buku numerik.doc
DESCRIPTION
numerikTRANSCRIPT
BAB I
PENGERTIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYADALAM TEKNIK SIPIL
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. menjelaskan pengertian metode numerik
2. menjelaskan manfaat komputer dalam menunjang metode numerik
3. memberikan contoh-contoh konkrit penerapan metode numerik dalam teknik
sipil
4. menjelaskan konsep dasar penyelesaian persamaan matematika dengan
metode numerik
1
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
DESKRIPSI
Dalam bab ini Anda akan mempelajari pengertian numerik, manfaat
komputer dalam membantu penyelesaian numerik dan penerapan metode numerik
dalam teknik sipil. Dalam bab ini Anda juga akan mengetahui bagaimana
ampuhnya metode numerik dalam menyelesaikan berbagai permasalahan model
matematika. Secara sepintas dalam bab I juga dibahas mengenai bagaimana
penerapan metode numerik dalam menyelesaikan suatu persamaan matematik.
Bab I sampai dengan bab III merupakan dasar dari metode numerik yang
harus Anda pahami dahulu. Pada Bab II, Anda akan mempelajari berbagai jenis
kesalahan akibat penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik. Pada bab
III dapat dipelajari salah satu bahasa pemrograman yaitu QBASIC sebagai dasar
untuk membuat program yang sangat bermanfaat sebagai alat bantu penyelesaian
metode numerik. Pada bab IV sampai dengan bab VIII, Anda dapat mempelajari
berbagai macam jenis persamaan matematika yang dapat diselesaikan dengan
metode numerik. Dalam bab IV Anda akan diajak untuk mengingat kembali
mengenai fungsi persamaan matematika yaitu linier dan tidak linier. Selanjutnya
Anda dapat mempelajari mencari akar-akar persamaannya. Setelah Anda
mengingat kembali fungsi-fungsi persamaan, permasalahan numerik terbagi
menjadi tiga bagian yang terpisah. Pada bab V, Anda dapat mempelajari aljabar
linier yang dapat digunakan untuk membantu penyelesaian persamaan regresi
pada bab VI. Pada bab VII, Anda dapat mempelajari metode interpolasi yang
dapat digunakan untuk mencari nilai diantara hasil suatu fungsi. Sedangkan pada
bab VIII, Anda dapat mencari luasan suatu bidang dibawah fungsi persamaan
matematika tertentu dengan menggunakan integral numerik. Hal yang perlu
diperhatikan dalam mempelajari metode numerik adalah Anda harus telah
menguasai matematika dasar dan komputer karena kedua bidang ini menjadi
prasyarat awal untuk dapat memahami metode numerik.
KATA-KATA KUNCI
Metode numerik, pengertian, manfaat dalam teknik sipil
2
A. Pengertian Metode Numerik
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-
permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi
hitungan (aritmetic). Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan
dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-berulang. Oleh karena itu
diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut.
Metode numerik mampu menyelesaikan suatu persamaan yang besar, tidak linier
dan sangat kompleks yang tidak mungkin diselesaikan secara analitis.
B. Manfaat Metode Numerik Dalam Teknik Sipil
Meskipun metode numerik banyak dikembangkan oleh para ahli
matematika, tetapi ilmu tersebut bukan hanya milik mereka. Ilmu metode numerik
adalah milik semua ahli dari berbagai bidang, seperti teknik, kedokteran, sosial
dan bidang ilmu lainnya. Berbagai masalah yang ada dalam berbagai disiplin ilmu
pengetahuan dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena
yang berpengaruh. Sebagai contoh dalam teknik sipil adalah gerak air atau polutan
dalam air, perhitungan momen atau gaya lintang dalam suatu bangunan struktur
akibat suatu gaya tertentu dan sebagainya.
Biasanya fenomena yang berpengaruh tersebut cukup banyak dan
sangat kompleks, dan untuk menyederhanakannya dilakukan beberapa anggapan
sehingga beberapa fenomena yang kurang berpengaruh dapat diabaikan.
Meskipun telah dilakukan penyederhanaan, namun sering persamaan tersebut
tidak bisa diselesaikan secara analitis. Untuk itu maka diperlukan metode numerik
untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya
memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari
penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat
kesalahan terhadap nilai eksak. Kesalahan-kesalahan ini akan dibahas pada bab II.
Berbagai macam software komputer yang menerapkan metode numerik
untuk teknik sipil saat ini telah banyak beredar dan berkembang dari tahun ke
tahun. Contoh untuk analisa struktur yang cukup popuper adalah SAP 90
3
(Structural Analysis Programs 90) yang dikembangkan oleh 1918 University
Avenue Barkeley California, Amerika Serikat. Program ini dikembangkan dari
metode numerik Finite Elemen. Untuk software keairan yang cukup dikenal antara
lain adalah DUFLOW, yaitu program untuk mengsimulasikan aliran tidak
permanen (unsteady flow) satu dimensi dan kualitas air dalam sistem saluran
terbuka. Program ini dikembangkan oleh tiga institusi di Belanda yaitu : IHE
Delft, Departemen Pekerjaan Umum, dan Teknik Sipil Delft University of
Technology. Program ini dikembangkan menggunakan metode numerik finite
difference.
Program-program aplikasi untuk teknik sipil tersebut harganya cukup
mahal (rata-rata 30 (tiga puluh) juta rupiah perpaket) dan sangat sulit dicari di
Indonesia. Untuk mengatasi hal tersebut maka pada saat ini beberapa lembaga
penelitian di Indonesia telah mulai mengembangkan perangkat lunak aplikasi
numerik antara lain adalah GAMAFLOW yang dikembangkan oleh Universitas
Gajah Mada (UGM) untuk bidang keairan.
RINGKASAN
4
1. Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (aritmetic).
2. Dalam metode numerik ini dilakukan operasi hitungan dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-berulang. Oleh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan.
3. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak
LATIHAN
1. Jelaskan yang dimaksud dengan metode numerik
2. Jelaskan manfaat komputer dalam menunjang metode numerik
3. Jelaskan konsep dasar penyelesaian persamaan matematika dengan metode
numerik
4. Banyak software simulasi dalam teknik sipil saat ini yang beredar dipasaran.
Software–software tersebut menerapkan metode numerik untuk membantu
mengsimulasikan fenomena yang akan kita amati. Carilah beberapa software
komputer yang pembuatannya berdasarkan metode numerik (minimal 2).
Gunakan format yang disediakan.
No Nama Software Kegunaan Software
5
BAB II
MACAM-MACAM KESALAHAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. menjelaskan macam-macam kesalahan numerik
2. menjelaskan hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan
3. menjelaskan perbedaan kesalahan absolut dan relatif
4. menghitung kesalahan absolut dan relatif
6
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
DESKRIPSI
Pada bab II ini, Anda akan dapat mempelajari macam-macam kesalahan
numerik, hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan, perbedaan
kesalahan absolut dan relatif. Dalam bab ini, Anda akan mengetahui bagaimana
kesalahan-kesalahan itu terjadi, apakah kesalahan tersebut menunjukkan besarnya
tingkat kesalahan (significant) atau tidak.
Pada bab I, Anda telah mempelajari bahwa penyelesaian secara numerik
dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang
mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ini berarti bahwa
penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Dalam bab
II jenis-jenis kesalahan dan hubungannya dengan nilai eksak akan dibahas lebih
mendalam. Setelah Anda memahami macam-macam kesalahan dalam bab II ini,
maka pada bab IV sampai dengan bab VIII harus telah dapat memahami bahwa
seluruh proses perhitungan numerik hanyalah proses perhitungan perkiraan
sehingga Anda harus lebih hati-hati dalam langkah perkiraan untuk memperkecil
kesalahan atau perbedaan antara nilai eksak terhadap nilai perkiraan anda. Proses
memperkirakan nilai ini sangat lama, berulang-ulang dan sering kali bersifat coba
banding (trial and error). Untuk mempercepat proses tersebut dapat dibantu
dengan program komputer yang akan dibahas pada bab III.
KATA-KATA KUNCI
Metode numerik, macam-macam kesalahan
7
A. Kesalahan (error)
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya
memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (benar) dari penyelesaian
analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap
nilai eksak.
Ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan
dan kesalahan pemotongan.
Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut
bisa terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau
kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data
yang diukur.
Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa
angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan
perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. Suatu bilangan
dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari
posisi tersebut nol. Sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau
dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih
besar dari setengah dari angka posisi ke n.
