bilangankompleks permutasidankombinasi … · imajiner 3 3 imajiner 2 2 j j j = = =...

1

Sudaryatno Sudirham

Kapita Selekta MatematikaBilangan Kompleks

Permutasi dan KombinasiAritmatika Interval

BILANGAN KOMPLEKS

2

Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan komplekssebagai berikut

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

),( yxz =

yzxz == Im Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.

kita tuliskan

bagian nyata (real part) dari z

bagian khayal (imaginary part) dari z

3

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata

yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapatdiangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan

angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatusumbu yang disebut sumbu nyata,

| | | | | | | |

-2 -1 0 1 2 3 4 5

m

4

Tinjaulah suatu fungsi xy =

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif

namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatubilangan imajiner (khayal)

j=−1

5

6

Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya

seterusnya dan 11010

155

×=×=

maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan daribilangan imajiner, misalnya

seterusnya dan 99 imajiner

3 3 imajiner

2 2 imajiner

j

j

j

===

Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyatadan komponen imajiner dan dituliskan

jbaz +=

bagian nyata

bagian imajinerbilangan kompleks

7

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks

yang dibatasi olehsumbu nyata (diberi tanda Re) dansumbu imajiner (diberi tanda Im)

yang saling tegaklurus satu sama lain

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks(x,,y)

dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

8

9

ρ

a Re

Im

jb

θ

cosθρ=a

θρ= sinb

)sin(cos θ+θρ= jz

disebut argumen

disebut modulus

=θ= −a

bz 1tan arg

22 modulus baz +=ρ=

)sin(cos22 θ+θ+= jbaz

• jbaz +=

Diagram Argand

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

431 jz +=

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o11 1,53)3/4(tan ≈=θ −

Pernyataan z1 dapat kita tuliskan

( )( )oo

oo221

1,53sin1,53cos5

1,53sin1,53cos43

j

jz

+=

++=

10

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

( )oo2 20sin20cos10 jz +=

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

( )4,34,9)34,094,0(10

20sin20cos10 oo2

jj

jz

+=+≈+=

11

Kesamaan Bilangan Kompleks

22 ba +=ρ merupakan nilai mutlakModulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknyamempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika merekamempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.

Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagianimajiner yang sama besar..

12

Negatif dari Bilangan Kompleks

Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalahnilai negative dari kedua komponennya

jbaz += jbaz −−=−Jika maka

jbaz +=•

Re

Im

a

jb

jbaz −−=−

θo180+θ

ρ

ρ

•

13

CONTOH

o11 3,56)4/6(tan ==θ −

ooo2 3,2361803,56 =+=θ

Sudut dengan sumbu nyata

z1 dapat dinyatakan sebagai

( )( )oo

oo221

3,56sin3,56cos2,7

3,56sin3,56cos64

j

jz

+=

++=

( )( ) 696,383,055,02,7

)1803,56sin()1803,56cos(2,7 oooo1

jj

jz

−−=−−=+++=−

641 jz +=Jika 6412 jzz −−=−=maka

14

Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*

yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponenimajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

jbazjbaz −=+= ∗ maka Jika

jbaz +=•

Re

Im

ρ

θ

θ−

jb

jb−

a

jbaz −=• ∗

15

CONTOH:

65 jz +=Jika 65 jz −=∗maka

Sudut dengan sumbu nyata

o1 2,50)5/6(tan ==θ −

o2,50−=θ∗

z dapat dinyatakan sebagai

( )( )oo

oo22

2,50sin2,50cos8,7

2,50sin2,50cos65

j

jz

+=

++=

( )oo 2,50sin2,50cos8,7 jz −=∗

65* jz −=•

Re

Im

65 jz +=•

16

CONTOH:

