Chapter 3

Aplikasi Turunan

1

3.1 Fungsi Naik dan Turun

2

Fungsi Naik dan Turun

3

Misalkan 𝑓 fungsi yang terdefinisi di 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Misalkan pula 𝑥1 dan 𝑥2 dua bilangan dalam selang tersebut. Maka• 𝑓 dikatakan monoton naik pada selang jika 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1) untuk

𝑥2 > 𝑥1• 𝑓 dikatakan monoton turun pada selang jika 𝑓(𝑥2) < 𝑓(𝑥1) untuk

𝑥2 > 𝑥1

4

( ) 0f x

gradien garis singgung positif 𝑓 naik

( ) 0f x

gradien garis singgung negatif 𝑓 turun

Contoh

5

Tentukan selang di mana fungsi berikut naik atau turun.1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 7

2. 𝑔 𝑥 =𝑥2

𝑥−2

Ekstrim Lokal

6

Grafik fungsi 𝑓 dikatakan mencapai maksimum lokal pada 𝑥 = 𝑐jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di dalam selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 yang memuat 𝑐. Grafik fungsi 𝑓 dikatakan mencapai minimum lokal pada 𝑥 = 𝑐jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) pada selang tersebut. Maksimum dan minimum lokal dari fungsi f disebut ekstrim lokal.

Bilangan kritis dan titik kritis

7

Bilangan c pada domain 𝑓 disebut bilangan kritis jika 𝑓’(𝑥) =0 atau 𝑓’(𝑥) tidak kontinu (tidak ada). Titik (𝑐, 𝑓(𝑐)) pada grafik fungsi 𝑓 disebut titik kritis untuk 𝑓.

Ektrim local hanya dapat terjadi pada titik kritis!

Karena 𝑓 monoton naik jika 𝑓’(𝑥) > 0 dan turun jika 𝑓’(𝑥) <0, titik 𝑐 di mana 𝑓 memiliki ektrim lokal adalah pada saat𝑓’(𝑐) = 0 atau 𝑓’ tidak kontinu di 𝑐 (𝑓’(𝑐) tidak ada).

8

Tidak semua titik kritis memberikan ekstrim lokal!

Tiga titik kritis dengan 𝑓’(𝑥) = 0: (a) maksimum lokal, (b) minimum local, (c) bukan ekstrim lokal.

9

Tidak semua titik kritis memberikan ekstrim lokal!

Tiga titik kritis di mana f’(x) tidak ada:(a) maksimum lokal, (b) minimum lokal (c) bukan ekstrim lokal.

10

Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim LokalMisalkan 𝑐 bilangan kritis untuk fungsi 𝑓. Maka titik kritis (𝑐, 𝑓(𝑐))adalah

maksimum lokal jika 𝑓 ′ 𝑥 > 0 di sebelah kiri

𝑐 dan 𝑓 ′ 𝑥 < 0 di sebelah kanan 𝑐 c 0f 0f

minimum lokal jika 𝑓′ 𝑥 < 0 di sebelah kiri 𝑐dan 𝑓′ 𝑥 > 0 di sebelah kanan 𝑐 c 0f 0f

bukan ekstrim lokal jika 𝑓′ 𝑥 bertanda samadi sebelah kiri dan kanan 𝑐

c 0f 0f

c 0f 0f

Contoh

11

1. Tentukan semua ekstrim lokal dari fungsi berikut.1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 − 7

2. 𝑔 𝑥 =𝑥2

𝑥−2

2. Penghasilan yang diperoleh dari penjualan skateboard bermotor 𝑡 minggu setelah produk tersebut diperkenalkan

ke pasar adalah 𝑅 𝑡 =63𝑡−𝑡2

𝑡2+63juta dolar. Kapankah

penghasilan maksimum terjadi? Berapakah penghasilanmaksimum tersebut?

3.2 Kecekungan

12

13

Kenaikan atau penurunan gradien garis singgung juga penting!

Gambar. 𝑄(𝑡): produksi pekerja pabrik 𝑡 jam setelah mulai bekerja.

14

KecekunganJika fungsi 𝑓 dapat diturunkan dalam selang 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 makagrafik dari 𝑓 dikatakan• cekung ke atas pada 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 jika 𝑓’(𝑥) naik pada interval

tersebut• cekung ke bawah pada 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 jika 𝑓’(𝑥) turun pada

interval tersebut

Contoh

15

Tentukan selang kecekungan dari fungsi

𝑓 𝑥 = 2𝑥6 − 5𝑥4 + 7𝑥 − 3

16

Kecekungan berbeda dengan kemonotonan!