Contoh :8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14
Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai
dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak
terhingga diganti proses hingga. Di dalam matematika, suatu fungsi dapat
dipresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga, misalkan:
ex = 1 + x +x2/2! + x3/3! + x4/4! + ......
Nilai eksak dari ex diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut
diperhitungkan. Dalam praktek, sulit memperhitungkan semua suku sampai tak
terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka
hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya
diperhitungkannya beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan pemotongan.
8
B. Kesalahan Absolut dan Relatif
Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan
dalam bentuk berikut ini :
p = p* + Ee
dengan :p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : keslahan terhadap nilai eksak
Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. dari
bentuk persamaan di atas maka didapat bahwa kesalahan adalah perbedaan antara
nilai eksak dan nilai perkiraan,
Ee = p – p* (1.1)
Bentuk kesalahan seperti diberikan oleh persamaan (1.1) disebut dengan
kesalahan absolut. Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat
kesalahan. Sebagai contoh, kesalahan satu sentimeter pada pengukuran pensil
akan sangat terasa dibanding dengan keslahan yang sama pada pengukuran
panjang jembatan.
Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan
relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai nilai
eksak.
e = Ee/p (1.2)
dengan e adalah kesalahan relatif terhadap nilai eksak.
Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini,
e = Ee/p x 100% (1.3)
Contoh :
Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9.999 cm dan 9 cm. Apabila panjang benar (eksak) adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.
Penyelesaian :a. Kesalahan absolut,- Jembatan :Ee = 10.000 – 9.999 = 1 cm
9
- Pensil :Ee = 10 – 9 = 1 cm
b. Kesalahan relatif : - Jembatan :e = Ee/p x 100% = 1/10.000 x 100% = 0,01%- Pensil :e = 1/10 x 100% = 10%
Contoh tersebut menunjukkan bahwa meskipun kesalahan adalah sama
yaitu 1 cm, tetapi kesalahan reltif pensil adalah jauh lebih besar. Kesimpulan yang
dapat diambil bahwa pengukuran jembatan memberikan hasil yang baik
(memuaskan), sementara hasil pengukuran pensil tidak memuaskan.
RINGKASAN
LATIHAN
1. Jelaskan macam-macam kesalahan numerik
2. Jelaskan hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan
3. Jelaskan perbedaan kesalahan absolut dan relatif
10
1. Ada tiga macam kesalahan perkiraan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan
2. Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data3. Kesalahan pembulatan terjadi karena tidak
diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan
4. Kesalahan pemotongan terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar
5. Ada dua jenis kesalahan hubungan antara nilai eksak dan nilai perkiraan yaitu kesalahan absolut dan kesalahan relatif.
6. Kesalahan absolut adalah kesalahan perbedaan (selisih) antara nilai eksak dan nilai perkiraan dan tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan
7. kesalahan relatif, adalah tingkat kesalahan yang dilakukan dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak
BAB III
BAHASA PEMROGRAMAN QBASIC
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. membuat program dengan perintah dasar (CLS,PRINT,END)
2. membuat program dengan perintah memasukkan data (INPUT)
3. menjelaskan konsep variabel dalam bahasa QBASIC
4. menjelaskan operator aritmatika dalam bahasa QBASIC
5. membuat program dengan perintah percabangan tak bersyarat (GOTO)
6. membuat program dengan perintah percabangan bersyarat (IF - THEN, IF -
THEN - ELSE )
7. menjelaskan pengertian operator relasional dan kondisi
8. menjelaskan dan membuat diagram alir (FLOWCHART)
9. membuat program dengan perintah pengulangan proses /Looping (FOR - TO -
STEP - NEXT
10. membuat program dengan perintah variabel berindeks (DIM)
11
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
DESKRIPSI
Perkembangan yang dasyat komputer saat ini ikut mendorong pesatnya
pengembangan dan penggunaan metode numerik. Perkembangan hardware
(perangkat keras) selalu diikuti oleh perkembangan software (perangkat lunak).
Salah satu perangkat lunak adalah bahasa pemrograman. Saat ini di pasar
komputer banyak sekali beredar berbagai macam bahasa pemrogaman antara lain
PASCAL,BASIC, FORTRAN, QBASIC, TURBO PASCAL, VISUAL BASIC,
DELPHI, POWER STATION dan sebagainya. Dalam bab ini Anda hanya akan
mempelajari bahasa pemrogaman QBASIC. Pemilihan bahasa pemrogaman ini
tidak berarti bahwa bahasa pemrogaman QBASIC adalah yang terbaik untuk
penyelesaian metode numerik dan membatasi Anda untuk menggunakan bahasa
pemrogaman yang lain, tetapi bab III ini hanya memberikan suatu gambaran
mengenai salah satu bahasa pemrogaman yang dapat digunakan untuk membantu
menyelesaikan persamaan numerik. Dalam bab III Anda dapat mempelajari: (1)
membuat program dengan perintah dasar, (2) membuat program dengan perintah
memasukkan data, (3) konsep variabel dalam bahasa QBASIC, (4) operator
aritmatika dalam bahasa QBASIC, (5) membuat program dengan perintah
percabangan tak bersyarat, (6) membuat program dengan perintah percabangan
bersyarat, (7) pengertian operator relasional dan kondisi, (8) diagram alir, (9)
membuat program dengan perintah pengulangan proses/Looping, (10) membuat
program dengan perintah variabel berindeks
Bab III secara terpisah memang bukan bagian dari metode numerik. Tetapi
bab III akan sangat mendukung Bab IV sampai dengan VIII untuk mempercepat
proses perhitungan, karena dalam bab I dan II telah disinggung bahwa proses
perhitungan numerik akan melibatkan operasi perhitungan sangat banyak dan
berulang-ulang sehingga bantuan komputer sangat diperlukan.
KATA-KATA KUNCI
Numerik, Bahasa pemrogaman, QBASIC
12
A. Perintah dasar (CLS,PRINT,END)
1. Perintah CLS
Perintah CLS dipakai untuk membersihkan semua tulisan di layar monitor.
dengan perintah ini layar monitor akan ditempatkan di sudut kiri atas layar.
Ketikan : CLS (Enter)
2. Perintah PRINT
Perintah PRINT digunakan untuk mencetak data, baik data numerik maupun
data teks ke layar monitor. Apabila data yang ingin ditampilkan di layar
monitor dianggap data TEKS, maka data tersebut harus diapit dengan tanda
kutip (“). Apabila data yang ingin ditampilkan di layar monitor adalah data
NUMERIK, maka data tersebut ditulis tanpa diapit tanda kutip.
Contoh :
(a) Menuliskan data numerik:
PRINT 1000PRINT 3.14PRINT 9*2
(b) Menuliskan data teks:
PRINT “MAHASISWA UNIVERSITAS NEGERI MALANG”PRINT “9*2”
(c) Menuliskan data teks dan numerik
PRINT “Hasil penjumlahan 25 + 5 =”; 25+5
3. Perintah END
Perintah END digunakan untuk menghentikan pelaksanaan/eksekusi suatu
program.
Contoh:
CLSPRINT “MAHASISWA UNIVERSITAS NEGERI MALANG”END
13
B. Perintah memasukkan data (INPUT)
1. Konsep variabel
Variabel di dalam BASIC dibagi menjadi dua jenis yaitu: VARIABEL
NUMERIK dan VARIABEL TEKS atau VARIABEL STRING. Variabel teks
selalu diakhiri dengan tanda dollar ($), sedang variabel numerik tidak boleh
diakhiri dengan tanda dollar.
2. Perintah INPUT
Perintah INPUT digunakan untuk memasukkan data ke dalam variabel.
Contoh :
CLSINPUT “Siapa nama anda” ; NAMA$INPUT “Tahun berapa anda lahir”; TAHUNPRINT “HALO SENANG BERKENALAN DENGAN ANDA”;NAMA$PRINT “ANDA BERUSIA”; 2000 - TAHUNENDRUNSiapa nama anda ? NUGI (Enter)Tahun berapa anda lahir ? 1980 (Enter)HALO SENANG BERKENALAN DENGAN ANDA NUGIANDA BERUSIA 20
3. Operator aritmatika
Operator aritmatika didalam BASIC memiliki bentuk dan derajat sebagai berikut,
Jenis operator aritmatika Penulisan dalam BASIC DerajatTanda pangkat ^ Tertinggi
Tanda kali * MenengahTanda bagi /
Tanda penjumlahan + RendahTanda pengurangan -
Yang dimaksud derajat adalah operator yang memiliki derajat tertinggi akan
dikerjakan lebih dahulu, dilanjutkan yang menengah dan terakhir yang terendah.