65 jz −−=Jika 65 jz +−=∗maka

•−−= 65 jz

Re

Im

•+−=∗ 65 jz

65 jz −=Jika 65 jz +=∗maka

65 jz −=•

Re

Im

65 jz +=• ∗

17

Operasi-Operasi Aljabar

18

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangankompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyatadan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan

komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

)()(

)()(

2121

221121

bbjaa

jbajbazz

+++=+++=+

)()(

)()(

2121

221121

bbjaa

jbajbazz

−+−=+−+=−

19

CONTOH:

43dan 32 21 jsjs +=+=

75

)43()32(21

j

jjss

+=+++=+

11

)43()32(21

j

jjss

−−=+−+=−

Diketahui

20

Perkalian Bilangan Kompleks

212121

21212121

221121

2

))(())((

bbajbaa

bbajbajbaa

jbajbazz

−+=−++=

++=

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kitamelakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukanperkalian komponen per komponen

22

2211

))((

ba

bjbajbaa

jbajbazz

+=

++−=

−+=× ∗

∗= 12 zzJika

Perhatikan:

( ) 222

22

22111

baba

jbazzz

+=+=

+==× ∗

21

CONTOH: 43dan 32 21 jzjz +=+=

176

12986

)43)(32())(( 21

j

jj

jjzz

+−=−++=

++=

CONTOH: 32dan 32 121 jzzjz −==+= ∗

1394

9664

)32)(32())(( 11

=+=++−=

−+=∗

jj

jjzz

( ) 1394322

222111 =+=+==∗ zzz

22

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jikapembagian itu dikalikan dengan 1

122

22 =−−

jba

jba

CONTOH: 43dan 32 21 jzjz +=+=

25

1

25

18

43

)98()126(

43

43

43

3222

2

1 jj

j

j

j

j

z

z+=

+

+−++=

−−

×++

=

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

)()(

ba

ababjbbaa

jba

jba

jba

jba

z

z

+−++=

−−×

++=

23

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

24

Fungsi Eksponensial Kompleks

Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial

xey =

merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata

Jika z adalah bilangan kompleks θ+σ= jz

fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

riil` aleksponensi fungsiadalah dengan

; )sin(cos)(

σ

σθ+σ θ+θ==

e

jeee jz

Melalui identitas Euler θ+θ=θ sincos je j

fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

θσ= jz eee

25

Bentuk Polar

Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

θρ= jez

θ=∠= zzarg

Re

Im

•

θ

ρθρ= jez

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya ∠z = 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

8,48,8)48,088,0( 10

)5,0sin5,0(cos 10

jj

jz

+=+=+=

Re

Im

5,05 jez =•

rad 5,010

26

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4

543 || 22 =+=ρ=zModulus

Argumen rad 93,03

4tan 1 ==θ=∠ −z

Representasi polar z = 5e j0,93

Re

Im

93,05 jez =•

rad 93,0

5

27

CONTOH:

Misalkan 02 jz +−=

Modulus 204 || =+=ρ=z

Argumen ( ) π±=−=θ − 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal

Di sini kita harus memilih θ = π radkarena komponen imajiner 0

sedangkan komponen nyata −2

Re

Im

π= jez 2

2−•

28

CONTOH

Misalkan 20 jz −=

Modulus 240 || =+=ρ=z

Argumen ( ) 2/0/2tan 1 π−=−=θ −

komponen nyata: 0 komponen imajiner: −2

Representasi polar adalah

2/2 π−= jez

.

Re

Im

2/2 π−= jez2j− •

29

Manfaat Bentuk Polar

30

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

)(21

2121

21

21

))((θ+θ

θθ

ρρ=

ρρ=j

jj

e

eezz )(

2

1

2

1

2

1 21

2

1θ−θ

θ

θ

ρρ=

ρρ= j

j

j

ee

e

z

z

CONTOH:

Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4

9,04,05,021 50510 jjj eeezz =×=

1,04,0

5,0

2

1 25

10 jj

je

e

e

z

z==

31

Konjugat Kompleks

argumen konjugat berlawanan denganargumen bilangan kompleks asalnya

Re

Im θρ=• jez

θ−∗ ρ=• jez

θθ−

[ ] ( )( )