Titik Infleksi

17

Titik infleksi adalah titik (𝑐, 𝑓(𝑐)) pada grafik fungsi 𝑓 di mana kecekungan berubah. Pada titik tersebut, 𝑓’’(𝑐) = 0 atau 𝑓" tidakkontinu di 𝑐 (𝑓’’(𝑐) tidak ada).

Contoh.

Tentukan titik infleksi dari fungsi berikut.

1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥4 − 1

2. 𝑔 𝑥 = 𝑥 ൗ1 3

18

Catatan: Suatu fungsi dapat memiliki titik infleksi hanya di tempat di mana fungsi tersebut kontinu! Namun 𝑓”(𝑥) = 0 bukan merupakan jaminan bahwa titiktersebut merupkan titik infleksi.

19

Grafik fungsi dengan kecekungan dan titik infleksi

Contoh

20

Tentukan di mana fungsi

15181223)( 234 ++−−= xxxxxf

naik dan turun, dan di mana grafik fungsinya cekung ke atas dan cekung ke bawah. Tentukan semua ektrim lokal dan titik infleksi, serta sketsalah grafik fungsinya.

Uji Turunan Kedua

Misalkan 𝑓”(𝑥) ada pada suatu selang buka yang memuat 𝑐 dan 𝑓’(𝑐) = 0.

• Jika 𝑓”(𝑐) > 0 maka 𝑓 memiliki maksimum lokal di 𝑐.

• Jika 𝑓”(𝑐) < 0 maka 𝑓 memiliki minimum lokal di 𝑐.

Namun jika 𝑓” 𝑐 = 0 atau 𝑓”(𝑐) tidak ada, maka tidak ada kesimpulanyang dapat diambil.

21

Contoh

1. Misalkan 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 − 5𝑥3. Tentukan titik kritis dari f dan tentukan apakah di mana f memiliki maksimum dan minimum lokal.

2. Dalam suatu pabrik, seorang buruh yang bekerja pada sesi pagi(mulai Pk. 8.00 dan diakhiri Pk. 12.00) akan memproduksi 𝑄 𝑡 =− 𝑡3 + 9𝑡2 + 12𝑡 unit setelah bekerja selama 𝑡 jam. Kapankahburuh tersebut bekerja paling efisien?

22

23

3

Max

+ + + + - - - - - -t

0 4

3.3 Sketsa Grafik

24

Makna limit di tak hingga dan limit takhingga pada grafik fungsi

Pandang fungsi rasional 𝑓 𝑥 =𝑥+1

𝑥−2.

lim𝑥→2−

𝑥+1

𝑥−2=? lim

𝑥→2+

𝑥+1

𝑥−2=?

lim𝑥→∞

𝑥+1

𝑥−2=? lim

𝑥→−∞

𝑥+1

𝑥−2=?

Garis 𝑥 = 𝑐 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi 𝑓 jika

lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ∞ (atau −∞) atau lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = ∞ (atau −∞)

Garis 𝑦 = 𝑏 adalah asimtot horisontal dari grafik fungsi 𝑓 jika

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑏 atau lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = 𝑏

25

Contoh

Tentukan semua asimtot dari grafik fungsi berikut.

1. 𝑓 𝑥 =𝑥2−9

𝑥2+3𝑥

2. 𝑓 𝑥 =𝑥2

𝑥2+𝑥+1

26

General Procedure for Sketching a Graph of a Function

27

Contoh

Sketsalah grafik fungsi

1. 𝑓 𝑥 =𝑥

(𝑥+1)2

2. 𝑓 𝑥 =3𝑥2

𝑥2+2𝑥−1528

3.4 Optimisasi

29

Maksimum dan Minimum Global

30

Misalkan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada selang 𝐼 yang memuat 𝑐. Maka𝑓(𝑐) adalah maksimum global dari 𝑓 pada 𝐼 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥)untuk semua 𝑥 di 𝐼𝑓(𝑐) adalah minimum global dari 𝑓 pada 𝐼 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥)untuk semua 𝑥 di 𝐼

Sifat Nilai Ekstrim

31

Fungsi 𝑓 yang kontinu pada selang tutup 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 mencapainilai ekstrim global pada titik ujung selang atau pada titik kritis𝑐 di dalam selang.

Contoh

Carilah maksimum dan minimum global dari fungsi

𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 12𝑥 + 7

pada selang −3 ≤ 𝑥 ≤ 0.

32

Contoh

Selama beberapa minggu, PT Jasa Marga mendata kecepatankendaraan yang melalui gerbang tol tertentu. Data menunjukkan bahwa di antara Pk. 13.00 dan Pk. 18.00 pada hari kerja, kecepatan kendaraan tersebut adalah 𝑠 𝑡 = 𝑡3 −10.5𝑡2 + 30𝑡 + 20 km per jam, dengan t ada banyaknya jam setelah tengah hari.

Pada Pk. berapakah kendaraan bergerak paling cepat dan paling lambat?