Contoh :
50*4/2+2 = 102 bukan 50
9/3+2^2 = 7 bukan 25
14
Untuk menghasilkan suatu persamaan yang kita inginkan dapat dilakukan dengan
memberikan kurung.
Contoh:
(50*4)/(2+2) = 50
((9/3)+2)^2 = 25
C. Percabangan tak bersyarat (GOTO)
Komputer selalu melaksanakan program secara urut baris demi baris
Contoh:
CLSPRINT “SAYA”PRINT “NAIK”
10 PRINT “KUDA”ENDRUNSAYANAIKKUDA
.Akan tetapi dengan perintah GOTO, anda bisa memaksa komputer untuk
meloncat ke nomor baris tertentu.
CLSPRINT “SAYA”GOTO 10PRINT “NAIK”
10 PRINT “KUDA”ENDRUNSAYAKUDA
15
D. Percabangan bersyarat (IF ...... THEN, IF ...... THEN ..... ELSE ......)
1. Pengertian operator relasional dan kondisi
Operator relasional adalah operator yang digunakan untuk
menghubungkan sebuah nilai dengan nilai yang lain. Operator relasional terdiri
dari:
= : sama dengan<> : tidak sama dengan< : lebih kecil> : lebih besar<= : lebih kecil atau sama dengan>= : lebih besar atau sama dengan
Semua pernyataan matematika yang menggunakan operator relasional disebut
KONDISI. Sebuah KONDISI hanya memiliki sebuah nilai saja pada suatu saat
yaitu bernilai BENAR atau SALAH.
2. Percabangan bersyarat dengan IF ......... THEN
Format pernyataan IF ....... THEN adalah sebagai berikut:
IF [kondisi] THEN [perintah]
Pernyataan IF ...... THEN selalu memeriksa [kondisi] yang berada di belakang
perintah IF terlebih dahulu.
- Apabila [kondisi] tersebut bernilai BENAR, maka [perintah] yang berada di
belakang THEN akan dilaksanakan.
- Apabila [kondisi] tersebut bernilai SALAH, maka [perintah] yang berada di
belakang THEN akan tidak dilaksanakan dan lansung dilanjutkan ke baris
berikutnya.
Contoh:
CLSINPUT “BERAPA USIA KAMU”; UMURIF UMUR >= 17 THEN GOTO 10PRINT “KAMU MASIH KECIL, DILARANG MENONTON”GOTO 20ENDIF
10 PRINT “SELAMAT MENONTON”20 END
RUNBERAPA USIA KAMU ? 17SELAMAT MENONTONOk
16
BERAPA USIA KAMU ? 10KAMU MASIH KECIL, DILARANG MENONTONOk
3. Percabangan bersyarat dengan IF ......... THEN ....... ELSE ..........
Pernyataan percabangan tak bersyarat dapat dikembangkan pemakaiannya
dengan menambahkan persyaratan ELSE. Penulisan IF ... THEN ... ELSE ....
adalah:
IF [kondisi] THEN [perintah-1] ELSE [perintah-2]
Keterangan:
- Apabila [kondisi] bernilai BENAR, maka [perintah-1] akan dilaksanakan, lalu
dilanjutkan ke ke nomor baris berikutnya.
- Apabila [kondisi] bernilai SALAH, maka [perintah-2] akan dilaksanakan, lalu
dilanjutkan ke ke nomor baris berikutnya.
Contoh:
CLSINPUT “BERAPA UMUR KAMU”;AIF A >=17 THEN PRINT “SELAMAT MENONTON” ELSE PRINT “KELUAARRR ...”END
E. Diagram alir (FLOWCHART)
Diagram alir sangat membantu dalam pembuatan program yang terstruktur
dengan baik. Diagram alir adalah gambaran dari urutan langkah-langkah
penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan simbol-simbol tertentu.
Diagram alir adalah jembatan antara ide di dalam pikiran anda dengan program di
dalam bahasa komputer. Dari diagram alir, anda bisa mengetahui logika serta
aliran proses yang terjadi di dalam program. Simbol-simbol yang digunakan
adalah:
17
Simbol Kegunaan
Mulai atau berhenti
Perhitungan atau proses
Masukan atau keluaran
Pengambilan keputusan
Arah aliran proses selanjutnya
Penghubung dalam satu halaman
Contoh:
Misalkan anda akan melakukan proses pembagian A = B/C. Hal yang penting
untuk dipikirkan adalah bahwa C tidak boleh berharga nol. Diagram alir untuk
masalah ini dapat digambarkan sebagai berikut:
18
A
Listing programnya berbentuk sebagai berikut:
CLSINPUT BINPUT CIF C = 0 THEN PRINT “TIDAK DIDEFINISIKAN”GOTO 10END IFA = B/CPRINT A
10 END
19
MULAI
INPUT BINPUT C
APAKAHC = 0
PRINT “TIDAK DIDEFINISIKAN”
A = B/C
PRINT A
SELESAI
F. Pengulangan proses /Looping (FOR .... TO ..... STEP ..... NEXT
Salah satu keuntungan komputer adalah bahwa komputer mampu
melakukan proses berulang dengan cepat dn akurat. Dalam bahasa pemrograman
QBASIC perintah yang digunakan adalah FOR TO STEP NEXT dengan bentuk
format:
FOR [variabel counter] = [A] TO [B] (STEP [C])
{ ------------ bagian program yang diulang -------}
NEXT [variabel counter]
FOR dan NEXT harus selalu berpasangan. Keduanya harus ada. Baris-baris
program yang berada diantara FOR dan NEXT akan diulang beberapa kali
tergantung nilai A, B, dan C.
- [variabel counter] berfungsi sebagai penghitung banyaknya pengulangan
proses. Variabel ini harus variabel numerik
- [A] adalah harga awal counter
- [B] adalah harga akhir counter
- (STEP [C]) boleh dipakai dan boleh tidak (tergantung kebutuhan). C adalah
besarnya kenaikan variabel counter.
Apabila STEP [C] tidak digunakan maka harga counter akan dinaikkan satu demi
satu mulai dari harga awal [A] sampai harga akhir [B]. Apabila STEP [C]
digunakan maka:
- Jika nilai C positip, maka setiap kali proses pengulangan dilakukan, harga
counter akan dinaikkan sebesar C mulai dari harga awal A sampai harga akhir
B.
- Jika nilai C negatip, maka setiap kali proses pengulangan dilakukan, harga
counter akan diturunkan sebesar C mulai dari harga awal A sampai harga
akhir B.
- Jika C = 0 maka pengulangan proses tidak akan berhenti.
Contoh:
CLSFOR I = 1 TO 10 STEP 1PRINT “NILAI KE =”; INEXT IEND
20
Ada kalanya dalam pembuatan suatu program anda harus meletakkan suatu LOOP
di dalam LOOP lain. Pengulangan proses seperti ini disebut LOOP BERGANDA
(NESTED LOOP). Hal yang perlu diperhatikan disini adalah variabel counter
yang digunakan masing-masing FOR NEXT harus berbeda.
Contoh:
CLSFOR A = 1 TO 2FOR B = 1 TO 3PRINT”LOOPING A KE =”;A;”LOOPING B KE =”;B loop loopNEXT B dalam luarNEXT AEND
G. Variabel berindeks (DIM)
Variabel berindeks digunakan ketika anda menginginkan sebuah variabel
berisi banyak nilai. Sebagai gambaran sederhana variabel indeks dapat
dibayangkan seperti sebuah hotel dengan nama tertentu yang memiliki banyak
kamar. Nama hotel tersebut adalah nama variabel, sedangkan jumlah kamarnya
adalah jumlah indeksnya. Didalam pemrograman QBASIC, penulisan variabel
berindeks dinyatakan dengan perintah DIM dengan bentuk format:
DIM [variabel1(N)], [variabel2(M)], .........
N dan M adalah indeks tertinggi yang akan dipakai untuk variabel yang dipesan.
Kumpulan variabel berindeks disebut VARIABEL ARRAY. Ada dua jenis
variabel array yaitu variabel array numerik dan variabel array string. Variabel
array numerik hanya dapat digunakan untuk menyimpan deretan data numerik
saja., sedangkan variabel array string hanya dapat digunakan untuk menyimpan
deretan data string.
