o el tipo de carga, se considerarán incluidos en la concentración de tensiones, es decir, en los valores numéricos de las tensiones que arrojará el programa de elementos finitos, luego no hará falta incluir el efecto en la curva, ya que sería redundante. Es este por tanto el valor del límite de fatiga que se impondrá a la hora de estimar la vida de los modelos de abrazadera realizados en aluminio. A continuación se pasa a estimar el otro punto de la recta es escala logarítmica que hace falta para terminar de definir la curva S – N. Dicho punto será el correspondiente al valor de tensión para aguantar

310 ciclos.

- Resistencia para 310 ciclos.

Dicho valor se suele estimar como 0.9 veces la resistencia última, es decir, se utilizará como valor para la estimación el siguiente:

3100.9 279uf

S S MPa= ⋅ =

Con estos dos valores se puede ya definir la ecuación de la curva S – N, ya que se tenían dos parámetros como incógnitas, y ya se tienen dos puntos para hallarlos:

- Ecuación general de la curva: bS N C⋅ =

- Datos de los que se dispone: 6

3

111.6 10

279 10

b

b

C

C

⋅ =⋅ =

- Resolviendo el sistema: 0.1326 697.5S N⋅ =

Si se dibuja esta ecuación en escala semilogarítimca:


Fig. 2.11 Curva S – N para el aluminio

Una vez que se cuenta con el dato de esta curva, para cada modelo se realizará una estimación (desarrollada sólo en el modelo definitivo) de la vida del mismo. Para ello se definirá un parámetro de daño, según el criterio multiaxial de Von Mises, utilizando tanto las tensiones alternas como las medias. Con ese parámetro, el proceso no será más que entrar en la curva, y ver el valor de vida esperada, confirmando si entra o no dentro de los requisitos exigidos.

Fig. 2.12 Método de obtención de la vida a partir de la curva S - N


La aS que se ve en esta gráfica ha de ser hallada con el parámetro de daño que

hemos mencionado, para el cual se definen las siguientes tensiones:

Tensión alterna equivalente según el criterio de Von Mises:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 11, 22, 11, 33, 22, 33, 12, 13, 23,

16

2a eq a a a a a a a a aS σ σ σ σ σ σ τ τ τ = − + − + − + + +

Tensión media equivalente según el criterio de Von Mises:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2, 11, 22, 11, 33, 22, 33, 12, 13, 23,

16

2m eq m m m m m m m m mS σ σ σ σ σ σ τ τ τ = − + − + − + + +

Se ha de tener en cuenta que la tensión alterna está definida no para todo el rango, sino como la variación máxima sobre la tensión media. Es decir, si se utilizan los rangos

completos de tensiones, se tendrá que multiplicar el valor de ,a eqS por 0.5,

correspondiendo este valor por tanto a la mitad del rango de variación. El parámetro de daño que se utilizará no es más que una aplicación de la recta de Goodman para tener en cuenta el efecto de las tensiones medias:

Fig. 2.13 Recta de Goodman

Donde uS es la tensión última a rotura, y ( 1)aS − es la tensión alterna

correspondiente a una tensión media nula (parámetro que se necesita para introducir en la curva S – N). Como se cuenta con la ecuación explícita de la recta, si se despeja la tensión alterna que será el parámetro de daño, se obtiene:

,

,1

a eq

m eq

u

SA

S

S

=−

El número de ciclos que aguanta el modelo por tanto es inmediato a partir de este parámetro y la curva S – N:

1

bCN

A =


No obstante, un efecto que sí hay que tener en cuenta sobre las tensiones a la hora de hallar las equivalentes con las fórmulas expuestas anteriormente es el del gradiente que se produce al profundizar en la zona del concentrador de tensiones. Las tensiones serán máximas en la superficie del mismo, pero irán disminuyendo a medida que se profundiza en el material. La consecuencia de esto es que el efecto es menor o igual al supuesto en la aproximación. Para aproximar este fenómeno hay numerosos métodos, unos más y otros menos complejos. Tras hacer estimaciones se comprobó que la variación desde los métodos más complejos a los más simples era bastante escasa, luego se utiliza la siguiente gráfica para estimar directamente a partir del radio del concentrador el factor correspondiente:

Fig. 2.14 Aproximación del efecto del gradiente de tensiones

En cada modelo, según el radio de redondeo de la zona más desfavorable se entra en la gráfica y se obtiene el valor correspondiente, el cual multiplicará a las tensiones, y al ser menor que la unidad, disminuirá el efecto desfavorable de las mismas.

• CURVA S–N PARA EL ACERO:

A continuación se va a hacer el mismo cálculo para el acero. En este caso, dicho acero tiene un límite último de rotura de 616 MPa, por lo que con este dato, y con la ayuda de las gráficas anteriores de estimación de los diversos coeficientes necesarios, se pueden hallar de igual modo que en el caso anterior los parámetros que definen la curva.

- Límite de fatiga


Se utiliza en primer lugar la estimación de que el límite de fatiga está entre 0.4 y 0.5 veces el de rotura. Como estimación conservativa, se opta por el valor menor de entre estos:

0.4 246f uS S MPa= ⋅ =

A continuación habrá que multiplicar este valor por el coeficiente correspondiente al acabado superficial. Entrando en la gráfica presentada anteriormente con la resistencia del material, y buscando en la curva que corresponde a un acabado entre pulido y mecanizado, se obtiene un coeficiente de 0.8.

0.8 197f fS S MPa′ = ⋅ =

- Resistencia para 310 ciclos De nuevo se estima dicho valor como 0.9 veces el del límite de rotura del material, obteniendo lo siguiente:

3100.9 554uf

S S MPa= ⋅ =

Con estos dos valores se puede ya definir la ecuación de la curva S – N, ya que había dos parámetros como incógnitas, y ya se tienen dos puntos para hallarlos:

- Ecuación general de la curva: bS N C⋅ =

- Datos de los que disponemos: 6

3

197 10

554 10

b

b

C

C

⋅ =

⋅ =

- Resolviendo el sistema: 0.1497 1557.9S N⋅ =

Si se dibuja esta ecuación en escala semilogarítimca:


Fig. 2.15 Curva S – N para el acero

Una vez con la curva, la manera de entrar en ella y hallar el número de ciclos que un determinado espécimen aguanta es idéntica a la manera descrita con el aluminio, hallando las tensiones media y alterna equivalentes, y posteriormente el parámetro de daño con el que entrar a la curva. El efecto del gradiente de tensiones también habría de ser tenido en cuenta, sabiendo siempre que es un efecto favorable. Es decir, si se obtiene una vida aceptable sin tener en cuenta dicho efecto, se puede estar seguro de que el mismo no afectará negativamente al resultado. La forma de obtener el valor del coeficiente que refleja este efecto del gradiente es de nuevo entrando en la gráfica correspondiente expuesta al hablar del aluminio, y obtener el factor q correspondiente.

2. métodos para abordar el problema -...

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