33

Contoh

Dalam suatu pabrik, diestimasi bahwa ketika 𝑞 ribu unit darisuatu komoditas diproduksi setiap bulan, biaya produksi total adalah 𝐶 𝑞 = 0.4𝑞2 + 3𝑞 + 40 ribu dolar dan seluruh unit tersebut dapat dijual dengan harga 𝑝 𝑞 = 22.2 − 1.2𝑞 dolarper unit.

a. Tentukan level produksi yang memberikan keuntunganmaksimum. Berapakah keuntungan maksimum tersebut?

b. Tentukan level produksi di mana biaya rata-rata 𝐴 𝑞 =𝐶(𝑞)

𝑞diminimumkan.

c. Tentukan level produksi di mana biaya rata-rata samadengan biaya marginal.

34

Dua Prinsip Analisis Marginal untukKeuntungan Maksimum

Jika penghasilan yang diperoleh dari penjual 𝑞 unit adalah𝑅(𝑞) dan biaya produksi adalah 𝐶(𝑞), maka keuntunganadalah

𝑃 𝑞 = 𝑅 𝑞 − 𝐶 𝑞 .

Karena 𝑃’(𝑞) = [𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞)]’ = 𝑅’(𝑞) − 𝐶’(𝑞) dan 𝑃"(𝑞) =[𝑅(𝑞) − 𝐶(𝑞)]" = 𝑅"(𝑞) − 𝐶"(𝑞), maka untukmemaksimumkan keuntungan:

• agar 𝑃’(𝑞) = 0 haruslah 𝑅’(𝑞) = 𝐶’(𝑞), dan

• agar 𝑃”(𝑞) < 0 haruslah 𝑅”(𝑞) < 𝐶”(𝑞).

35

Prinsip Analisis Marginal untukBiaya Rata-rata Minimum

Jika 𝐶(𝑞) adalah biaya memproduksi 𝑞 unit suatu komoditas, maka biaya produksi rata-rata per unit adalah

𝐴 𝑞 =𝐶(𝑞)

𝑞.

Dengan Aturan Pembagian diperoleh

𝐴′ 𝑞 =𝐶′ 𝑞 𝑞−𝐶(𝑞)

𝑞2.

Untuk meminimumkan biaya produksi rata-rata: 𝐴′ 𝑞 = 0, sehingga 𝐶′ 𝑞 𝑞 − 𝐶 𝑞 = 0 atau 𝐶′ 𝑞 𝑞 = 𝐶(𝑞).

Dengan demikian 𝐶′ 𝑞 =𝐶(𝑞)

𝑞(biaya marginal sama dengan

biaya produksi rata-rata).

36

Makna Ekonomi

37

Biaya marginal (𝑀𝐶) adalah estimasi biaya produksi biladilakukan penambahan 1 unit. Jika unit tambahan tersebut berbiaya lebih rendah daripadabiaya produksi rata-rata (𝐴𝐶) atau 𝑀𝐶 < 𝐴𝐶, maka unit tambahan yang lebih murah ini akan mengakibatkan biayaproduksi rata-rata menjadi turun. Sebaliknya, jika unit tambahan tersebut berbiaya lebih tinggidaripada biaya produksi rata-rata atau 𝑀𝐶 > 𝐴𝐶, maka unit tambahan yang lebih mahal ini akan mengakibatkan biayaproduksi rata-rata menjadi naik. Namun jika 𝑀𝐶 = 𝐴𝐶, maka biaya produksi rata-rata tidakturun atau naik, yang berarti (𝐴𝐶)’ = 0.

Harga dan Permintaan

38

Pada umumnya, penambahan harga per unit suatu komoditasakan mengakibatkan turunnya permintaan, namun seberapasensitif atau responsif permintaan terhadap perubahan hargabervariasi dari satu komoditas ke komoditas lain.

Untuk komoditas seperti sabun atau garam, perubahan hargadalam prosentase yang kecil memiliki efek yang kecil terhadappermintaan.

Namun untuk komoditas lain seperti tiket pesawat atau kreditrumah, perubahan kecil dalam harga dapat mempengaruhipermintaan secara dramatis.

Price Elasticity of Demand

Jika fungsi permintaan 𝑞 = 𝐷(𝑝) dapat diturunkan, maka

prosentase laju perubahan permintaan q adalah: 100

𝑑𝑞

𝑑𝑝

𝑞dan

prosentase laju perubahan harga p adalah: 100

𝑑𝑝

𝑑𝑝

𝑝=

100

𝑝.

Sehingga sensitifitas terhadap perubahan harga diukur oleh rasio

100𝑑𝑞𝑑𝑝

𝑞100𝑝

=𝑝

𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑝

yang dalam ekonomi disebut price elasticity of demand.