*

**

*

* atau ||*))((

2

1

2

1

2121

2

**

z

z

z

z

zzzz

ss|z|zzz

=

=

==

Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut

32

CONTOH:

4,02

5,01 5dan 10 jj ezez ==

25

100 10 10

22

5,05,011

=

=×=∗

−∗

zz

eezz jj

[ ] [ ] [ ]9,04,05,0

9,09,04,05,021

505 10

0505 5 10jjj

jjjj

eee

eeeezz−−−

−∗∗∗

=×=

==×=

[ ]1,0

4,0

5,0

1,01,04,0

5,0

2

1

2 5

10

052 5

10

jj

j

jjj

j

ee

e

eee

e

z

z

−−

−

−∗∗∗

==

==

=

Misalkan

33

Kuliah Terbuka

Bilangan Kompleks

Sudaryatno Sudirham

34

Permutasi dan Kombinasi

Sudaryatno Sudirham

35

Permutasi

36

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah terten tu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dala m setiap

kelompok urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan Bdan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya

terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

BA

AB

dan diperoleh 2 kelompok

Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempatiposisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B

Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A

37

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan CKelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf ada lah:

ACB

ABC B

CA

BAC C

BA

CAB

diperoleh 6 kelompok

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamadan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua

maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempatiposisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6123 =××Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi pertama Jumlah kemungkinan

komponen yang menempati posisi kedua

Jumlah kemungkinankomponen yang

menempati posisi ketiga

38

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada24 kelompok

Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

4×3×2×1=24 kelompokyaitu:

39

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangundari n komponen

yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah

!1.........)2()1( nnnn =××−×−×

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan

!nPnn =Kita baca : n fakultet

Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkandengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n

kn P

Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan

40

Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

123424 =×=P

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatanpada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.

Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

1212

123424 =

××××=P

41

Secara Umum:

)!(

!

kn

nPkn −

=

Contoh:

30561234

123456

)!26(

!626 =×=

××××××××=

−=P

Contoh:

360345612

123456

)!46(

!646 =×××=

××××××=

−=P

42

Kombinasi

43

Kombinasi merupakan pengelompokansejumlah komponen yang mungkin dilakukan

tanpa mempedulikan urutannya

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu

ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu

ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan

ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA

44

Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi nPkdibagi dengan permutasi k

Kombinasi k dari sejumlah n komponendituliskan sebagai nCk

Jadi! )!(

!

! kkn

n

k

PC kn

kn ×−==

45

Contoh:

Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D

61212

1234

!2)!24(

!4

!224

24 =××××××=

×−== P

C

yaitu:

Jawab:

AB

AC

AD

BC

BD

CD

46

Contoh Aplikasi

Distribusi Maxwell-Boltzman

Distribusi Fermi-Dirac

47

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati olehelektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkatenergi yang diskrit; kita sebut

dst. 321 EEE

48

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada

dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron terdapat di



33

22

11

nE

nE

nE

maka jumlah cara penempatan elektron di E1merupakan permutasi n1 dari N yaitu

)!(

!

11 1 nN

NPP Nn −

==

49

Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1

)!(

)!(

21

1)(2 12 nnN

nNPP nNn −−

−== −

)!(

)!(

321

21)(3 213 nnnN

nnNPP nnNn −−−

−−== −− dst.

Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2

50

Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 inisudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari Nyaitu

!)!(

!

!n

1111

1

nnN

NPC Nn

−==

Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.

!)!(

)!(

!)!(

221

1

21

)(2

12

nnnN

nN

nN-n

PC nNn

−−−== −

!)!(

)!(

!)!(

3321

21

3331

)(3

213

nnnnN

nnN

nnnnN

PC nnNn

−−−−−=

−−−= −−

dst.

51

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

elektron ditempati

elektron ditempati

elektron ditempati

33

22

11

nE

nE

nE

adalah

dst.

