BILANGAN KOMPLEKS

Fokus bahasanDefinisi dan ajabar kompleksBeberapa fungsi kompleks sederhana , dan penerapannya pada superposisi gelombang Rangkaian arus bolak-balik(AC)

DEFINISI 1Lambang i disebut suatu bilangan imajiner satuan , bila memenuhi aturan : i2 = -1 dengan i = (-1)

DEFINISI 2Lambang : a + ib , dengan a dan b real, dan i imajiner satuan, disebut sebuah bilangan kompleks

c = a + ibb = 0, maka c = a(bil. Real )a = 0, maka c = ib( bil. Imajiner )a : bagian real kompleks cb : bagian imajiner cc = Re(c) + i Im(c)

Contoh 15 atau 5 + 0i : bilangan real4i atau 0 + 4i : bilangan imajiner5 6i : bilangan kompleks0 + 0i : nol bilangan kompleks

ALJABAR BILANGAN KOMPLEKSPENJUMLAHAN/PENGURANGAN

( a1 + ib1 ) (a2 + ib2 ) = (a1 a2) + i(b1 b2)

PERKALIAN

( a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i2b1b2 =(a1a2 b1b2) + i(a1b2+a2b1 )

PEMBAGIAN

Contoh 2(2 + 5i) + (3 2i) = 5 + 3i(4 7i) (2 + 3i ) = 2 10i(1 + 3i)(5 4i) = 5 4i + 15i 12i2

= 5 4i + 15i 12(-1) = 17 + 11i4.

PANGKAT REAL BULATJika c : sebuah bilangan kompleks, dan n sebuah bilangan real bulat positip, maka definisi pangkat real sebuah bilangan kompleks sbb: c2 = c.c, c3 = c. c. c, . . . , cn = c.c.c. . . . C

Jika m dan n dua bilangan real bulat (positip ) c(m+n) = cmcn

Pangkat negatip didefinisikan :

KONYUGAT KOMPLEKS ATAU KOMPLEKS SEKAWANJika c = a + ib bilangan kompleks, maka (*) disebut konyugat kompleks dari c, didefinisikan sebagai ,

c* = a* + i*b* dengan sifat , a* = a ; b* = b ; dan i* = -i

Sehingga c* = a ib

Contoh 3 ( 2 + 3i )* = 2 3i

MODULUSc = a + ib modulus c : lcl

BIDANG KOMPLEKSPernyataan polarx = r cos , y = r sin z = x + iy = r ( cos + i sin )(Bentuk polar bil. kompleks)r = modulus z = lzl = argumen z

Contoh 4Nyatakan bilangan kompleks 2 2i dalam bentuk polar !

Jawab = arctan (-2/2) = 5/4Jadi, 2 2i = 22 ( cos 5/4 + i sin 5/4 )

PERSAMAAN KOMPLEKSDEFINISI Dua bilangan kompleks adalah sama , jika dan hanya jika, bagian realnya sama, dan juga bagian imajinernya sama. Jadi, persamaan kompleks : a + ib = p + iq, setara dengan dua persamaan real serempak : a = p dan b= q

Contoh 5Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan kompleks : (a) 2ix + 3 = y - i , (b). ( x + iy )2 = 1

Penyelesaian :(a). 3 + i (2x) = y + i (-1) 3 = y dan 2x = -1, x = -1/2 , y = 3

(b). x2 + 2ixy y2 = 1 x2 - y2 = 1 dan 2xy = 0 x = 0, y 0, x 0, y = 0y2 = -1 ( x dan y : real , sehingga tidak memenuhi ) x2 = 1, x = 1(x1 =1, y1= 0 ; dan x2 =-1, y2=0)