21
Contoh:
CLSDIM A(14), A$(12), B(14)FOR I = 0 TO 13A(I) = I : B(I) = 5*I variabel array numerikPRINT A(I) : PRINT B(I)NEXT IFOR Z = 1 TO 12A$(Z) = “VERA” variabel array stringNEXT ZPRINTPRINT A$(11)END
Variabel berindeks dapat dibuat menjadi dua indeks/dua dimensi dengan bentuk
format
DIM [variabel1(N,M)], [variabel2(J,K)], .............
Contoh:
Program untuk menjumlahkan matrik A dan B dengan bentuk matrik sebagai
berikut:
1 3 5 7 6 10+ =
2 4 6 8 8 12
Matrik A Matrik B Matrik C
CLSDIM A(2,2), B(2,2), C(2,2)A(1,1) = 1 : A(1,2) = 3 : A(2,1) = 2 : A(2,2) = 4B(1,1) = 5 : B(1,2) = 7 : B(2,1) = 6 : B(2,2) = 8FOR BARIS =1 TO 2FOR KOLOM = 1 TO 2C(BARIS,KOLOM) = A(BARIS,KOLOM) + B(BARIS,KOLOM)NEXT KOLOMNEXT BARISFOR BARIS =1 TO 2FOR KOLOM = 1 TO 2PRINT C(BARIS,KOLOM);NEXT KOLOMPRINTNEXT BARISEND
22
RINGKASAN
23
1. Perintah CLS dipakai untuk membersihkan semua tulisan di layar monitor
2. Perintah PRINT digunakan untuk mencetak data, baik data numerik maupun data teks ke layar monitor
3. Perintah END digunakan untuk menghentikan pelaksanaan /eksekusi suatu program
4. Variabel di dalam QBASIC dibagi menjadi dua jenis yaitu: variabel numerik dan variabel teks atau variabel string ($)
5. Perintah INPUT digunakan untuk memasukkan data ke dalam variabel
6. Operator aritmatika didalam QBASIC memiliki bentuk dan derajat tertentu.
7. Perintah GOTO, digunakan untuk memaksa perintah meloncat ke nomor baris tertentu
8. Operator relasional adalah operator yang digunakan untuk menghubungkan sebuah nilai dengan nilai yang lain
9. Pernyataan percabangan bersyarat IF . THEN selalu memeriksa [kondisi] yang berada di belakang perintah IF terlebih dahulu. Format pernyataan IF ....... THEN adalah sebagai berikut:
IF [kondisi] THEN [perintah]- Apabila [kondisi] tersebut bernilai BENAR, maka [perintah]
yang berada di belakang THEN akan dilaksanakan.- Apabila [kondisi] tersebut bernilai SALAH, maka [perintah]
yang berada di belakang THEN akan tidak dilaksanakan dan lansung dilanjutkan ke baris berikutnya.
10. Diagram alir adalah gambaran dari urutan langkah-langkah penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan simbol-simbol tertentu. Diagram alir adalah jembatan antara ide di dalam pikiran dengan program di dalam bahasa komputer
11. Salah satu keuntungan komputer adalah bahwa komputer mampu melakukan proses berulang dengan cepat dn akurat. Dalam bahasa pemrograman QBASIC perintah yang digunakan adalah FOR TO STEP NEXT dengan bentuk format:
FOR [variabel counter] = [A] TO [B] (STEP [C]){ ------------ bagian program yang diulang -------}NEXT [variabel counter]
12. Variabel berindeks digunakan ketika sebuah variabel berisi banyak nilai. Penulisan variabel berindeks dinyatakan dengan perintah DIM dengan bentuk format:
DIM [variabel1(N)], [variabel2(M)], .........
LATIHAN
1. Sebutkan jenis-jenis variabel yang dikenal dalam QBASIC, jelaskan
perbedaannya.
2. (a) Apakah yang dimaksud dengan operator aritmatika
(b) Sebutkan operator aritmatika yang dikenal oleh QBASIC
(c) Jelaskan derajat (hirarki) operator yang terdapat di dalam aritmatika
(d) Apakah kegunaan tanda kurung () sehubungan dengan derajat (hirarki)
operator aritmatika ?
3. Dari sederetan variabel di bawah ini, manakah yang dapat diterima oleh
QBASIC ? Tentukan jenis variabel tersebut
(a) J (b) J$ (c) XANCOL (d) PI(e) 7F (f) Z0 (d) J6 (H) J$6(i) J6$ (k) C10 (k) N$ (l) Y*B(m) $J6 (n) M 5 (o) J – 1 (p) K.0(q) AL$$
4. Tunjukkan kesalahan yang terdapat pada program berikut ini, lalu perbaiki
kesalahan tersebut.
CLSINPUT “A = BINPUT C =” CD$ = A “; +;” CPRINT “D”END.
5. Tulislah perintah untuk menghitung besarnya D bila Anda hanya mengetahui
persamaan berikut ini (A, B dan C dianggap diketahui)
(a) A/B = C/D + 3 (b) A + B = C/(C + D)(c) D(C + A) = B + D (d) (A+B)/(A-B) = (C-D)/(C+D)
6. Sebutkan 6 buah operator relasional yang digunakan oleh QBASIC
7. (a) Apakah kegunaan pernyataan IF ... THEN
(b) Jelaskan cara kerja IF .... THEN
(c) Apakah kegunaan pernyataan IF ..... THEN ..... ELSE
24
8. Apakah diagram alir itu
9. Untuk keperluan perhitungan tertentu, diperlukan dua jenis persamaan:
- persamaan jenis pertama : A + B = C A – B = D
- persamaan jenis kedua : 2A + B = C A + 2B = D
Buatlah diagram alir kemudian listing suatu program yang akan melakukan urutan
proses berikut:
- menanyakan nilai C dan D- menanyakan jenis persamaan yang akan digunakan (1 atau 2)- jika jenis persamaan = 1, maka akan dilakukan perhitungan besarnya A dan B
sesuai dengan rumus yang berlaku untuk jenis persamaan 1.- jika jenis persamaan = 2, maka akan dilakukan perhitungan besarnya A dan B
sesuai dengan rumus yang berlaku untuk jenis persamaan 2.
10. Buatlah diagram alir dan listing program untuk menjumlahkan N buah
bilangan. Bilangan-bilangan tersebut dimasukkan dengan pernyataan INPUT.
11. Buatlah diagram alir dan program untuk menghitung faktorial suatu bilangan.
Catatan: N ! = N faktorial = N x (n-1) x (n-2) x ....... x 2 x 1
12. Buatlah diagram alir dan program untuk mengolah nilai N orang murid. Setiap
orang murid memiliki 2 buah nilai, yaitu NL1 dan NL2. Carilah rata-rata
kedua nilai tersebut dan simpan di variabel NR. Seorang murid akan berstatus
LULUS, apabila NR yang dimilikinya lebih dari atau sama dengan 55.
Apabila NR kurang dari 55, maka murid yang bersangkutan dinyatakan
GAGAL. Tampilkan hasilnya dalam format tabel seperti di bawah ini.
NO NAMA NILAI-1 NILAI-2 RATA-RATA STATUS
25
BAB IV
AKAR – AKAR PERSAMAAN
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. menjelaskan macam-macam persamaan polinomial
2. menjelaskan pengertian akar persamaan
3. menjelaskan metode analitis dan grafis yang dapat digunakan untuk mencari
akar-akar persamaan
4. menghitung akar persamaan dengan metode interpolasi linier
5. membuat program metode interpolasi linier dalam bahasa QBASIC
6. menghitung akar persamaan dengan metode Newton - Raphson
7. membuat program metode Newton-Raphson dalam bahasa QBASIC
26
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
DESKRIPSI
Bab IV akan membahas materi macam-macam persamaan polinomial,
pengertian akar persamaan, metode analitis dan grafis yang dapat digunakan untuk
mencari akar-akar persamaan, menghitung akar persamaan dengan metode
interpolasi linier, menghitung akar persamaan dengan metode Newton –
Raphson,. Dalam bab ini Anda akan mulai diperkenalkan manfaat program
komputer untuk membuat program numerik meliputi pembuatan program metode
interpolasi linier dan Newton-Raphson dalam bahasa QBASIC
Pada bab I sampai dengan bab III Anda telah mempelajari konsep dasar
penyelesaian persamaan matematika dengan metode numerik, macam-macam
kesalahan, dan bahasa pemrograman QBASIC. Dalam bab IV anda dapat
mempelajari macam-macam persamaan-persamaan polinomial dan metode
numerik mencari akar-akar persamaan. Dalam bab IV Anda mulai mempelajari
penggunaan bahasa pemrograman QBASIC untuk membantu proses perhitungan
metode numerik. Bab IV ini merupakan dasar pengenalan penggunaan metode
numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan matematika. Dalam bab-bab
selanjutnya Anda akan lebih banyak mengenal metode numerik untuk
menyelesaikan permasalahan matematika. Agar pada bab V sampai dengan bab
VIII Anda tidak mengalami kesulitan, maka disarankan kepada Anda untuk benar-
benar mendalami pengertian metode pendekatan yang diambil oleh metode
numerik, teori kesalahan, bagan alir dan bahasa pemrograman QBASIC dalam
menyelesaikan persamaan matematika pada bab IV ini.