333

222

111

3

2

1

CgF

CgF

CgF

n

n

n

=

=

=

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektronseperti di atas adalah:

!.....!!

............... ....

321

321321321321

321

321

nnn

gggCCCgggFFFF

nnnnnn ===

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-B oltzmann

52

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan inidi buku-e

“Mengenal Sifat Material”

53

TkEii

BiegZ

Nn /−=

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron padatingkat energi Ei

temperatur

konstanta Boltzmann

tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksiktingkat energi ke-i

fungsi partisi

∑ β−=i

Ei

iegZ

54

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energiyang diskrit, misalnya kita sebut

dst. 321 EEE

Setiap tingkat energi mengandungsejumlah tertentu status kuantum

dan tidak lebih dari dua elektron beradapada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkatenergi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan

Yang berarti menunjukkan jumlahelektron yang mungkin berada di suatu

tingkat energi

55

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.




33

22

11

nE

nE

nE

56

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektr on adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dir ac namun kita tidakmembicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tida k menyangkut


Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkatE1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst

!)!(

!

111 nnN

NC

−=

!)!(

)!(

221

12 nnnN

nNC

−−−=

!)!(

)!(

3321

213 nnnnN

nnNC

−−−−−= dst.

Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untukmenempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi

)!(!

!

111

11 ngn

gF

−=

!)!(

!

222

22 nng

gF

−=

!)!(

!

333

33 nng

gF

−= dst.

∏ −==

i iii

ii ngn

gFFFFF

)!(!

!...321

57

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian


Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutanini di buku-e

“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga

58

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Fermi Dirac

1/)( +=

− TkEEi

iBFie

gn

Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0

0)(untuk

0)(untuk 0lim /)(

0

>−∞=

<−=−→

Fi

FiTkEE

T

EE

EEe BFi

Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkatenergi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas EF

EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.

59

Kuliah Terbuka

Permutasi dan KombinasiSudaryatno Sudirham

60

Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham

61

Pengantar

Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.

Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasiinterval.

62

Cakupan Bahasan

� Pengertian-Pengertian Interval

� Operasi-Operasi Aritmatika Interval

� Sifat-Sifat Aritmatika Interval

63

Pengertian -Pengertian Interval

64

Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan

Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)

*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”

Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan

Contoh:Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan

yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).

65

Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)}(:{ xpxS =

menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk

menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S

atau tidak

menunjukkan kumpulan yang kita tinjau

menunjukkan sembarang elemen

dari S

66

Contoh

}11090 ,:{ ≤≤∈= xRxxS

R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata

11090 ,)( ≤≥∈= xRxxp

67

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞

kita tuliskan

} ,, , ,:{ +∞<<<∞−∈≤≤∈= baRbabxaRxxX

Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval

Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.

Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.

Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-

batas intervalnya.

68

],[ xxX =

Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut

kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.

Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx

0(x )

interval Xbatas bawah batas atas

x

69

Suatu interval mengalami degenerasi jika

dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.

Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)

suatu bilangan nyata.

xx =

70

Degenerasi

Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata

xxXw −=)(

]15 ,6[=X 9615)( =−=Xw

Contoh:

(0

)x

w(X)

x

71

Lebar Interval

Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah

2/)()( xxXm +=

Contoh:

}10 ,4{=X 72/)104()( =+=Xm→ titik tengah

Contoh:

}10 ,4{=X

→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.

Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval

2/)(Xw

72

Titik Tengah

Radius

Kesamaan

Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.

],[ xxX = ],[ yyY =Jika dan

YX = yxyx == dan maka jika dan hanya jika

Urutan

Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx <

Contoh

X = {6, 10} dan Y = {13, 18}

→ X < Y.