39

Makna Price Elasticity of Demand

Jika fungsi permintaan 𝑞 = 𝐷(𝑝) dapat diturunkan, maka

𝐸(𝑝) =𝑝

𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑝

disebut price elasticity of demand dan bermakna prosentaseperubahan permintaan 𝑞 yang terjadi karena 1% perubahan dalamharga 𝑝.

Karena permintaan 𝑞 turun seiring dengan peningkatan harga, maka𝑑𝑞

𝑑𝑝< 0. Karena 𝑞 > 0 dan 𝑝 > 0, maka 𝐸(𝑝) < 0.

Sebagai contoh, jika suatu komoditas dikatakan memiliki price elasticity of demand −0.5 pada harga 𝑝, artinya 10% kenaikan harga akanmemberikan penurunan 5% dalam permintaan.

40

Contoh

Misalkan 𝑞 adalah permintaan dan 𝑝 harga per unit untuksuatu komoditas yang dihubungkan oleh suatu persamaanlinear 𝑞 = 240 − 2𝑝 (untuk 0 ≤ 𝑝 ≤ 120).

a. Ekspresikan elasticity of demand sebagai fungsi dari 𝑝.

b. Hitunglah elasticity of demand pada saat harga 𝑝 = 100. Berikan interpretasi untuk jawaban Anda.

c. Hitunglah elasticity of demand pada saat harga 𝑝 = 50. Berikan interpretasi untuk jawaban Anda.

d. Pada harga berapakah elasticity of demand sama dengan− 1? Apakah makna dari harga tersebut?

41

Tingkat Elasticity

• 𝐸 𝑝 > 1: Elastic demandProsentase penurunan permintaan lebih besar dariprosentase peningkatan harga. Artinya, permintaan sensitifterhadap perubahan harga.

• 𝐸 𝑝 < 1: Inelastic demandProsentase penurunan permintaan lebih kecil dariprosentase peningkatan harga. Artinya, permintaan tidaksensitif terhadap perubahan harga.

• 𝐸 𝑝 = 1: Unitary demandProsentase penurunan permintaan kurang lebih samadengan prosentase peningkatan harga.

42

Tingkat Elasticity dan Penghasilan

Asumsikan bahwa fungsi permintaan 𝑞 dapat diturunkan terhadap 𝑝.

Karena 𝑅(𝑝) = 𝑝𝑞, maka𝑑𝑅

𝑑𝑝= 𝑝

𝑑𝑞

𝑑𝑝+ 𝑞.

Sehingga,𝑑𝑅

𝑑𝑝=

𝑞

𝑞𝑝𝑑𝑞

𝑑𝑝+ 𝑞 = 𝑞

𝑝

𝑞

𝑑𝑞

𝑑𝑝+ 1 = 𝑞 𝐸 𝑝 + 1 .

Jika permintaan elastic ( 𝐸 𝑝 > 1), maka 𝐸 𝑝 < −1 sehingga

𝐸 𝑝 + 1 < 0 dan 𝑑𝑅

𝑑𝑝= 𝑞 𝐸 𝑝 + 1 < 0. Artinya, peningkatan kecil

dalam harga akan mengakibatkan penurunan penghasilan.

Jika permintaan inelastic ( 𝐸 𝑝 < 1), maka −1 < 𝐸 𝑝 < 0 sehingga

𝐸 𝑝 + 1 > 0 dan 𝑑𝑅

𝑑𝑝> 0. Artinya, peningkatan kecil dalam harga akan

mengakibatkan peningkatan penghasilan.

Jika permintaan unitary ( 𝐸 𝑝 = 1), maka 𝐸 𝑝 = −1 sehingga𝑑𝑅

𝑑𝑝=

0. Artinya, peningkatan kecil dalam harga tidak akan mengakibatkanperubahan penghasilan.

43

Tingkat Elasticity dan Penghasilan

• 𝐸 𝑝 > 1: Elastic demand

Penghasilan 𝑅 turun sejalan dengan peningkatan harga 𝑝.

• 𝐸 𝑝 < 1: Inelastic demand

Penghasilan 𝑅 naik sejalan dengan peningkatan harga 𝑝.

• 𝐸 𝑝 = 1: Unitary demand

Penghasilan tidak dipengaruhi oleh peningkatan kecil dalamharga.

44

Contoh

Manajer suatu toko buku menemukan bahwa jika suatu novel dijual pada harga 𝑝 per buku, maka permintaan harian adalah 𝑞 = 300 − 𝑝2 buku, dengan 0 ≤ 𝑝 ≤ 300.

a. Tentukan di mana permintaan bersifat elastic, inelastic, dan unitary.

b. Berikan interpretasi untuk jawab a. dalam hal perilaku penghasilansebagai fungsi dari harga.

45