KATA-KATA KUNCI
Metode numerik, akar-akar persamaan, metode interpolasi linier dan Newton-
Raphson
27
A. Pengertian Akar-Akar Persamaan
Anda masih ingat bentuk persamaan berikut
ax2 + bx + c = 0
Bentuk persamaan di atas disebut persamaan polinomial derajad dua. karena
mempunyai nilai pangkat tertinggi adalah dua. Untuk mencari nilai “x” atau akar-
akar persamaannya jika konstanta a, b dan c diketahui dapat dicari secara analitis
dengan rumus :
x12 =
Untuk polinomial berderajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada
sangat kompleks dan bahkan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan-
persamaan dengan derajad yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat
digunakan untuk menyelesaikannya. Bentuk persamaan tersebut misalnya adalah:
f(x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 1 = 0f(x) = ex – 3x = 0f(x) = 3x + sinx – ex = 0
dan sebagainya.
Bentuk-bentuk persamaan seperti tersebut di atas sulit atau tidak mungkin
diselesaikan secara eksplisit.
Metode numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk
persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati
penyelesaian eksak.
Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan yang berurutan (iterasi),
sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.
Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya
didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan
toleransi kesalahan yang diikinkan.
Salah satu cara yang paling sederhana untuk mendapatkan penyelesaian
perkiraan adalah dengan menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari
titik potongannya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan
tersebut (gambar 4.1). tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang sangat kasar,
karena sangat sulit untuk menetapkan nilai sampai beberapa digit di belakang
koma hanya dengan membaca gambar. metode lain untuk menyelesaikan
28
persamaan tersebut adalah dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai
x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f(x) = 0. Jika nilai x tidak sama
dengan nol kemudian dicoba nilai x yang lain. Prosedur ini diulang terus sampai
akhirnya didapat nilai f(x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar
dari persamaan yang diselesaikan.
f(x)
akar persamaan
Gambar 4.1. Akar persamaan dari fungsi f(x)
Kedua cara tersebut adalah tidak efisien dan tidak sistematis. Ada
beberapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih
sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. Metode-metode tersebut akan
dipelajari pada sub bab berikut.
B. Metode Interpolasi Linier
Metode interpolasi linier dikenal juga dengan metode false position.
Metode ini mencari akar persamaan berdasarkan interpolasi dua nilai dari fungsi
yang mempunyai tanda berlawanan.
Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval x yang sama sampai
akhirnya didapat dua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) berturutan yang mempunyai
tanda berlawanan (gambar 4.2). dari kedua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) ditarik
garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga
sebangun, didapat persamaan berikut:
=
29
*)()(
)(
ff
f
x* = xn+1 - (4-1)
y
f(xn+1)
f(xn+1) – f(xn)
xn x* xn+1
xn+1 – x* X
xn+1 - xn
Gambar 4.2. Metode interpolasi linier
Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x*), yang kemudian
digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian
sehingga kedua fungsi tersebut mempunyai tanda berbeda. prosedur ini diulang
lagi sampai didapat niali f(x*) mendekati nol. Gambar 4.3 menunjukkan logika
prosedur hitungan dari metode interpolasi linier.
30
Hitung fungsi untuk interval x yang sama sehingga didapat f(xn) dan f(Xn+1) dengan tanda berbeda
Hitung x* dan f(x*)
Apakah f(x*) dan f(xn) bertanda sama ?
xn+1 = x*
f(xn+1) = f(x*)
xn = x*
f(xn) = f(x*)
Apakahf(x*) kecil ?
SELESAI
TIDAK
YA
TIDAK
YA
Gambar 4.3. Bagan alir metode interpolasi linier
Contoh 1 :
Hitung salah satu akar dari persamaan f(x)=x3 + x2 - 3x - 3 = 0
Penyelesaian
Langkah pertama adalah menghitung nilai f(x0 pada interval antara dua
titik sedemikian sehingga pada kedua titik tersebut berlawanan tanda.
Untuk x1 = 1, f(x1 = 1) = -4
Untuk x2 = 2, f(x2 = 1) = 3
Dengan menggunakan rumus (4-1)
x* = xn+1 - (4-1)
31
= 2 -
f(x*) = (1,57142)3 + (1,57142)2 - 3(1,57142) - 3 = -1,36449
Karena f(x*) bertanda positif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x
= 2. Selanjutnya dihitung x*,
x* = 2 -
f(x*) = (1,70540)3 + (1,70540)2 - 3(1,70540) - 3 = -0,24784
Prosedur hitungan seperti tersebut di atas dilanjutkan sampai akhirnya didapat
nilai f(x*) 0. Tabel 4.1. menunjukkan hasil hitungan tersebut.
Tabel 4.1. Hasil hitungan dengan metode Interpolasi Linier
Jumlah Iterasi
x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)
1 1,0 2,0 1,57142 -4,0 3,0 -1,364492 1,57142 2,0 1,70540 -1,36449 3,0 -0,247843 1,70540 2,0 1,72788 -0,24784 3,0 -0,0039364 1,72788 2,0 1,73140 -0,03936 3,0 -0,006155 1,73140 2,0 1,73194
Bentuk programnya dalam QBASIC:
'METODE INTERPOLASI LINIER10 CLS INPUT "NILAI X1 = ", X1 INPUT "NILAI X2 = ", X2 PRINT "" PRINT "Untuk Persamaan f(x) = X^3 + x^2 - 3X - 3 " PRINT "" FX1 = X1 ^ 3 + X1 ^ 2 - 3 * X1 - 3 FX2 = X2 ^ 3 + X2 ^ 2 - 3 * X2 - 3 TANDA = FX1 * FX2 IF TANDA > 0 THEN 1020 X3 = X2 - (FX2 * (X2 - X1) / (FX2 - FX1)) FX3 = X3 ^ 3 + X3 ^ 2 - 3 * X3 - 3 PRINT USING "####.#####"; X1; X2; X3; FX1; FX2; FX3 TANDA = FX1 * FX3 IF TANDA < 0 THEN X2 = X3 FX2 = FX3 ELSE X1 = X3 FX1 = FX3 END IF IF ABS(FX3) > .000001 THEN 20 END
32
C. Metoda Newton-Raphson
Metoda ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu
persamaan. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi , suatu garis singgung dapat
dibuat dari titik (xi, f(xi)). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu
x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
f(x) Garis singgung
f(xi) A
f(xi)-0 B
0
Xi+1 Xi
Xi - Xi+1
f(x)
Gambar 4.4. Prosedur Metode newton secara grafis
Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, turunan pertama pada x i
adalah ekivalen dengan kemiringan.
f'(xi) =
atau
xi+1 = xi - (4-2)
Gambar 4.5. menunjukkan bagan alir dari metode Newton Raphson.
33
Pilih nilai awal xn
sembarang
Hitung xn+1 dan f(xn+1)
Apakah f(xn+1) kecil ? Selesai
xn = xn+1
ya
tidak
Gambar 4.5. Bagan alir metode Newton
Contoh 2 :
Selesaikan soal pada contoh 1 dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian
Persamaan yang diselesaikan
f(x)=x3 + x2 - 3x - 3 = 0
Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah:
f'(x) = 3x2 + 2x - 3
dengan menggunakan persamaan (4-2),
xi+1 = xi -
Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1,
f(x1=1) = (1)3 + (1)2 - 3(1) - 3 = -4
f'(x1=1) = 3(1) 2 + 2(1) - 3 = 2
x2 = 1 - = 3
Langkah berikutnya ditetapkan x2 = 3,
f(x2 = 3) = (3)3 + (3)2 - 3(3) - 3 = 24
f'(x1=3) = 3(3) 2 + 2(3) - 3 = 30
x3 = 3 - = 2,2
34
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam
tabel 4.2.