0(x

) ( )X Yx y y

Dalam contoh ini w(X) < w(Y)

73

Nilai Absolut

Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya

} , max{ xxX =

Contoh

X = {−8, 4}

8} 4 , 8 max{ =−=X

74

Jarak

Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya

|}| , |max{|),( yxyxYX −−=ρ

Contoh

X = {2,6}, Y = {8,18}

12|}186||,82max{| ),( =−−=ρ YX

0( )x

( )

X Y

xy − xy −

x yy

Di sini

|||| yxyx −>−

75

Simetri

Suatu interval X disebut simetris jika xx =−

Contoh: X = {−5, 5}

0(x )

X

x

Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.

Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.

Ia bukan degenerate interval.

76

Irisan

Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.

Irisan antara interval X dan interval Y adalah

}],min{ },,[max{ yxyxYX =∩

Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[=∩YX

0(x )( )

X Y

y x y

YX ∩

Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval

Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.

77

Gabungan

Gabungan antara interval X dan Y adalah

}]maks{ },,[min{ y,xyxYX =∪

Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[=∪YX

0(x )( )

X Y

y x y

YX ∪

Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.

Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya

gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.

78

Inklusi

Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika

)()(dan YwXwYX ≤≤atau

YX ⊆ yxxy ≤≤ dan jika dan hanya jika

Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → YX ⊆

0(x )( )

X

Y

xy y

b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}

0(x )( )

X

Y

y x y

79

Operasi-Operasi Aritmatika

80

Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:

Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebutinterval positif.

Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebutinterval negatif.

Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positiftermasuk nol.

Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol

bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.

81

Penjumlahan dan

Pengurangan

82

Penjumlahan

Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai

} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+

Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval

Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan

adalah jumlah dari batas atas

Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.

] ,[ yxyxYX ++=+

83

X+Yyx + yx +

0(x ) ( )

X Y

( )x y y

] ,[ yxyxYX ++=+

Jumlah interval juga merupakan interval.

],[ yyY =Jika dan , maka],[ xxX =

tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.

X dan Y adalah duainterval yang terpisah.

YX ∪ Penjumlahan berbeda dengan penggabungan.

Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.

84

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}

→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]

Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan .

Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan

biasa.

Perbedaan penjumlahan dan gabungan

Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[=∪YX

10] ,5[=+YX

0(x

)( )

X Y

y x y

YX ∪

(z)

z

YX +

85

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

} ,{ XxxX ∈−=−

yang dapat kita tuliskan

] ,[] ,[ xxxxX −−=−=−

0(x )

X

)− x

(

− X

x− x

Batas atas −X adalah x−

Batas bawah −X adalah x

86

Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]

0(x )

X

)− x

(

− X

x− x

b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]

0(x

)

X

)− x

(

− X

x− x

87

Pengurangan

Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X

dengan negatif interval Y

] ,[],[],[ yxyxyyxxYX −−=−=−

Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]

→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]

X−Y

0(x ) ( )

X Y( )( )

y− y− x y y

yx − yx −

Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X − Y merupakan interval negatif.

88

Perkalian dan

Pembagian

89

Perkalian Interval

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅

yang dapat dituliskan

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅

Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah

maupaun batas atas dari interval hasil kali.

Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada

sumbu bilangan nyata

90

Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx ≤maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x

0≥x 0≥xjika maka

0≤x 0atau 0 ≤≥ xxjika maka

Demikian juga pada interval Y

0≥y 0≥yjika maka

0≤y 0atau 0 ≤≥ yyjika maka

91

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:

interval positif kali interval positif

interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya

interval negatif kali interval negatif

perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol

92

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:

] ,[

0dan 0

yx yxYXZ

yx

=⋅=

≥≥x y y0

( )x

( )X Y

1).

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≥≤3).x y y0

( )x

( )X Y

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

=⋅=

≥<<2). x y y0

( )x

( )X Y

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

=⋅=

<<≤4).

x y y0( )x

( )X Y

93

6). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≤≥yy x x0

( ) ( )Y X

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

=⋅=

<<≥7).yy x x0

( ) ( )Y X

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

=⋅=

≤<<y y x x0( ) ( )

Y X8).