Tabel 4.2. Hasil hitungan dengan metode Newton Raphson
Jumlah iterasi Xi Xi+1 f(xi) f(xi+1)1 1,0 3,0 -4,0 24,02 3,0 2,2 24,0 5,8883 2,2 1,83 5,888 0,9873874 1,83 1,73778 0,987387 0,054425 1,73778 1,73207 0,05442 0,0001816
Bentuk programnya dalam QBASIC:
'METODE NEWTON-RAPHSON10 CLS PRINT "Metode Newton Raphson" PRINT " " PRINT "Nilai x1, x2, fx1 dan fx2 secara berurutan adalah :" PRINT "" x1 = 130 fx1 = x1 ^ 3 + x1 ^ 2 - 3 * x1 - 3 fxi1 = 3 * x1 ^ 2 + 2 * x1 - 3 x2 = x1 - (fx1 / fxi1) fx2 = x2 ^ 3 + x2 ^ 2 - 3 * x2 - 3 IF ABS(fx2) > .00001 THEN PRINT USING "####.#####"; x1; x2; fx1; fx2 x1 = x2 GOTO 30 ELSE PRINT " " END IF END
D. Aplikasi Dalam Teknik Sipil
Dalam merencanakan saluran irigasi atau drainase, data yang diketahui
biasanya adalah jenis saluran, debit yang akan dialirkan, dan bentuk penampang
saluran, kemiringan dasar saluran. Persamaan yang digunakan adalah persamaan
Manning berbentuk:
Q = 1/n . R2/3 S1/2. A
dengan:Q = Debit saluran (m3/det)n = koefisien kekasaran Manning berdasarkan jenis saluranR = Jari-jari hidrolis = A/P (m)
35
A= luas penampang basah saluran (m2) = b.h (untuk saluran berpenampang segiempat)P= Keliling basah saluran (m) = b+ 2h (untuk saluran berpenampang segiempat)S = kemiringan dasar saluran
h (kedalaman air (m))
b (lebar saluran(m))
Data yang akan dicari adalah kedalaman air (h). Jika diketahui data-data suatu
perencanaan saluran drainase sebagai berikut: debit (Q) = 10 m3/det, bentuk
penampang segiempat dengan lebar dasar saluran (b) = 1,0 m, saluran dibuat dari
pasangan batu (n=0,030) dan kemiringan dasar saluran (S) = 0,0010, carilah
kedalaman air (h) saluran tersebut.
Penyelesaian
A = b . h = 1,0 x h = hP = b+ 2h = 1 + 2 x h = 1 + 2hR = A/P = h/(1+2h)Q = 1/n . R2/3 . S1/2 . A10 = 1/0,03 . (h/(1+2h))2/3 . (0,001)1/2 . (h)
= x h
9,487 =
9,487 (1+2h)2/3 = h5/3
h5/3 - 9,487 (1+2h)2/3 = 0
persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode interpolasi
linier atau Newton Raphson untuk mencari kedalaman air (h).
RINGKASAN
36
1. Metode interpolasi linier dikenal juga dengan metode false position. Metode ini mencari akar persamaan berdasarkan interpolasi dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan. Bentuk persamaannya adalah:
x* = xn+1 -
2. Metoda Newton Raphson memberikan perkiraan awal dari akar adalah xi , suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi)). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar dengan turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan. Bentuk persamaannya adalah:
xi+1 = xi -
LATIHAN
Lee dan Dutfy (A.I.Ch.E. Journal, July,1976) menghubungkan faktor
kekasaran aliran suspensi partikel berserabut terhadap bilangan Reynold dengan
bentuk persamaan empiris:
= ln(RE ) +
dengan f adalah faktor kekasaran, RE adalah bilangan Reynold, dan k adalah
konstanta yang ditentukan oleh konsentrasi suspensi. Untuk suatu suspensi 0,08%,
konsentrasinya k = 0,28. Berapakah nilai f apabila RE=3750?
BAB V
SISTEM PERSAMAAN LINIER
37PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
SISTEM PERSAMA
-AN LINIER
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. menjelaskan pengertian sistem persamaan linier
2. menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode Gauss-Jordan
3. membuat program penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode
Gauss-Jordan dalam bahasa QBASIC
4. menghitung inverse dengan metode Gauss-Jordan
5. membuat program perhitungan inverse sistem persamaan linier dengan metode
Gauss-Jordan dalam bahasa QBASIC
DESKRIPSI
Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui
(anu) banyak dijumpai dalam permasalahan teknik, seperti penyelesaian numeris
38
persamaan diferensial biasa dan diferensial parsiil, analisis struktur, analisis
jaringan dan sebagainya. Sistem n persamaan tersebut biasanya berbentuk matrik
dengan ukuran yang sangat besar sehingga penyelesaiannya jika dilakukan secara
manual akan memakan waktu yang lama dan kadangkala kurang teliti. Dalam Bab
V ini Anda pertama kali akan mempelajari pengertian sistem persamaan linier dan
mengingat kembali notasi-notasi matrik. Selanjutnya Anda akan mempelajari
penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Gauss-Jordan. Dalam bab ini
Anda juga dapat mempelajari mencari inverse dari suatu matrik yang akan
bermanfaat dalam penyelesaian permasalahan-permasalahan keteknikan Anda.
Dalam bab IV Anda telah mempelajari jenis persamaan polinomial.
Dalam bab V ini, Anda akan dihadapkan pada serangkaian persamaan polinomial
berderajat satu (persamaan linier) yang akan diselesaikan secara simultan
(serentak). Bab V merupakan dasar untuk menyelesaikan analisis regresi pada bab
VI selanjutnya.
KATA-KATA KUNCI
Metode numerik, sistem persamaan linier, metode Gauss-Jordan
A. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui
(anu) banyak dijumpai dalam permasalahan teknik, seperti penyelesaian numeris
39
persamaan diferensial biasa dan diferensial parsiil, analisis struktur, analisis
jaringan dan sebagainya.
Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai x1, x2, ....... ,xn
yang memenuhi sistem persamaan berikut,
f1(x1,x2, .............xn) = 0f2(x1,x2, .............xn) = 0
fn(x1,x2, .............xn) = 0
Sistem persamaan di atas dapat linier atau tak linier. Penyelesaian sistem
persamaan tak linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang
ada merupakan persamaan linier. Di dalam bab ini Anda akan mempelajari sistem
persamaan linier, yang mempunyai bentuk umum berikut ini
a11x1 + a12x2 + ......... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ......... + a2nxn = b2
(5-1)
an1x1 + an2x2 + ......... + annxn = bn
dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan
dari x1, x2, .......... xn adalah bilangan tak diketahui. Sistem persamaan linier pada
persamaan 5-1 tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik :
=
(5-2)
atau
A X = B
dengan
A : matrik koefisien n x nX : vektor kolom n x 1 dari bilangan tak diketahuiB : vektor kolom n x 1 dari konstanta
40
Di dalam penyelesaian sistem persamaan, dicari vektor kolom X
berdasarkan persamaan (5-2). Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah
mengalikan kedua ruas persamaan dengan matrik inverse.
A-1 A X = A-1 C
karena
A-1 A = I
maka
X = A-1 C
Dengan demikian nilai X dapat dihitung.
B. METODE GAUSS-JORDAN
Seandainya Anda mempunyai 4 sistem persamaan dengan 4 bilangan
tidak diketahui:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a14x4 = b2 (5-3)a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3
a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = b4
Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matrik
=
(5-4)
Didalam metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris
sebagai baris pivot, dengan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris
tersebut.
1. Pertama kali baris pertama dari persamaan (5-4) dibagi dengan elemen pivot,
yaitu a11, sehingga didapat
=
Elemen pertama dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara:
a. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua (a21) dan
kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua.
41
b. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan ketiga (a31) dan
kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.
c. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan keempat (a41)
dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.
Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut:
=
(5-5)
2. kemudian ditetapkan baris kedua sebagai baris pivot dan a'22 sebagai elemen
pivot. Prosedur di atas diulangi lagi untuk baris kedua.
Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot yaitu a'22
sehingga didapat:
=
Elemen kedua dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara:
a. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan pertama (a'12) dan
kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama.
b. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan ketiga (a'32) dan
kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.
c. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan keempat (a'42) dan
kemudian dikurangkan terhadap persamaan keempat.
Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut:
=
(5-6)
3. Untuk langkah selanjutnya ditetapkan baris ketiga sebagai pivot. setelah itu
prosedur diulangi lagi sehingga akhirnya didapat sistem persamaan berikut:
=
(5-7)
Dari sistem persamaan (5-7) dapat dihitung nilai x1, x2, x3 dan x4
x1 = b1iv
x2 = b2iv
42
x3 = b3iv
x4 = b4iv
Contoh 1:
3x + y - z = 54x + 7y - 3z = 20 (1)2x - 2y +5z = 10
Penyelesaian:
Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik berikut:
=
(2)
Baris pertama dari persamaan (2) dibagi dengan elemen pivot, yaitu 3 sehingga
persamaan menjadi:
=
Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua, yaitu 4, dan
kemudian dikurangan terhadap persamaan kedua. Dengan cara yang sama untuk
persamaan ketiga, sehingga didapat:
=
Baris kedua dari persamaan di atas dibagi dengan elemen pivot, yaitu 5,6668,
sehingga sistem persamaan menjadi:
=
Persamaan kedua dikalikan dengan elemen kedua dari persamaan pertama
(0,3333) dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian
dengan cara yang sama untuk persamaan ketiga, sehingga didapat:
=
43
Persamaan ketiga dibagi dengan elemen pivot yaitu 4,8824 sehingga persamaan
menjadi:
=
Persamaan ketiga dikalikan elemen ketiga dari persamaan pertama dan kemudian
dikurangkan terhadap persamaan pertama. Kemudian dengan cara yang sama
untuk persamaan kedua, sehingga didapat:
=
Dari sistem persamaan di atas, didapat nilai x, y dan z
x = 1,5061 y = 3,1324 z = 2,6505
Bentuk programnya dalam QBASIC:
'MATRIKS - GAUSS JORDAN CLS DIM A(10, 10), C(10, 10), D(10, 10) PRINT "MATRIKS - METODE GAUSS JORDAN" INPUT "UKURAN MATRIK = ", N FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (N + 1) PRINT "KOEFISIEN MATRIK A(";I;",";J;")=",:INPUT"",A(I,J) NEXT J PRINT NEXT I FOR LANG = 1 TO N PRINT "LANGKAH PERHITUNGAN KE = ", LANG FOR PIV = 1 TO (N + 1) C(LANG, PIV) = A(LANG, PIV) / A(LANG, LANG) NEXT PIV FOR K = 0 TO (N - 1) L = K + 1 IF L = LANG THEN GOTO 10 FOR NORM = 1 TO (N + 1) D(L, NORM) = C(LANG, NORM) * A(L, LANG) C(L, NORM) = A(L, NORM) - D(L, NORM) NEXT NORM10 NEXT K FOR ROW = 1 TO N FOR COL = 1 TO (N + 1) A(ROW, COL) = C(ROW, COL) PRINT USING "######.#####"; A(ROW, COL);
44
NEXT COL PRINT NEXT ROW PRINT NEXT LANG PRINT "HASIL PERHITUNGAN : " FOR I = 1 TO N X(I) = A(I, N + 1) PRINT "NILAI VARIABEL X("; I; ") = ", X(I) NEXT I END
C. MATRIKS INVERSE
Telah dijelaskan di atas bahwa apabila matriks A adalah bujur sangkar,
maka terdapat matriks lain yaitu A-1, yang disebut matriks inverse dari A,
sedemikian hingga:
A A-1 = A-1 A = I
dengan I adalah matrik identitas.
Selain itu juga telah ditunjukkan bahwa matriks inverse dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan yang berbentuk:
A X = C (5-8)
atau
X = A-1 C (5-9)
Persamaan di atas menunjukkan bahwa X dapat dihitung dengan
mengalikan matriks inverse dari koefisien matriks A dengan ruas kanan dari
persamaan (5-9), yaitu C.
Matriks inverse dapat diari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan.
Untuk itu matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian
metode Gauss-Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi
matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan adalah matriks
inverse. Contoh berikut menunjukkan prosedur embuatan matriks inverse.
Contoh 2.
Akan dicari matriks inverse dari matriks berikut:
A=
Penyelesaian :
Matriks A ditingkatkan dengan matriks identitas sehingga menjadi:
45
A=
1. Ditetapkan elemen pertama dari baris pertama sebagai elemen pivot, yaitu 2.
Baris tersebut dibagi dengan elemen pivot (2) sehingga didapat:
A=
Baris kedua dan ketiga dikurangi oleh baris pertama
A=
2. Baris kedua ditetapkan sebagai baris pivot, kemudian baris tersebut dibagi
dengan elemen pivot, yaitu 3/2.
A=
Kemudian baris kedua dikalikan dengan 1/2 dan hasilnya digunakan untuk
mengurangi persamaan pertama dan ketiga,
A=
3. Persamaan ketiga ditetapkan sebagai baris pivot dan kemudian baris tersebut
dibagi dengan elemen ivot, yaitu 4/3.
A=
Baris pertama dan kedua dikurangi dengan baris ketiga yang dikalikan dengan
1/3.
A=
46
Dengan demikian didapat matriks inversenya adalah:
A-1 =
Bentuk programnya dalam QBASIC:
'MATRIKS INVERS CLS DIM A(10,10),C(10,10),D(10, 10) PRINT "MATRIKS INVERS " INPUT "UKURAN MATRIK =",N FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO N PRINT"KOEFISIEN MATRIK A(";I;",";J;")=";:INPUT"",A(I, J) NEXT J PRINT NEXT I FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (2 * N) IF J < (N + 1) THEN C(I, J) = A(I, J) GOTO 1 ELSE IF J = N + I THEN C(I, J) = 1 ELSE C(I, J) = 0 END IF END IF1 NEXT J NEXT I PRINT "MATRIK YANG DIMAKSUDKAN" FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO (2 * N) A(I, J) = C(I, J) PRINT USING "######.#####"; A(I, J); NEXT J PRINT NEXT I FOR LANG = 1 TO N PRINT "LANGKAH PERHITUNGAN KE = "; LANG
47
FOR PIV = 1 TO (2 * N) C(LANG, PIV) = A(LANG, PIV) / A(LANG, LANG) NEXT PIV FOR K = 0 TO (N - 1) L = K + 1 IF L = LANG THEN GOTO 10 FOR NORM = 1 TO (2 * N) D(L, NORM) = C(LANG, NORM) * A(L, LANG) C(L, NORM) = A(L, NORM) - D(L, NORM) NEXT NORM10 NEXT K FOR ROW = 1 TO N FOR COL = 1 TO (2 * N) A(ROW, COL) = C(ROW, COL) PRINT USING "######.#####"; A(ROW, COL); NEXT COL PRINT NEXT ROW PRINT NEXT LANG
PRINT "NILAI MATRIK INVERSNYA ADALAH : " FOR I = 1 TO N FOR J = 1 TO N K = N + J INV(I, J) = A(I, K) PRINT USING "######.#####"; A(I, K); NEXT J PRINT NEXT I END
C. Aplikasi Dalam Teknik Sipil
Di dalam analisa struktur rangka statik tidak tentu (statically determinate
trust) dengan sambungan-sambungan simpul, tegangan (F) dalam tiap batang
dapat diperoleh dari persamaan matriks dibawah ini (hasil persamaan diperoleh
dari pengaturan jumlah seluruh gaya-gaya yang beraksi secara horisontal dan
vertikal pada tiap simpul disamadengankan ke nol)
0,7071 0 0 -1 -0,8660 0 0 0 0 00,7071 0 1 0 0,5 0 0 0 0 -10000 1 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 -1 0 0 0 0 0 0 F = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0,7071 5000 0 0 1 0 0 0 0 -0,7071 00 0 0 0 0,8660 1 0 -1 0 00 0 0 0 -0,5 0 -1 0 0 -5000 0 0 0 0 0 0 1 0,7071 0
48
P=1000 F4 P=500
F1 F2 F5 F7 F9
450 300 450
F2 F6 F8
P=500
Dengan menggunakan metode Gauss-Jordan, maka sistem persamaan di atas
dapat diselesaikan
RINGKASAN
LATIHAN
=500,b=0,3 1
b=0,2
=0,b=0,2 4 b=0,1
2 b=0,1
b=0,2
b=0,1
3
49
1. Didalam metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot, dengan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris tersebut.
2. Matriks inverse dapat dicari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk itu matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian metode Gauss-Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan adalah matriks inverse.
Pada aliran turbulen suatu fluida dalam jaringan yang saling terkoneksi, laju aliran
V dari satu simpul ke simpul yang lain adalah kurang lebih sebanding dengan akar
kwadrat perbedaan dalam tekanannya pada simpul tersebut. Dalam jaringan pipa
tersebut Anda diminta menghitung tekanan pada tiap simpul. Nilai b
menunjukkan faktor konduktansi dalam bentuk hubungan : vii=bii(pi - pi)1/2.
Persamaan-persamaan tersebut dapat dirangkai untuk tekanan pada tiap simpul:
simpul 1: 0,3 = 0,2 + 0,2
simpul 2: 0,2 = 0,1 + 0,2
simpul 3: 0,1 = 0,2 + 0,1
simpul 4: 0,1 + 0,1 = 0,2
BAB VI
ANALISIS REGRESI
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari bab ini, Anda diharapkan dapat :
1. menjelaskan pengertian analisis regresi
2. menghitung analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil
3. membuat program perhitungan analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil
dalam bahasa QBASIC
DESKRIPSI
Didalam praktek, sering dijumpai data diberikan dalam nilai diskret atau
tabel. Ada dua hal yang diharapkan dari data diskret tersebut, yaitu; (1) mencari
50
PENGER-TIAN METODE NUMERIK DAN MANFAATNYA DALAMT. SIPIL
MACAM-MACAM
KESALAH- AN
BAHASAPEMRO - GRAMANQBASIC
AKAR-AKARPERSA-MAAN
SISTEM PERSAMA
-AN LINIERANALI-SIS RE-GRESI
ANALI-SIS RE-GRESI
INTER-POLASI
INTEGRASI NUMERIK
bentuk kurva yang dapat mewakili data diskret tersebut; (2) mengestimasi nilai
data pada titik-titik diantara nilai-nilai yang diketahui. Bab VI akan membantu
Anda untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan tersebut. Dalam bab VI
ini Anda dapat mempelajari pengertian regresi dan interpolasi, menghitung regresi
pada kurva linier dengan metode kuadrat terkecil.
Pada bab V anda telah mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier,
dalam bab VI ini metode tersebut akan sangat membantu untuk menyelesaikan
persamaan regresi yang dicari.
KATA-KATA KUNCI
Metode numerik, analisis regresi, metode kuadrat terkecil
A. PENGERTIAN ANALISIS REGRESI
Didalam praktek, sering dijumpai data diberikan dalam nilai diskret atau
tabel. Ada dua hal yang diharapkan dari data diskret tersebut, yaitu;
1. mencari bentuk kurva yang dapat mewakili data diskret tersebut
2. mengestimasi nilai data pada titik-titik diantara nilai-nilai yang diketahui
Kedua aplikasi tersebut di atas dikenal dengan curve fitting.
Ada dua metode pendekatan di dalam curve fitting yang didasarkan pada jumlah
kesalahan yang terjadi pada data.
1. Regresi kuadrat terkecil
Regresi kuadrat terkecil dilakukan apabila data menunjukkan adanya
kesalahan cukup besar. Untuk itu dibuat kurva tunggal yang mempresentasikan
trend secara umum dari data. Karena beberapa data mungkin kurang benar, maka
kurva tidak dipaksakan untuk melalui setiap titik. Kurva dibuat mengikuti pola
dari sekelompok titik data. Seperti yang ditunjukkan dalam gambar 6.1. yang
berupa contoh hasil pengukuran, dua titik data A dan B kemungkinan mempunyai
kesalahan yang sangat besar, karena tidak mengikuti ola penyebaran titik-titik
lainnya. Curve fitting dengan menggunakan data A dan B akan menghasilkan nilai
yang juga mempunyai kesalahan.
f(x) .
51
. A
. . B
. .
. . . .
X
Gambar 6.1. Plot data pengukuran
2. Interpolasi
Apabila data diketahui sangat benar maka pendekatan yang dilakukan
adalah membuat kurva atau sejumlah kurva yang melalui setiap titik.
Gambar 6.1. menunjukkan sket kurva yang dibuat dari data yang sama
dengan cara regresi kuadrat terkecil (gambar 6.1.a.) dan interpolasi (gambar 6.2.b
dan c). Kurva pada gambar 6.2.a. tidak melalui semua titik pengukuran, tetapi
hanya mengikuti trend dari data menurut garis lurus. Gambar 6.2.b. menggunakan
segmen garis lurus atau interpolasi linier untuk menghubungkan titik-titik data.
Sedangkan gambar 6.2.c. menggunakan kurva untuk menghubungkan titik-titik
data.
f(x) ..
.. x
(a)
f(x) f(x)
52
. . . .
. . . . x x
(b) (c)
Gambar 6.2.
3. Metode Kuadrat Terkecil Untuk Kurva Linier
Bentuk paling sederhana dari regresi kuadrat terkecil adalah apabila
kurva yang mewakili titik-titik percobaan merupakan garis lurus, dengan bentuk
persamaannya adalah:
g(x) = a + b.x (6-1)
a = yi - xi.b (6-2)
b = (6-3)
Dengan menggunakan persamaan (6-2) dan (6-3) untuk menghitung koefisien a
dan b, maka fungsi g(x) dapat dicari.
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang mewakili data berikut:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28
Penyelesaian
No xi yi xi . yi xi2
1 4 30 120 16
53
2 6 18 108 36
3 8 22 176 64
4 10 28 280 100
5 14 14 196 196
6 16 22 352 256
7 20 16 320 400
8 22 8 176 484
9 24 20 480 576
10 28 8 224 784
152 186 2432 2912
30 y
20
10
x
0 10 20 30
Gambar 6.3. Ploting titik-titik data pada sistem koordinat
Nilai rerata dari x dan y adalah :
= = =15,2
= = =18,6
Persamaan garis yang mewakili titik-titik data adalah:
y = a = b.x
54
dengan
b = = = - = -0,6569
a = - b = 18,6 + 0,6569x15,2 = 28,5849
Jadi persamaan garis adalah:
y = 28,5849 - 0,6569 x
Bentuk programnya dalam QBASIC:
'ANALISA REGRESICLSPRINT " ANALISA REGRESI - METODE INTERPOLASI LINIER"PRINT ""INPUT "BANYAKNYA DATA = ", NFOR I = 1 TO NPRINT "NILAI X KE "; I; " = ";INPUT "", X(I)PRINT "NILAI Y KE "; I; " = ";INPUT "", Y(I)NEXT ISUMA = 0SUMB = 0SUMC = 0SUMD = 0FOR I = 1 TO NSUMA = SUMA + (X(I) * Y(I))SUMB = SUMB + X(I)SUMC = SUMC + Y(I)SUMD = SUMD + (X(I)) ^ 2NEXT Ib = ((N * SUMA) - (SUMB * SUMC)) / ((N * SUMD) - (SUMB) ^ 2)PRINT ""PRINT "NILAI B = "; bYRAT = SUMC / NXRAT = SUMB / Na = YRAT - b * XRATPRINT "NILAI A = "; aPRINT ""PRINT "Jadi Persamaan Garis adalah : y = "; a; " + ("; b; ")x"END
55
RINGKASAN
LATIHAN
Serangkaian nilai-nilai kecepatan pada berbagai kedalaman suatu potongan
melintang saluran terbuka di berikan dalam skala semi-logaritma dengan z adalah
jarak dari dasar (dalam 'm') dan u adalah kecepatan air (cm/dt) diberikan dalam
tabel berikut ini:
x=ln z 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
56
1. Regresi kuadrat terkecil dilakukan apabila data menunjukkan adanya kesalahan cukup besar. Untuk itu dibuat kurva tunggal yang mempresentasikan trend secara umum dari data
2. Metode kuadrat terkecil untuk kurva linier bentuk persamaannya adalah: g(x) = a + b.x
a = yi - xi
b =
f=u 20 30 40 50 50 60 70 0 90 95 100
Tugas Anda adalah:
1. Hitung dan gambarkan persamaan regresinya ?
2. carilah kecepatan air pada kedalaman 3,5 m?
DAFTAR PUSTAKA
Gerald.,C.F., Wheatley., P.G. 1983. Applied Numerical analysis. Addison-Wesley Publishing Company. California. USA.
Koutitas.,C.G. 1983. Elements Of Computational Hydraulics. Pentech Press. London
Triatmodjo., B. 1992. Metode Numerik. Beta Offset. Yogyakarta
57