}] ,maks{ }, ,min{[

0dan 0

yxyxyxyx

YXZ

yyxx

=⋅=

<<<<

9). y yx x0( )( )

Y X

5). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≤≤x y y 0

( )x

( )X Y

94

Contoh dan Penjelasan

]6 ,4[ ]3 ,1[ == YX

]18 ,4[=⋅YX

Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atassedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.

Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalianbilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil

bilangan positif.

] ,[

0dan 0

yx yxYXZ

yx

=⋅=

≥≥x y y0

( )x

( )X Y

1).

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:

Nilai terkecilyang bisa dicapai

Nilai terbesaryang bisa dicapai

95

]8 ,4[ ]2 ,1[ =+−= YX

]16 ,8[ +−=⋅YX

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

=⋅=

≥<<2). x y y0

( )x

( )X Y

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang

lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.





96

]4 ,1[ ]1 ,3[ =−−= YX

]1 ,12[ −−=⋅YX

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali

batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≥≤3).x y y0

( )x

( )X Y





97

]3 ,1[ ]2 ,4[ −=−−= YX

]4 ,12[ +−=⋅YX

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

=⋅=

<<≤4).

x y y0( )x

( )X Y

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.





98

]1 ,4[ ]5 ,7[ −−=−−= YX

]82 ,5[=⋅YX

Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkaliadalah hasilkali kedua batas atas.

Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.

5). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≤≤x y y 0

( )x

( )X Y



Nilai terkecilyang bisa dicapai Nilai terbesar

yang bisa dicapai

99

]1 ,3[ ]4 ,1[ −−== YX

]1 ,12[ −−=⋅YX

6). ] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yx

=⋅=

≤≥yy x x0

( ) ( )Y X

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas

bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif





100

]1 ,3[ ]5 ,2[ −== YX

]5 ,15[−=⋅YX

] , [

0dan 0

yxyxYXZ

yyx

=⋅=

<<≥7).yy x x0

( ) ( )Y X

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang

lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.





101

] ,[

0dan 0

yxyxYXZ

yxx

=⋅=

≤<<y y x x0( ) ( )

Y X8).

]2 ,5[ ]3 ,1[ −−=−= YX

]5 ,15[−=⋅YX

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.





102

]1 ,4[ ]5 ,2[ −=−= YX

]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ −=−−=⋅YX

}] ,maks{ }, ,min{[

0dan 0

yxyxyxyx

YXZ

yyxx

=⋅=

<<<<

9). y yx x0( )( )

Y X

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum

} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅

Akan bernilai negatif sehinggatak mungkin menjadi

batas maksimum

Akan bernilai positif sehinggatak mungkin menjadi

batas minimum


103

Kebalikan Interval

Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai

} :/1{1

XxxX

∈=

Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

]/1 ,/1[1

xxX

=

Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.

Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.

104

Pembagian Interval

Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara Xdengan kebalikan Y.

]/1 ,/1[] ,[1

xxxxY

XY

X ⋅=⋅=

Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]

→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]

105

Sifat-SifatAritmatika Interval

106

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan

biasa yang sudah kita kenal.

Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilanganbiasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika

interval. Ternyata memang demikian.

Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.

107

} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+

} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikansebagai

Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

XYYXZYXZYX +=+++=++ ;)()(

YXXYZXYYZX == ;)()(

108

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:

[0, 0] dan [1, 1]

yang dituliskan sebagai 0 dan 1

Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalamaritmatika interval:

X − X ≠ 0 dan X / X ≠ 1 jika w(X) > 0

]1 ,1)[(] ,[ −=−−=− XwxxxxXX

0 jika ]/ ,/[/

0 jika ]/ ,/[/

<=>=

XxxxxXX

XxxxxXX

109

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:

X (Y + Z) = XY + XZ

Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:

1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;

2) Jika YZ > 0

Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:

[0, 1] (1-1) = 0

tetapi

[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]

110

Kuliah Terbuka

Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham

111

bilangankompleks permutasidankombinasi … · imajiner 3 3 imajiner 2 2 j j j = = =...

Documents